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1=0.999… その14.999… (本スレ)

1 :132人目の素数さん:2007/03/24(土) 10:36:12
一応激しい論議の結果、回答テンプレートが作成されました >2-5
今後書き込む際には、できるだけまず回答テンプレートを参照してから、それをふまえて行ってください。
また、回答テンプレートへの意見なども自由に書き込んでください。

前スレ
1=0.999… その 9.999… http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1118452051/
1=0.999… その10.999… http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1136133055/
1=0.999… その11.999… http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1142173277/
1=0.999… その12.999… http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1154943310/
1=0.999… その13.999… http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1161855366/

2 :132人目の素数さん:2007/03/24(土) 10:36:57
Q1: 1=0.9999… か?
A1: 「前提条件」によって「1=0.9999…」となったり「1≠0.9999…」になったりする。
   しかし、通常はそのような前提条件を採用することのメリットや、過去の経緯を考えると
   「1=0.9999…」であるとした方が妥当である。

Q2:「1=0.9999…」は証明可能なのではないか。
A2:A1の前提条件を認めれば可能である。しかし、認めない人にとってはその証明は
  無意味である。

Q3:1と0.9999…は形が全く違う。同じ数だと言うのは納得できない。
A3:分数の2/2と3/3も違う形だが、全く同じ数である。

Q4:A1で、数学で正反対の結果を容認するのは納得できない。論理は絶対なのではないか?
A4:自然数が入っている論理がもし正しいなら、その正しさはその論理内で証明できない。
  したがって、「1=0.9999…」が結論となる論理も「1≠0.9999…」が結論になる論理も
  矛盾がない限り、その正しさはその論理内で証明できない。

3 :132人目の素数さん:2007/03/24(土) 10:37:41
Q5: A1の「前提条件」とは何か?
A5: 通常は実数の範囲で考え、「実数の連続性」や「0.9999…が
   無限級数の極限値である」ことなどを前提にする。しかし、説明は複
   雑になるが、有理数の範囲で考えることも可能である。

Q6: 「1=0.9999…」の証明には幾つかの初等的手法があるが、これらは無意味なのか?
A6: 前提条件を認めて、無限小数の演算を矛盾無く定義するなら、それらの初等的証明は
  確かに証明になっている。前提条件を認めた段階でのより単純な証明は存在するが
  初等的証明には「分かりやすい」という利点がある。


4 :132人目の素数さん:2007/03/24(土) 10:38:24
Q7:Q6の初等的証明とは具体的にどのようなものがあるのか?
A7:
@  1/3=0.3333… 
      両辺を3倍して
    1  =0.9999…

A x=0.9999… とおいて
  10x−x=9.9999… − 0.9999…
   9x  =9
    x  =1
  したがって 1=0.9999… である。

B 1/9=0.1111…
  2/9=0.2222…
     …
  8/9=0.8888…
  9/9=0.9999… = 1

C 0.9999… は初項0.9公比0.1の無限等比級数だから、その値は
 0.9999… = 0.9/(1−0.1) = 1

D n÷n を計算する際に商の一の位に0をたてると、0.9999…が得られるから
 1 = n÷n = 0.9999…

5 :132人目の素数さん:2007/03/24(土) 10:39:39
E 0.9999…と1が異なるとなるとすると、その間の数がある。
 その間の数があるとして、各桁毎に比較することでその値を考えていくと…
 1の位は比較して0
 小数第1位は比較して9
 小数第2位は比較して9
 小数第3位は比較して9
 …………
 と、以下繰り返していくと、結局この間の数は
 0.9999…
 となってしまい、0.9999…と1の間の数にならないので矛盾。

F1と0.9999…を足して2で割った数は
 1.9999…/2=0.9999…となり、x=0.9999…とおくと、
 (1+x)/2=x よって、x=1となる。

1≠0.9999…となる数学モデルは>>6


6 :132人目の素数さん:2007/03/24(土) 10:56:16
>>3 の修正

Q5: A1の「前提条件」とは何か?
A5: 通常は実数の範囲で考え、「実数の連続性」や「0.9999…が
   無限級数の極限値である」ことなどを前提にする。しかし、説明は複
   雑になるが、アルキメデス性を満たす数の範囲で考えることも可能である。

Q8:1≠0.9999…となる数学モデルは具体的にどのようなものがあるのか?
A8:違う表記の数をすべて違う数とみなす体系があげられる。ただ、副作用も多すぎる。
   超準解析学を考えると1≠0.9999…となる数学の体系を構築することもできる。
コンウェイの超現実数では1≠0.9999…となる。

Wikipedia の 0.999...の項目も参考に!
http://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...%E3%81%8C1%E3%81%AB%E7%AD%89%E3%81%97%E3%81%84%E3%81%93%E3%81%A8%E3%81%AE%E8%A8%BC%E6%98%8E


7 :132人目の素数さん:2007/03/24(土) 11:45:26
1は乙
パート14でテンプレ張らないキチガイがいたが、ここが本スレか。
>1
よく見分けた。
キチガイスレはあぼーんで。

8 :132人目の素数さん:2007/03/24(土) 11:52:20
数学者に聞きたいんだけど、「数の存在」について考えたことある?
ここでの議論で前スレ989みたいな意見は全く無意味なものに見える。

9 :132人目の素数さん:2007/03/24(土) 11:57:57
そもそも、数の存在って何?

特殊な人を除いて、整数 1,2,3 などの実在性を疑う人はまずいないだろう。
だが、これすら「ここにある」と実在を明示できる類のものではない。

りんご3個持ち出して「これが3」だと言っても、猫3匹持ってきて「これも3か?」
と言われると「そうだ」ということになるが、そもそもなぜ同じ3なのか?

10 :132人目の素数さん:2007/03/24(土) 12:31:03
>>9
フレーゲ「3性(3ということ)を定義しなければならない」

11 :1−0.9dot=0:2007/03/24(土) 12:54:53
クヌース
コンウェイの超現実数
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4760126465

但し、これをもって公用の1=0.9dotを否定する事は誤り。

12 :132人目の素数さん:2007/03/24(土) 13:03:40
(>>11を踏まえた上で)
0.999…をm→∞ん時の
Σ[n=1〜m](9*0.1^n)と表した場合なら
1−0.999…=0.1^m
となるわけなんだが
この0.1^mを0と認められぬ房がおる。
lim[m→∞]0.1^m=0となる事とは訳が違うと言う。

13 :1−0.9dot=0:2007/03/24(土) 13:05:57
(>>11を踏まえた上で)
0.999…をm→∞ん時の
Σ[n=1〜m](9*0.1^n)と表した場合なら
1−0.999…=0.1^m
となるわけなんだが
この0.1^mを0と認められぬ房がおる。
lim[m→∞]0.1^m=0となる事とは訳が違うと言う。

14 :132人目の素数さん:2007/03/24(土) 17:08:05
>>6
>A5: 通常は実数の範囲で考え、「実数の連続性」や「0.9999…が
>   無限級数の極限値である」ことなどを前提にする。しかし、説明は複
>   雑になるが、アルキメデス性を満たす数の範囲で考えることも可能である。

最後の行は「アルキメデス性を満たす数の範囲(例えば実数ではなく有理数)で考えることも可能である。」
と( )部分を追加してはどうかな?


15 :132人目の素数さん:2007/03/24(土) 19:32:35
>>14
了解です。

16 :132人目の素数さん:2007/03/25(日) 10:56:45
>>14
了解です。


17 :132人目の素数さん:2007/03/25(日) 10:58:16
>>14
了解です。


18 :132人目の素数さん:2007/03/25(日) 10:59:15
>>14
了解です。


19 :132人目の素数さん:2007/03/25(日) 17:00:00
ラジャー

20 :132人目の素数さん:2007/03/26(月) 18:51:38
あのさ、ここの住民は
10÷3=3.333… もあーでもない、こーでもないって議論するの?アホらしw 


21 :132人目の素数さん:2007/03/26(月) 18:55:07
>>20
誰も議論するなどと言ってないがw
アホ乙

22 :132人目の素数さん:2007/03/26(月) 19:33:21
テンプレの Q5/A5 あたりに、最もオーソドックスな次のような説明を
書いといたほうがいいかも。

数学では、
「“0.999...”とは、a_1 = 0.9、a_2 = 0.99、...、a_n = 1 - (1/10)^n という数列の極限値のこと」
と“定義”する。だから“0.999... = 1”は定義から当たり前。

23 :132人目の素数さん:2007/03/26(月) 20:15:29
>>22
「つまり、『0.999…=1』と定義するって事だよね。なんでそう定義するの?
俺は認めねーぞ!」

なんてヤツが大発生するに違いない。


24 :132人目の素数さん:2007/03/26(月) 20:22:25
「一般には」とつけとけばいいかも

25 :132人目の素数さん:2007/03/26(月) 20:33:50
1

26 :132人目の素数さん:2007/03/26(月) 21:49:00
>>22
そういう前提条件によって云々ってのがテンプレのQ1だろ?

27 :132人目の素数さん:2007/04/01(日) 00:26:38
定義と言うことで終了!!

28 :132人目の素数さん:2007/04/08(日) 14:44:26
AGE

29 :132人目の素数さん:2007/04/09(月) 17:41:56
ここのテンプレ引用したらこんな意見が。

ゲーデルの不完全性定理により数学敗北
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1169247917/

783:132人目の素数さん :2007/04/09(月) 02:47:31 [sage]
なんかA4の論理云々って無茶苦茶だよ。
論理は古典述語論理で変わらないでしょ?
せいぜい「理論」だよ。

0.999999.........の(もっと一般的に3.1415926535897932.........のような無限小数の)
指示対象をどうやって決めるか、という問題。


785:132人目の素数さん :2007/04/09(月) 04:24:01 [sage]
A4が無茶だな。 「公理が違えば結果は異なる」程度で十分じゃないか?

30 :132人目の素数さん:2007/04/09(月) 18:31:47
できたときから糞テンプレだと思ってました

31 :132人目の素数さん:2007/04/09(月) 21:50:13
「論理は古典述語論理」って根拠はなんだw?
数学ってそう決まっているのか?

32 :132人目の素数さん:2007/04/09(月) 23:14:36
>>31
ここで愚痴ってないで
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1169247917/
に直接書き込みに行けよクズ。

33 :132人目の素数さん:2007/04/10(火) 13:19:19
あおっても何も出ないよw

34 :132人目の素数さん:2007/04/10(火) 18:55:45
文句があるなら、遠吠えしないで直接書こう。
テンプレ修正なら、いくらでも受け付けるぞ。

35 :132人目の素数さん:2007/04/10(火) 20:23:31
>>33
オマエすっからかんだもんな。

36 :132人目の素数さん:2007/04/10(火) 21:42:06
>>29
>>4

37 :35:間違えた:2007/04/10(火) 21:43:22
>>29
>>2

38 :132人目の素数さん:2007/04/10(火) 21:51:28
確かにユークリッド幾何学の第5公準とまではいかないまでも口説い
が、改善案思い浮かばない

精々、Q側の文章「論理は絶対なのではないか」を
「論理は一意的に定まる筈なのではないか」みたいに
変更する案ぐらい。

>>31
直観論理でも量子論理でもなかろうって意味では?

39 :132人目の素数さん:2007/04/11(水) 20:32:43
一意的に?
一様に、じゃね?

40 :132人目の素数さん:2007/04/12(木) 00:48:21
一意で良いんじゃないのか?一般的な用語じゃないから、かみ砕いた表現の方が良い気も
するが…。

41 :132人目の素数さん:2007/04/12(木) 01:45:25
いや一般だろ・・・
一様のが聞かんぞ。

42 :132人目の素数さん:2007/04/13(金) 12:39:07
「真実は常に一つ!(by名探偵コナン)」ではないのね。

43 :132人目の素数さん:2007/04/13(金) 23:32:32
定義によるだろ。

44 :132人目の素数さん:2007/04/16(月) 16:03:02
>>38-41
いや、意味的には
「一所{ヒトドコロ}」にとか「一点に」とかの方が。

>>42
いや
どちらか一方、だから一つで合ってる。
パラレルセオリー。

45 :132人目の素数さん:2007/04/26(木) 23:54:23
>>42
バーローwwwwwww




これでいいのか?

46 :132人目の素数さん:2007/04/27(金) 00:20:35
ネクスト・コナンズ・ひーんと

 げーでる

47 :132人目の素数さん:2007/05/05(土) 02:49:13
げーでる
1940年
ゲーデルがZF集合論+選択公理(=ZFC)から
連続体仮説の否定証明をできない事を証明

1963年
コーエンがZF集合論の無矛盾性を仮定すれば
ZFCから連続体仮説を証明できない事を証明。

この2つより
ZF集合論の無矛盾性を仮定した上で
連続体仮説はZFCとの独立性が示された。


…独立性?

48 :132人目の素数さん:2007/05/18(金) 18:28:27
ほしゅ

49 :重複スレからレス保守:2007/05/23(水) 07:51:11
9:132人目の素数さん :2007/05/13(日) 21:29:46 [sage]

4 = 3.999999…… でつか?

紀子さまに聞こ。

10:132人目の素数さん :2007/05/13(日) 21:39:36 [sage] >9

3.9 や 3.99 や 3.9999999 は 「4未満」です。
しかし 3.999999…… は「4未満」ではありません。
なぜなら 3.999999…… は「4」だからです。
すごく不自然ですね。
しかし 無限に続く 3.999999…… と「4」の間に 数はありません。

Yomiuri, No.19503, 夕刊 p.7 (2007/05/12)
KODOMO欄、評者は K.T.先生(T学芸大付属 漕がない中)


新井紀子「生き抜くための数学入門」 1470円
単行本: 272p.
出版社: 理論社 (2007/02)
ISBN-10: 4652078234
ISBN-13: 978-4652078235
寸法: 19.5 x 13.5 x 2.0 cm

息抜くために…ドゾー!

50 :132人目の素数さん:2007/05/24(木) 11:24:43
間に数がないから同じ数って理屈なのか?

51 :132人目の素数さん:2007/05/28(月) 06:17:35
実数の連続性

52 :132人目の素数さん:2007/05/28(月) 06:22:04
もしそれが連続していなければ、
1Mの寸前も、1CMの寸前も、1mmの寸前も無くなり。
1の寸前も0.1の寸前もなくなり。
あらゆる数の寸前が無くなってしまうから。

数等存在できなくなってしまうじゃないか?
悲しいだろ?

13543132.13254365436321321
=
13543132.1325436543632132099999999999999999....

だからすべてこんな感じの数字は等しくなきゃ大変なことになるぜよ。

53 :132人目の素数さん:2007/05/28(月) 06:27:02
もし1≠0.999..なら
0.999..=A
1-A=δと定義します。

1と0.999..の間には差異があるので
A≠A-δの関係はいくらでも続きます。
よって1未満の数値は存在しないことになります。

54 :132人目の素数さん:2007/05/28(月) 12:35:28
>>53
書き方はいまいち不十分だが、その関係がいつまでも続く事でなにか矛盾はあるか?

55 :132人目の素数さん:2007/05/28(月) 15:32:56
俺も似たような疑問が。
例えば次の議論と>>53はどこが違うんだ?

 もし1≠0.999なら
 0.999=A
 1-A=δと定義します。

 1と0.999の間には差異があるので
 A≠A-δの関係はいくらでも続きます。
 よって1未満の数値は存在しないことになります。

56 :132人目の素数さん:2007/06/01(金) 21:26:09
>>54
たぶんやりたいのは実数の連続性の話だろ。
0.99...と1の間に空白が一つあるだけならば問題ないけど。
0.99...とその寸前、そいつとその寸前、またその寸前と並べて行くと。
0から1の間に数と同じだけの闇が有るようになってしまう。
0から1の間の50が闇なら1は実効で0.5ということになる。
とかいうアホ話だろ。

57 :132人目の素数さん:2007/06/01(金) 21:27:09
50 → 50%

58 :132人目の素数さん:2007/06/02(土) 13:48:05
hnwの日記 - PHPの奇妙なround関数
http://d.hatena.ne.jp/hnw/20070515

59 :132人目の素数さん:2007/06/05(火) 10:25:10
少なくとも 0.99999... という記法の意味は「整数 → {0,..,9}」の関数で
f(n) = 0 (n >= 0)
f(n) = 9 (n < 0)
という定義をされる f から数を作るってことで, この f と
g(0) = 1
g(n) = 0 (n ≠ 0)
という g はもちろん違う関数.









60 :132人目の素数さん:2007/06/06(水) 18:58:18
数学版の奴らはこのネタだけで15スレ目だぜ?

1=0.999… その14.999… (本スレ)
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1174700172/

61 :132人目の素数さん:2007/06/06(水) 18:59:02
誤爆スマソorz

62 :132人目の素数さん:2007/06/06(水) 19:09:01
VIPからきますた。

63 :132人目の素数さん:2007/06/06(水) 19:10:39
なるほど

64 :132人目の素数さん:2007/06/06(水) 19:13:12
VIPからきますた

65 :132人目の素数さん:2007/06/06(水) 19:14:32
「0.999999・・・は1なんだよ」って教師が言ってた
http://wwwww.2ch.net/test/read.cgi/news4vip/1181122083/

       ____
     /⌒  ⌒\
   /( ●)  (●)\     仲良くしてね!!!
  /::::::⌒(__人__)⌒::::: \
  |     |r┬-|     |
  \      `ー'´     /



66 :132人目の素数さん:2007/06/06(水) 19:15:38
なぁ、テンプレのQ3についての質問なんだが。

>Q3:1と0.9999…は形が全く違う。同じ数だと言うのは納得できない。
>A3:分数の2/2と3/3も違う形だが、全く同じ数である。

まぁ2/2と3/3は形は違うけど、容器にたとえたら、「満タンまで水が入ってる状態」だよな?
0.99999999はどうよ? 割合で言ったら明らかに足りないよな?

これじゃ納得できなくね?

67 :132人目の素数さん:2007/06/06(水) 19:18:44
VIPから来ました。

俺みたいなアホな奴でも理解しやすく説明していただきたい。

68 :132人目の素数さん:2007/06/06(水) 19:21:20
VIPからきたおwwwwwwwwwwwwwwwwwww
記念あげあげ♪wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

69 :132人目の素数さん:2007/06/06(水) 19:53:36
         (^o^)ノ オワタ   三┌(^o^)┘オワタ          /|
         ノ( ヘヘ       三 ┘>     三 ┌(^o^)┘オワタ | ミ
   (^o^)ノ オワタ        三 ┌(^o^)┘オワタ    ┘>/   |   ミ \( ^o^)/ オワタ
   ノ( ヘヘ    (^o^)ノ オワタ  三  ┘> ┌(^o^)┘オワタ    /    ミ  |_/
          ノ( ヘヘ           三  ┘>  /   / |       ノ ノ
 ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄|   /   |  ミ
                                    |  /    |  ヽ(^o^ )ノ オワター      ミ \( ^o^)/ オワタ
_____________________|/      |  \(\ノ             ミ |_/
                              |        |         ミ          ノ ノ
                              |        |        ミ \( ^o^)/ オワタ
  ______    ______      |        |            |_/
  ||//        .||   ||//       ||     │        |            ノ ノ
  ||/       .||   ||/          ||     │        |
  ||        ||   ||._____________ ...||     │        |              ミ
  ||        ||   |||  (^o^)  |  ||     │        |               ミ\(^o^)/ オワタ
   ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄     ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄      |        |                  ┘|



70 :132人目の素数さん:2007/06/06(水) 19:53:39
ぴwwwwwwwwwwwwんwwwwwwwwwwwwぽんwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

71 :132人目の素数さん:2007/06/06(水) 19:53:45
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwぴwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwんwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwぽwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwんwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww♪wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwぴwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwんwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwぽwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwんwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww♪wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

72 :132人目の素数さん:2007/06/06(水) 19:53:54
ぴーーーーーーーーーーーーーんぽーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーんwwwwwwwwwwwwwwwww

73 :132人目の素数さん:2007/06/06(水) 19:53:58
>>66
割合で言うと、満タンに水がはいっている状態…で終了です。

74 :age:2007/06/06(水) 19:54:16
VIPからきました!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

75 :132人目の素数さん:2007/06/06(水) 19:54:16
ぴぽぴぽぴぽぴぽぴぽぴぽぴぽぴぽぴぽぴぽぴぽぴぽぴぽぴぽぴぽぴぽぴぽぴぽぴんっwwwぽんっwwwぽぴんっwwwwぷぉんwwwwwwwwwwwww

76 :132人目の素数さん:2007/06/06(水) 19:54:36
  。。
 ゚●゜

       。。
      ゚●゜ ちょっと通りますよ

    。。
   ゚●゜

         。。
        ゚●゜


77 :132人目の素数さん:2007/06/06(水) 19:55:13
ピンポーーン

78 :132人目の素数さん:2007/06/06(水) 19:55:23
ぴんぽーんwwwwwwwwwwwwwwwwwww

79 :132人目の素数さん:2007/06/06(水) 19:56:05
ピンポーンwwwwwwwwwwwwwwwwww

あっ・・・すごい興味が湧きました。
>>1から読み直します。

すいませんでした

80 :132人目の素数さん:2007/06/06(水) 19:56:25
こういう話題好きだぜ
ぴんぽおおおおおおおおおおおおおおおん

81 :132人目の素数さん:2007/06/06(水) 19:56:58
ピwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwンwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwポwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwンwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww


82 :132人目の素数さん:2007/06/06(水) 20:11:05
>>66
0.999…だって「満タンまで水が入ってる状態」だよ。

83 :132人目の素数さん:2007/06/06(水) 20:19:55
>>82
ダービー兄「もうコインは入らないと思っているだろう?
        違うんだなぁ それが」

84 :132人目の素数さん:2007/06/07(木) 04:52:19
0.999…は未だに1の左方極限な気がしてならないが
通常は1として扱うべきなんだろうし
一方で上の方の人、今は亡き1−0.9dot氏によれば
コンウェイの超現実数では1≠0.999…になるらしいから
このスレの歴代で過去レス各位が
定義次第である事、つまり
1=0.999…とする系も1≠0.999…とする系も独立に成り立つ
という事を散々述べてきた事なんだね。テンプレにもQ4辺りにこの事が含み入ってそうだし。

85 :132人目の素数さん:2007/06/12(火) 07:50:35
過去レスをぜんぜん見ないでの質問なんだけど
1÷3の場合の0.33333・・・(永遠に3が続くわけではない数字)
と03333333・・・・(永遠に3が続く数字)は別物だよね。
この別物を同じように書いているから1=0.99999・・・・になるんじゃないの?
ちがうのかな?
誰か教えてくれ。

86 :132人目の素数さん:2007/06/12(火) 09:19:32
「0.999…」をジーッと眺めていると、
だんだんボヤーッとしてきて、
「1」に見えるようになりますYO!

87 :132人目の素数さん:2007/06/12(火) 10:09:55
1.000… が 1 なのは本当なのか?


88 :132人目の素数さん:2007/06/12(火) 11:05:53
>>87
その1.000・・・は0がただ続くだけな数字のことなのでしょうか?それならば=1ですが、違うなら=1にはならないと思うんですよ。
なにか考えがおかしいんでしょうか?

89 :132人目の素数さん:2007/06/12(火) 13:11:32
>>85
> 1÷3の場合の0.33333・・・(永遠に3が続くわけではない数字)

なんだそりゃ?

90 :132人目の素数さん:2007/06/12(火) 13:17:07
>89
純粋に3が続くわけでなく常に余り1が存在し続ける0.333・・・と言ってイメージ出来ますでしょうか

91 :132人目の素数さん:2007/06/12(火) 14:00:43
>>90
数学にそんな概念は存在しない。お前の考えた、お前だけのトンデモ概念だ。

92 :132人目の素数さん:2007/06/12(火) 14:04:29
>>84
通常はその「左方極限」を「0.999…」という記号列で表しているから、
通常は1として扱うべきなのは「べき」も何も記号の定義から明らか。

93 :132人目の素数さん:2007/06/12(火) 14:39:16
>>91
でも実際に1÷3は0.333・・・でも最後に必ず余り1/3が存在するよね。
2÷3も同じように余り2/3が存在する。
だから1÷3の場合の0.333・・・と2÷3の場合の0.666・・・を足すと1になるが、
余り1/3が無い0.333・・・と余り2/3が無い0.666・・・を足した場合は1にならないで0.999・・・になりますよね。
この二つを同じに見ているから違うはずの1=0.999・・・に思えるんじゃないかなと。
この考えがトンデモ概念なんでしょうか?

94 :132人目の素数さん:2007/06/12(火) 17:37:20
そのトンデモ概念にしたがうと、
「1÷3の場合の0.333・・・」と「余り2/3が無い0.666・・・」を足した場合はどうなるんだ?
「1÷3の場合の0.333・・・を3で割った0.111・・・」と「1÷9の場合の0.111・・・」はどうなるんだ?
いろいろ組み合わせが出て来るぞ?
これらを上手くつじつま合わせできるんだったらトンデモ概念とは呼ばれないんじゃないかな。

95 :132人目の素数さん:2007/06/12(火) 18:57:15
>>93
その「最後」はどこにあるの?何桁目が最後?

96 :132人目の素数さん:2007/06/12(火) 19:18:02
>>93
トンデモ概念です。なぜなら、
>でも実際に1÷3は0.333・・・でも最後に必ず余り1/3が存在するよね。
ここが間違いだから。最後ってどこよ?

97 :132人目の素数さん:2007/06/12(火) 19:30:52
「0,333・・・」
というのは、ただの記号だと思えばいいじゃないの。
分数と同じ。


98 :132人目の素数さん:2007/06/12(火) 19:46:33
ただの記号なんだけど、「・・・」が無限に続く感じを表してるんで誤解する初心者が多い。

99 :132人目の素数さん:2007/06/12(火) 19:56:37
>>94
>「1÷3の場合の0.333・・・」と「余り2/3が無い0.666・・・」を足した場合はどうなるんだ?

これは単純に0.999・・・で余り2/3が残り続けるわけですよね。

>「1÷3の場合の0.333・・・を3で割った0.111・・・」と「1÷9の場合の0.111・・・」はどうなるんだ?

これは共に0.111・・・で余りが1/9残ることになりますよね。

確かに少数の中に分数が出てくる時点でトンデモになるのかもしれませんが

1を3で割ったときのように常に1/3があまり続ける0.333・・・と
そのようなものが無い0.3の後に何も無く3だけが続く0.333・・・が同じなのがわからなかったもので

0.333・・・というものがこの常に1/3があまり続けるものを意味する記号というならわかりますが
1/3が余ることなく0.333・・・と3が続く数字など無いというならわかります。
しかしそうなると0.333・・・+0.666・・・=1で0.999・・・にならないように思うので


100 :132人目の素数さん:2007/06/12(火) 20:05:44
π÷ルート2とかはどうすんだよ

101 :132人目の素数さん:2007/06/12(火) 20:06:44
あ、(ルート2)÷πの方にしよう

102 :132人目の素数さん:2007/06/12(火) 20:12:42
>>99
1/3=0.333...をn桁目で打ち切ったのなら、
余りは1/3ではなく (1/3)(0.1)^n だよ。

103 :132人目の素数さん:2007/06/12(火) 20:23:48
>>102
そういう式もあるのですね。
文系だったものでそのあたりはわかりませんでした。

ただ途中で打ち切ったのでなくずっと数字を続けて言った場合に
計算が続いて3という数字が続いているものと
計算の結果でなく3という数字が続いてるものでは意味が違い
計算の続きとして出ている0.33・・と計算の続きとして出ている0.66・・が足されると1になるのはわかるけど
これが0.99・・になる理由がわからず、
逆に
ただ0.の後に3が続くだけの0.33・・と0.の後に6が続くだけの0.66・・を足すと0.99・・名なるのはわかるけど
これが1になる理由もわからなかったので
ずっと疑問に思えてしまっているんですよね。

1/3で出て来る0.333・・・とただある0.333・・・が同じなのがわかってない。

なに言ってるのかわかってもらえないのですかね・・・

104 :132人目の素数さん:2007/06/12(火) 20:39:55
>>103
普段使われている実数では、少数展開したときに全ての桁で一致している数同士は等しいよ。
実数に「無限桁目」は無いんです。もともと実数はそうなるように作ったものだから。

無限桁目があるような数も作りうるだろうけど、
「どの桁を見ても0しか並んでないのに、全体では実は0ではない」ような数が入ってくるから
多分数学的にとても使いにくくなる。

105 :132人目の素数さん:2007/06/12(火) 20:41:11
本題になっちゃうけど、つまり、0.999・・・=1とすればスッキリ解決するんだろ?

106 :132人目の素数さん:2007/06/12(火) 21:59:11
>>104
なるほど無限桁目の数は実数ではないのですか。
それだとかなり納得できました。
ありがとうございます


107 :132人目の素数さん:2007/06/12(火) 23:04:16
・・これは予想外のオチだな・・

108 :85や104など:2007/06/12(火) 23:16:27
ん?俺の反応が予想外のオチだったの?
最後までなんか変だったのかな?


109 :132人目の素数さん:2007/06/12(火) 23:23:44
あ、いや、106が納得した俺解釈なとこが予想外だったよ。

110 :132人目の素数さん:2007/06/12(火) 23:31:01
そんなことより、
無理数の隣に有理数があるということが理解できないんだよな。
どーなってんだか。

111 :132人目の素数さん:2007/06/12(火) 23:42:47
思いっきり比喩的な表現だな。
任意の無理数qと正数εについてqとq+εの間に有理数がある、くらいの意味じゃない?
εをどんなに小さくとってもこれが成立することを“無理数の隣に”と言っている、と。

112 :84:2007/06/13(水) 20:52:20
>>92
確かに

113 :132人目の素数さん:2007/06/14(木) 20:48:00
>>85 >>91
同じ表現だったら同じ数字に決まってるだろ・・・勝手な理論作るな。
必ず余りがでるって・・・余りがでないように表現したのが無限小数でしょうが。
どうしても余りが出ると思うなら1÷3=0.333・・・を否定しろよ。
なんで0.333・・・と0.333・・・が違うという摩訶不思議な話になるんだ。

3分の1余りがでるってのも意味不明。
1÷3=0.3余り0.1、0.33余り0.01、0.333余り0.001
一体どこの余りに3分の1という数値がでてくるんだ。
ちなみに102のも間違い。(1/3)(0.1)^nじゃなくて(0.1)^n

そんな超基本的なこともわかってないのに無理に難しいこと考えようとするから
わけのわからん理屈がでてくるんじゃないか?

114 :132人目の素数さん:2007/06/14(木) 20:49:53
>>91じゃなくて>>93だった・・・orz

115 :132人目の素数さん:2007/06/15(金) 13:57:39
>>113
質問ですが1に最も近い少数って何になるんですか?
0.999・・・=1なら0.999・・・ではないですよね。
教えてください。


116 :132人目の素数さん:2007/06/15(金) 18:21:35
ありません。
少数じゃなくて小数ね。

117 :115:2007/06/15(金) 18:52:26
>>116
漢字を間違えてました。すいません。

ありません。ってどういうことですか?
0.1より0.9の方が1に近いですよね。

こういうなかで一番1に近づく数字と言うものは無いのでしょうか?
無いならなぜないのでしょうか?

どうしても0.999・・・・が一番近い数字に思えてしまいますよね。
1=0.999・・だから違うんだと言う否定だけじゃなく
なぜ1に一番近い小数と言うものが存在しないのかを教えてもらえますでしょうか?

超基本なことなら教えてもらえると思いますが。

118 :132人目の素数さん:2007/06/15(金) 19:43:03
1にいちばん近い数をp(1>p)とすると、
1=pではないのだから、

1-p≠0

1>1-(1-p)/2>p


119 :115:2007/06/16(土) 10:06:03
>1にいちばん近い数をp(1>p)とすると、
>1=pではないのだから、

はい。わかります。

>1-p≠0

はい。わかります。

>1>1-(1-p)/2>p

上の二つからなんでこの式が出てくるのでしょうか?



120 :132人目の素数さん:2007/06/16(土) 12:49:38
説明するのがめんどくさいから、てきとうに書いてしまってすいません。
最後の式は、
「1にいちばん近い数をpとすると、このように矛盾しますよ」
と示したかったわけです。

121 :132人目の素数さん:2007/06/16(土) 13:42:33
>>120

なるほど。1に一番近い数字を定義つけても、
この式で1に近づく数字が新たに生まれてしまう矛盾が生じてしまうんですね。
非常によくわかりました。
まさに自分が感じてたことです。

0.999・・・という数字が一番1に近い数字だとしたら1-(1-0.999・・・)/2のほうが1に近くなし、
この数字を表現できないですよね。
これは0.111・・・でも何でも同じですよね。

すると無限小数の先に何か数字が出てくるのだろう。
自分はこれをあまりが残るとか言っていたのですが、
無限小数は実数でないと聞いて納得できました。

でもこれが超基本なことなんですか。
超基本とは何から見て超基本なことなのですか?






122 :132人目の素数さん:2007/06/16(土) 14:22:15
>>121
>無限小数は実数でないと聞いて納得できました。

こんな記述あったっけ??

123 :132人目の素数さん:2007/06/16(土) 16:13:24
>>104

> 実数に「無限桁目」は無いんです

>>105

> なるほど無限桁目の数は実数ではないのですか。

と読み違い、さらに>>121

> 無限小数は実数でないと聞いて

とまで発展させてるようだ

124 :132人目の素数さん:2007/06/16(土) 17:01:45
> 実数に「無限桁目」は無いんです

> なるほど無限桁目の数は実数ではないのですか。

違うのでしょうか

また無限桁目と無限小数も違う意味になるのですか?

125 :132人目の素数さん:2007/06/16(土) 17:18:51
全盛期の√伝説

・3の5乗根は当たり前、3の8乗根も
・先頭打者の背番号の√計算を頻発
・√にとっての有理数は無理数のなりそこない
・無理数で買い物も日常茶飯
・底辺9cm高さ100cm、チームメイト全員小学生の状況から1人だけ無理数
・ただの1も余裕で√
・一回の√で9が±3に見える
・富士山で鳴くことが特技
・「円周率」とつぶやくだけでギリシャ数学が泣いて謝った、心臓発作をインド数学も
・√2でも納得いかなければ√3して帰ってきてた
・あまりに便利すぎるから負の数は考えないことに
・その負の数にも拡張
・ライプニッツを一睨みしただけで手回し計算機が完成
・兄は模試で一位でも5浪
・√を使わずに广を使っていたことも
・自分の√を自分で二乗してレーザービームで投げ返す
・人並みにおごることなんてザラ、IT社長並におごることも
・一塁ベース踏むよりも一塁ベースの面積を計算する方が早かった
・対角線を求めようとしたバビロニア人と、それを受け止めようとした古代ギリシャ人、古代インド人ともども√させた
・観客の韓国人のヤジに流暢なユークリッド幾何学で反論しながら√
・グッとガッツポーズしただけでゆとり教育廃止
・自然対数でハリケーンが起きたことは有名
・湾岸戦争が始まったきっかけは単純な√計算のミス
・三角関数から波動関数も処理してた
・ボーリングの球から楽々表面積計算してた
・√計算を用いて世の中に数学的貢献をするというファンサービス

126 :132人目の素数さん:2007/06/16(土) 17:24:50
実数でないとしたら、いったいなんだよ。
複素数か?
数字の表記法だけの話で、なんでこんなに大げさになるの?


127 :132人目の素数さん:2007/06/16(土) 17:30:39
表記法には神が宿るから、だそうだ。

128 :132人目の素数さん:2007/06/16(土) 17:38:25
あ、ああ。
神が宿るならしょうがないな。


129 :132人目の素数さん:2007/06/16(土) 18:30:18
ここの住人の人も実はうまく説明できないのがよくわかりました。
人をバカにしたいだけだってことが

130 :132人目の素数さん:2007/06/16(土) 18:40:21
だって、「無限桁目」とが実数でないことと、「無限小数が実数であること」がなんでイコールで
結ばれるかってのが…分からない。どうしてそんな発想になるんだろ?

131 :132人目の素数さん:2007/06/16(土) 18:56:35
>>130
いつ=にしてますか。
後、「無限桁目」と「無限小数」は別物なのでしょうか?
別物なら、前の人が言っていたように無限桁目は実数でないでいいのでしょうか。または実数に無限桁目は存在しないが、無限桁目は実数に分類されるということなのでしょうか?

132 :132人目の素数さん:2007/06/16(土) 19:00:21
>>90
小学校の筆算のイメージなんだろ?
余り1。0を下ろして、10。3がたって、3*3が9。10から引いて余り1。0を下ろして・・・
忘れなさい、そんなものは。

133 :132人目の素数さん:2007/06/16(土) 19:04:49
無限というのは、ここでは数字がいつまでも続いてるという「状態」を表している。
「ここが無限桁目です」という「位置・場所」を表しているものではない。

「無限桁目」と「無限小数」は別物。
「無限桁目」は存在しないから実数でない。

134 :121:2007/06/16(土) 19:16:35
無限桁目と無限小数は別物だったんですね。
121でいった無限小数は無限桁目と思ってください
どうもありがとうございました


135 :132人目の素数さん:2007/06/16(土) 22:42:39
>>125
イチローコピペか

136 :132人目の素数さん:2007/06/17(日) 20:00:42
>>133
ときどきその辺誤解してる人いるよね。

1÷3=0.333・・・・に余りがあるとしたら
0.000・・・の0が無限に続いた後に最後に1をつけたものになる。
「最後に1をつける」というのは「0が無限に続く」と矛盾する。
無限に続くってのは永久に終わりがないってことだから。
要するに無限小数には「最後の桁」なんてのは存在しない。

どこかに1を入れたら矛盾するのだから何か特殊な理論とか取り入れない限りは
1÷3=0.333・・・の余りは0に等しい、とするしかない。

137 :132人目の素数さん:2007/06/19(火) 01:41:48
のびてると思ったら余り馬鹿の出現か。。

138 :132人目の素数さん:2007/06/20(水) 11:07:51
次スレ(あるのか?)からは、テンプレに、よくある誤解の例も付け加えるか。

139 :132人目の素数さん:2007/06/20(水) 12:19:01
>>136
> 最後に1をつけたものになる

それは違うんじゃないかな。

5÷2=2あまり1
ここで、数字として2の後に1をつけてるわけじゃない。

140 :132人目の素数さん:2007/06/20(水) 18:34:08
>>136
あまりなんかないよ。
qを数字として、

1/3=q

で、いいじゃない。
qと書くか、0.333・・・と書くか、それは好みの問題でさ。
なにもややこしいことはない。


141 :余り馬鹿:2007/06/20(水) 19:39:45
俺が最初に誤解していたのが
1/3の解としての0.333・・・とは別にそれより余り1/3だけ小さい0.333・・・という数字もあるのかなと思ってたんですよ。
無理数としては存在しているんでしょうけど、
無理数・有理数という考えの知らないで、自分の考えを進めていったのでトンデモ理論を展開してしまったんですよね。

多くの人が親切に教えていただけたおかげでいろいろ勉強になりました。

142 :132人目の素数さん:2007/06/20(水) 20:47:10
>>141
今でもわかってないでしょ。
わかりたいと思ってるの?


143 :132人目の素数さん:2007/06/20(水) 21:56:38
>>142
何かまだおかしいですか?


144 :132人目の素数さん:2007/06/21(木) 00:15:16
デカルト座標のグラフ上に置いた任意の点が
整数になるなんてのは、存在しないに等しいってことにも
似ているよね。どんなに1に近づけても、正確に1とは言い切れない。

でも、限りなく1においたその点は、それを1といってしまってなんら問題は無い。

整数の点なんてのは無限小数や無理数の点にくらべれば、ほんのわずかな部分でしかない。
人間は普段、整数ばかり扱っているのに、自然界ではなにかを1と置いた場合でも実際には1なんてのは
存在しないんだよな。

一見すると不思議に思えるよね。

でもこれはある意味、テンプレのような理論で納得するしかないよね。
1という数字を見ると、宇宙の果てまでいってなお0.・・・9999・・・と続けたものの、
代わりなんだと認識するといいんじゃないかなと思うよ。
1は1.00000000000・・・・・でもあり、
まぁ2は1.9999999999・・・・であり、2.0000000000・・・であると考えればいい。

そんな風に思うよ。


145 :132人目の素数さん:2007/06/21(木) 03:38:36
>>143
数学では0.333…と記すと無限小数を表す。
有限小数である事を表す場合は
0.333…3とか0.333…333等と表すべし。

其れと、>>141中の
0.333…より余り1/3小さい
の文は意味が
⇒(0.333…)−1/3
となっている点を正すべき

数列
(0.1^0+)1/3
0.1(=0.1^1)/3+0.3
0.01(=0.1^2)/3+0.33
0.001(=0.1^3)/3+0.333

0.000…1/3+0.333…3

んで、
0.000…(=0.1^∞)+0.333…
と言いたかった訳だろうけど


何か「^」の記号の意味を知らなさそうなので
変になるが上の様に記した

因みに
携帯からの閲覧の場合は
半角表記多用からくる自動的無駄改行の脳内補正を願う

146 :145追補:2007/06/21(木) 03:49:08
因みに0.999…は有理数。だが
0.1^∞は通常0として扱い
0としない場合でも無理数としてさえも扱えない念の為。

無限が絡んできた時点で有限での考え方を流用するべからず。

147 :余り馬鹿:2007/06/21(木) 07:09:18
>>144
>整数の点なんてのは無限小数や無理数の点にくらべれば、ほんのわずかな部分でしかない。
>人間は普段、整数ばかり扱っているのに、自然界ではなにかを1と置いた場合でも実際には1なんてのは
>存在しないんだよな。

そうですね。実世界ではものを作るにしても、長さ100ミリといっても公差がなきゃ絶対に出来ないですしね。
しかし数学の世界ってそんなあいまいさを排除した机上の世界って感じがあったもので
表現できないような差もあってはならないと思ってました。
そしてその表現できないような数字も何かしら表現しているのかと。数式以外で。
でも普通に考えたらそんなこと無理ですよね。


>>145

はい。^の意味を知らないので調べてみます。
自分の考えを数式化までしていただけてうれしいです。
ありがとうございます。

>>146
>因みに0.999…は有理数。

これは0.999・・・は1の別の表示方法,0.999=1だからってことで良いんですよね





148 :132人目の素数さん:2007/06/21(木) 07:21:57
新しい数の集合Ωを考えて
1∈Ω
1'∈Ω

1'=0.99999999999999999999999999999999999999999999...
と考えればいいんじゃん?

149 :132人目の素数さん:2007/06/21(木) 07:24:48
で Ω上の等式記号は〜かななんかを考えて
1〜1' 1=1
とか

150 :132人目の素数さん:2007/06/21(木) 07:27:03
あ、 で Z⊂Ω ということで

151 :132人目の素数さん:2007/06/21(木) 07:28:13
ああ、間違えた C⊂Ω でございます

152 :132人目の素数さん:2007/06/21(木) 11:55:55
>>147
言葉のあやだけど

>表現できないような差もあってはならないと思ってました。

数学的にも差はあってはならないので、引用した表現の部分はまずいと思う
「どこまでいっても言葉や文字では等しさを表現できないけど、その2つに差は無い」って

言った方がいいような気がする。

人間は10進数なんかを崇拝してるから、1/3とかを3回足すという操作を
表現しようとすると、表現できなくなるだけなのだから。



153 :132人目の素数さん:2007/06/21(木) 12:34:29
>>148-149
つ 超現実数

154 :132人目の素数さん:2007/06/21(木) 12:37:29
>>152
「表現できないような差」というより「表現(記号?)も差があってはならない」ですね。
一つの数字は一つの表現しかないと。別にものの呼び名などいくつでもあっておかしくないのに
数学ではそれが無いと思っていたんですよ。
ここでいろいろ話を聞いてわかってきました。



155 :148:2007/06/21(木) 19:40:50
>>153
まんま、パクリでしたね(^^;)
学生時代に習ったのを思い出したのをパクリました

156 :132人目の素数さん:2007/06/21(木) 22:03:08
>>154
だいたい、小学校のときに同じ数である 1 = 2/2 = 3/3 = …

を学習しているじゃないか。なぜそんな考えに至るんだ?

157 :余り馬鹿:2007/06/21(木) 22:41:26
>>156

おお!そうですね。すっかり忘れていたなw

本当になぜそんな思い込みをしたのか。
恥ずかしい限りです・・・

158 :132人目の素数さん:2007/07/06(金) 21:20:38
馬鹿が来るとスレがのびる、
でも面白いのは馬鹿であってもアホなのかアホでないのかでまた結果が違う。
いくら頭の回転がのろくてもまともな思考ならスレは荒れない。
今回は相当のろまな馬鹿だけどそうアホじゃないみたい。

159 :132人目の素数さん:2007/07/08(日) 22:36:29
ちょっと発想の仕方がズレてたとは思うがそんな馬鹿馬鹿連呼せんでも。

160 :132人目の素数さん:2007/07/15(日) 14:09:34
同じではないけど同じと考えた方が都合がいい場合があるってだけの話でスレがこんなに伸びるなんて。

161 :132人目の素数さん:2007/07/16(月) 22:49:51
14,161レス目get
(∵ 重複スレのレスを除く)

162 :132人目の素数さん:2007/07/29(日) 20:58:17
>>160
「都合が良い=そう定義して良い」とか「違う表現でも同じもの」とか、何か皆ひっかかって
いるんだろうな

あげ

163 :132人目の素数さん:2007/07/31(火) 23:56:54
時々、退屈を紛らすために「地球って平らだよね?丸くないよね?」という議論を吹っかける人がいるけど、このスレもそういうスレなんだよね?


164 :132人目の素数さん:2007/08/01(水) 00:03:55
>>162
無矛盾であることの証明は別口で必要だからな。

165 :132人目の素数さん:2007/08/01(水) 00:35:39
>>164
基本的に、そいつは証明できませーーーん。

166 :132人目の素数さん:2007/08/01(水) 01:02:16
>>161
13,161でしょ。

167 :132人目の素数さん:2007/08/01(水) 03:19:39
>>165
ゲーデルの定理があるからな。しかし、だからと言って勝手に定義だけポンと
置いていくわけにもいかない。対象に応じて、ある程度のレベルまでwell-defined
であることを確認しなければならない。たとえば、
何らかの体を構成したなら、それが体になっていることくらいは確認しなければならない。
何らかの写像を定めたなら、それが写像になっていること(=像が一意に決まること)くらいは
確認しなければならない。

168 :132人目の素数さん:2007/08/01(水) 21:03:04
>>166
14.999…スレ目=15スレ目なので
完走を前提にすれば
このスレには14,001番から15,000番迄のレスが収録される筈
(考え方の説明が口説くなるが…
1つ目のスレには、当然だが1〜1000レス収録されるので
例え寝呆けていたとしても!!
各スレ末レスの歴代総計番号は、やはり完走を前提にすれば、
その番号/1000と同じ数[スレ目]、となる末レス番)

…と考えてレスしたのだが…

イッッカアアァァァ〜〜〜ン…

酔いすぎて、考えの自己検証不能!!

補注!!
蕎麦屋で飲む事を、このスレの重複スレで
教えられたんだ。あれは俺ではなく、寧ろこの飲み方の先輩。
みんな!!蕎麦焼酎を蕎麦湯で飲むと、(・∀・)イイ!! ですよ〜!!
但し、蕎麦焼酎蕎麦湯割りの香ぐ合い(と言うか臭味)が
受け付けられない方は勧められない。。。
…が、ツワモノは試してみると宜しいですよ!!

ミイラ取りのミイラ、>>161より。。。

169 :168:酔いどれ:2007/08/01(水) 21:13:28
>>167関連、逸れ話ですが…

ゲーデルさんって、確たる学問的地位を得ていますね、
不可欠な学問的存在。羨ましい。。。
まあ、リアル気違いである事(つまり、バンピーとは思考がズレ過ぎ、と)
は本人も認めていたけどwww

馬鹿と天才は紙一重…どっちしろ気違いwww

以上酔いながらで、大変失礼しました。

170 :132人目の素数さん:2007/08/02(木) 07:25:48
「あと一歩」の極限は「完璧」に等しい

「あと一歩」は、記録にはならない。しかし人の記憶には残る
「完璧」は、記録に残る。しかし記録を見ない人にはほとんど関係が無い

記憶は、思いを人に伝えることができる
記録は、思いを伝えるのははなはだ難しい

数字が出てしまえば、そこに思いはなくなってしまう気がする
数字がないところに、真実があるような、そんな気がするのだ

そして、人は思いの風にのせられて、理想へと近づく

0.999・・・ そこに数学の秘密があるような気がするのだ

171 :132人目の素数さん:2007/08/02(木) 12:23:26
>>169
ゲーデルの最大の友人であり、超天才数学者でかつ人付き合いも無茶良い、ノイマンが
いち早くゲーデルのコト認めたからな。

172 :132人目の素数さん:2007/08/02(木) 13:32:28
Σ((1/n)^k,k=1,∞)=1/(n-1)

∴n進法表示で0.111...と表示される数値は1/(n-1)と等しい

∴10進法表示で0.999...と表示される数値は

9*0.111...=(10-1)/(10-1)=1

173 :132人目の素数さん:2007/08/02(木) 19:54:56
ゆうほうは unkokkokkoko
unkokkokkoko
unkokkokkoko
unkokkokkoko

174 :132人目の素数さん:2007/08/12(日) 15:17:39
Wikipediaに載ってる「理解できない人間はなぜ理解できないのか」の分析が面白いね
完璧な証明をいくら突きつけても駄目な人は駄目なんだなあ

175 :132人目の素数さん:2007/08/12(日) 22:59:20
論理より直感を優先させるからだろ。
パラドックスを知っていると、論理で攻めても何らかのパラドックスではないかと疑う
傾向がある。

176 :176:2007/08/14(火) 19:54:48
1=7-6


177 :132人目の素数さん:2007/08/14(火) 21:19:36
>>74
その記事どこー?

178 :132人目の素数さん:2007/09/03(月) 03:27:03
こんな答えが出る分けねーもん議論してどうするんだ?

179 :132人目の素数さん:2007/09/04(火) 03:27:49
「答え」に対する問いは、
※1=0.999・・・か?
※「1=0.999・・・」を万人に(あるていど知能のある人に)納得させる説明はあるか?
なのか、それとも、ほかの問題なんだろうか

180 :132人目の素数さん:2007/09/04(火) 05:02:35
後者だろ?
前者は必ずしも「1=0.999・・・」とは限らないとテンプレで言ってることだし。


181 :132人目の素数さん:2007/09/05(水) 01:19:59
>>175
むしろ逆。
理解できない人は変な我流論理を持ってて、全ての問題をそれに適合させるから
珍妙な結論が出てくる(何も考えない一般人よりも変な理屈屋のほうが珍説を
唱えやすいのと一緒)。

直感的でいいなら、1/3×3=1なんだから、1=0.999999・・・・・でも
 ま あ 問題ないだろうくらいで済ませられる。

182 :132人目の素数さん:2007/09/07(金) 23:39:53
ここ読んでてふと思い出したんだが、
∞角形は円ではないって群の本には書いていたけど幾何学的には円だよな?
円と∞角形を重ね合わせて相違なければそれ円だろ、って思うだけどさ。


183 :132人目の素数さん:2007/09/08(土) 05:23:40
lim正n角形 =       円
n→∞

184 :132人目の素数さん:2007/09/08(土) 12:04:42
>>182
そういえば、その群の本に0.999…は整数ではないとも書いてあった

185 :132人目の素数さん:2007/09/08(土) 12:19:13
その本どの本?

186 :132人目の素数さん:2007/09/10(月) 05:27:56
>>182
別に∞角形とイコールになるわけじゃあない。
∞角形という表現自体アレだが。

187 :132人目の素数さん:2007/09/11(火) 00:12:30
1.2999999…を分数で表現する。

x = 1.299999… 式(1)  xは分数で表現される変数とし、このようにおく

両辺10倍する。

10x = 12.999999… 式(2)

式(2)と式(1)の差をとる。

9x = 11.7

両辺を9で割り、分母と分子に10分の10(つまり1)を掛ける。

x = 117 / 90

分母と分子を9で割る(約分)。

x = 13 / 10

x = 1.3

つまり、1.29999999999…と無限に続くならば、1.29999999999…は1.3である。

無限に続くからこそ差をとることで、スッキリさせることが出来るところが
この考え方のポイントであり、無限に続くならば0.99…も1であると断言できるのである。
表記上に人間には到底想像しえない違いが発生するのは、10進法のしがらみみたいなもの。

この方法で0.99999…を分数にすると、簡単に結論に至る。お試しアレ。

188 :132人目の素数さん:2007/09/11(火) 00:29:11
いまさらそんなのお試しあれって言われてもなあ。
それで納得できない人が山ほどいるから
このスレがこんなに続いてきたんだがな

189 :132人目の素数さん:2007/09/11(火) 00:30:01
0.333… +0.333… +0.333… を

上の桁から足して、0.999…とするのは、俺は計算方法を誤っていると思う。
上から足していくのはあくまでも正確に近似するための一つの手法でしかない。
正確に近似しているから結果は正しいが、上から足していくということ自体は
理解する上で、あまりオススメできない。

正確には
0.333… +0.333… +0.333… = 1
となるように
0.333…を分数表記にしてから足す方が、スムーズな理解を生むような気がする。

まぁどっちにしても>>187で0.999…は1であることを証明できるのだから、
計算方法は近似による手法であるが、結論は正しくなってしまうけれど。

190 :132人目の素数さん:2007/09/11(火) 00:45:59
「正確に近似」・・・・ なんだそりゃ。
経験上、1=0.999... の議論で近似という単語を持ち出す奴は
どうしようもないことが多い。

191 :132人目の素数さん:2007/09/11(火) 00:49:31
0.333… +0.333… +0.333…を上の桁から足して
0.999・・・を得ても計算上何の問題もありません。
近似とかじゃなく、全く持って正確な計算です。

192 :132人目の素数さん:2007/09/11(火) 05:32:23
経験上、

x=0.999…
10x=9.999…


とやって証明をしようとする奴は、どうしようもないことが多い。

193 :132人目の素数さん:2007/09/11(火) 07:55:45
経験上、両者は五十歩百歩。≒。

194 :132人目の素数さん:2007/09/11(火) 07:58:59
正確に近似ってw
また新たなタイプのバカが登場か。飽きないな。

195 :132人目の素数さん:2007/09/11(火) 12:23:02
上から足していったら、近似計算だからあってんじゃね。

無理数を上の桁から足し合わせても近似でしょ。

196 :132人目の素数さん:2007/09/11(火) 12:37:19
1=0.999…か1≠0.999…かは詰まりm→∞で
0.999…=納n=1〜m](9*0.1^n)と考えた時の
0.1^m(=1−0.999…)を、
普通の極限の考え方はさて置き0とするのか或いは別個に扱うのか
という事と同じ問題になるんだが
二つの異なる扱い方は論理的に独立な訳で
どちらが正しいのかという問いは決定不能…

と言ってみたがこれも散々既出!

197 :132人目の素数さん:2007/09/11(火) 12:44:04
0.999…=納n=1〜m](9*0.1^n)
と定義した場合の
0.1^m(=1−0.999…)
と、
「mを無限に大きくする場合の 0.1^m の極限値」
では、意味が異なるぞ。

198 :132人目の素数さん:2007/09/11(火) 12:46:30
あ、ちょっとまぎらわしいかな。
0.1^m の極限値と 1−0.999… を、単にイコールで結ぶのはおかしい
と言いたかった。

199 :132人目の素数さん:2007/09/11(火) 12:48:32
0.333… +0.333… +0.333…を上の桁から足して
0.999....としてよいことは容易にわかる。
手法として上の桁から足すことで0.9999....にするのは確かにセコイ感じはする。

足したら、あきらかに1なのに、わざわざ0.9999..って記述するんだから



200 :132人目の素数さん:2007/09/11(火) 20:18:44
>>195
>上から足していったら、近似計算だからあってんじゃね。

んなわけない。どこか途中の桁でやめるなら近似だが。

>無理数を上の桁から足し合わせても近似でしょ。

途中の桁で止めるからね。

201 :132人目の素数さん:2007/09/11(火) 20:19:13
>>198
おかしくないよ。

202 :132人目の素数さん:2007/09/11(火) 20:51:45
テンプレのA7のEってよくわからないんだけど、「比較」って何?
0になったり9になったりってどういう風に考えたらいいの?


203 :132人目の素数さん:2007/09/11(火) 21:45:59
>>202
小数点以下の各桁の数字が9にならず、かつ、0.9999・・・・と1の間の
数を提示できるか?という問題。

204 :202:2007/09/11(火) 23:05:29
書き方が悪かった。Eが示そうとしている意図はわかる。
けど、1と0.999・・・の各桁に対して行う「比較」ってどういう操作なの?


205 :132人目の素数さん:2007/09/12(水) 10:05:30
>>197
>「mを無限に大きくする場合の 0.1^m の極限値」
⇒lim[m→∞]0.1^m
これは>>196中の総和式に含まれている。
つまり総和式で0.1^mも0.999…も両方定義されている。
文が途切れていない事から
別個に「mを無限に大きくする場合の 0.1^m の極限値」と
定義された0.1^mではない。

同じく文が途切れていない事より、この0.1^mと0.999…を用意した上で
『0.1^m(=1−0.999…)』と記されているので間違いでない。
また、『普通の極限の考え方はさて置き』と述べられている点に注意。

206 :132人目の素数さん:2007/09/12(水) 10:55:00
>>205
196中の総和式は、和の結果の極限であって、足される要素の極限じゃないだろ。


207 :132人目の素数さん:2007/09/12(水) 22:18:40
正しくは、0.999... = lim[m→∞]( 納n=1〜m](9*0.1^n) )

208 :132人目の素数さん:2007/09/13(木) 00:03:52
>>204
0.999・・・より小さくないかどうかの確認。
つまり、各桁は1,2,3,4,5,6,7,8と比較して9でなければならないことが分かる。

209 :205:2007/09/13(木) 00:10:18
>>206-207
補正感謝
最初からそう書けば良かったか

210 :202:2007/09/13(木) 20:56:12
俺頭良くないんで>>208が言おうとしてることがよくわからねー。
思考を盗聴する能力がまじ欲しいと思ったよ。

>各桁は1,2,3,4,5,6,7,8と比較して9でなければならないことが分かる。
「比較」って操作が対象とするのは「1,2,3,4,5,6,7,8」だけなの?


211 :132人目の素数さん:2007/09/13(木) 22:59:11
>>210
それ以外に何かある?

212 :132人目の素数さん:2007/09/13(木) 22:59:41
あ、0か。正しくは0,1,2,3,4,5,6,7,8ね。

213 :202:2007/09/14(金) 22:20:06
14.999から見始めたんだけど>>2-6のテンプレってここの人たちに認められてるん?
>>4のA7の@Bは俺には同じに見えるんだが、敢えて別記する意図がわからない。

Eの「比較」もよくわからんし、A7の「初等的手法」を考えた人に解説して貰いたい気分だ。


214 :132人目の素数さん:2007/09/14(金) 22:52:11
初等的ってことは、ある程度直感的でもいいんだよな?
なら「比較」って操作は「各桁ごとに数字を付き合わせる」ってことでいいんじゃないか?

215 :132人目の素数さん:2007/09/15(土) 16:24:42
>>213
要するにより厳密な証明は別にあるわけだ。
1=0.999…なんて、実数について厳密に定義しちゃえばまあより簡単に証明できちゃうコト。

それを敢えて「厳密さ」って観点から見て複雑な手法を採るかというと…
「わかりやすさ」に他ならない。

「比較」は桁ってのを定義して、各桁毎に大小を比較するんだろ。

216 :132人目の素数さん:2007/09/17(月) 00:05:16
0.9と1の間なら0.9で始まるしかないし、0.99と1の間なら0.99で始まるしかないし…でいいんじゃない?あとはせいぜい10倍して比較して…を繰り返す程度。

217 :202:2007/09/17(月) 01:24:12
>>216
そうゆうことか! すげー納得した。
ようやくすっきりしたよ。ありがとー。


218 :132人目の素数さん:2007/09/17(月) 06:58:22
0.99999・・・=aとする
1>aとすると
1>(1+a)/2>a
すると1+a/2は?0.999・・・なので(1+a)/2=a
これはa=1になってしまい矛盾。

219 :132人目の素数さん:2007/09/17(月) 17:00:58
0.999・・・の定義がはっきりしてないから、
「0.99と1の間・・を続けたものが 0.999・・・ なのか?」
っていう疑問は残るな。
0.333・・・を3倍したのが 0.999・・・ 、っていうのと同じレベルくらい。

220 :132人目の素数さん:2007/09/17(月) 22:00:11
定義したらそこで終わるからそれ以上の証明の必要がなくなる。

221 :132人目の素数さん:2007/09/18(火) 00:35:56
みなさん、1−0.999・・・

という議論をしていますが、そもそも有限の値から有限でない値の引き算をしていいのでしょうか??

222 :132人目の素数さん:2007/09/18(火) 00:38:05
0.999・・・が無限だとでもいうのかい?

223 :132人目の素数さん:2007/09/18(火) 05:09:42
9は無限だな

224 :132人目の素数さん:2007/09/18(火) 17:08:00
1 - 0.9 = 0.1
1 - 0.99 = 0.01
1 - 0.999 = 0.001


と言うふうに差の末項に1がつく
じゃあ9が無限に続いた場合、差の末項1は何処かに入るのか?

否、末項が無い為、「1」はどこにも入れない。
詰まり、「1 - 0.999... = 0」 であり。
「0.999... = 1」である。


という電波を受信したんだが、問題として間違ってる?

225 :132人目の素数さん:2007/09/18(火) 17:11:15
1-0.9999...=0.0000...じゃないか?
0.000...=0ならあってるだろうけど

226 :132人目の素数さん:2007/09/18(火) 17:27:24
電波の補足

1 - 0.9 = 0.1 = 1/10
1 - 0.99 = 0.01 = 1/100
1 - 0.999 = 0.001 = 1/1000
       ・
       ・
1 - 0.999... = 1 / 無限 = 0


結局
「1 / 0 = 無限」という定義がいるな……

227 :132人目の素数さん:2007/09/18(火) 17:29:17
>>225
そこは省略してもいいんじゃない?

228 :132人目の素数さん:2007/09/18(火) 17:34:39
>>221の「有限でない値」が無限小数のことだとして、
「有限の値から有限でない値の引き算をして」はいけないのなら、
有理数からπや平方根を引くことは出来ない。
また循環小数も引けないから、1/3や1/7すら引けないことになる。

つまりは馬鹿な問いということだ。


229 :132人目の素数さん:2007/09/18(火) 20:00:22
>>226
その通りだな。1/0が無限という謎が残る。

230 :132人目の素数さん:2007/09/18(火) 20:43:48
激しく議論してるけどさ、どんな形でも
最後は、
1の=は1じゃねーの?
それ以外はないだろ


いや、厨だが

231 :132人目の素数さん:2007/09/18(火) 20:53:29
>>230
1=2/2 ってのは厨でも理解できるだろ?

232 :132人目の素数さん:2007/09/18(火) 22:59:53
>1 / 無限 = 0
って、極限初めて習った当時かなり抵抗あったな。

判別不能なら多少の差は無視してもいいのかよ!
1 / 10 が観測不能な精度ならこれも 0 かよ! とか。


233 :132人目の素数さん:2007/09/18(火) 23:14:41
極限って別に差を無視するわけじゃないから。
「近づいていくその先」を表すだけなんだがな。
1/∞ってのは便宜上の表記であり、∞という数があるわけではない。

任意のnに対して 1/n ≠ 0 だが lim[n→∞](1/n) = 0 は真。
別に差を無視しているわけでもなんでもない。

234 :132人目の素数さん:2007/09/19(水) 02:52:33
0.9999・・・=1

9が「無限」につづく、つまり
1にかぎりなく近づくのである。

もし0.999・・・≠1
とすると0.999・・・と1
の間に穴があいてることになる。

実数の連続性により それはない つまり
 0.999・・・=1
同じ数を2通りの表記であらわしているだけである


235 :132人目の素数さん:2007/09/19(水) 07:34:57
1に限りなく近づくとは
a_n=Σ9*10(^-k)
∀ε>0 ∃N>0 n>N→|a_n-1|<δ

236 :132人目の素数さん:2007/09/19(水) 08:52:01
>9が「無限」につづく、つまり
>1にかぎりなく近づくのである。

0.999...が1に限りなく近づくんじゃない。
1に限りなく近づくのは数列a_n=Σ9*10(^-k)
0.999... はこの数列a_nの極限値つまり近づく「その先」

0.999...自体が動いているかのようなイメージを持ってたら捨てるべし。

237 :132人目の素数さん:2007/09/19(水) 11:18:40
>>235
εとδのどっちかにしとけ。細かいツッコミだけど。

238 :132人目の素数さん:2007/09/21(金) 00:48:28
>>232
1/10が観測不能な精度なら0だよ、と化学屋の俺が申しております。

239 :132人目の素数さん:2007/09/21(金) 00:53:12
化学屋じゃなくても、みんなそう思ってる。

240 :132人目の素数さん:2007/09/21(金) 09:13:07
>>238
天文学なら1光年ですら0になる。

241 :132人目の素数さん:2007/09/21(金) 12:09:39
「すべての奇数は素数である」みたいなやつか。

242 :132人目の素数さん:2007/09/22(土) 00:30:24
そもそも1/10が観測不能な精度
という表現よくわからん。

243 :132人目の素数さん:2007/09/22(土) 01:35:47
>>242
0.01まで測定可能な器具だと、0.001の誤差は観測不能じゃん。
そういうことじゃね?

244 :132人目の素数さん:2007/09/22(土) 01:56:58
目盛の1/10まで読め、とかいう話?

245 :132人目の素数さん:2007/09/22(土) 10:07:03
ノギスの墓…

246 :132人目の素数さん:2007/09/22(土) 23:50:59
まあ亀かつ直感的に思っただけなんだけども
>>182
角の数が加算無限個しかないということではないだろうか
円は非加算個ありそうだし

247 :132人目の素数さん:2007/09/23(日) 01:24:25
何の説明もなく∞角形といわれてもなあ

248 :132人目の素数さん:2007/09/23(日) 10:29:14
正n角形は回転nと表裏2で位数2nで、
円は回転2πと表裏2で位数4π。

lim[n→∞]正n角形≠円だ!と言いたいところだけど詳しい人フォロー頼む。

249 :132人目の素数さん:2007/09/23(日) 10:38:03
>円は回転2πと表裏2で位数4π。
こっちの位数はどういう意味?

250 :132人目の素数さん:2007/09/23(日) 16:21:34
複素平面において、
S={単位円を作る点の集まり}⊂C
A_n={正n角形を作る点の集まり。ただし頂点はe^(2πki/n),k=0,1,…n−1}⊂C
とおく。Anについて、集合の極限としてのlim[n→∞]An は存在しない。よって特に、
集合の極限として、lim[n→∞]正n角形=円 という式も成り立たない。

一方、ジョルダン閉曲線 f:[0,1]→C及び fn:[0,1]→Cを
f(x)=e^(2πix)
fn(x)=( Im(f)=Anとなるように適当に定める。さらに、fn(x)がAnを進むスピードが一定になるようにする。)
として定める。ここで、X={f:[0,1]→C|fは連続}とすれば、Xにsupノルム||・||を
入れることにより、(X,||・||)はバナッハ空間となることが分かる。特にfn,f∈Xであり、
||・||による極限についてlim[n→∞]fn=fが成り立つ。すなわち、||・||による極限について
lim[n→∞]正n角形=円 が成り立つ。

結局、対象をどう見るかの問題にすぎない。

251 :132人目の素数さん:2007/09/24(月) 20:37:20
何年、この話題は続いてるんだ?

252 :132人目の素数さん:2007/09/24(月) 20:40:32
中学あたりで1=0.9999..を始めて知る人間の数は大体同じだろう

253 :132人目の素数さん:2007/09/24(月) 20:41:36
数学を勉強する人間が生まれてこなくなるまでじゃないのか?

254 :132人目の素数さん:2007/09/24(月) 21:01:18
∞を扱うのは有限を扱うより難しいんだよな・・・
有限の値ならそれぞれすべてに対し、力ずくで一つずつでも証明していけばそのうち終わるけど
(計算が膨大ならコンピューターにやらせりゃいい)
無限の概念を含む証明はそういう方法じゃ決して終わらないしな。

いい加減に考えるとはるか昔からの論
「アキレスは亀においつけない」だの「歩いて扉にたどりつけない」だのおかしなことになってくる。

255 :132人目の素数さん:2007/09/25(火) 00:20:18
いっそのこと、無限の概念を扱わないようにしたらどうだ?

集合論が破綻したのもそこだし…何か問題あるんか?

256 :132人目の素数さん:2007/09/25(火) 00:50:53
いや「無限に繰り返し操作ができる」のを前提にすることで上手くいくこともあるわけで。
どんな数でも、それに1を足した大きい数があるとか、それを2で割った数があるとか。
無限を扱わないなら、逆に、そういう操作が「どこかで止まる」ことを規定する必要がある。

257 :132人目の素数さん:2007/09/26(水) 01:14:47
なんでオマイラ超実数でおきらくに過ごそうとしないの?

258 :132人目の素数さん:2007/09/26(水) 06:34:14
実数を越える前に色々とやっておきたいことがあるから

259 :132人目の素数さん:2007/09/26(水) 22:14:39
>>196改め、の試行壱
1=0.999…と1≠0.999…と何れなのかは

{0.999…=納n=1〜m](9*0.1^n)と考える事を了承した時}&
{m→∞}&{1-納n=1〜m](9*0.1^n)=0.1^m}
である時の0.1^m

…と回り口説くお膳立てしたが、要するに二つの同時進行数列
壱、0.9,0.99,0.999,…
弐、0.1,0.01,0.001,…
で数列壱が0.999…の時の数列弐の項を、
普通の極限法はさて置いて0とは同一に扱うのか或いは別個に扱うのか
という問題と同じなんだが、二つの異なる扱い方は論理的独立で
何れが正しいのかという問いは決定不能…

と言ってみたがこれも散々既出!

補追
…と改編してみたが、そもそも
『>普通の極限法はさて置いて』と元レスにある事から
指摘>>206は気にする必要無かったかな。
特に今回はlim表示を止めた。確かlim表示無しの無限数列総和式は

極限法の上での話題で正式には省略するべきでないlim表示を
宜しく省略していた訳で必ずしも和の極限とは限らない筈。

260 :132人目の素数さん:2007/09/26(水) 22:34:23
まあ、少なくとも有限値(∈¬{∞^±1})内値域に於いては
1=0.999…且つ1=0.999…は確実。

値域、と断っているので除数0的不能な値域とか言う意見は
本レスに関してはお断り

261 :260訂正:2007/09/26(水) 22:35:42
まあ、少なくとも有限値(∈¬{∞^±1})内値域に於いては
1=0.999…且つ1-0.999…=0は確実。

値域、と断っているので除数0的不能な値域とか言う意見は
本レスに関してはお断り

262 :259:2007/09/26(水) 23:07:25
まだ穴があった。
>>259中『>0.999…の時の数列壱の項』
これはイカンかも知れない。

263 :132人目の素数さん:2007/09/26(水) 23:26:22
つうかいまだに言いたいことがわからない

264 :132人目の素数さん:2007/09/27(木) 01:21:43
とりあえず「オレ様理論」を読んで欲しいなら、きちんと定義をして、
ふつうの数学の極限値と紛らわしい書き方はやめれ。

265 :132人目の素数さん:2007/10/01(月) 18:17:16
突然ですが、質問してよろしいですか?
>>2-6を読んだのですが、2に「1=0.9999…」であるとした方がメリットがある。
という意味のことが書かれてありますが、「1≠0.9999…」としたときの
デメリットとは、具体的に何ですか?
(正確には1≠0.9999…となる前提条件を採用した時の、です)

266 :132人目の素数さん:2007/10/01(月) 18:19:55
1=0.9999・・・ではないとしたときのデメリット
高校からやってきた微分の概念や、大学で習うコーシー列、ε-δなどを、また1から考えねばならなくなる(めんどくさい)

267 :132人目の素数さん:2007/10/01(月) 18:43:17
つまり、一番スタンダードな数学の観念でいけば、1=0.999…は当然ということですか。

1≠0.999…にしようとすると、学校で習ったような数学の観念をいろいろこわさねばならないと…

268 :132人目の素数さん:2007/10/01(月) 18:51:58
>>267
大体、1/3が少数では厳密に表現できなくなるではないですか!


269 :132人目の素数さん:2007/10/01(月) 19:18:26
もともと厳密に表現はできないような気も

270 :132人目の素数さん:2007/10/01(月) 19:39:47
>>269
なんでやねんw

1=0.999… が厳密に正しいなら、 当然 1/3=0.333… が厳密に正しい言えなきゃ片手落ち。

271 :132人目の素数さん:2007/10/01(月) 20:41:30
>>270
「 1=0.999… が 厳密に正しいなら 」

272 :132人目の素数さん:2007/10/01(月) 21:36:16
[1] 1/3 = 0.333... は納得できて 1=0.999... は納得できない人
筆算が永遠に続いていくのを無限のイメージと同一視している。
しかしその場合0.333...はあくまで「動いている」存在であって、
近づいていくその先=極限というイメージが持てていない。
極限習ったら納得して卒業していく人も結構いる。

[2] 1/3 = 0.333... も納得できない人
あまりいないけど、誤差だとか近似値だとか言い出すのはこの辺の人。
「でも厳密にはちがうんだろ」とか言いたがる。
個人的には付ける薬はないと思っている。

273 :132人目の素数さん:2007/10/01(月) 21:55:36
>「でも厳密にはちがうんだろ」とか言いたがる。
どのくらい違うのか聞いてみる。おそらく、
「0.000…だけ違う」
あるいは
「0.000…0001だけ違う」(無限桁目に相当する概念を持ち出す)
という答えが返ってくる。
前者の場合は、「では、(0.000…)/2という数の小数展開はどうなる?」と聞いてみる。
後者の場合は、
a=0.000…9999 (有限桁目は全て0で、無限桁目は途中まで全て9)
b=0.000…0001 (最後の1以外は全ての桁が0)
とおき、a+b=0.000…0000=0となってしまうことを指摘する。

この後は知らん。

274 :132人目の素数さん:2007/10/01(月) 22:02:35
>>273
0.000…9999 なんてものは無い。
0.000…0001 はものすごく小さいから何倍しても 0.000…9999にはならん。

とか言われたら?

275 :132人目の素数さん:2007/10/01(月) 22:04:33
だから「0.000・・・」だけ違うんだろ?
(0.000・・・)/2が0.000・・・以外になるとでも言うつもりか?

276 :132人目の素数さん:2007/10/01(月) 22:09:52
まず「小数展開したとき、全ての桁が一致する二数は等しい」
というのに同意させれば話が多少スムーズに行く希ガス

277 :132人目の素数さん:2007/10/01(月) 22:13:10
>>274
「0.000…0001」を持ち出す奴は、0.999…のことを「0.999…9999」だと
思っているはずだから、0.000…9999 という数を否定することは無いと思う。
もし0.000…9999を否定するのなら、「0.999…9999」に書いてある、
”無限桁目”に並ぶ無限個の9は何なのか、と聞いてみる。

>>275
(0.000・・・)/2=0.000・・・ならば、両辺2倍して移行して0.000…=0となってしまうぞ、とか。

278 :132人目の素数さん:2007/10/01(月) 22:28:29
a=0.000…9999
b=0.000…0001

a+b =0.000…1…0000

なので問題なし。

279 :132人目の素数さん:2007/10/01(月) 22:33:51
>>278
aの方は、無限桁目を全て9にしてあるから、途中で1が出てくるのはおかしい、とか。
あるいは、その計算が正しいのなら、
0.999…9999+0.000…0001=0.999…1…0000≠1
となっておかしい、とか( 注:無限桁目を信じる人は、0.999…9999+0.000…0001=1だと思っている )。

280 :132人目の素数さん:2007/10/01(月) 22:57:04
0.999…9999+0.000…0001=0.999…1…0000≠1

となるのは、0.999…9999 が 0.999…0…9999 だから。

足して1になるのは 0.999…9…9999 と 0.000…0…0001

281 :132人目の素数さん:2007/10/01(月) 23:00:36
中途を展開して
.000…0099…9999
.000…0000…0001
の和
.000…01

結局、無限小の内に終始

282 :132人目の素数さん:2007/10/01(月) 23:01:23
>>280
>0.999…9999 が 0.999…0…9999 だから。
俺が書いた「0.999…9999」は、0.999…0…9999のつもりではなくて、0.999…9…9999のつもりなのだが、とか。
あとは、0.999…9…9999+0.000…0…0001=1なのであれば、
x=0.000…9…9999
y=0.000…0…0001
とすればx+y=0になる、とか。

283 :132人目の素数さん:2007/10/01(月) 23:03:10
>>281
>中途を展開して
>.000…0099…9999
0があるのは有限桁目のみと書いたはずだが。よって、中途を展開しても
0.000…999…9999であり、どこを見ても「…0009999…」という場所は
存在しない、とか。

284 :132人目の素数さん:2007/10/01(月) 23:51:21
>>271
だから、1=0.999…とするメリット論じて居るんだろ?

1/3 も 1/6 も すべてばっちり正確に少数展開できるという結構なメリットがあるということ。
当然、認めなきゃそのメリットは不要だがね。

285 :132人目の素数さん:2007/10/02(火) 00:04:40
デメリットの話じゃなかったか?

286 :132人目の素数さん:2007/10/02(火) 08:25:18
循環する小数は有理数であるというのを認めれば
0.999・・・・は循環する小数なので、有理数である
すると、1しかありえない。

287 :132人目の素数さん:2007/10/02(火) 08:37:29
>>265 の質問したものですが、
1=0.999…としたほうが楽で便利だ、と気づいたところで納得しました。
ゼロとか負の数とか虚数も、認めた方が便利だ、という理由で認められた歴史がありますよね。

1≠0.999…を主張する人は、何か実用的な理由はあるんでしょうか?
気分的に受け付けない、とかでしょうか。

288 :132人目の素数さん:2007/10/02(火) 08:43:12
1=1.0000000000000000000000・・・
である
1=0.999999999999999999999・・・
でもある。
無限には「終り」とか「末尾」は無い。
「無限」に潜むパラドクス。
論理的に少しでも矛盾する場合、数学では認められない。
1=0.99999999・・・ではないと思ってるひとは
言葉ではうまく表現できない、なんらかの「暗黙の仮定」を持っていると思われる
こうなるべきだ、こうなるはずがない。

289 :132人目の素数さん:2007/10/02(火) 15:06:49
1より小さい数のうちで、最大の数を0.999・・・と定義する。
0.999・・は1より小さいので
1>0.999・・・であり、1=0.999・・・にはならない。


290 :132人目の素数さん:2007/10/02(火) 17:21:18
>>289
そのような定義を作る理由と目的は?

291 :132人目の素数さん:2007/10/02(火) 19:13:47
.999…<1.999…/2<1
1未満の最大数という数は自然数論上無い。

292 :132人目の素数さん:2007/10/02(火) 19:19:19
.999…<1.999…/2<1
これが間違い
1より小さくて最大の数が0.999・・・なので
1.999.../2はそもそも数じゃない。

293 :132人目の素数さん:2007/10/02(火) 20:30:52
演算が出来ないのか?
それは「数」と呼べるものなのか?

294 :132人目の素数さん:2007/10/02(火) 21:07:29
自然数には1より小さい数は無いよな

295 :132人目の素数さん:2007/10/02(火) 22:42:36
そもそも数じゃないw

296 :132人目の素数さん:2007/10/02(火) 22:53:58
>>291,294は何で自然数の話をしてるんだ?

297 :294:2007/10/02(火) 23:45:59
>>296
>>291に聞いてくれ。

298 :132人目の素数さん:2007/10/03(水) 12:37:56
x<1という領域を考える
x=tは、tが増えていくにつれ、1に近づくであろう
t=2になったら、x=2になるであろう。
x<1という範囲では、tが増えていくにつれ
x=0.9,x=0.99,x=0.999・・・と増えていくであろう。
t=2になったとき、x<1という領域は超えているので、x=0.999,x=0.9999,x=・・・と増えていくのは終わったのであろう。
終わったということは、最後があっただろう。
x<1という範囲なので、間違いなくx=1が最後ではない。
最後はあったのに、最後はなかった?これはいったいどういうことであろうか

299 :132人目の素数さん:2007/10/03(水) 14:25:10
数学では、「増えていく」という状態を漠然と考えることはできない。
どういうステップで増えていくのかを、コンピュータプログラムのごとく定義して
数列などを使って表現する必要がある。

300 :132人目の素数さん:2007/10/03(水) 23:48:38
>>299
その「数学」では、0.9 + 0.09 + 0.009 + ・・・ を繰り返すといずれ 1 になるの?
コンピュータでは故障でもしない限り、1未満にしかならないと思うんだけど、
どういうアルゴリズムを与えたらコンピュータで計算できるのかな。

301 :132人目の素数さん:2007/10/04(木) 00:00:46
>>300
「コンピュータプログラムのごとく」
=「例えるならコンピュータのプログラムのように」
≠「コンピュータのプログラムで実際に」

>>298
「増えていく」とはどういうことなのか、曖昧なまま記述しているから
そういうことになる。

302 :132人目の素数さん:2007/10/04(木) 00:15:07
>>301
>「コンピュータのプログラムで実際に」
の述語はなに? 「計算できない」が続くの?

コンピュータでは計算できないという意味か?

303 :132人目の素数さん:2007/10/04(木) 00:35:34
なにこの噛み合わない会話

304 :132人目の素数さん:2007/10/04(木) 00:43:04
>>302
「コンピュータプログラムのごとく定義する」
=「コンピュータのプログラムのような、厳密な定義を与える」
≠「コンピュータのプログラムで実際に定義する」

305 :132人目の素数さん:2007/10/04(木) 00:53:40
>>301
厳密な定義がコンピュータのプログラム上では定義できないのはなぜ?
それって本当に厳密なの? 人間ほど曖昧に解釈してくれないぜ、コンピュータは。

306 :132人目の素数さん:2007/10/04(木) 01:08:22
>>305
じゃあ、ε−δ論法をコンピュータのプログラム上で定義してくれ。
ε−δ論法を知らないのなら、勉強してから出直して来い。

307 :132人目の素数さん:2007/10/04(木) 01:13:36
つまり>>306がεδをプログラムに転用できないってだけの話だったのかな。
ってかそもそも>>299がプログラムなんて言葉を持ち出すから>>306みたいなのが出てくるんじゃね?

釣られる>>306も知らない分野に首を突っ込むのはどうかと思うが。

308 :132人目の素数さん:2007/10/04(木) 07:55:23
>>300
有効桁数より大目に演算し、結果を有効桁数で四捨五入(というか0捨1入)する処理系だと
1になるんじゃないのか?

309 :132人目の素数さん:2007/10/04(木) 09:47:00
有限回の加算じゃ1にはならないと言ってるだけだろう。
コンピュータでできるのはたかだか有限回の演算だと言いたいだけなんじゃないのか?


310 :132人目の素数さん:2007/10/05(金) 21:23:05
擬似極限プログラムなんてあったらいーな

計算に応じて桁を多目に

…カオス系にゃ不適合だろうけど

311 :1-0.9dot=0:2007/10/12(金) 22:21:19
其処まで言うのなら、どうせなら
解析学を用いた仕事の全てをコンピューターに委ねたい。

312 :132人目の素数さん:2007/10/17(水) 17:20:38
平行線が無限遠で交わる系と、交わらない系を、
同一のプログラムで解析する?

313 :132人目の素数さん:2007/10/28(日) 05:54:47
age

314 :132人目の素数さん:2007/10/30(火) 14:56:38
判断させて分岐

315 :132人目の素数さん:2007/11/11(日) 15:20:24
0.333...=1/3
0.333...*3=1/3*3
0.999...=1

これを認めてしまったら
0.999...-0.999...=1-0.999...
0=0.000...1
0=1/∞
0*∞=1/∞ *∞
0=1

0=1になってしまうぞ!!!

316 :132人目の素数さん:2007/11/11(日) 15:22:14
もうこの馬鹿飽きた。

>0=0.000...1
その1は何桁目?

317 :132人目の素数さん:2007/11/11(日) 15:35:40
いや、その理屈はおかしい
      ,. -──- 、
    /   /⌒ i'⌒iヽ、
   /   ,.-'ゝ__,.・・_ノ-、ヽ
   i ‐'''ナ''ー-- ● =''''''リ      _,....:-‐‐‐-.、
  l -‐i''''~ニ-‐,.... !....、ー`ナ      `r'=、-、、:::::::ヽr_
   !. t´ r''"´、_,::、::::} ノ`     ,.i'・ ,!_`,!::::::::::::ヽ
   ゝゝ、,,ニ=====ニ/r'⌒;   rー`ー' ,! リ::::::::::::ノ
    i`''''y--- (,iテ‐,'i~´ゝ''´    ̄ ̄ヽ` :::::::::::ノ
    |  '、,............, i }'´       、ー_',,...`::::ィ'
 ●、_!,ヽ-r⌒i-、ノ-''‐、    ゝ`ーt---''ヽ'''''''|`ーt-'つ
    (  `ーイ  ゙i  丿   ;'-,' ,ノー''''{`'    !゙ヽノ ,ヽ,
    `ー--' --'` ̄       `ー't,´`ヽ;;;、,,,,,,___,) ヽ'-゙'"
                   (`ー':;;;;;;;;;;;;;;;ノ
                    ``''''''``'''''´

318 :132人目の素数さん:2007/11/11(日) 16:32:54
>>315
∞を両辺にかけてはいけません

319 :132人目の素数さん:2007/11/11(日) 23:03:53
お前らはほんっとに救いようの無いバカ共なんだな。
1/3は絶対に3等分される事は無いし、1=0.999....ではあり得ない。

数学的にいうと、
12進数で考えて4で割った個数とはちがうだろ?
偶数を奇数で割り切ろうとしてる時点で頭悪いし、
答えなんて得られないよ。

320 :132人目の素数さん:2007/11/11(日) 23:13:58
10進数に対して12進数は1.2倍。
そこで10進における3を1.2倍しても3.6にしかならず、
12を3.6で割った場合、答えは3.3333....
12を4で割った場合の3にはならない。

321 :132人目の素数さん:2007/11/11(日) 23:16:04
全角と半角が混ざりすぎです><

322 :132人目の素数さん:2007/11/11(日) 23:16:36
>1/3は絶対に3等分される事は無いし、
日本語でおk
定規のメモリと睨めっこしても、0と1の間にある1/3の点を見つけることは
できないが、メモリ無しの定規とコンパスを使えば完全に見つかる。

>1=0.999....ではあり得ない。
ならば1−0.999…はいくつになるのか?

>12進数で考えて4で割った個数とはちがうだろ?
日本語でおk
12進数で考えて「何を」4で割るのか?その結果出てきた値は、「何と」個数が違うのか?

>偶数を奇数で割り切ろうとしてる時点で頭悪いし、
誰も割り切ろうとしていない。割り切れないから分数が出てきたり、小数が出てきたりする。
もともと割り切ろうとしていないのに、割り切ろうとしている仮定で話を進めているお前が頭悪い。

>答えなんて得られないよ。
もともと割り切ろうとしていないのに、割り切ろうとしている仮定で話を進める限りは、答えは得られない。

323 :132人目の素数さん:2007/11/11(日) 23:18:45
>10進数に対して12進数は1.2倍。
日本語でおk
10進数に対して、12進数は「何が」1.2倍になるのか?
10進数における「1」は12進数でも「1」であり、1.2倍されていない。

324 :132人目の素数さん:2007/11/11(日) 23:22:30
>>322
だから0.999...は1を3で割った(つまり3等分しようとした)場合に生じる矛盾で、
>ならば1−0.999…はいくつになるのか?
こんな数はあり得ないっていってんの。

>もともと割り切ろうとしていないのに、割り切ろうとしている仮定で話を進めているお前が頭悪い。
屁理屈言ってんじゃねーよ、低能。

12進の12を4で割るってのは、10進の10を3で割るのと同じ事。
より精度が増したから割り切れて矛盾がなくなったんだよ。そのくらいわかれカス。
わからないなら数学を理解できてない事になるが・・

325 :132人目の素数さん:2007/11/11(日) 23:27:07
>>324
>だから0.999...は1を3で割った(つまり3等分しようとした)場合に生じる矛盾で、
具体的にどこが矛盾しているのか?

>屁理屈言ってんじゃねーよ、低能。
屁理屈とは、筋の通っていない矛盾した理屈のことを言う。

もともと割り切ろうとしていないのに、割り切ろうとしている仮定で話を進めているお前が頭悪い。

↑この主張は筋が通っていない矛盾した理屈ではないから、屁理屈では無い。

>12進の12を4で割るってのは、10進の10を3で割るのと同じ事。
「何が」同じなのか?12進数における12は10進数における14であり、
12進数における4は10進数においても4だから、

(12進数における12を4で割る)=(10進数における14を4で割る)

となり、10進数における10を3で割ることと同じでない。

326 :132人目の素数さん:2007/11/11(日) 23:29:01
>>325
お前今すぐ数学やめた方がいいよ。
向いてないから。

327 :132人目の素数さん:2007/11/11(日) 23:31:38
>>326
質問に答えろ。

328 :132人目の素数さん:2007/11/11(日) 23:33:00
>>325
一日を12時間の時計で計っているけど、
仮に20時間で計るとしても、1秒間の長さは変わらないのか?
あったま悪すぎて話にならん。

329 :132人目の素数さん:2007/11/11(日) 23:34:04
>>324
>より精度が増したから割り切れて矛盾がなくなったんだよ。
意味不明。あかたも、初めは矛盾が存在していて、今は矛盾が解消されたかのような
文脈になっているが、そもそも、初めに「どんな」矛盾が存在していたのか書かれていない。
つーか、初めから何の矛盾も起きていない(笑)

330 :132人目の素数さん:2007/11/11(日) 23:35:01
>>328
変わるよ。で?
>12進の12を4で割るってのは、10進の10を3で割るのと同じ事。
↑これは、一体「何が」同じことなの?

331 :132人目の素数さん:2007/11/11(日) 23:37:32
あと、
>だから0.999...は1を3で割った(つまり3等分しようとした)場合に生じる矛盾で、
↑これのどこが矛盾しているのかヨロシク。

それと、コンパスと定規で1/3の点が完璧に作図できることについてもコメントよろしく。

332 :132人目の素数さん:2007/11/11(日) 23:41:43
10進数における1を3で割るってことは、
つまり3等分することに等価なはずで、割り切れない限り3等分できない。
割り切るはずが延々と割り切れない矛盾がわからないヤツは数学やるな。

あと、
>「何が」同じなのか?12進数における12は10進数における14であり、
はあ?
なんでそうなるのー?w
解る様に説明してくれる?

333 :132人目の素数さん:2007/11/11(日) 23:42:34
>>331
だからそれは12進で4で割った値と一致してるだけだろ!この屑が。

334 :132人目の素数さん:2007/11/11(日) 23:47:34
>>332
>10進数における1を3で割るってことは、
>つまり3等分することに等価なはずで、
ここまでは正しい。

>割り切れない限り3等分できない。
ここが間違い。割り切れなくても3等分になっている。実際、(0.333…)×3=1になる
(そういう計算になるように、「…」という記号がうまく定義されている、と言ってもよい)。
つまり、割り切れないからと言って、何か矛盾が起きているわけではない。

>はあ? なんでそうなるのー?w 解る様に説明してくれる?
12進数では、0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,a,bの12個の文字を使って数を表記する。そこで、12進数で
1から順に自然数を表記していくと

1
2
3
4
5
6
7
8
9
a
b
10
11
12 (*)

となる。(*)の数が、12進数における12である。これは、10進数における14である(上から数えて14番目にあるので)。

335 :132人目の素数さん:2007/11/11(日) 23:49:00
>>333
>だからそれは12進で4で割った値と一致してるだけだろ!この屑が。
「何を」4で割った値が、「何に」一致してるのか?オマエの書く文章は、
主語と目的語が大幅に抜け落ちていてワケが分からないw

336 :132人目の素数さん:2007/11/11(日) 23:51:36
>>334


337 :132人目の素数さん:2007/11/11(日) 23:52:15
>>335
わからないのは文系だからか・・

338 :132人目の素数さん:2007/11/11(日) 23:52:22
>>334


339 :132人目の素数さん:2007/11/12(月) 00:01:00
>>337
いや、俺は数学科。おまえこそ文系だろ。

340 :132人目の素数さん:2007/11/12(月) 01:01:04
…角の三等分なら不可能題だが?
それと幾何学では定規じゃなくて目盛りを用いない定木、
詰まりは只単なる線引きを使う。

ある線分より正六角形を作図。
正六角形の中に正六芒星を引く。
正六角形の各辺の中点を、それぞれの対辺の中点と結ぶ。

ごっちゃになって訳分からんだろうけど、ここまで引いた線分の中に
1/√3がある。
コンパスか定木で紙の開いてる場所にこれを移し、
同じ操作をして
(1/√3)^2=1/3を得る。

三大作図不能問題
・角の三等分
・立方体の…忘れた、2の3乗根だかなんだか
・円積問題

341 :中卒止まり:2007/11/12(月) 01:05:12
思い出した、立方体の倍積問題。
2の3乗根が作図不能に因る。
>>340でコテ忘れたが、中卒止まりなんだが?

342 :132人目の素数さん:2007/11/12(月) 01:20:27
全部12進と同要に、
求めたい値を3等分できる任意の数値に変更して、
もとのスケールとの比率を計算してやれば求まりそうな気がするけど・・

343 :132人目の素数さん:2007/11/12(月) 01:24:35
因みに私ゃ>>322じゃござーせん。
今週は夜勤だから夜更かしへっちゃら。

>>319
ぶっちゃけ、10進法での1/3は3進法では0.1と表記。
10進法で割り切れない、記述仕切れない事と3等分出来ないと言う事を
一緒くたにするべからず。だからこそ数学では極力分数表示するのだし。
1/3倍線分も示せたよー?


↓こういう解釈するべきと思う(406氏は405氏への注釈の様子)。
1=0.999・・・てアホかよw
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1190459453/405-406

344 :132人目の素数さん:2007/11/12(月) 01:25:35
あ、しまった
>>343=>>341

345 :132人目の素数さん:2007/11/12(月) 21:11:36
このスレはいろんなタイプのバカが現れ消えるので飽きない。
今度は12進数を持ち出すタイプ>>319か。
まったく新しいタイプだな。

346 :132人目の素数さん:2007/11/12(月) 21:23:14
12進数だと、1/3は0.4になるので割り切れると思うんだが、ちがうんだろうか?

347 :132人目の素数さん:2007/11/12(月) 21:50:50
>>346
何いってんだお前?

348 :132人目の素数さん:2007/11/12(月) 22:22:27
>>347
12進数なら0.4×3=1になるぞ。

349 :132人目の素数さん:2007/11/13(火) 00:39:29
>>347
「12進数では1/3は無限小数にならない」と言いたい。

350 :132人目の素数さん:2007/11/13(火) 00:43:48
3進数でもならないが、だからどうした。

351 :今週夜勤の者:2007/11/13(火) 00:56:24
>>348
1/3=4/12の為正解。唐突に始まった>>319からの話の流れだな。
何進数だろうが3分割は3分割で4分割ではないのだが
>>320>>324当たりが奇異な書き込みをしているから確認だろう。

12進数なんかより10のお隣の9進数とか3進数使えば
使う数字もそれぞれ1~8だけとか1~2だけとかに収まって
1~9の他にAとBなんて用意せんでも良かったのに。

352 :132人目の素数さん:2007/11/13(火) 06:18:41
>>322&>>324
>1/3は絶対に3等分される事は』
>1を3で割った(つまり3等分しようとした)』
 訂正告知しろよな>だから0.999...は1を3で割った(つまり3等分しようとした)場合に生じる矛盾で
 矛盾の意味理解してんのか?矛盾、つまり二律背反。
何と何が二律背反すると言うのか?
この場合、矛盾じゃなくて不合理とか不具合とかだろ

>>328
12進数の12を割ってたのに何で時計の方は1から割り始めてるんだ
1日→20時間→20*60分→20*60*60秒
あと何か午前午後の区別忘れてないか?

353 :132人目の素数さん:2007/11/13(火) 06:32:29
アンカーミス訂正
×>>322 〇>>319

>>331
>それと、コンパスと定規で1/3の点が完璧に作図できることについてもコメントよろしく。
 >>322氏と>>319氏混同すんな、つられて間違った
そういやあんた前スレでもヨロシクヨロシク言ってなかったか?
癖のあるヨロシク口調だからな。
確かコテ相手だったな
 答えは昨日出しといた

354 :132人目の素数さん:2007/11/13(火) 06:49:31
12進数を持ち出したのは、皆も時計や1年の周期でなじみがあるから
理解しやすいだろうと思ったまで。
自分はプログラミングなんかで2進や16進に慣れてるけど、
数学しか知らない人には9進や3進って言っても
ピンとこなかったりするかもしれないからね。

>むじゅん 【矛盾】<

>(名) スル

>(1) 矛(ほこ) と盾 (たて) 。ぼうじゅん。

>(2) つじつまが合わないこと。物事の道理が一貫しないこと。撞着 (どうちやく) 。
>「論旨の―をつく」「前後―した意見」

矛盾の意味も間違ってるのは>>352の方だからおまえが訂正しろよ。
何度言っても「自分が勝つ」まで粘着するその態度、数学には絶対向いてないと思うしな。
数学は、自分が知ってる知識(思い込み)だけでなんでも解決できる為の道具じゃない。

355 :132人目の素数さん:2007/11/13(火) 07:42:36
あの、矛盾も憧着も二律背反の内に入りまんがな。
あんまり言わない表現で背理とも言えるな。
間違っちゃあいない訳なんだが。

でさあ?まさか>>346はあんたじゃないよね?

さておき、
>だからそれは12進で4で割った値と一致してるだけだろ!この屑が。
>わからないのは文系だからか・・
 あんたの場合は理系どころか文系さえも失格だと思うんだが。
行為として。

死ねだの屑だの死語は多用するし(←重要)

それに>>331氏もそうだった様にあんたも人を混同しとる。
俺は>>341だって。>>322氏や>>331氏ではない。


取り敢えず『三等分はできない』事はない事は
一応341に、即興過ぎて全然スマートじゃないんだが示しといた。

356 :132人目の素数さん:2007/11/13(火) 07:49:44
>>355
こっちは大学内で数学ごっこしてる訳じゃないんで、
学会やらの討論ごっこ(会議の練習)のノリにつき合わされてもむかつくんで。

あと、カス、屑とは言ったが
(思い上がりが見え見えで人の話かなそうだから、思い上がりを消させるためにね!)
死ねとは書いた事ないなぁ。根拠と意味がないからね。

357 :132人目の素数さん:2007/11/13(火) 08:19:10
『死ね』も書いたのは釣りです試しましたスマン。
では思い上がっていない謙虚でプログラミングを
やっている筈のあなたに次の問題発言
>あと、
>>「何が」同じなのか?12進数における12は10進数における14であり、
>はあ?
>なんでそうなるのー?w
>解る様に説明してくれる?
 (あ?今時中学生でも習うんだが?
まさか10進数-2進数変換ぐらいやった事あるよな?
12進数的12=1*12^1+2*12^0=12+2=14)
をどう弁護されるのか!?一連の書き込みを見ると
どうやら12進数的10との書き間違いではなさそうです!
因みに
12進数的3=3*12^0=3*1=3
12進数的4=4*12^0=4*1=4

あとさあ、数板に来といて全角数字やめてくんないかなぁ
数板初心者スレの>>1見てこい

358 :132人目の素数さん:2007/11/13(火) 08:24:43
矛盾てのは数学の用語として既に意味があるんだから
こういう文脈では混乱を避けるために使わないほうがいいと思う。

359 :132人目の素数さん:2007/11/13(火) 08:40:42
>>357
人の揚げ足とってる暇あったら数学の勉強したらいいのに。

360 :132人目の素数さん:2007/11/13(火) 09:20:37
いやぁ揚げ足なんてもんじゃなかった、スレ汚しだった

だが>>355>>341に示しといたって書いてあるはずの
線分の3等分の解答、>>340の方にあるし
しかもこいつ中卒止まりなんて自分で言ってやがる

じゃあ>>319は消防かw

361 :132人目の素数さん:2007/11/13(火) 20:41:20
楽しそうでいいな、お前ら。

362 :132人目の素数さん:2007/11/13(火) 21:13:49
フヒヒwスイマセンww

363 :132人目の素数さん:2007/11/14(水) 00:52:20
まぁとにかくなんだ 文系のおれがわかりやすく説明するとだな

丸いケーキを3つに分けるんだよ。300gのケーキをな!
で喧嘩になるから3等分するんだよ。
ここで120度にナイフ入れて三等分だな。
100gづつに分けたんだよ。で喧嘩しなかったんだ!

こんどは100gのケーキ買ってきた!これも三等分だよ
120度にナイフ入れて3等分したんだなこれを!
それでその1個は33.33333・・・・・gなんだけど
3つあわせると100gあるんだよねこれが
ということは99.99999・・・=100

なら0.999999・・・=1 だよね うーん

364 :132人目の素数さん:2007/11/14(水) 04:09:56
乙。取り敢えず3等分できないとか妄言

365 :夜勤上がり:2007/11/14(水) 06:13:27
線分の3等分法改善
1、与線分の3倍長の線分を与線分と平行に引く
2、3倍長線分両端から、与線分の両端を通る直線を引き3角形を作る
3、3倍長線分の3分割点それぞれから対角に向けて直線を引く
3で引いた直線により与線分は3等分される

366 :夜勤上がり:2007/11/14(水) 06:14:50
前の方法も正6角形なんか作ってないでもっと楽にできた。
与線分に適当に引いた垂線で作った正3角形使えば良かった。
この適当に作った正3角形を、元になった垂線を
与線分と垂直を保ったまま、正3角形が完成した時点で
与線分上(又は与線分の延長線上)に重なっている頂点が
与線分の片端を内接する様に移動させてその後は
内接頂点を固定したまま垂線上に与線分のもう片端が重なるまで
拡大すれば、正3角形の各辺の半分の長さが与線分の1/√3にできた。
もう一度同じ手順で(1/√3)^2=1/3

まあ、>>365でのやり方の方が楽だな

367 :夜勤上がり:2007/11/16(金) 05:48:27
>>365中の
両端から両端を通る直線、右端は右端、左端は左端を通る事を追補

368 :132人目の素数さん:2007/11/16(金) 07:03:43
>>22
>“0.999...”とは、a_1 = 0.9、a_2 = 0.99、...、a_n = 1 - (1/10)^n という数列の極限値のこと
0.999...ってのは『極限をとる』という操作に対応しているものなのか
それとも極限をとった結果に対応してるのか
極限をとった結果はどう見ても1なんだけど……

『極限をとる』という操作に対応しているんだったらそれはそれでなんで無限小や無限大が数にならないのか分からないし。

369 :132人目の素数さん:2007/11/16(金) 07:23:17
あーわけわかんなくなったな。
0.999...が1 - (1/10)^n(n→∞)で定義可能なら
2n+1(n→∞)が数として定義不可能なのは何故なのかという

370 :132人目の素数さん:2007/11/17(土) 00:24:35
極限を取った結果に決まっている。

371 :数学少女(かえで):2007/11/17(土) 00:52:51
.99999... = 1 の議論かぁ

そんなのは
そもそも
小数展開を無限級数の和で定義すればよろし
(そうやって定義すると全てうまくいく)

そうすれば、
小数展開に対しての
(たとえば筆算とかの)操作も
すべて正当化されるからね。

こうやって定義すれば、
0.9999... は、

[n=1 to ∞] Σ 9(1/10)^n だから
当然 1 になる。



372 :132人目の素数さん:2007/11/17(土) 03:45:31
まだそんな話なのか?
極限で定義されてるから当たり前っていうのは散々既出だろ
まさかまだこれを理解できない奴がいるのか?超準解析の話題ならまだしも。

373 :132人目の素数さん:2007/11/17(土) 04:46:05
>>371のむさ苦しい男は、過去ログすら、まともに読まない

374 :132人目の素数さん:2007/11/17(土) 11:04:33
そしてもちろんこれらのレスも読んでいないので
また同じことが繰り返される

375 :132人目の素数さん:2007/11/17(土) 14:54:33
「小数点以降ずっと3が続く数字」としての0.333…と、
「1/3を少数で表そうとしたけど割り切れなかった数字」としての0.333…には
なにか凄く大きな違いがある気がする

376 :132人目の素数さん:2007/11/17(土) 15:04:52
>>375
それは単に順序が違うだけでは?
最初に割り切れない数字として0.333...が出てきたから、
では、0.333...とはどんな数字なのか定義しようってワケで。

それはそうと、
0.999...が次の数と等価だというなら、
0.333...の次の数は何になるんだ?

377 :132人目の素数さん:2007/11/17(土) 15:11:26
>>376

次の数とは何?

378 :132人目の素数さん:2007/11/17(土) 15:32:26
>>377
要は、0.999...が0.99...9と1のどちらに属するかで、
0.999...は限りなく1に近付き、1と0.999...の間の数が認められない事から、
0.999...=1だとするんでしょう?

同じ理論で、0.333...が有理数の何と等価になるのかなぁってのが聞きたくて。

379 :132人目の素数さん:2007/11/17(土) 16:07:37
有理数の1/3と等価になると思う

380 :132人目の素数さん:2007/11/17(土) 16:20:28
>>379
『同じ理論で』、説明お願いします。

381 :132人目の素数さん:2007/11/17(土) 16:25:38
要は、0.333...が0.33...3と1/3のどちらに属するかで、
0.333...は限りなく1/3に近付き、1/3と0.333...の間の数が認められない事から、
0.333...=1/3だとする。

382 :132人目の素数さん:2007/11/17(土) 16:26:00
隣の数は存在しない

383 :132人目の素数さん:2007/11/17(土) 16:29:42
定義すれば存在する。ただし、直感的な「隣」を反映する定義は出来ない。

384 :132人目の素数さん:2007/11/17(土) 16:32:00
>>381
そうか。
答えは出てるな。


じゃあ、なんでこんなスレが14スレも続いたんだw

385 :132人目の素数さん:2007/11/17(土) 22:02:13
限りなく近づきはすれどそのものじゃないんだよな

386 :132人目の素数さん:2007/11/17(土) 22:03:05
0.999... は1そのもの

387 :132人目の素数さん:2007/11/17(土) 23:19:48
極限値をそのものと言うならそうなのかもな

388 :132人目の素数さん:2007/11/18(日) 01:55:42
>>382-383
存在の是非決定まではどうかい?
定義しきれないのは分かるけど

まあ、超準解析とか何者なのかは知らんが

389 :132人目の素数さん:2007/11/18(日) 03:26:29
極限値はそのものじゃないというのなら、そのものじゃないんだろう。

390 :132人目の素数さん:2007/11/18(日) 04:24:26
総評
「"無限桁目"の余り」バカの為のスレ

391 :1-0.999…=0:2007/11/18(日) 04:35:03
このスレひっさしぶり!!
前は0.999…を0.9dotと表記してたけど変過ぎなので改める。

>>84
>今は亡き
殺すなぁ〜!!

>>353
そのコテは私!?
「空集合の商集合」などというアホレスしました。

>>390
お早う。成る程。

392 :132人目の素数さん:2007/11/18(日) 12:59:40
(1) 0.999... は1そのもの
(2) 0.999....の極限値は1そのもの
(3) 数列 1-(1/10)^n の極限値(n→∞)は1そのもの
(4) lim[n→∞]{ 1-(1/10)^n } は1そのもの
(5) lim[n→∞]{ 1-(1/10)^n } の極限値は1そのもの

正しいのは(1)(3)(4)

393 :132人目の素数さん:2007/11/18(日) 20:53:06
>>392
誤:(1)
正:(2)

394 :132人目の素数さん:2007/11/18(日) 22:27:53
>>393
(2)が正しいと思っているうちはこの問題を卒業できない
まあ頑張ってくれ

395 :132人目の素数さん:2007/11/18(日) 22:52:08
>>394
(1)が正しいと思っているうちはこの問題を卒業できない
まあ頑張ってくれ

396 :132人目の素数さん:2007/11/18(日) 23:46:01
このスレにまだ(2)が正しいと思ってるやつがいたのか。
過去スレ読んで出直して来い。

397 :132人目の素数さん:2007/11/19(月) 05:24:03
0.999....の極限値ってなんだ?
0.999....ってのは何か操作をしなければならないものなのか?


398 :132人目の素数さん:2007/11/19(月) 05:35:41
0.999....が値じゃなくて数列だったら
1と等号で結ぶことはおろか不等号で結ぶこともできんが

399 :132人目の素数さん:2007/11/19(月) 07:37:27
極限値という言葉は、数列に対して使われる用語。

例:数列anをan=1/n (n=1,2,3…)とおくとき、 数 列 a n の 極限値は0

しかし、数列以外には使われない。

例:1の極限値は1 ×

(2)が正しいのだとすると、「0.999…」という6文字の記号列は数列を表していることになる。

400 :132人目の素数さん:2007/11/19(月) 08:02:53
ほら出てこいや >>393

401 :132人目の素数さん:2007/11/29(木) 12:17:54
自分は 1=0.999… だと思っているのだが、そうすると

x≦1 と x<1 はどう違うのか教えてもらえないでしょうか。


402 :132人目の素数さん:2007/11/29(木) 14:09:28
1を含むか含まないかの違い。

403 :132人目の素数さん:2007/11/29(木) 16:03:52
>>402
401です。確かにそうなのですが
x<1の場合 xは1に限りなく近い数までなのですが
1に限りなく近い数と1は違うのですか。
1=0.999…であれば
1=1に限りなく近い数 のように思えてしまうのですが。

404 :132人目の素数さん:2007/11/29(木) 20:42:03
>>403
>1に限りなく近い数と1は違うのですか。
「限りなく近い」の意味は?もし、次のような意味であるならば、1に限りなく近い数は1だ。

・実数aが実数bに限りなく近いとは、∀ε>0 s.t |a−b|<ε


>x<1の場合 xは1に限りなく近い数までなのですが
「限りなく近い」という言葉の意味が上記のものであるならば、それは間違い。

x<1の場合、xは1に好きなだけ近づくことは出来るが、それは、xと1の誤差|x−1|を
好きなだけ0に近づけることが出来る、ということであり、誤差|x−1|が0そのものに
出来る、ということでは無い。

405 :132人目の素数さん:2007/11/29(木) 21:30:52
>>404
403です。
ありがとうございました。よくわかりました。

406 :132人目の素数さん:2007/12/01(土) 08:17:20
>>404
>・実数aが実数bに限りなく近いとは、∀ε>0 s.t |a−b|<ε

a=bなら|a-b|=0なのでε>0の前提を繰り返し書き連ねているだけのようだが、
なぜ上記のように書くのか教えて欲しい。

407 :132人目の素数さん:2007/12/01(土) 15:11:43
>>406
「限りなく近い」というニュアンスを反映するため。

408 :132人目の素数さん:2007/12/01(土) 15:19:46
εが実数を走るとき

∀ε>0(|a−b|<ε) ⇔ a=b

の右から左へは自明だが
左から右への⇒は領域について何らかの仮定が要る
(たとえば超実数が含まれると⇒は成り立たない)

だからただの繰り返しじゃないよ

409 :132人目の素数さん:2007/12/02(日) 06:39:06
問題1

   x < 1 を満たす最大の x を表記せよ。



410 :132人目の素数さん:2007/12/02(日) 08:02:21
>>409
なし。

411 :132人目の素数さん:2007/12/02(日) 09:12:14
>>407
聞き方が悪かった。
「限りなく近いというニュアンス」が0を前提にしているのはなぜか教えて欲しい。

412 :132人目の素数さん:2007/12/02(日) 09:51:17
>>411
404をよく読めバカ!

>>403
>1に限りなく近い数と1は違うのですか。
>「限りなく近い」の意味は?もし、次のような意味であるならば、1に限りなく近い数は1だ。

>・実数aが実数bに限りなく近いとは、∀ε>0 s.t |a−b|<ε

403は「1に限りなく近い数は1ではないのか」と質問しているのだ。そこから推測すると、
403は、「限りなく近い」という文字列に0を前提とする解釈を与えていることになる(意識的に
しろ無意識にしろ)。そこで俺は、

そういう前提であるならば、
――例えば
・実数aが実数bに限りなく近いとは、∀ε>0 s.t |a−b|<ε
という定義であるならば、――
1に限りなく近い数は1だ

と言っているに過ぎない。俺自身は、「限りなく近い」をどういうニュアンスで捉えてもいない。
そんなのは個々人で勝手に定義すればよい。

413 :132人目の素数さん:2007/12/02(日) 10:31:54
無意味な定義の上で話を進めるなよ。

414 :132人目の素数さん:2007/12/02(日) 10:43:08
>>413
「限りなく近い」が0を前提とするならば、∀ε>0 s.t |a−b|<ε
は自然な定義であり、無意味でない。一方、403は、「限りなく近い」に
0を前提とする解釈を与えている節がある。結局、∀ε>0 s.t |a−b|<ε
という定義で話を進めるのは無意味でない。そして、そもそも最初に

「限りなく近い」の意味は?

と聞いている。

415 :132人目の素数さん:2007/12/02(日) 11:42:00
>>414
だったら単にこう書けばいい。
・実数aが実数bに限りなく近いとは、|a-b|=0

εを使う意味がまるでない。

416 :132人目の素数さん:2007/12/02(日) 11:50:26
久し振りにのぞいてみたんだけど、
相変わらず不毛な議論をしとるなw

417 :132人目の素数さん:2007/12/02(日) 12:11:29
このスレに生産性のある議論を求める方がおかしいだろ?

418 :132人目の素数さん:2007/12/02(日) 12:37:26
>>415
>εを使う意味がまるでない。
「限りなく近い」というニュアンスを反映するためにεを使っている。ちゃんと意味があるじゃんか。
”ニュアンスを反映するため”という目的のもとでεを使っているのだよ。アタマ大丈夫ですか?

もちろん、結果としては、εを使った定義は、初めから|a−b|=0だと言っているのと同じことになる。
しかし、だからと言って、お前の言うように、403の質問に対して|a−b|=0という定義を採用するわけには
いかない。なぜならば、403はこう質問しているからだ。

「1に限りなく近い数と1は違うのですか?」

もし403が、「限りなく近い」という言葉を|a−b|=0で定義しているのならば、こんな質問をするはずが無い。
403は、「限りなく近い」という言葉に、「|a−b|=0」という定義とは全く別の定義を(無意識のうちに)
与えているからこそ、こんな質問をしているのだ。つまり、403の質問とは、

僕が考える「限りなく近い」という定義は、|a−b|=0という定義と同じものですよね?

という質問なのだ。この質問に対して、「限りなく近い」の定義に|a−b|=0を採用した返答をするのは
ナンセンス。403が考えているであろう定義( 「|a−b|=0」とは別の定義 )を推測して、その定義が
|a−b|=0と同値になることを例示するのが正しい対応(もちろん、403自体が考えている定義を
聞き出すのも忘れてはいけない)。

419 :132人目の素数さん:2007/12/02(日) 13:14:45
いや、やっぱりx<1に1を含んではダメだろ。
テストでもペケにされるし。

不等号の意味はある数を厳密に定義する為のものではないにしろ、
1に限りなく近い数だったはずの0.999...を0.999...=1とするならば、
x<1と表現はできない。
その事は認めないと、自分で0.333...≠1/3と言ってる事になる。

420 :132人目の素数さん:2007/12/02(日) 15:43:15
εδで説明すればいいのに文字εを使った独自論法を展開するからおかしなことになる。

421 :132人目の素数さん:2007/12/02(日) 16:29:45
>>419
x<1は もともと1を含まないのだが。

>>420
εδで何を説明するの?δが出てくるってことは、何らかの数列の
極限値について、あるいは、何らかの関数のある点での連続性等に
ついて説明することになるはずだが、403は、0.999…=1については
認めているから、数列や関数の出番は無いぞ。なんなら、403のレスに、
εδを使って「説明」してみてくれよ。何を「説明」するのか知らんがなw

>文字εを使った独自論法を展開するからおかしなことになる。
独自論法(笑) 独自でも何でも無い。超実数体では、「超実数aが超実数bに無限に近い」ことを

∀ε>0(ε∈R) s.t |a−b|<ε

で定義する。これを真似ただけ。

422 :132人目の素数さん:2007/12/02(日) 16:40:18
なんだ、ただのアホか。

423 :132人目の素数さん:2007/12/02(日) 16:41:07
>>420
で、君は、当初の疑問(>406)については もう納得したかね?
「|a−b|=0」という定義を使わず、わざわざεを使った定義を
採用した理由は>418だ。

424 :132人目の素数さん:2007/12/02(日) 16:41:51
>>422
でっていう

ほら、>>403に「説明」してくれよ。εδを使った「説明」をな。

425 :132人目の素数さん:2007/12/02(日) 16:49:22
>>403は0.999...を限りなく1に近付く値としてるから、
なぜか不等号で表記する場合に混乱したんだろ。

0.999...=1であるということは、
9...の部分がどこかで止まった時点で9.99..9<1になるけれど、
9が無限に続く場合は1を含む≦をつかって0.999...≦1と表現すれば良い。
9...の部分がどこかで止まる可能性がある数も含めるからなにも問題ないのでは?

でも、結論を言えば、>>403が言いたかった事が正解で、
0.999...を=で結んで1とするから問題が生じるのかもしれない。
最初から≦をつかって表記するべきだったんじゃないのか?

426 :132人目の素数さん:2007/12/02(日) 16:57:30
乱暴な言い方をすれば、>>403は、

(1)「限りなく近い」という概念
(2)「近い」「凄く近い」「凄く凄く近い」「凄く凄く凄く近い」… という概念の”系列”

の2つを混同しているんだろ。1という数に対して、(2)を満たす数は全てx<1という範囲に
入っているが、(1)のような数(これは1しかない)はx<1には入らない。403は、
1=0.999…
という等式を眺めて、右辺を「限りなく1に近い数」(つまり(1))と読み替えたときに、
(2)と混同してしまい、あたかも0.999…∈{x∈R|x<1}であるかのように勘違いしているのだと思う。

427 :132人目の素数さん:2007/12/02(日) 17:12:24
>>421を読ませて笑わせようって釣りだったんだろ?
どこまで本気なのかと心配になったけどもう十分だよ。乙。

428 :132人目の素数さん:2007/12/02(日) 17:19:19
>>427
いや、俺釣りじゃなくて本気だし。

ほら、>>403に「説明」してくれよ。εδを使った「説明」をな。

429 :132人目の素数さん:2007/12/02(日) 17:24:36
「実は釣りでした」と宣言して逃げる輩はよく見かけるが、427みたいに、
「お前、実は釣りだったんだろ?」と逆に相手を釣り扱いしてスルー
しようとする(=逃げる)輩は初めて見たわ。

430 :132人目の素数さん:2007/12/02(日) 17:29:53
>>421
> x<1は もともと1を含まないのだが。
では、x<1の最大値はなにになるのですか?

431 :132人目の素数さん:2007/12/02(日) 17:32:56
>>421で本気はないだろ?
極限値すら知らないんじゃないか。

432 :132人目の素数さん:2007/12/02(日) 17:48:49
実数列{an}が実数αに収束するとは、
∀ε>0, ∃M∈N s.t n>M → |an−α|<ε
が成り立つときを言う。

>>431
で、εδを使った403への説明はまだ?何してるの?早くしてくれ。逃げるな。
ほら、説明してくれよ。403に、εδを使った説明をしてくれよ。何を説明するのか知らんがなw

433 :132人目の素数さん:2007/12/02(日) 17:50:13
>>431
あと、当初の疑問(>406)については もう納得したかね?
「|a−b|=0」という定義を使わず、わざわざεを使った定義を
採用した理由は>418だ。

434 :132人目の素数さん:2007/12/02(日) 18:01:22
>>432
それは0.333...=1/3だ、と言っているにすぎない。

1/3が数学上はあり得る値でも、実世界では0.333...がどこかで止まって
厳密に1/3にはならないかもしれない。
1を6等分してから2/6取るのだって一見すると1/3に見えるが、
最初に6等分する時点で6を半分に割った3個分を3等分しなければならない。
厳密に1/3は0.333...ではあっても、厳密に均等な1/3とは限らない。

化け学的に丁度わりきれる偶数で組織された構造でない限り割り切れない。
だから、郡論をつかって言おうがなんだろうがで数学上1/3は1/3でしかなく、
0.333...がちょうど割り切れた1/3と等価かどうかはわからない。

つまり、0.333...=1/3は、数学上そうしようと言う事にしただけで、
他の理論で証明できるものではない。

435 :132人目の素数さん:2007/12/02(日) 18:03:59
キーボード壊れてるから、たまに変な所あるけど読み流す様に。

436 :132人目の素数さん:2007/12/02(日) 18:09:03
>実世界では0.333...がどこかで止まって
どこかで止まったら、それは0.333…333であり、0.333…ではない。
両者を混同するな。

>厳密に1/3は0.333...ではあっても、厳密に均等な1/3とは限らない。
厳密に1/3は0.333…であり、それは厳密に均等な1/3である。

>0.333...がちょうど割り切れた1/3と等価かどうかはわからない。
0.333…はちょうど割り切れた1/3と等価である。等価でないのは、
どこか有限桁で止まってしまった0.333…333である。これは
0.333…とは全くの別物であるから、0.333…と1/3の等価性には
何の影響も無い。単に君がこの2つを混同しているだけ。

>つまり、0.333...=1/3は、数学上そうしようと言う事にしただけで、
>他の理論で証明できるものではない。
他も何も、そもそも数学の上でしか証明していない。

437 :408:2007/12/02(日) 18:14:42
>>415はRの超積による超実数体の構成とかを軽く眺めれば
>>414の言わんとすることがわかるかもよ

438 :132人目の素数さん:2007/12/02(日) 18:15:23
>>436
バカだこいつw

これだから数学しか知らないバカは机上のバカと思われるんだよ、、
あたりまえだけど、数学を作った昔の偉人も物理やらなにやら同時に
いろんな分野を開拓したんだから。
物理化学も勉強して現実的な人間にならんと、
数学だけやってても>>436のような偏屈な人間にしかならんから困る。


439 :132人目の素数さん:2007/12/02(日) 18:19:30
>>438
バカだの何だの言うのは君の勝手だが、具体的に436のどこがおかしいのか
反論の1つでも与えてみろよ。

>物理化学も勉強して現実的な人間にならんと、
十分現実的。1/3は厳密に0.333…と同じ数。1/3と違う数なのは0.333…333 (有限桁)であって、
君が言っている、実世界云々の話は全て

・0.333…という数を有限桁で区切ってしまったら、それは1/3とは違う数になっちゃうよね

ということに過ぎない。そして、君は

・だから、0.333…は実世界では1/3と厳密に同じだとは限らないんだよね

と論理の飛躍を行っている。厳密に同じでないのは0.333…333の方であって、
0.333…は1/3と厳密に同じだ。「実世界」なるものを通して、両者を混同して
間違った解釈を起こしているのが君だよ。

440 :132人目の素数さん:2007/12/02(日) 18:20:23
横レスで失礼ですが、
数学の話をしてる場でまるで関係のない話を交ぜこんで、
そのことを相手に指摘されたときに「バカだこいつw」とキチガイのフリをする
>>438 のほうが、よっぽどバカのように見えますよ。

441 :132人目の素数さん:2007/12/02(日) 18:21:10
>>438
まあ、まずは436のどこがおかしいのか指摘してくれ。

442 :132人目の素数さん:2007/12/02(日) 18:29:08
>>439
キーボード壊れてて書きづらい上に、時間がきたからしばらく外れるけど、
その前にコレだけは言っとく、
1/3は数学上、1/3であって、厳密に均等に割り切れるかどうかはわからんだろ。
9を1/3すれば3になるのは分かるが、3で割り切れない数の場合はしょうがないんだよ。
実世界で割り切れない=数学的に割り切れない数。
いや、割り切れると言い切ったところで、どうあがいても数学上は証明できない。
化学や量子の世界では実際に1/3できない数があり、
だからその性質を逆に利用して化学反応を起こさせるんじゃないのかい?
かならずしも割り切れてしまったら、逆に困っちゃうわけで。

443 :132人目の素数さん:2007/12/02(日) 18:32:44
>>442
「0.333…」の意味というか定義を確認されてから発言されるほうがよろしいかと。

もしそれがわかるのなら、キーボードが壊れる前に真っ赤な顔になって
退散できますよ。

444 :132人目の素数さん:2007/12/02(日) 18:42:49
>>442
君が今回言ったことは

・現実では、厳密に3等分することが出来ないことがある

ということに過ぎない。これは確かだ。正しい。しかし、そのことと
0.333…=1/3という等式については何の関係も無い。

445 :132人目の素数さん:2007/12/02(日) 19:09:40
1立方メートルの水と1立方メートルの塩を足しても
2立方メートルの食塩水にはならないんだから
1+1=2を主張する奴は非現実的で間違ってる

みたいな理屈だなあ

446 :132人目の素数さん:2007/12/02(日) 19:34:31
数式が現実と対応しないからと言って、

「数式が正しいとは限らない」

と思ってしまう思考回路が不思議だ。

「数式は必ずしも現実と対応しない(数式自体はいつでも正しい)」

と思うのが普通なのに。

447 :132人目の素数さん:2007/12/02(日) 19:37:59
>>442
数学の数の取り扱いは、現実にある多くのモノをシミュレートしやすいように作られている。
化学や量子力学を持ち出し、「原子の数」なんて持ち出しても、それは最初から整数なのだから意味はないだろ。

で、化学や量子力学でもたとえば「長さ」という概念は扱うだろ?1mを三等分した長さをどのように記述すれば
よいかというと、0.333…mで良いんじゃないの?角度だってそうだ、1ラジアンを三等分した角度が0.333…ラジアン
とすると都合が良い。なぜなら、3倍すると1(=0.999…)に戻るしね。

実際のトコ量子力学も「観測問題」なんてのがあって、今後どう変化していくか分からない。「長さ」も実は極小の
単位があり、その単位毎に空間すら量子飛躍しているやもしれず、また、角度も同様かも知れない。だが、
「多くの現実をシミュレートする」というのが目的な「数」にとって、今後量子力学がどう変化していく分からないが
とりあえず、「1mの三等分を0.3333…」として置いた方が、「汎用性がある」し「論理が単純」だし「歴史的経緯から
外れない」し…

というわけで、何の問題もない。つーわけで、数学的には1/3は実在しそれは0.333…とやるのが通常だ。
もちろん他の理屈も主張はしても良いが、多くの人が使うようになるとは思えない。

448 :132人目の素数さん:2007/12/02(日) 20:58:29
>>401 と >>403 と >>405 です。
それ以後は今回まで書き込みをしてません。
初めに皆様に、お礼を申し上げます。
要領を得ない質問なのに、こちらが言わんとすることを理解していただき、ありがとうございます。

私が変な質問をしてしまったようです。
「1に限りなく近い数」という言葉を使ってしまったことが、よくなかったのでしょうね。
感覚的な言葉ではなく、はっきりと定義された言葉や記号で質問するべきだったのでしょう。

皆様のいろいろな意見が参考になりました。
もちろん、私にどの意見が正しいかを判断することはできませんが。
数学を掘り下げて出てきた質問ではなく、もっと素人的な質問でした。
>>404さんの説明で解決したつもりでした。

私が使った「限りなく近い」の意味は>>418さん >>426さんが説明したのがあたっています。
(せっかくですから、>>418さん >>426さんの説明が「限りなく近い」です、と言ったほうがいいでしょうか。)

449 :132人目の素数さん:2007/12/02(日) 21:55:07
>>445
そんな抽象的なレベルなら、
きりの良いところで十分。

それをむしろ厳密に定義しようとしてるのが数学の方。

>>446
数式が正しいと限らないとまでは言わないが、
数式で表現しきれない事はでてきてしまうわけで、
そのとき、いちいち厳密にきっちりこうだ!と定義しなければ
もの事を考えられないアホさが、数学系にあるわけで。
0.999...=1でなければならないのは数学以外の分野にないだろ。

お前ら数学ごときに偏りすぎて盲目になってるのがわからんのだわ。
普通は数学を応用していても、実際はきりのいいところで
切り捨てるか四捨五入すれば事足りている。
それをくだらん事で延々と違う、こうだと言ってるのが笑う。

究極的には(今の段階で一般的には)どこまで掘り下げたって、
原子レベルまでしかいかない訳で、
原子レベルだとモデルとして個体を考えたら球体の固まりでしかないんだから、
数学で割り切ろう割り切れないなんて、考えてても無駄。
まして0.999...なんてどうでもいいし、誰もそんな事しったこっちゃない。

450 :132人目の素数さん:2007/12/02(日) 22:22:56
無駄無駄言うならそんなくだらん小理屈こねてる無駄に気づけ

451 :132人目の素数さん:2007/12/02(日) 22:26:01
>>449
なんやかんやと書いてるが結局のところ >>449 は負け惜しみを
つらつらと書きつづってるんだね。乙。

452 :132人目の素数さん:2007/12/02(日) 22:34:44
1/3 + 1/3 + 1/3 = 1
0.33333・・・ + 0.33333・・・ + 0.33333・・・ = ?

453 :132人目の素数さん:2007/12/02(日) 22:35:41
>>449
原子は単なる球体じゃなくて、存在が確率的に記述され(原子雲)、その雲が妙な形に
分布されているモノなんですけど…。

という突っ込みはさておき、数学はご指摘の通りのモノだからしょうがないよ、あくまで
厳密を求める。(厳密にできないならどこが問題なのかトコトン突き詰める。)
そういうモノだからね。

そりゃ、応用の時は四捨五入するわな。

454 :132人目の素数さん:2007/12/02(日) 22:52:27
>>453
そしてその原子をシュレーディンガー方程式で記述するための基礎として

0.999… = 1

はあたり前のことのはずなんだけどね。
ま、>>449 は物理の方程式は一切否定する気なんでしょう。

455 :132人目の素数さん:2007/12/02(日) 22:57:49
>それをくだらん事で延々と違う、こうだと言ってるのが笑う。
これについては、物理の話で有名なのが1つあったな。偏微分方程式△u=fの境界値問題だったっけか。
物理の人は、「物理的に考えれば、境界が何であっても明らかに解が存在する」と言っていて、
数学の人は、「いや、境界がこうなってる場合は解けるけど、そうでない場合はまだ分からんぞ」と
言っていて、その姿は、物理の人からは「くだらん事で延々と違う・こうだと言っている」ように見えて
滑稽だったとか。ところが、確かルベーグが、境界がある形をしているとき(境界が物凄く尖っているとき)は
解が無いことを証明してしまった。しかもその例は、現実にちゃんとあり得る例になっていて、しかも、
「よく見れば、物理的に考えても明らかに解が存在しない」例になっていて、数学者側の勝利だったと。

456 :132人目の素数さん:2007/12/02(日) 23:05:08
数学なんだから化学や物理、量子論を持ち出す前に幾何学だろがな
3等分できないなんて言い出したら、2等分もできない対象もあるだろ

457 :132人目の素数さん:2007/12/02(日) 23:14:55
線分の3等分なら既出。3つ出ていてどれも中卒氏。
氏の線分の3等分最終更新は>>366だが>>365が最簡

458 :132人目の素数さん:2007/12/02(日) 23:31:14
基本、いくらa<bでも
lim[a→b]a=bと言うのが極限だろう?
これをaがbに限りなく近づくと言うんだべ

少なくとも天然の1/3由来の成分0.333…を3倍した0.999…は
1に他ならないな

1でない0.999…の話なら超準解析持って来て1である0.999…と
区別しる!

まあ、大体が少数展開なんかしてないで大人しく分数表記さてなさいと

459 :132人目の素数さん:2007/12/02(日) 23:41:41
携帯房・キーボードクラッシャー参戦中!

460 :132人目の素数さん:2007/12/03(月) 00:35:17
ここはかわいそうな
「"無限桁目"の余りバカ」
の為のスレだという事を忘れるな

461 :132人目の素数さん:2007/12/03(月) 01:53:44
Knuth著 (J.H.Conway)の超現実数

462 :132人目の素数さん:2007/12/03(月) 02:46:37
そもそも数学がなにかに対して正しいかどうかなど数学には関係ない話だ。
数学が何かに対して正しいかを考えるのは、それを応用する側の問題。
うまい使い方をすれば正しいだろうし、正しくないなら使い方が間違っているということ。


463 :132人目の素数さん:2007/12/03(月) 06:28:48
原子を1/3にできないからと言う理由で
分数や小数を考える人がいるとは驚きだ。
壊れているのはキーボードだけでなく彼の数学も…

例えば、人を1/3にできないのは確かだが

3平方メートルの部屋にに10人いるのと
4平方メートルのの部屋に11人いるのとでは
どちらが混んでいますか?という問題に対して分数を使う。

464 :132人目の素数さん:2007/12/03(月) 06:53:41
3平方メートルの部屋にに10人いるのと
4平方メートルのの部屋に11人いるのとでは
       ↓
3平方メートルの部屋に10人いるのと
4平方メートルの部屋に11人いるのとでは
に訂正

465 :132人目の素数さん:2007/12/03(月) 10:51:31
そんな本質的でないところなぞわざわざ修正せんでもよろしよ

466 :132人目の素数さん:2007/12/03(月) 10:55:54
>>463
原子を1/3できない話と人を1/3できない話とは
同じと言っても差しつかえないと思うが
その後の、部屋に何人かいる話が分数になるのは別の話だろう。

前者は分ける前と単位が(人)や(個)のまま変わらないが
           (原子の単位は個で良いのかは知らん)
後者は単位が(人/面積)という別の次元の単位だ。

467 :132人目の素数さん:2007/12/03(月) 13:28:43
>天然の1/3由来の成分0.333…

フイタww
確かに人工成分や抽出物は天然由来と変わってくる罠。
抽出イソフラボンには発癌性があるが、天然由来…というか、
味噌そのままから摂取されるイソフラボンの場合は
寧ろ癌抑制効果及び老化抑制効果がある事が知られている。

468 :132人目の素数さん:2007/12/03(月) 15:46:59
↑氏ね

469 :132人目の素数さん:2007/12/03(月) 16:00:08
↑氏ね

470 :132人目の素数さん:2007/12/03(月) 18:22:05
レイーンボーまーん

471 :132人目の素数さん:2007/12/06(木) 15:30:16
1=0.999…に抵抗がある人は、無限に続く9の部分が変な感じがするのだと思う。
無限については、時として変に感じることがある。

偶数と奇数の個数は同じだ。でも、整数の個数と偶数の個数も同じだという話を、
幹徹おじさんに聞いたことがある。
偶数は整数の真部分集合なのに。無限というのはなんとなく変だね。

472 :132人目の素数さん:2007/12/06(木) 16:21:16
無限集合に個数とか言うな

それはさておき乾徹おじさんとは如何な人か

473 :132人目の素数さん:2007/12/06(木) 22:07:58
>>472
幹(カン)徹(トール)おじさん

474 :472:2007/12/09(日) 06:00:30
ああ成る程、納得

475 :132人目の素数さん:2007/12/09(日) 11:07:08
個数つうか濃度っつうかアレフ

整数と自然数は同濃度
有理数と自然数は同濃度
実数は自然数より高濃度(≒多い)

476 :132人目の素数さん:2007/12/09(日) 13:38:38
前スレ全然読んでませんが
デデキントの切断をしらべれば
理解出来た気にはなると思うんだけど・・・
それでも納得できないものなのかな?

477 :132人目の素数さん:2007/12/09(日) 18:44:15
1っていう数がもともとないんじゃなぃ?

478 :132人目の素数さん:2007/12/09(日) 18:52:43
お前は そもそも何を以って「ある・なし」を判断しているのか?

479 :1stVirtue ◆.NHnubyYck :2007/12/09(日) 18:54:05
数は個の実在を超えた概念である。

480 :132人目の素数さん:2007/12/09(日) 19:12:45
>>479
最近一番の名言じゃないか。
他スレで私が同じ事を述べたがそれよりもっと強力だ。
"個"数という概念の提示を包括している。

481 :1stVirtue ◆.NHnubyYck :2007/12/09(日) 19:14:43
Reply:>>480 よし。

482 :132人目の素数さん:2007/12/09(日) 20:13:48
包括ってか包含して尚、発展余り有るが妥当じゃね?まぁ同じか
それよりも、当時にこういう指摘があれば乾徹おじさんも
生きている内に安泰だったんだが

483 :132人目の素数さん:2007/12/10(月) 12:34:01
>>479-481
ひどい自作自演、久しぶりに見た

484 :132人目の素数さん:2007/12/10(月) 13:13:16
0.999...は循環小数だから有理数
1でなければ一体何になるというのかね?

485 :1stVirtue ◆.NHnubyYck :2007/12/10(月) 17:16:51
Reply:>>483 どこだよ?

486 :132人目の素数さん:2007/12/10(月) 18:32:02
>>483
バッキャローメおれはkingと違って中卒だこん畜生

487 :132人目の素数さん:2007/12/10(月) 18:46:29
連レススマンが
>>484
完璧な回答!─と思ったが「"無限桁目"の余りバカ」達には それも
通用しない…。彼等にとって最早1/3≠0.333…なので
最早「"無限桁目"の余り分だけ差異がある」
だから本当は循環小数は有理数ではない等としか思わない…。

488 :132人目の素数さん:2007/12/12(水) 05:49:20
>>486
お前、俺(=>>480)を驕るなよ、一応大卒だ
>>487には納得するけど

>>483
そもそもお前が悪い

489 :132人目の素数さん:2007/12/12(水) 08:00:29
>>2-6
1.いい加減、数板らしく英数字は半角にして戴きたいと思うが如何か?


2.>>3改め>>6文章内のコンウェイの名をJ.H.Conwayと改訂し、
更に次の文

J.H.Conwayの超現実数を扱った単行本
至福の超現実数―純粋数学に魅せられた男と女の物語
原著=Donald E.Knuth, 翻訳=松浦 俊輔,
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4760126465

を追記しては如何か。


3.>>14追記も忘れずに。

490 :132人目の素数さん:2007/12/12(水) 08:10:38
>>489内2の追記はWikipedia誘導の前にするべきか?

>>2-6
4.「したがって」は∴に改訂して字数削減しては如何か。

5.以前の議論で重複とされた@とBは統合して
1/3=0.333…
2/3=0.666…
3/3=0.999…
∴ 1=0.999…
としては如何か。

491 :132人目の素数さん:2007/12/12(水) 16:24:44
じゃあ俺も提言する
スレタイに
【"∞桁目"の余りバカ根絶スレ】
追加汁

492 :言い出しっぺ:489-490:2007/12/15(土) 13:29:30
Q1: 1=0.999… か?
A1 「前提条件」により「1=0.999…」なり「1≠0.999…」なり変わる。
しかし、通常はその様な前提条件を採用する事の利点や、過去の経緯を考えると
「1=0.999…」であるとした方が妥当である。

Q2:「1=0.999…」は証明可能なのではないか。
A2:A1の前提条件を認めれば可能である。しかし、認めない人にとってはその証明は
無意味である。

Q3:1と0.999…は形が全く違う。同じ数だと言うのは納得できない。
A3:分数の2/2と3/3も違う形だが、全く同じ数である。

Q4:A1で、数学で正反対の結果を容認するのは納得できない。論理は一意に定まるのではないか?
A4:自然数が入っている論理がもし正しいなら、その正しさはその論理内で証明できない。
従って、「1=0.999…」が結論となる論理も「1≠0.999…」が結論になる論理も
無矛盾な限り、その正しさはその論理内で証明できない。
更に言えばどちらの論理結果も独立に存在し得る。

493 :言い出しっぺ:2007/12/15(土) 13:47:20
Q5:A1の「前提条件」とは何か?
A5:通常は実数の範囲で考え、「実数の連続性」や「0.999…が無限級数の
極限値である」こと等を前提にする。しかし、説明は複雑になるが、
アルキメデス性を満たす数の範囲(例えば実数ではなく有理数)で
考える事も可能である。

Q6:「1=0.999…」の証明には幾つかの初等的手法があるが、これらは無意味になるのか?
A6:前提条件を認めて、無限小数の演算を矛盾無く定義するなら、それらの初等的証明は
確かに証明になっている。前提条件を認めた段階でのより単純な証明は存在するが
初等的証明には「分かり易い」という利点がある。

494 :言い出しっぺ:2007/12/15(土) 14:37:53
D 1≠0.999…だとすれば、その間に数がある事になるが、その様な数が
あるとし、各桁毎に比較する事でその値を考えてみても、
1の位は比較して0、小数第1位以降は比較して9、と、結局
0.999…を得る事になり、0.999…と1の間の数にならないので矛盾。

E 1と0.999…を足して2で割った数は
 1.999…/2=0999…となり、x=0.999…と置くと、
(1+x)/2=x よって、x=1となる。

495 :言い出しっぺ:2007/12/15(土) 14:39:11
D 1≠0.999…だとすれば、その間に数がある事になるが、その様な数が
あるとし、各桁毎に比較する事でその値を考えてみても、
1の位は比較して0、小数第1位以降は比較して9、と、結局
0.999…を得る事になり、0.999…と1の間の数にならないので矛盾。

E 1と0.999…を足して2で割った数は
 1.999…/2=0999…となり、x=0.999…と置くと、(1+x)/2=x
よって、x=1となる。

496 :言い出しっぺ:2007/12/15(土) 14:50:44
Q8:1≠0.999…となる数学モデルは具体的にどの様な物があるのか?
A8:違う表記の数を全て違う数と看す体系が挙げられる。只、副作用も多過ぎる。
超準解析学を考えると1≠0.999…となる数学の体系を構築する事もできる。
J.H.Conwayの超現実数では1≠0.999…」となる。
J.H.Conwayの超現実数を扱った単行本
至福の超現実数―純粋数学に魅せられた男と女の物語
原著=Donald E.Knuth, 翻訳=松浦 俊輔,
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4760126465


Wikipedia の 0.999...の項目も参考に!
http://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...%E3%81%8C1%E3%81%AB%E7%AD%89%E3%81%97%E3%81%84%E3%81%93%E3%81%A8%E3%81%AE%E8%A8%BC%E6%98%8E

497 :言い出しっぺ:2007/12/15(土) 15:00:40
>>494を訂正>>495

>>491
1=0.999… その15.999… 〜"∞桁目"の余りバカ根絶スレッド〜

or

【"∞桁目"の】1=0.999… その15.999…【余りバカ】

498 :132人目の素数さん:2007/12/15(土) 16:33:03
>>492-497
ご苦労さんです。

499 :132人目の素数さん:2007/12/21(金) 18:05:48
これ理解できない人って0.3333...を分数になおせって問題の時の
 3.33333.....
-)0.33333.....
  ̄ ̄ ̄ ̄
とやる過程が納得できな人って先生が言ってた

500 :132人目の素数さん:2007/12/21(金) 20:11:45
>>499
筆算を、一桁ずつ引き算を実行して計算するとき
桁が無限にあるんだからいつまで経っても計算は終わらない。

普通の人間が普通に考えれば計算結果が3に等しい事に"気づく"が、
筆算を最後まで実行した訳ではない。

無限って不思議だよな。

501 :132人目の素数さん:2007/12/23(日) 11:18:42
つまり「"∞桁目"の余りバカ」にはそれも通用しない。
循環小数をも有理数から除外するに至っている。

1-[m→∞]Σ[n=1〜m](9*0.1^n)=[m→∞]0.1^m
となるがこの
[m→∞]0.1^m(=0となる筈なのだが)
に対する考え方が問題。
「普通の極限で処理するな」等と言ってくる。

502 :テンプレ追加新提案:2007/12/26(水) 21:33:47
Level.1
納得仕切れないが取り敢えず1=0.999…を認める
Level.2
1/3=0.333…は認めらるが1=0.999…は認められない
Level.3
1=0.999…を認められない余りに1/3=0.333…も否定し始める
Level.4
Level.3から更に悪化し、遂に循環小数は有理数ではないとする
Level.5
Level.4から更に進み、実数の連続性をも幻想だと言い始める
Level.6
1=0.999…を例を用いて議論するなら二分法になる所を、
飛矢不動説で議論し始めたり、更に不適なアキレスと亀説で議論し始め、
「アキレスと亀説よりも飛矢不動、飛矢不動よりも二分法の方が
例に適する筈」と言う助言さえも無視し始める
Level.7
数学全体の信頼性の疑問視、
数学を神だの仏だの持ち出しつつトンデモ哲学者的に鼻で笑う、
のどちらか一方をやり始める
Level.8
Level.7で挙げた行動を両方やり始める

不納得者 〜 「"無限桁目"の余り」バカ 〜 トンデモ無限説者

503 :132人目の素数さん:2007/12/30(日) 15:52:43
二分法
=1-Σ[n=1~∞]0.5^n
=1-Σ[n=1~∞]二進0.1^n
=1-二進0.111…
(∵ 0.5=二進0.1)

この式は
1-Σ[n=1~∞](9*0.1^n)
=1-0.999…
と同義。

504 :132人目の素数さん:2007/12/30(日) 21:01:13
同義、ってとこに無理がある

505 :132人目の素数さん:2007/12/31(月) 13:24:11
では
相同と迄はいかぬが相当
又は
全く同じ問題と迄はいかぬが同じ性質の問題

506 :132人目の素数さん:2008/01/05(土) 02:45:56
1/9=0.111・・・・・
2/9=0.222・・・・・
3/9=0.333・・・・・
4/9=0.444・・・・・
5/9=0.555・・・・・
6/9=0.666・・・・・
7/9=0.777・・・・・
8/9=0.888・・・・・
9/9=0.999・・・・・
よって 0.999・・・・ = 1


507 :言い出しっぺ:2008/01/05(土) 05:29:44
Q7前半忘れてた
>>506
>>4&>>491
Q7:Q6の初等的証明とは具体的にどの様な物があるのか?
A7:
@ 1/3=0.333…
2/3=0.666…
3/3=0.999…
∴ 1=0.999…

A x=0.999… と置いて
10x-x=9.999… - 0.999…
9x=9
x=1
∴ 1=0.999…

B 0.999… は初項0.9公比0.1の無限等比級数だから、その値は
0.999… = 0.9/(1−0.1) = 1

C n÷n を計算する際に商の一の位に0をたてると、0.999…が得られるから
1 = n÷n = 0.999…

508 :言い出しっぺ:2008/01/05(土) 05:31:14
>>507
× >>491
>>490

509 :言い出しっぺ:2008/01/05(土) 14:49:20
見直して気になった>>496の問答分の空白の開け方を修正
Q8:1≠0.999…となる数学モデルは具体的にどの様な物があるのか?
A8:違う表記の数を全て違う数と看す体系が挙げられる。只、副作用も多過ぎる。
超準解析学を考えると1≠0.999…となる数学の体系を構築する事もできる。
J.H.Conwayの超現実数では1≠0.999…」となる。
J.H.Conwayの超現実数を扱った単行本
至福の超現実数―純粋数学に魅せられた男と女の物語
原著=Donald E.Knuth, 翻訳=松浦 俊輔,
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4760126465


Wikipedia の 0.999...の項目も参考に!
http://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...%E3%81%8C1%E3%81%AB%E7%AD%89%E3%81%97%E3%81%84%E3%81%93%E3%81%A8%E3%81%AE%E8%A8%BC%E6%98%8E

510 :132人目の素数さん:2008/01/05(土) 20:50:47
目で見たら違和感を覚えるが
実数の世界では=なんだろ。

1と0.99……の間には正の無限小超実数εだけ
差があるけど、標準部分をとれば=で結ばれる、
という認識。

511 :132人目の素数さん:2008/01/06(日) 00:35:03
>>510
>1と0.99……の間には正の無限小超実数εだけ差があるけど、
>標準部分をとれば=で結ばれる、という認識。
その認識はとても不自然。むしろ「間違い」に近い。

(1)超準解析においても、0.999…=1となるように無限小数展開を
 定義することが出来る(wikiを見よ)。

(2)一方で、超準解析において、0.999…と1の差が正の無限小超実数に
 なるように無限小数展開を定義すると、無理が生じる。

(1),(2)より、たとえ「無限小」なる概念が導入された数の体系で
あっても、やはり0.999…=1とするのが自然。

512 :132人目の素数さん:2008/01/06(日) 00:36:06
どれだけ同じだといっても

513 :132人目の素数さん:2008/01/06(日) 00:36:35
「でも、本当の本当にはちょっと違うんだろ」とか返されるだけ

514 :132人目の素数さん:2008/01/06(日) 00:42:29
(2)について:
ある正の無限小超実数εに対して、

0.999…=1−ε

となるように無限小数展開が定義されたとする。このとき、たとえば
x=0.999…+0.999…とおいたとき、xの無限小数展開はどうなるのか?
我々には2つの選択肢がある。

(i)xの無限小数展開は定義しない
(ii)頑張って定義する

(i)の場合:これは、「無限小数展開された2つの数を足すことで得られる数が、
再び無限小数展開可能とは限らない」ということを意味する。不自然である。

(ii)の場合:0.999…=1−εを代入すれば、x=2−2εとなるから、xは
「2より無限小だけ小さい数」ということになる。よって、x=1.999…と
定義したいものである。ところが、もし1.999…=1+0.999… という等式を
認めるならば、1.999…=2−εとなるから、2−2ε=x=2−εとなり、
ε=0となって矛盾する。すると、我々は次の2つの選択肢を得る。

[1]x=1.999…と定義し、1.999…=1+0.999…という式は不成立とする。
[2]x=1.999…という定義は失敗。別の定義を探す。

[1]の場合:不自然すぎる。
[2]の場合:じゃあ、どうやってxの無限小数展開を定義するのか?
       少なくとも俺は、自然な定義を知らない。

515 :132人目の素数さん:2008/01/06(日) 14:46:55
さもなくば
超現実数体から更に連続性を捨てた不自然且つ面倒な
系を採用する事になるな
前スレだか前々スレに過去のyahoo掲示板からの転載があったべ

516 :132人目の素数さん:2008/01/07(月) 14:42:24
>>513
本当はちょっと違うと思っている人は
数学を勉強しなくてもいいのではないかな。
なにも全ての人が数学を勉強する必要はないのだから。

517 :132人目の素数さん:2008/01/07(月) 17:50:05
>>515
Conwayの超現実数なら面倒だが不自然ではない

518 :132人目の素数さん:2008/01/07(月) 19:23:43
>>517
Conwayの超現実数において、x=1−0.999…とおいたとき、xの無限小数展開はどうなってるの?

519 :132人目の素数さん:2008/01/07(月) 23:56:55
0.999...
↓約分
0.999...99/
すると
=1

これでイイ。

520 :132人目の素数さん:2008/01/08(火) 00:10:34
>>518
0.000…
Conway流だと
0.000…≠0
が証明できるから
1≠0.999…

521 :132人目の素数さん:2008/01/09(水) 05:15:29
ではConway流だと
1/(1-0.999)
に値が与えられる…?
それ以前に
1-0.999…
はどうなるのか?

522 :132人目の素数さん:2008/01/09(水) 05:30:31
>>520
じゃあ、(0.000…)/2の無限小数展開はどうなるの?

523 :132人目の素数さん:2008/01/09(水) 13:30:31
もう小数展開できなくなる。それらは超現実数ではあっても実数ではないから別にそれで不都合はない。

524 :132人目の素数さん:2008/01/09(水) 13:37:20
1-0.999…=0.000…
は超現実数だが実数ではない。たまたま小数展開をもつが。
1/0.000…=ω=1+1+1+…
は最初に出来る無限大で、やはり超現実数だが実数ではない。
0.000…*ω=1
だが
0*ω=0
だから
0.000…≠0
がわかる。

525 :132人目の素数さん:2008/01/09(水) 13:44:17
じゃあ、超現実数が必ずしも無限小数展開を持つとは限らないわけだ。
やっぱり、0.999…≠1と定義するには、何かを犠牲にしなくちゃいけないんだな。

526 :132人目の素数さん:2008/01/09(水) 13:55:08
実数を拡大してるんだから当たり前と思う。複素数を一つの実数で書けないからといって「犠牲にした」と表現するのは変だと思うし、それと同じじゃないかと。

527 :132人目の素数さん:2008/01/09(水) 14:09:39
>>526
拡大とか制限の視点で「無限小数」を見るのは間違っている。
なぜなら、順序体としては実数の拡大だが、無限小数表記に
ついては実数の拡大じゃないから(拡大だったら0.999…=1となる)。
さらに、実数の制限にもなっていない。実数における無限小数とは
全くの別物として定義されている。

528 :132人目の素数さん:2008/01/09(水) 14:17:46
ちゃんと小数表示についても説明しとこうかとは思ったんだがちょっと面倒だったんでああ書いといた。補足サンクス。

529 :132人目の素数さん:2008/01/09(水) 14:28:05
>>528
いや、補足とかそういうことじゃなくて、俺が言いたいのは、
「犠牲にした」と表現するのは変じゃない、ということだ。
君は、拡大とか制限の視点から
>「犠牲にした」と表現するのは変だと思うし
と反論しているが、そもそも その視点で「無限小数」を見るのは
間違っているから、反論になってない、と言っている。

530 :132人目の素数さん:2008/01/09(水) 14:40:19
そうでも無いでしょ?そもそも小数表示を行えば不自然になる超現実数に無理矢理しようとしたら破綻して当たり前だし、超現実数の一部である実数については普通に小数表示は出来るんだし。
無理矢理やって出来ないことをもって犠牲って言ったらそりゃあ筋違いとしか思えん。

531 :132人目の素数さん:2008/01/09(水) 14:50:48
>>530
>小数表示を行えば不自然になる超現実数に無理矢理しようとしたら破綻して当たり前だし
「破綻して当たり前」=「何かが犠牲になって当たり前」

>無理矢理やって出来ないことをもって犠牲って言ったらそりゃあ筋違いとしか思えん。
何かが犠牲になって当たり前のことをしたのだから、そのことについて改めて
「何かを犠牲にしたな!」と指摘をするのは、筋違いでは無い。また、指摘を
受ける方は、「何も犠牲になってません」と言うことも出来ない。

532 :132人目の素数さん:2008/01/09(水) 14:59:59
>>531
実数体を複素数体に拡大するのを犠牲にしたって言うような感覚の人なんだな。なら感覚の違いだから君は君の思うようにどうぞ。

533 :132人目の素数さん:2008/01/09(水) 15:13:11
>>532
>実数体を複素数体に拡大するのを犠牲にしたって言うような感覚の人なんだな。
犠牲にしたと思う。そして、犠牲にした分(あるいはそれより多く)、より豊富な構造を獲得したと思う。

>なら感覚の違いだから君は君の思うようにどうぞ。
複素数については、どこかで「順序関係は犠牲になったが、実数には無い豊富な構造を手に入れた」
みたいな記述も見かけたことがある。別段、変わった感覚というわけでもあるまい。

534 :132人目の素数さん:2008/01/09(水) 15:16:18
あと、「犠牲」という単語が嫌いなら、「破綻」でもいいよ。君は
>そもそも小数表示を行えば不自然になる超現実数に無理矢理しようとしたら破綻して当たり前だし
このように書いている(=何かが破綻することは自覚している)から、俺が

「何かが破綻するんだね」

と書いても、別に文句はあるまい。

535 :132人目の素数さん:2008/01/09(水) 15:22:40
まあ整数も有理数も破綻しているしな(笑)それに文句ないなら感覚の問題だからどうこう言う気はない。

536 :132人目の素数さん:2008/01/09(水) 15:29:49
というか、何で「犠牲」という表現が気に入らないのか分からない。

犠牲
(1)目的のために身命をなげうって尽くすこと。ある物事の達成のために、かけがえのないものを捧げること。また、そのもの。
(goo 辞書より)

実数においては、任意の実数は無限小数展開できる。これは非常に良い性質だ。「かけがえのないもの」と言える。この性質を
「捧げる」ことで、「ある物事の達成」が成される(0.999…≠1という等式を得る)。まさに「犠牲」という言葉がピッタリ
じゃないか。実数から複素数への拡張だって同じ。今まで持っていたかけがえのない物を捧げることで、新たな性質を手に入れる。
「犠牲」という言葉がしっくりくる。そもそも、「犠」も「牲」もイケニエの意味を持つ漢字で、「犠牲」という言葉は、
単に「何かを失う」というネガティブな言葉なのではなく、その失なったものの「対価」を得るニュアンスまで込められている。
むしろ、「破綻」という言葉の方がおかしい。この言葉は、単に破壊の意味合いしかなく、「犠牲」と違って対価が無い。

>まあ整数も有理数も破綻しているしな(笑)それに文句ないなら感覚の問題だからどうこう言う気はない。
感覚というか、俺と君の「語感」の問題じゃね?

537 :132人目の素数さん:2008/01/09(水) 16:05:31
>>536
語感を感覚とは言わないという感覚の持ち主なのか。まあ感覚の違いだから君は君の思うようにどうぞ。

538 :132人目の素数さん:2008/01/09(水) 16:13:23
>>537
>語感を感覚とは言わないという感覚の持ち主なのか。
違うね。ラフに書くならば 語感⊂感覚 だ。犠牲という言葉についてあれこれ
議論しているのだから、「感覚」なんていう広すぎる言葉よりも、「語感」と
いう、まさに今この場面にピッタリな言葉の方を採用しただけだ。

>まあ感覚の違いだから君は君の思うようにどうぞ。
俺は>525で
>やっぱり、0.999…≠1と定義するには、何かを犠牲にしなくちゃいけないんだな。
と書いた。この文章は、「何かを得るためには、何かを捧げなくちゃいけないんだな」
ということを言っているに過ぎない。そして、それは>536の(1)そのものだ。従って、
「犠牲」という言葉を使うことは間違っていない。つまり俺は、

「犠牲」という2文字の文字列の定義に当てはまる文脈において、
「犠牲」という2文字の文字列を使用した

ということ。これに異議を唱えた君はおかしい。

539 :132人目の素数さん:2008/01/09(水) 16:20:18
君の感覚ではそうなんだろうから文句言うのは止めたでしょ?そういう感覚の人がいるとは思ってなかったからああ言ったけどいるなら仕方ないから。何かまだこだわってるみたいだけど数学の議論にはならない話だからこっちとしてはああそうですかで終わりなんだけど。

540 :132人目の素数さん:2008/01/09(水) 16:28:54
>>539
>そういう感覚の人がいるとは思ってなかったからああ言ったけどいるなら仕方ないから。
君が「犠牲」という2文字の記号列の意味をよく知らないだけ。君が感じている違和感は、
君の「犠牲」という言葉に対する理解不足が原因。これは、もはや「感覚」とかそういう
問題ではない。「犠牲」という記号列に対する理解度の問題。それはちょうど、「+」という
記号の定義を知らない子供に

1+1=2

という記号の羅列を見せても「?」となってしまうようなもの。

>数学の議論にはならない話だからこっちとしてはああそうですかで終わりなんだけど。
俺は、「犠牲」という二文字の文字列の定義に従って、定義に合った文脈で「犠牲」という文字列を使った。
すなわち、定義に従って、定義に合った文脈で、記号を使った。これはむしろ数学だろ?
たとえば、「1」「+」「=」「2」という4つの記号を用いて、我々は

1+1=2

という記号の羅列を書くことができる。君は、これを見て「この記号の羅列はおかしい!」と
言っているようなものなんだぞ?そして、「いや、おかしくない」と言っている人を見て
「感覚の違いだな」と問題をすりかえているんだぞ?分かるか?

541 :132人目の素数さん:2008/01/09(水) 16:38:21
>>540
だから君はそういう感覚だから文句言っても仕方ない。こちらとしては君がそう思うのは自由だしどうぞ、議論にはならない話だからこっちとしてはそれで終わり、なんだよ。嫌だろうし君には君なりのこだわりがあるんだろうからすまんがなw

542 :132人目の素数さん:2008/01/09(水) 16:47:27
>>541
>だから君はそういう感覚だから文句言っても仕方ない。
文句を言ってくれ。君は
>「犠牲にした」と表現するのは変だと思うし
と書いたが、>525で「犠牲」という言葉を使うことのどこが変なのか?
変だと言うことは、>525の文脈において「犠牲」という言葉を使うことが
「犠牲」という言葉の定義にかみ合わないということになる。一体、
「犠牲」という言葉の定義のどこが、>525の文脈とかみ合っていないのか?

543 :132人目の素数さん:2008/01/09(水) 16:56:40
文句言っても仕方ない。感覚の違いは普通にあることだし。子供ならともかくそうでないなら知ってるでしょ?だから君は君の思うようにとしか言えない。
こういう不毛な話はもう勘弁な。まあはっきり勝ちと認めて欲しいとかなら君の勝ちと思ってくれていいし君の考えのみが正しいと主張するならご自由に。そういう若さについていける元気はもう無いんでw

544 :132人目の素数さん:2008/01/09(水) 17:09:06
>文句言っても仕方ない。感覚の違いは普通にあることだし。
仕方なくない。どういう「感覚」が原因で、>525の書き込みに
違和感を覚えているのかを知りたいから聞いているのだが。
今のところ唯一の手がかりは>530だが、見えて来ない。
議論の勝ち負けの問題ではない。

545 :132人目の素数さん:2008/01/09(水) 17:19:10
聞いて納得したいってだけでこんなにしつこくなれるってのも若さなんだろうなw
でもこちらとしても感覚が違って納得出来なくても文句言うんだろうと言うことはわかっているから、結局不毛になるなら敢えて言う意味を感じないのだよ。悪いけど君の思うように人は動くとは限らないと言うことも知っておくといいよ。思ったり感じたりは自由だけどね。
もう諦めてくれなw
ウザイのは正直好きじゃない。

546 :132人目の素数さん:2008/01/09(水) 17:32:45
>でもこちらとしても感覚が違って納得出来なくても文句言うんだろうと言うことはわかっているから、
わかっているから?何も分かってない。
>どういう「感覚」が原因で、>525の書き込みに違和感を覚えているのか
を知りたいのだから、その「感覚」の正体が分かれば、その「感覚」自体の是非は問わない。
なぜこんなことも分からないのか?

>悪いけど君の思うように人は動くとは限らないと言うことも知っておくといいよ。
俺が君にレスを繰り返すのもまた、俺が「君」の思うようには動いていない証拠ですね^^

547 :132人目の素数さん:2008/01/09(水) 17:48:24
>>546
うんw
だから君がどう勝手に思おうと構わんしこっちが冷ややかに見て答えないのも仕方ないわけだ。
まあそんなところでw

548 :132人目の素数さん:2008/01/09(水) 18:03:47
>こういう不毛な話はもう勘弁な。
>そういう若さについていける元気はもう無いんでw
>もう諦めてくれなw
>まあそんなところでw
などと言って話を終わらせようとするかと思いきや、レスがあるたびに律儀に返答。本当に
面倒くさかったら一発つっぱねてスルーすれば済むのにそれをしない。というか、そもそも
>537の段階で
>語感を感覚とは言わないという感覚の持ち主なのか。
などと言葉尻を捕らえ、それこそ「不毛な話」を長引かせる原因になることが十分に予想
される「不毛な煽り」をしてみたり、
>まあ感覚の違いだから君は君の思うようにどうぞ。
を連発して囃し立ててみたり。言動の矛盾。こいつは何がしたいんだ?

あと、若い若いって、こいつはどれだけ年寄りなんだろう?ヨボヨボのじいさんでないに
しても、いい年こいたおじさんが
>補足サンクス。(>528)
という表現を使っている姿を想像すると幻滅する…

549 :132人目の素数さん:2008/01/09(水) 18:08:02
>>548
構ってくんはただスルーしたらしたでウザくなるから諦めてくれるならそれにこしたことはないんだわ。
まあ確かにいつまでも粘着されるだけだろうとこちらから諦めてスルーした方がいいかw


550 :132人目の素数さん:2008/01/09(水) 18:20:25
>>549
いや、君がレスしている>548は、その「構ってくん」の俺なのだが^^

>ただスルーしたらしたでウザくなるから
君、さっきから俺の行動を全然予測できてないね…
俺の場合、レスが返って来るまで返答はしない。つまり、「出て来いコノヤロー!」みたいな
ことは書かずに、ずっと待つのみ。そして、”返答がある限りは”、気が済むまで長引く。
返答がなければ、相手が逃げたと見なしてそれでオシマイ。

>こちらから諦めてスルーした方がいいかw
いや、もうこちらから「スルー」させてもらいますわ。不毛な煽りをしてきたり、
「補足サンクス」という表現を使ってくるような、いい年こいたおじさんを想像
すると萎える。こんな どうしようもない人間の感覚なんてどうでもいいっす。

さようなら。

551 :132人目の素数さん:2008/01/09(水) 18:25:49
>>550
それで良いよ。逃げたでいいし君の勝ち!おめでとうw

といわけで以後はスルーしとくわ。君が次に何か書いたらそれが結論で構わんから。

まあある意味その熱さは羨ましいよw

552 :132人目の素数さん:2008/01/09(水) 21:21:43
お前ら楽しそうでいいな

553 :132人目の素数さん:2008/01/10(木) 02:26:57
打たれ弱いからってそんないちいち予防線張りながら話しなくてもいいだろうにね…

554 :132人目の素数さん:2008/01/10(木) 03:11:01
なんだなんだ
なんか盛り上がってると思ってレス辿ってみれば
Surrealでは1≠0.999…だなんて言い出すアホがいたのかw
そりゃConwayも泣くわw

555 :521:2008/01/10(木) 10:01:22
>>524
回答サンクス

>>525-551
これは何という仲良い口喧嘩
若さvs老獪?
拘り派vsスッキリ派?

…って
>>554
ええっ?ヤッパリ違うの!?

556 :521:2008/01/10(木) 10:07:28
超現実数で計算すると
0.000…;…001
(;を超現実数の壁とした。)
だけ誤差蓄積してくの?

1/3*3=0.333…*3
これどうなんの一体?
1/3=0.333…かどうかも怪しくなってきとる

557 :132人目の素数さん:2008/01/10(木) 11:03:31
>>555
> …って
>>554
> ええっ?ヤッパリ違うの!?

超現実数では

1-1/2+1/4+1/8+1/16+…

つまり二進法で小数表示すれば

0.111…

になるかずは確かに1ではないから

1≠0.111…

だから厳密には十進法表示の

1≠0.999…

を示したわけではないということを言いたいのでは?

558 :132人目の素数さん:2008/01/10(木) 11:56:47
しかも超現実数が3進展開でも10進展開でもなく2進展開なのは偶々ではなく意味があってことだからなぁ…
まぁテンプレは覚えてたら適当に直しとくよ

559 :132人目の素数さん:2008/01/10(木) 12:37:09
>>558
まあ二進法の0.111…を十進法で敢えて表示し直せば0.999…とも言えるから完全に間違いとは言えんだろうがそこらをしっかり書いておかないと誤解は招くだろうな。

560 :132人目の素数さん:2008/01/10(木) 13:18:26
>>559
>十進法で表記し直せば0.999…
んなこたない。
その書き換えの発想でいくなら1/3=0.333…になってますますこのスレでいう1≠0.999…の
道具として使うには不適当だよ。
そもそも実数を色々な数で小数展開するのは何で展開しても同じ構造が得られるからであって、
得られる構造が違う規則で展開する以上勝手に変換しちゃいかんよ。

561 :132人目の素数さん:2008/01/10(木) 13:33:13
>>560
ん?
二進法で
a(n)=0.111…1(小数部分n桁)
のnを十分大きく取れば十進法で表示した時の小数点以下のどの桁の数字も9になるんだから0.999…というのは一応はありだろ。十進法に直すのが不自然とは言えるだろうが。

気になるなら二進法で
0.111…≠1
とするか
0.000…≠0
にしてしまえば良いが、まあ1≠0.999…でないと見た目インパクトが無いしねえw

562 :132人目の素数さん:2008/01/10(木) 14:06:25
いや、だから全く同じ方法で1/3もnを増やしていけばどの桁も3になるって話だろう?
そもそも表記が異なるのは異なる数だってのが出発点なんだから
勝手に表記を変えちゃ駄目だろ。
0.111…(2)<0.999…って人だっているくらいだ。

563 :132人目の素数さん:2008/01/10(木) 15:35:18
1/3=0.333…に文句言われても。確かに同じ方法で超現実数では一致するけど、それに問題があるって言うのはわけわからん。
表示が異なれば異なるが出発点かどうかは知らんが、1≠0.999…となる解釈例になっているんだから。

564 :132人目の素数さん:2008/01/10(木) 15:56:38
1≠0.999…派の多くが1/3≠0.333…派だからでしょ。
「1/3=0.333…なんだから両辺を3倍して1=0.999だろ」
「じゃあ1/3≠0.333…だ!」
はこのスレの最頻出ループの1つ。

565 :132人目の素数さん:2008/01/10(木) 16:05:48
そういう人を相手にしなきゃいけないってことなら非標準な話はそもそも出来ないけどね。むしろわかっている人に対してこう考えれば≠に出来るよって話だから。
間違いというより説明上の都合か。

566 :132人目の素数さん:2008/01/10(木) 20:30:28
二進法の0.111…を十進法で直せば0.999…になるのはなんで? 教えてエロい人

567 :132人目の素数さん:2008/01/10(木) 21:13:47
>>566
一般的な定義なら実数上で0.111…=1=0.999。
自分で勝手に決めた定義上なら好きにしろというかそんなものは決める人次第で何にでもなる。

568 :132人目の素数さん:2008/01/10(木) 21:18:49
Conwayがやったことから普通に導かれるんだからこの解釈なら1≠0.999…は認められたってわけね。了解。
もちろん標準的な小数の定義を採用すれば=なことは当たり前。

569 :132人目の素数さん:2008/01/11(金) 05:40:21
>Conwayがやったことから普通に導かれる
ん? どこが普通になんだ? 結果がそうなるよう無理矢理決めただけだろう?

570 :132人目の素数さん:2008/01/11(金) 06:08:58
0.999…≠1を成り立たせる最も簡単な方法は、「0.999…」という記号と「1」という記号を
0.999…:={}
1:={{}}
と定義すること。これは荒唐無稽なので、普通は、実数における無限小数展開が持つ構造を
なるべく保持するようにしつつ0.999…≠1を成り立たせる定義を考える。この
「なるべく保持するように」
をどこまでこだわるかで、0.999…≠1に出来たり出来なかったりする。こだわりを
捨てて単に0.999…≠1にしたいだけならば、今書いた0.999…={},1={{}}で十分。
個人的には、>>561の定義の仕方は0.999…={},1={{}}とやっているのと同じくらい
荒唐無稽に見える。

571 :132人目の素数さん:2008/01/11(金) 08:09:26
>>569
計算すれば普通に求まるでしょ。
もちろん非標準的な事をやっていることは確かだから汚くなってしまうわけだが、そう必死になられるほど酷いとも思えんがね。
どーーーー―しても嫌なら0.000…≠0でもいいし、ちゃんと二進法で0.111…≠1でもいいが。
本来はそうすべきなのはそうだよ。

572 :132人目の素数さん:2008/01/11(金) 08:36:54
>>570

>普通は、実数における無限小数展開が持つ構造を
> なるべく保持するようにしつつ0.999…≠1を成り立たせる定義を考える。

だね。だから本来の実数の構造の方は保持してる。いじったのはあくまでも小数表示の方。

超現実数そのものが嫌いなら仕方ないが。

573 :132人目の素数さん:2008/01/11(金) 08:43:10
おっと、失礼。ちゃんと小数表示の方か。
ただ有限小数って構造自体がそもそも数学的に美しくない上に十進法も人間の指の数で定まるような偶然からきたものだからね。もともと不自然なものに合わせる以上汚いところが出るのはやむをえないと思うが。


574 :132人目の素数さん:2008/01/11(金) 08:43:50
>だから本来の実数の構造の方は保持してる。
違うよ。>>570で言っているのは、実数における 無 限 小 数 展 開 が 持 つ 構 造 だよ。
実数の構造じゃなくて、実数における 無 限 小 数 展 開 が持つ構造。

575 :574:2008/01/11(金) 08:44:47
おっと、こちらが言う前に気づいてたか。失礼!

576 :132人目の素数さん:2008/01/11(金) 09:30:56
よくある

小数表示が異なれば違う数は≠

ってのだと実数の構造自体が変わってしまう。それよりはマシだと思うんだけどねえ。

577 :132人目の素数さん:2008/01/11(金) 15:06:53
じゃあ
二進0.111…≠1⇒十進0.999…≠1
と⇒で結んじゃう拡大解釈は誤りって訳にはならんというんかな?

578 :132人目の素数さん:2008/01/11(金) 15:42:55
ひとつのやり方としてはありだと思ってる。美しくないのは確か。

579 :132人目の素数さん:2008/01/12(土) 17:10:48
>>558
では覚えてたら宜しく

>>492-493&>>495&>>507-509

&>>497

>>502はどう見ても煽りだがこれもいれるのだろうか?

580 :言い出しっぺ:2008/01/12(土) 17:13:09
>>558
では覚えてたら宜しく

>>492-493&>>495&>>507-509

&>>497

>>502はどう見ても煽りだがこれもいれるのだろうか?

581 :言い出しっぺ:2008/01/12(土) 17:18:33
中途で書き込まれてageてしまった

582 :132人目の素数さん:2008/01/13(日) 19:27:25
1≠0.999… となる世界では、対角線論法はどうなるの?
NとRの濃度が違うってコトすら証明できない事態に至ってしまうんかいな?

583 :132人目の素数さん:2008/01/13(日) 20:46:58
適当に選ぶ数字を1〜8に限定すればいいんじゃないの

584 :132人目の素数さん:2008/01/13(日) 21:58:50
>>582
>NとRの濃度が違うってコトすら証明できない事態に至ってしまうんかいな?
1≠0.999…となる世界の構成の仕方による。上で議論されていた超現実数による
構成だと、得られる数の体系はR(実数体)ではなくK(超現実数体)なのだから、
NとRの濃度が違うか否かを考えても意味が無い。NとKの濃度が違うか否かを
考えなければならない。で、集合としてR⊂Kなので、NとKの濃度は違う。

注:超現実数をKと書いたが、これは俺が勝手に書いた記号なので、一般には
どんな文字を使うのかは知らない。

585 :132人目の素数さん:2008/01/20(日) 15:45:21
0.9999・・・は、厚さゼロの点1に左からぴったり張り付いてる(やはり厚さゼロの)点だという説明はいかがかな?
両者は異なると思ってもいいが、(普通の)距離に縛られる世界からは両者の区別がつかない。

(その人の考える)無限とは何なのかを他者に説明できない場合は、当然その人の書く0.99999・・・の意味も他者に理解されない。

辞書式による小数の大小比較を絶対化し、1>0.999…とする反論は皆無?

586 :132人目の素数さん:2008/01/21(月) 12:20:01
> 辞書式による小数の大小比較を絶対化し、1>0.999…とする

は、テンプレの

> Q3:1と0.9999…は形が全く違う。同じ数だと言うのは納得できない

に含まれるんじゃね?

587 :132人目の素数さん:2008/01/21(月) 18:11:38
分数なら通分して分子を大小比較、小数表記された数は辞書式で大小比較
が基本。(皆そうしてるよね?)
有限小数のとこだけ「形が違っても同じだ」という説明では誤魔化してる
感じにならない?

588 :132人目の素数さん:2008/01/21(月) 19:04:21
>>587
否、だから、1≠0999…とするのなら、
我々が教授された実数の内での話ではなくなり
>>514から延々と質疑応答が交わされてきたConway流超現実数の話になる。
我々が教授された実数の上では、テンプレの通り1=0.999…。
まぁ、Conway流について読み返すなら514からじゃなく
>>554からが良いかと。
但し、Conway流超現実数が実数の性質を全て内包するとは限らない。

>>588
オメェーだってこのスレで教えて貰った分際で
知ったか振ってんじゃねーよ

>>588
日本語でおk

589 :132人目の素数さん:2008/01/21(月) 19:45:43
>>587
なぜ、分数は通分するのが「基本」なんだw?

そう「習った」からか?だったら、無限小数も分数等に直す手法は「習った」よな。
というわけで、分数や整数に直して比較するのは「基本」だからOKね。

整数に「習った」通りに直したら 0.999…=1 に他ならないだろ?
仮に「1≠0.999…」としたら、そこに矛盾が発生するじゃないか。

590 :132人目の素数さん:2008/01/21(月) 19:56:06
>>588

>否、だから、1≠0999…とするのなら、

「だから、1≠0999…とする」のではなく、テンプレでは辞書式がダメな
ことを説明してない点を、誤魔化している感じがすると言ったつもりなん
だけど。

591 :132人目の素数さん:2008/01/21(月) 21:01:55
>>590
辞書式でも良いんじゃないの?

単に副作用があって、通常は使わないだけの話であって。

592 :132人目の素数さん:2008/01/21(月) 23:08:35
>>591

>辞書式でも良いんじゃないの?
では、辞書式で1と0.9999・・・を並べるとどっちが先?

>通常は使わないだけの話であって。
では、3.14159265・・・と、3.13113111311113・・・の大小比較、
通常の方法を教えておくれ。


593 :132人目の素数さん:2008/01/22(火) 00:58:29
>>592
最初のは0.99…だが何か?
後ろのは上の桁から順に比較していけば良いだけだが、何か?


594 :132人目の素数さん:2008/01/22(火) 08:45:22
>後ろのは上の桁から順に比較していけば良いだけだが、何か?
それを、「小数表記された数の大小比較は、辞書式が基本」
と説明したのよ。

>最初のは0.99…だが何か?
だから、辞書式は(この場合)良くないんでしょ?

「形が違うから違う」への反論は、「形が違っても同じものはある」で良いが
「辞書式より、0.9999…<1では?」という疑問には、辞書式が有効な条件を
合理的に説明するか、さもなくば「辞書式なんて必要ないのだ」とかの立場
を示す必要があるでしょ。

595 :132人目の素数さん:2008/01/22(火) 10:00:44
辞書式で比較するのは自由だが、不等号じゃない別の記号を使ってくれ

596 :132人目の素数さん:2008/01/22(火) 10:07:41
Rを(順序体として)真に含む順序体Kを1つ取り、正の無限小ε∈Kを1つ固定する。
x∈Kが実数の場合は、Rのときと同じようにして無限小数展開を定義する。
ただし、表示が2通り得られる実数もある。そのときは、ある桁から先が
全て9になる表示の方は採用せず、有限小数の表示の方を使う。
すると、ある桁から先が全て9である無限小数(記号としての)は
何も定義されてない状態になるから、これらの記号には、次の
Kの元を対応させる。

0.a1a2a3…an9999…:=0.a1a2…(1+an)−ε

これにより、0.999…=1−ε≠1となる。しかし、たとえば1/3=0.333…である。
無限小数展開が定義されないKの元は たくさんあるが、しかし実数に対しては
定義されている。

597 :132人目の素数さん:2008/01/22(火) 13:25:00
>>595
小数表示された数を、辞書式で大小比較(<,>,=)するなってことか?
それで人生通すなら、>>595でもよいが、辞書式を便利に使ってる人を
納得させるのは無理だろう。

>>596
>Rを(順序体として)真に含む順序体Kを1つ取り、正の無限小ε∈Kを1つ固定する。
その前にRを真に含む*順序体*が存在することを示さないといけない。
(まあ、超準解析における超実数のようなものがあるわけだが。)

>表示が2通り得られる実数もある。そのときは、ある桁から先が
>全て9になる表示の方は採用せず、
「表示が2通り得られるものはすべて、ある桁から先が全て9になる
タイプのものだ」という証明が必要では?
それが正しいとするとその先の理屈は良さそう。

598 :132人目の素数さん:2008/01/22(火) 14:08:36
>その前にRを真に含む*順序体*が存在することを示さないといけない。
あほ。そんなもん、文字xに関するR上の商体R(x)でいいがな。

>「表示が2通り得られるものはすべて、ある桁から先が全て9になる
>タイプのものだ」という証明が必要では?
自明。というか常識。もっと言えば、そんなのは本質的な問題では無い。

599 :132人目の素数さん:2008/01/22(火) 14:16:47
>小数表示された数を、辞書式で大小比較(<,>,=)するなってことか?
横レスだが、>595は「≦じゃなくてρでも使え」と言っているのではないか?
あんた大丈夫?「二項関係」の項目くらい勉強してるよな?

600 :132人目の素数さん:2008/01/22(火) 15:44:19
> 小数表示された数を、辞書式で大小比較(<,>,=)するなってことか?

少なくとも、歴史と実績のある数学の教育を受けた人にとっては、
小数表示で (<,>,=) は、1=0.999・・・となる実数世界の比較記号だ。
その世界に、同じ記号で別の意味、しかも結果が矛盾する意味を持ち込むなってことだ。

もし「+」 の記号が、
1+1=2
1+1=11
の両方の意味で使われてたらまぎらわしいだろ。

601 :132人目の素数さん:2008/01/22(火) 15:57:43
>あほ。そんなもん、文字xに関するR上の商体R(x)でいいがな。
ではその商体は順序体なのか?

>自明。というか常識。
まあ自明というか、証明は簡単だが、それを自明で済ませるなら、
そもそもの1=0.9999・・・も自明で終わりだろう。

>あんた大丈夫?「二項関係」の項目くらい勉強してるよな?
(唐突な)ご心配には感謝するが大丈夫。ご心配には及ばない。
二項関係といえば二項関係だが、「順序集合」人によっては
「順序体」の話。

602 :132人目の素数さん:2008/01/22(火) 16:17:20
>ではその商体は順序体なのか?
こ れ は ひ ど い 。 そんなの常識。知らないなら自分で入れてみろ。いい演習問題になるぞw

>そもそもの1=0.9999・・・も自明で終わりだろう。
1=0.999…が自明か否かの話をしているのではなく、1≠0.999…となる数の体系について議論している。
頭大丈夫ですか?

>(唐突な)ご心配には感謝するが大丈夫。ご心配には及ばない。
二項関係について勉強したことがあるならば、595に対して
>小数表示された数を、辞書式で大小比較(<,>,=)するなってことか?
このような解釈をすることはあり得ない。
「≦じゃなくてρでも使え、と言っているのだろう」と解釈するのが普通。

603 :602:2008/01/22(火) 16:19:08
知らないなら自分で入れてみろ。

知らないなら自分で順序を入れてみろ。

604 :132人目の素数さん:2008/01/22(火) 16:36:27
>実数世界の比較記号だ。
>その世界に、同じ記号で別の意味、しかも結果が矛盾する意味を持ち込むなってことだ。

その世界に持ち込んだように見えたのならそう思うかもね。もうちょっと
厳密に説明すると、実数とは別に、(無限)小数表記の全体からなる集合S
を定義して、Sは順序集合となるから、記号[<,>,=]はそのままに話をしてる
状態をイメージしてもらうとどうかな。
歴史と実績のある数学の教育を受けた人は、順序集合の説明で「≦」
とか使うよね?(小数表記を順序集合の直積として捉えたりしない?)


605 :132人目の素数さん:2008/01/22(火) 16:41:30
歴史と実績のある数学の教育を受けた人は、順序集合の説明で、
混 乱 の な い 限 り 、「≦」を使う。

歴史と実績のある数学の教育を受けた人は、順序集合が2つ現れた場合、
片方の順序は「≦」でなく別の記号(「≦’」がよく使われる)を使う。

606 :132人目の素数さん:2008/01/22(火) 17:59:38
>こ れ は ひ ど い 。 そんなの常識。知らないなら自分で入れてみろ。いい演習問題になるぞw
そうなの?意識したことがなかったので。そんなに簡単に証明できるの?

>1≠0.999…となる数の体系について議論している。
これは失礼しました。辞書式の話とは関係なかったのね。

607 :132人目の素数さん:2008/01/22(火) 18:28:44
>>606
>そうなの?意識したことがなかったので。そんなに簡単に証明できるの?
文字xを無限小だと思えば、どんな順序を入れればよいかすぐに想像がつく。
あとは、順序体であるための条件を全てをチェックするだけ。まあ、面倒くさい。
でも、よく知られた話。

>これは失礼しました。辞書式の話とは関係なかったのね。
おーっと、どうりでおかしいと思った。こちらこそゴメン。
最初に「関係ない話だけど」と釘打っておくべきだったな。

608 :132人目の素数さん:2008/01/22(火) 18:46:26
>片方の順序は「≦」でなく別の記号(「≦’」がよく使われる)を使う。
そう言いたかったのなら理解した。しかしそれなら肝を知った上での
>>595でしょ。何をさせたかったのやら?

それより、本質的に訊きたいのだが、

「辞書式より、1>0.99999ではないのか」という疑問に対する返答は、
「形が違っても同じものはあるんだから同じだ。」で十分なのか?
それとも「その不等号は普通の不等号じゃない」とでもするのか?
辞書式が有効な場合の条件を合理的に説明しなくていいの?

609 :132人目の素数さん:2008/01/22(火) 19:04:11
>>604
> 実数とは別に、

ってあるから、無視していいだろう。
そんな「オレ様の数の世界」での疑問にいちいち答えてたらきりがない。

610 :マルチポスター:2008/01/22(火) 19:09:50
0.999…スレが乱立しとるからmulti postになってしまうがな

最後に本スレ

超準解析(NonstandardAnalysis)
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1167291485/75-76

76氏、わざわざ乙、75氏どもども

611 :132人目の素数さん:2008/01/22(火) 19:17:09
>>608
実数で普通に使われる≦だと、ほとんどの場合は辞書式の順序(これを≦’と書く)と
一致する。0.999…みたいな場合は≦’に一致しない。いつ一致して、いつ一致しない
のか、その条件は明確に言及しておいた方が、説得力は上がる。でも、面倒くさい。

612 :132人目の素数さん:2008/01/22(火) 19:19:28
辞書式だと、1と1.0は違う数なのか?

613 :132人目の素数さん:2008/01/22(火) 20:03:30
>その条件は明確に言及しておいた方が、説得力は上がる。でも、面倒くさい。
了解。


614 :132人目の素数さん:2008/01/22(火) 22:28:12
>> 実数とは別に、
>ってあるから、無視していいだろう。

実数の世界に別の順序を定義する流儀だったのかと理解したので、
確かにそれなら不等号を区別しなきゃ混乱するわ。
しかし実数では0.9999・・・と1は同じ元なのだから、1≦’1(1<'1か?)
としてるわけでどうも私にはめんどくさそう。

オレ様^^は先のSから実数Rへの写像でイメージしてたので、属する集合
さえ区別しておけば、不等号を区別しなくても混乱しなかったんでね。
Sから'0が循環するタイプの元'を除けば、Rへの順序同型ってセンで意識して
たのよ。('9が循環するタイプの元'の誤記じゃないよ。)

615 :132人目の素数さん:2008/01/25(金) 05:25:59
標準の実数上で無限を相手にしておいて辞書式はないでしょ
無限が関わる時点で有限での常識が通用しなくなるべさ

616 :132人目の素数さん:2008/01/26(土) 09:32:39
辞書式により、1>0.9999・・・ではないのか?

→ 1=0.9999・・・など、有限小数にかぎってはもう1つ別に9が循環
する無限小数表記ができるため、小数の大小比較に辞書式が使え
ない場合がある。
理由を理解するには1=0.9999・・・の理解が前提となるので(本当か?)
説明は省略するが、その部分さえ注意すれば、その他場合辞書式に
より小数の大小比較は可能である。

617 :132人目の素数さん:2008/01/26(土) 16:54:12
1=0.999…に抵抗がある人は、無限に続く9の部分が変な感じがするのだと思う。
無限については、時として変に感じることがある。

平行線は交わらないと思っていたが、無限に遠い点で交わると考えてもいいという話を、
李万おじさんに聞いたことがある。
無限というのはなんとなく変だね。

618 :132人目の素数さん:2008/01/26(土) 21:17:19
>>616
「辞書式」に関しては、「大小比較には双方の数の形式を比較できるものに変える必要がある」で良いのでは?

たとえば、分数同士なら通分したりして、少数と分数なら双方分数にし通分たり、双方の数を比較できる形に
する必要がある…。で、無限小数の場合も同様。辞書式で比較したい場合には、無限小数もできるだけ簡単
な形に「計算」しなければならない。

619 :132人目の素数さん:2008/01/27(日) 05:06:47
xとyの大きさを直接、辞書式で比較するんじゃなくて、
x-yと0の大きさを辞書式で比較するのでは駄目なの?

620 :132人目の素数さん:2008/01/27(日) 12:18:10
>>610氏、もう、いっその事、貼っとき賜えよ

75:132人目の素数さん :2008/01/13(日) 16:34:48 [sage]
>>69
0.999…の定義の仕方によるんだ
どんな流儀でも普通の「数列0.9, 0.99, 0.999, … の実数の集合における極限値」と同値の定義にする限りは
「1=0.999…」なんだ
ただ超準解析や超現実数では「無限大の数c」というのをちゃんと定義できるから
0.999…を「1-(1/c)」とか「1-(1/10^c)」と定義する事が出来るんだ
その様な定義をすると「1≠1-(1/c)=0.999…」ってなるんだ
だけど超現実数でも普通の定義をする限りは「1=0.999…」なんだ

621 :132人目の素数さん:2008/01/30(水) 05:46:55
すると、1≠0.999…の系の上では
整数同士で割り切れない分数と無理数が
小数表示できない事になるんだな

622 :132人目の素数さん:2008/01/31(木) 23:17:12
a[1] = 1
a[n+1] = 1-0.00...1

a[2] = 0.99...9 ( = 1)
a[3] = 0.99...8 ( = 1)
a[4] = 0.99...7 ( = 1)

したがって 0 = 1

623 :132人目の素数さん:2008/01/31(木) 23:36:46
>>622 新しいタイプのバカだな

624 :132人目の素数さん:2008/01/31(木) 23:38:00
>したがって 0 = 1
lim[n→∞](1−0.000…1)≠0 でしょ。0=1は導かれない。

625 :132人目の素数さん:2008/02/01(金) 00:04:19
ネタでやってるんだろ。

まぁ、良く言えばハゲのパラドクス(砂山のパラドックス)に通じるところはあるな。

626 :132人目の素数さん:2008/02/01(金) 01:53:38
>>620
ヤッパリ結局、定義の仕方か

>>621
その超現実数の集合は有理数集合より少なくみえる
…が、集合論上、濃度同じか、有理数集合は自然数集合と同等なんだしな
所で、この超現実数の集合は有限小数の集合と同一?

627 :132人目の素数さん:2008/02/01(金) 04:10:41
だから1≠0.999…に超現実数持ち出すなって

628 :132人目の素数さん:2008/02/01(金) 05:21:37
何か不都合?こちとら、数学に於いて"実数"と言えば
0.999…=1である事はとうの昔に認識済みだってんだ

629 :132人目の素数さん:2008/02/01(金) 05:55:57
超現実数を持ち出す理由が無いって言ってんの
実数ではどうとかは関係ない

630 :132人目の素数さん:2008/02/01(金) 09:58:31
>>624
lim[n→∞](1−0.…n) = 1-0.999…
みたいな事を言いたいんじゃないの?

631 :132人目の素数さん:2008/02/01(金) 11:00:51
>a[2] = 0.99...9 ( = 1)
これを見る限りa[n]=1(n=1,2,3,…)だから、1−0.000…n=1
すなわち0.000…n=0であって、>>622は「0.000…n」という
記号列を0で定義してることになる。よってlim[n→∞](1−0.…n)≠1-0.999…

632 :132人目の素数さん:2008/02/01(金) 21:07:34
>>622
1=2スレの誤爆?

633 :132人目の素数さん:2008/02/02(土) 02:33:00
これを認めたら、
1.2=1.19999…とかもありになってしまう

634 :132人目の素数さん:2008/02/02(土) 07:13:19
良いではないか

>>629
その心は?

635 :132人目の素数さん:2008/02/02(土) 07:38:41
日本語が読めないのか?

636 :132人目の素数さん:2008/02/02(土) 15:48:17
>>621
すべての実数は無限小数表記が(概念上)可能。無限表記こそが標準で、
x…x.x…x999999… なやつだけがたまたま有限小数表記ができるって思えばよい。

637 :132人目の素数さん:2008/02/02(土) 16:33:14
>>635
詳細を聞いてるのが分からんのか?

638 :132人目の素数さん:2008/02/02(土) 16:58:35
超現実数で1≠0.999…となるように小数展開を定義すると、
このスレの500〜600あたりに書いてあるように、

・任意の実数は小数展開可能
・実数でない超現実数は、小数展開可能なものも、不可能なものもある
・0.999…≠1だが、1/3=0.333…である

という性質を満たすわけだが、この程度なら596のやり方で十分じゃないのか?
超現実数を使って構成する利点は何だろう?超現実数だと、596のやり方では
持ち得ない構造を備えることができるのか?

639 :132人目の素数さん:2008/02/02(土) 19:24:35
> 0.999…≠1だが、1/3=0.333…

え、そうなるの?
超フィルターで構成すると
(1/3, 1/3, 1/3, 1/3, ...) ≠ (0, 0.3, 0.33, 0.333, ...) a.e.
だろうから超現実数では後者は不等号になる、と
思ってたよ。これだから素人は困るぜ俺
過去ログ読まなくちゃ

640 :132人目の素数さん:2008/02/02(土) 19:41:48
>>639
超現実数≠超実数

641 :132人目の素数さん:2008/02/02(土) 21:50:30
なるほど、「超現実数」ってのはもっぱら
surreal numbersを指す言葉なのね

642 :132人目の素数さん:2008/02/02(土) 21:52:49
む〜
実数、
1≠0.999…系超現実数、
1≠0.999…系超実数、
、、、

643 :132人目の素数さん:2008/02/03(日) 04:57:39
1/3=0.333…系か1/3≠0.333…系かどうかも又、独立か。

が、1=0.999…系ならば1/3=0.333…だろうし
1/3≠0.333…系ならば1≠0.999…だろうけど
1≠0.999…系だからといって1/3≠0.333…とは限らんだろうし
1/3=0.333…系だからといって1=0.999…とは限らんだろうかな。

1=0.999…系

1≠0.999…且つ1/3=0.333…系

1/3≠0.333…系

644 :132人目の素数さん:2008/02/03(日) 09:41:20
>>629
俺も知りたくなったZe
何か絶対的理由とかあるんかい?詳しく細かく砕いて説明宜しく。

645 :132人目の素数さん:2008/02/04(月) 20:33:11
>>629
回答は?スルー?確かに物理などで既存の超函数が適用出来ぬ場合に
超準解析を用いる事になったとしても、≠系を用いる訳じゃないだろうし、
これが実用される事も恐らく無いだろうけど、=系も≠系も
互いに独立な系であり、一方を真、と決定するよりも選択する物では?
(補注:1=0.999…系を=系、1≠0.999…と略記)

646 :132人目の素数さん:2008/03/03(月) 21:48:48
>>6&>>509
://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...

だけで良いんじゃ?何でアドレス長くなんのよ

647 :ひろめよう:2008/03/05(水) 01:32:11
買うより 犬猫は保健所からもらおう それをすすめよう

648 :132人目の素数さん:2008/03/05(水) 02:00:20
むこうの話を持ち込むな

649 :132人目の素数さん:2008/03/05(水) 06:55:43
>>646 http://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...が1に等しいことの証明

650 :132人目の素数さん:2008/03/07(金) 09:52:15
森毅先生がテレビで鶴瓶にこの問題でからまれたときに
じゃあ1と0.999・・・・・・ がどれだけ違うが言ってみぃと答えたとか
鶴瓶は0.0000・・・・・ と意地になって言い続けた(らしい)

651 :132人目の素数さん:2008/03/07(金) 12:32:26
0.000…なんて「数」を持ち出してくる奴には、

(0.000…)/2=0.000… なので0.000…=2*0.000…となり、よって0.000…=0

と言ってやればいい。そこでもし0.000…001(←∞桁目)なんて「数」を持ち出してきたら、

x=0.000…999 (←有限桁目は全て0,∞桁目はここまで9)
y=0.000…001 (←この桁だけ1)
とすればx+y=0.000…000=0

と言ってやればいい。
尤も、これは対処法の1つに過ぎない。トンデモの反応は多種多様。

652 :132人目の素数さん:2008/04/30(水) 21:25:06
>>509追加願い

携帯専用URL
※パケット定額制への加入されてる方のみご閲覧下さい※

http://mobazilla.ax-m.jp/index.php?_ax_u=http%3a%2f%2fja.wikipedia.org%2fwiki%2f0.999...

653 :132人目の素数さん:2008/05/01(木) 12:02:19
>>646>>654
Q8:1≠0.999…となる数学モデルは具体的にどの様な物があるのか?
A8:違う表記の数を全て違う数と看す体系が挙げられる。只、副作用も多過ぎる。
  超準解析学を考えると1≠0.999…となる数学の体系を構築する事もできる。
J.H.Conwayの超現実数では1≠0.999…」となる。
  J.H.Conwayの超現実数を扱った単行本
  至福の超現実数―純粋数学に魅せられた男と女の物語
原著=Donald E.Knuth, 翻訳=松浦 俊輔,
  http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4760126465


Wikipedia の 0.999...の項目も参考に!
  http://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...
  携帯用URL※パケット定額制への加入されてる方のみご閲覧下さい※
  http://mobazilla.ax-m.jp/index.php?_ax_u=http%3a%2f%2fja.wikipedia.org%2fwiki%2f0.999...

654 :132人目の素数さん:2008/05/01(木) 22:20:03
あ、A8三行目前の空白抜けた

655 :132人目の素数さん:2008/05/06(火) 00:57:47
age

656 :132人目の素数さん:2008/05/06(火) 03:38:55
1≠0.99999999…でなければ都合の悪いものを見つけよう
何故、あえてそっちの方かって?
1=0.9999999…じゃなきゃ都合のあわない物が多そうだからw

657 :132人目の素数さん:2008/05/06(火) 15:17:37
>>653
まーたConway数なら≠になるとか言ってる人かー

658 :132人目の素数さん:2008/05/17(土) 01:06:33
  0.999・・・
 -------
9 )9
  81
 ---
   9
   81
  ---
   9
   81
  ---
   9
ということで、0.99999・・・は1の別の表現と認定する。

659 :132人目の素数さん:2008/05/17(土) 02:31:51
1=0.999… その14.999… (本スレ)
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1174700172/2-6

660 :132人目の素数さん:2008/05/18(日) 09:31:40
age

661 :132人目の素数さん:2008/05/18(日) 09:49:55
>>657
向こうでの論議を見たが、別に問題ないのでは?
「表記が違うと違う数と見なす」と多数の副作用があるけど、その程度の副作用を認めるなら
ありだろ。

662 :132人目の素数さん:2008/05/18(日) 13:23:25
>>661
なんか随分見当外れのレスだな…
小数表記へ形式的に演算をあてはめた体系とConway数とじゃ演算の構造が全然違うぞ?
そもそも俺がいつ「表記が違うと違う数と見なす」ことを否定したんだ?

663 :132人目の素数さん:2008/05/18(日) 13:25:15
>>662
そりゃ、当たり前だろw 見当はずれなのは君。

664 :132人目の素数さん:2008/05/18(日) 14:13:50
何も具体的なこと言わずに鸚鵡返しかよw
ワロタw

665 :132人目の素数さん:2008/05/18(日) 14:19:48

638 :132人目の素数さん:2008/02/02(土) 16:58:35
超現実数で1≠0.999…となるように小数展開を定義すると、
このスレの500〜600あたりに書いてあるように、

・任意の実数は小数展開可能
・実数でない超現実数は、小数展開可能なものも、不可能なものもある
・0.999…≠1だが、1/3=0.333…である

という性質を満たすわけだが、この程度なら596のやり方で十分じゃないのか?
超現実数を使って構成する利点は何だろう?超現実数だと、596のやり方では
持ち得ない構造を備えることができるのか?


596 :132人目の素数さん:2008/01/22(火) 10:07:41
Rを(順序体として)真に含む順序体Kを1つ取り、正の無限小ε∈Kを1つ固定する。
x∈Kが実数の場合は、Rのときと同じようにして無限小数展開を定義する。
ただし、表示が2通り得られる実数もある。そのときは、ある桁から先が
全て9になる表示の方は採用せず、有限小数の表示の方を使う。
すると、ある桁から先が全て9である無限小数(記号としての)は
何も定義されてない状態になるから、これらの記号には、次の
Kの元を対応させる。

0.a1a2a3…an9999…:=0.a1a2…(1+an)−ε

これにより、0.999…=1−ε≠1となる。しかし、たとえば1/3=0.333…である。
無限小数展開が定義されないKの元は たくさんあるが、しかし実数に対しては
定義されている。

666 :132人目の素数さん:2008/05/18(日) 16:34:15
>>665
それ以降も結局超現実数の必要性が言える奴はいなかったんだよな。
元々二進表記のとこだけ見て勘違いした奴が持ち出してきて
二進の必然性も考えずに騒いでただけなんだから当然といえば当然だが。
で、無理矢理十進表記に置き換えようとすると一旦背景の無い超実数に落とし込むことになるから
結局これまた超現実数を使う意味が無くなるんだよな。

667 :132人目の素数さん:2008/05/18(日) 17:54:10
だからさー。使う意味がないって事じゃなくて、こうやったら構成できるってだけの話だろうに。

668 :132人目の素数さん:2008/05/18(日) 17:55:46
>>667
だからさー。「こうやったら構成できる」ってだけだったら、596で
十分であって、結局、超現実数使う意味がないって事だろうに。

669 :偽エルデシュ:2008/05/18(日) 23:28:29
>>666-668
数学は、世の必要性とは独立、つまり無縁である。

670 :132人目の素数さん:2008/05/19(月) 00:47:45
>>669
若い

671 :132人目の素数さん:2008/05/19(月) 12:03:00
数学は無縁だが、給料は無縁ではない

672 :132人目の素数さん:2008/05/27(火) 21:57:23
>>666
必要性無けりゃ存在しないのか?
何でもプラズマで説明するのか

673 :132人目の素数さん:2008/05/27(火) 23:58:01
>>672
横レスだが、存在しないとは誰も言ってないだろう。ツールの使い方が「変」だと言っているのだ。
超現実数には超現実数の持つ構造がある。その構造を使わずして、記号の意味をハリボテのように
変更するだけの荒唐無稽な議論しかしないならば、超現実数を使う意味が無い(議論が矛盾している、と
言っているのではない)。ツールを持ってきておきながら、そのツールを使わないのは「変」である。
そのことを承知の上でなおも超現実数を使うのならまだ分かるが、500〜600で超現実数を持ち出した
ヤツは、どうも「承知していない」のだ。超現実数の持つ構造をうまく使って定義していると勘違い
している。ヤツが本質的にやっていることは、596なのだ。ヤツは、超現実数がRの真拡順序体である
ことしか使っていない。超現実数が持つその他の構造は使っていない。ならば596で十分。

議論が矛盾している、と言っているのでは無い。
ツールを持ってきておきながら、そのツールを使わない理由は何なのか?と言っているのだ。
(多くの場合、単に本人がそのツールを理解していないだけである。)

674 :132人目の素数さん:2008/06/03(火) 23:32:35
俺本人だがそんな事は自分に戒める様に言っとるわ
実際、チョーゲンジツスウなんて知らん

要は、0.999…=1なる系は成せるか否か、を問題提起した訳なのだ。
まぁ、問題提起しても内容の議論に参加できんのが俺の実状だ、済まん。

675 :132人目の素数さん:2008/06/03(火) 23:36:10
チョイ待ち俺、日本語でおk

× 俺本人だがそんな事は自分に戒める様に言っとるわ
〇 俺本人だが、そんな事は理解仕切れない迄も察知しているので、自戒しとるわ

676 :132人目の素数さん:2008/06/04(水) 04:23:54
age

677 :132人目の素数さん:2008/06/04(水) 08:36:58
X^(0)=1
も証明してくれ

678 :132人目の素数さん:2008/06/04(水) 17:08:20
>>677
指数関数の加法定理より
X^(0) = X^(1-1) = X*X^(-1) = 1.

679 :132人目の素数さん:2008/06/05(木) 12:58:59
3*(1/3)=1
と同じ発想じゃねか

X^(0)=1
は証明されていないと思ったが

680 :132人目の素数さん:2008/06/05(木) 13:42:53
>>678
「指数関数の加法定理」を証明してくれよ。(指数が整数の場合だけでも)


681 :132人目の素数さん:2008/06/05(木) 17:56:13
X^2=X*Xが成り立つのはなぜか?それは、「X^2」という3文字の記号列を
「X*X」で定義しているからそうなるのであり、これがX^2=X*Xの証明である。
X^3=X*X*Xが成り立つのはなぜか?それは、「X^3」という3文字の記号列を
「X*X*X」で定義しているからそうなるのであり、これがX^3=X*X*Xの証明である。
X^0=1が成り立つのはなぜか?それは、「X^0」という3文字の記号列を
「1」で定義しているからそうなるのであり、これがX^0=1の証明である。

682 :132人目の素数さん:2008/06/05(木) 18:04:55
>>679
乗法に関する逆元なんだから定義より当たり前だろ
それとも別の公理系を考えるのか?

>>680
あ、そこ証明必要だったか

まず、指数関数を対数関数の逆関数と定義する。
ちなみに対数関数は t^(-1) の [1,x] の不定積分として定義。

指数関数
y = e^x
を考えると、
x = log(y)
ここで、s = e^u, t = e^v として対数関数の加法定理より
u + v = log(s) + log(t) = log(st)
よって、e^(u + v) = st = (e^u)*(e^v).
次に、対数関数の加法定理の証明。
f(x) = log(xy) - log(x)
っていう関数を考える。任意なy>0を固定してxで微分すると
f'(x) = y/xy - 1/x = 0.
よってf(x)は定数で
f(x) = f(1) = log(y).
故に log(y) + log(x) = log(xy).

微分積分の定義されている前提なら、こんな感じかな
ただ、実数の連続性とかからやろうとするとだるい

683 :682:2008/06/05(木) 18:14:08
しまった、論理破綻だ
>>682のように指数対数関数を定義すれば e^0 = 1 はほとんど自明だ
指数関数の加法定理なんて使う必要なかったな

ちなみに底の変換の定義は
a^b = e^(b*log(a))

684 :132人目の素数さん:2008/06/05(木) 21:25:31
>>683
そうそう。進んだ解析学ではべき乗の定義を一般指数に通用するようにやるから、
自然数n乗が「n回の積」と一致するのは「定義」ではないことになるが、0乗が1で
あることだけは定義といってよい(eやlogを使うなら、それらの定義に最初から含
まれる)。
「加法定理」は、(0乗を1と定義した)結果として証明される。だから、加法定理か
ら0乗を証明するのは、べき乗の定義をどうやっても循環論法になるとオモ。

685 :132人目の素数さん:2008/06/05(木) 21:31:58
>「加法定理」は、(0乗を1と定義した)結果として証明される。だから、加法定理か
>ら0乗を証明するのは、べき乗の定義をどうやっても循環論法になるとオモ。
本質的に加法定理を使わないとベキ乗が計算できないようなベキ乗の定義が
もし作れたならば、0乗を計算しようとすると加法定理を使わなければならず
循環論法にはならない。

686 :132人目の素数さん:2008/06/05(木) 21:38:19
>>681
記号列 X^n の定義は X*X*…*X (Xがn個) とするより、1*X*X*…*X (*がn個) と
したほうがよい。

理由1: n=0を特別扱いしなくてすむ。

理由2: 「*X」を「作用」と考えている(n乗はn回作用)ため、通常の数や掛け算
にとどまらない一般性をもつ。
(要するに「0乗」は「ナニモシナイ」恒等作用であると定義されるべき、ということ)


687 :678:2008/06/07(土) 17:46:27
何かの0乗は1は、証明はできないけど定義とするといろいろ都合がいい
と言う理解でいいですか?

688 :132人目の素数さん:2008/06/08(日) 08:49:05
必ずしもそうというわけじゃないが、その理解でもおけ。

必ずしもそうでない、というのは、通常使われている数学では
何が定義(公理)で、なにがそこから導き出せる(証明できる)定理なのかは
厳密には決まっていないからで、
たとえば、一方を定義とすれば他方が定理となり、逆もまた可能なものは
たくさんある。
x^0=1を定義とすることもできるし、他の定義から導き出すことも可能だ。



689 :132人目の素数さん:2008/06/15(日) 22:16:01
(1÷9)×9=(0.111・・・)×9=0.999・・・
1÷9×9=1

0.999・・・=1

これなら無限に割り続ける感じが出る・・・


690 :132人目の素数さん:2008/06/16(月) 00:37:53
>>688

>x^0=1を定義とすることもできるし、他の定義から導き出すことも可能だ。

その「他の定義」はやはり証明はできないけどその定義とするといろいろ都合がいい
と言う理解でいいですか?


691 :132人目の素数さん:2008/06/16(月) 00:40:18
>>689

(0.999・・・=1 の出発点としてよく使われる)1÷3×3 とどこが違うの?


692 :132人目の素数さん:2008/06/16(月) 01:03:00
あーなるほど、いっしょですねw
思いつきで書き込んだんで

何かこっちの方がしっくりきたんだよなぁ〜

693 :132人目の素数さん:2008/06/16(月) 03:17:17
>>690
どのような定義でもそれは証明できないのが普通。

他の定義から証明できてしまうようなものは、定理と言う。それを定義とすることはあまりない。

定義そのものは本来何をどんな理由で選ぼうが自由でなんでもあり。
そこから得られる定理などの結果が面白ければみなが注目するし、
つまらなければ誰も見向きもしない。
いろいろ都合がいいというのは、その程度の意味。



694 :132人目の素数さん:2008/06/17(火) 00:30:05
けっきょく、x^0=1は定義とすることもできるし定理とすることもできるが、いずれにしろ
x^0=1になるような定義とするといろいろ都合がいい と言う理解でいいですか?


695 :132人目の素数さん:2008/06/17(火) 01:04:12
よい

696 :132人目の素数さん:2008/06/17(火) 19:58:32
0^0はどうなるんだよw

697 :132人目の素数さん:2008/06/17(火) 22:41:31
べつにどうもならんが?
どう定義したいのだ?

698 :132人目の素数さん:2008/06/17(火) 22:42:04
1/∞=0のイコールは本当に「完全に一致する」という意味ですか?
実感としては何か気持ち悪さが残るんですけど・・・

「限りなく近づく」と言われるとまあ判るんですけど
「限りなく近づく」=「完全に一致」 え?みたいな

699 :132人目の素数さん:2008/06/18(水) 03:24:52
>>698
極限の定義は「限りなく近付くこと」ではなく
「限りなく何かに近付いているときその何かを極限と呼ぶ」

700 :132人目の素数さん:2008/06/18(水) 04:25:20
うん、それは「まあ判る」んですよね。
1/∞が何物かに限りなく近付いて、その何者かが0っていうのは判る。

で、気持ち悪いのはそれが「完全に一致」と同義なのかという?

 ・・・その何かを極限と呼ぶ」だと「一致してないけどとりあえず呼んどこう」
みたいな感じがしませんか?w

701 :132人目の素数さん:2008/06/18(水) 04:37:36
nを限りなく大きくするとき、数列{an}がαに限りなく近づくとする。
このようなαは数列{an}に依存して決まるので、α=L({an})と表記できる。
この表記法のもと、たとえばL({1/n})=0である。注意すべきは、L({1/n})≒0
なのではなくて、L({1/n})=0だということである。

702 :132人目の素数さん:2008/06/18(水) 04:48:34
>1/∞が何物かに限りなく近付いて、その何者かが0っていうのは判る。
1/∞はただのシンボルなのであって、数ではない。数でないものと0とを
近いとか遠いとか比較するのは意味を成さない。それは、「地球」と0が
近いか遠いかを比較しているようなものである(「地球」は数でないから、
0と比較するのは意味を成さない)。
極限値とは数列に対して定義されるものであって、普通は
「数列{1/n}は0に限りなく近づく」などと言う。
「1/∞は0に限りなく近づく」とは言わない。この文章は意味を成さない。

>で、気持ち悪いのはそれが「完全に一致」と同義なのかという?
「その何者か」は0なのだから、

その何者か=0

という等式は成り立つ。つまり、「その何者か」は0に”完全に一致”している。
各nについて、1/nは0でないが、しかし、「その何者か」は完全に0である。

703 :132人目の素数さん:2008/06/18(水) 22:31:11
1/∞≠その何者か  :一致しない
その何者か=0    :完全に一致

1/∞→0

704 :132人目の素数さん:2008/06/19(木) 21:28:56
>>697
>>694の内容だと、「0^0=1」と定義すると都合が良いという話になっているよな。
それでいいの?

705 :132人目の素数さん:2008/06/19(木) 22:05:26
0^0=x
0=log_{0}x

底が0の対数は定義されていない
よって不能

706 :132人目の素数さん:2008/06/19(木) 22:19:26
>底が0の対数は定義されていない
定義されていないならば、そもそも
0^0=x → 0=log_{0}x
という式変形が出来ない。

707 :132人目の素数さん:2008/06/26(木) 02:16:17
すみません、701〜703を読んでも結局一致しないってことに感じるのですが・・・

>>702で「『その何者か』は0なのだから、」 というのは判るんですよ。
判らないのはその後の「各nについて、1/nは0でないが」ってとこで、
じゃあnが無限大でも1/nは0に一致しないんじゃないかなという気持ち。

>>703で 1/∞≠その何者か:一致しない
     その何者か=0  :完全に一致
とありますが、そうすると1/∞≠0になってしまいませんか?

結局何がわからんのかというと、「限りなく近付く」ということと「一致する」
ということが同値としてよいのか判らないのですよ。

708 :132人目の素数さん:2008/06/26(木) 02:44:03
0.999・・・には必ず相対する0.000・・・1が存在する
よって0=0.000・・・1は成立しない

709 :132人目の素数さん:2008/06/26(木) 03:11:17
>>703で 1/∞≠その何者か:一致しない
>     その何者か=0  :完全に一致
>とありますが、そうすると1/∞≠0になってしまいませんか?
そのとおり。∞も1/∞も数ではなく、よって特に、1/∞≠0が成り立つ。
(これは、”「地球」は数ではないので地球≠0”と言っているのと同じである。)

そもそも、高校で習う「極限値」も大学で習う「極限値」も、 ”a(∞)”という
幻想は相手にしていない。相手にしているのは、>>702で言うところの「その何者か」である。
「その何者か」のことを極限値と呼ぶのである。これが極限値の定義。だから、an=1/nの場合は
次が成り立つ。

・「その何者か」は0である
・極限値は0である(「その何者か」のことを極限値と呼ぶので)
・a(∞)は0でない(そもそも∞は数ではなく、a(∞)という数も無いので。それは、a(地球)が0でないのと同じ)

710 :132人目の素数さん:2008/06/26(木) 03:19:42
>結局何がわからんのかというと、「限りなく近付く」ということと「一致する」
>ということが同値としてよいのか判らないのですよ。
まずは、∞とかa(∞)という幻想から離れるべし。「a(地球)の値はいくつか?」と
言っているのと同じくらい無意味なことだと思うべし。
次に、極限値という言葉はa(∞)という幻想について述べているのではなくて、
「その何者か」について述べていることを理解すべし。

711 :132人目の素数さん:2008/06/26(木) 07:25:25
>>708
1=0.999…

712 :132人目の素数さん:2008/06/26(木) 09:35:26
筆算で1/1を計算するときはじめに1じゃなく0.9で割ると商が0.99…になるから1=0.99…はダメか?

713 :132人目の素数さん:2008/06/26(木) 10:35:55
すまん>>4にあった。

714 :132人目の素数さん:2008/06/26(木) 15:39:07
>>708
>0.999・・・には必ず相対する0.000・・・1が存在する

嘘。正しくは、

0.999・・・9には必ず相対する0.000・・・1が存在する


715 :132人目の素数さん:2008/06/26(木) 15:49:57
∞桁目だろうが何だろうが、どこまでも止まることなく9が続くのを0.999…と
書くのであって、0.999…999は途中で止まっている(最後の9が∞桁目にあるの
なら、∞桁目で止まっていることになる)のだから、0.999…とは違う数。

0.999…≠0.999…999

716 :132人目の素数さん:2008/06/26(木) 21:29:37
>>709-710
ありがとうございました、なんとなくですが判りました。

まず1/∞≠0で良いと、というよりこんな書き方は無いと。
それで極限というのは「aに限りなく近付く」が「aに一致する」と同値と言っているのではなく、
「aに限りなく近付いた先」が「aに一致する」ということで、むしろ「aそのもの」だということですね。

なるほど、それで0.999・・・を「級数の極限」と考えたときに、
それが1になるんですね。

717 :132人目の素数さん:2008/06/26(木) 21:50:02
静的数値と動的数値を比較していること事態間違い

718 :132人目の素数さん:2008/06/26(木) 21:57:09
0.999・∞・9と書けば納得かな?

719 :132人目の素数さん:2008/06/26(木) 22:38:52
>>717
動的数値って…
数列か関数のことか?

720 :132人目の素数さん:2008/06/26(木) 22:40:37
>>718
それはかえってまずい鴨。
「0.000・∞・1は0とは別」とか言い出す輩が出そうだ。

721 :132人目の素数さん:2008/06/26(木) 23:18:45
>>718
どのみち∞桁先で9が「止まっている」から、0.999…とは違う数だな。

0.999…≠0.999・∞・9

722 :132人目の素数さん:2008/06/26(木) 23:43:02
そのテの表記法で一番誤解されにくいのは

 ・
0.9

だな。循環小数の表記法。9が止まることなく続く気分が表れている。

723 :132人目の素数さん:2008/06/26(木) 23:55:58
∞は無限を表しているんだがw

724 :132人目の素数さん:2008/06/27(金) 00:01:44
別に止まってる訳ではないんだよ

725 :132人目の素数さん:2008/06/27(金) 00:22:47
それじゃあ簡単な質問だけど
1ー0.999・・・=0になるか?w

726 :132人目の素数さん:2008/06/27(金) 00:54:50
>>723
それで?”0.999・∞”なら話は分かるが、”0.999・∞・9”と書いたら、
一番右端の9の後に9が続かなくて止まってるから、0.999…とは別物。
9が無限に続けさえすればよいのではない。9は無限に続き、しかも
どこまで行っても止まらないことが必要なのだ。

>>724
だったら、0.999・∞・9とは書かず0.999・∞と書くべし。あるいは
0.999…とか722のように書くべし。0.999・∞・9では一番右端の
9で止まっているように見えて誤解される。

727 :132人目の素数さん:2008/06/27(金) 00:56:18
>>725
各項が0から9までの整数から成る整数列{an}(n∈N)に対し、実数列{Σ[k=1〜n]ak/10^k}(n∈N)は
コーシー列を成すので、次を満たす実数αが一意に存在する。
∀ε>0, ∃M∈N s.t n>M →|Σ[k=1〜n]ak/10^k−α|<ε (*)
このαのことを”0.a1a2a3…”という記号列で表記する(これが無限小数の定義)。

例:an=9 (n∈N)のとき、上の条件(*)を満たすαはα=1である。よって、0.999…=1が成り立つ。

728 :132人目の素数さん:2008/06/27(金) 01:06:52
>>725
たぶん君は「1−0.999…=0.000…001≠0」だと言いたいのだろう。しかし、これは
1−0.999…を計算しているのではなく、1−0.999…999を計算しているのだ。つまり
・1−0.999…999=0.000…001≠0
こういう計算をしているのだ。この計算は1−0.999…とは別物だ。1−0.999…は0だ。
・1−0.999…=0

729 :132人目の素数さん:2008/06/27(金) 01:14:01
はっきり言うけどこれは国語の問題なんだよ

1である数値と1に限りなく近づく数値は別物

730 :132人目の素数さん:2008/06/27(金) 01:19:24
0.999…は「1に限りなく近づく数値」では無いけどな

731 :132人目の素数さん:2008/06/27(金) 01:25:00
>>729
その国語の問題が理解できてないのが君だ。まず、数学における無限小数の定義は
727だから、この時点で0.999…=1なのは確定事項。これに異議を唱える奴は、数学に
おける無限小数の定義を無視して”自分だけのお花畑”における勝手な定義を採用してる
だけに過ぎない。君の勝手な定義における「0.999…」という記号が1になろうがなるまいが、
それは数学における無限小数「0.999…」には何の影響も無く、0.999…=1になる。

つまり、違う定義を勝手に持ち出して「違う!」と言っているのが君だ(定義が違えば結果も違って当然)。
しかも、違う定義を持ち出していることに気づいていないのが君だ。

732 :132人目の素数さん:2008/06/27(金) 01:53:20
>>729
ばかだな……

733 :132人目の素数さん:2008/06/27(金) 02:00:59
変数xが動く、みたいな言い方はするが、コイツの場合、静的数値とか動的数値とか
言ってるからな。0.999…という記号が「動いて見える」のだろう。だがそれは、
コイツが自分勝手な定義で勝手な解釈をしているから動いて見えるのであって、
数学における定義では0.999…という記号は固定された定数であって動かないのだがな。

734 :132人目の素数さん:2008/06/27(金) 02:02:09
じゃあいつになったら
0.999・・・は1になれるのか
永遠に続けば限りなく1に近づくことはできても永遠に1になることはないだろ

735 :132人目の素数さん:2008/06/27(金) 02:13:20
>>734
>じゃあいつになったら0.999・・・は1になれるのか
いつになったら、とはどういうことか?「0.999…」という記号は固定された定数であって、
動かない。つまり、君の「0.999…」という記号に対する解釈は間違っている。君は0.999…を
「1に向かって動いている数」と思っている節がある。しかし、数学における0.999…という記号の
定義によれば、0.999…という記号は固定された定数であって、動かない。そして、この数は
どこに固定されているのかと言うと、それは1である。つまり0.999…=1である。

というか、お前は>>727が読めないのか?数学における無限小数の定義は>>727だ。君が
自分勝手な定義で「0.999…はいつまでも1にならない!」と主張したところで、それは
数学における無限小数の定義とは異なっており、議論の土台にさえ立てていない。
つまり、まずは君が、君の自分勝手な定義を捨て去り、数学における無限小数の定義を
理解しなければならない。

違う定義を勝手に持ち出して「違う!」と言っているのが君だ(定義が違えば結果も違って当然)。
しかも、違う定義を持ち出していることに気づいていないのが君だ。

736 :132人目の素数さん:2008/06/27(金) 02:17:59
どうやら数学ヲタが国語苦手というのは本当らしな

737 :132人目の素数さん:2008/06/27(金) 02:32:39
>本当らしな
>本当らしな
>本当らしな

738 :132人目の素数さん:2008/06/27(金) 04:35:03
まぁどんなに馬鹿どもが喚いても 0.999…=1 なんですけどね。
証明の欠陥を直接に衝かない限り、覆すことができません。
そういうところが数学の素晴らしさであり、残酷さでもあるのかもね。

739 :132人目の素数さん:2008/06/27(金) 05:09:55
「数列」と「数値」の違いを認識して、「動く数値」という幻想から解放
されることがポイントですね。


740 :132人目の素数さん:2008/06/27(金) 05:15:34
0.999…という記号を見て、「いくら9を書き続けても1にならないから、1じゃない」と
思うのは、森という記号を見て、「木が3つしかないからモリじゃない」と思うのと同じ。
記号の形状を見て印象論を語っても意味が無い。そんなのはただの感想文に過ぎない。
記号の形状から連想する事柄は、必ずしもその記号に与えられた意味とは合致しない。
記号に与えられた意味を参照することでしか、その記号は理解しえない。

741 :132人目の素数さん:2008/06/27(金) 10:02:11
1という天才に近づこうと一生懸命努力している0.999・・・しかしこの努力家は一生天才になることはできないw

742 :132人目の素数さん:2008/06/27(金) 10:19:07
>>734
0.999…はその「近づく先」の数値(つまり1)のこと
君が思っているのは0.999…99であって、0.999…では無い

743 :132人目の素数さん:2008/06/27(金) 10:21:24
>>741
いくら情緒的な表現をしたところで、0.999…=1です。残念でした。まずは727を理解して来いボケ。

744 :132人目の素数さん:2008/06/27(金) 10:24:36
> 1という天才に近づこうと一生懸命努力している0.999・・・
近づこうとしてるんじゃなくて、最初から0.999…は1なんだがな
コイツはまだ「動く数値」という幻想に囚われているらしい

745 :132人目の素数さん:2008/06/27(金) 10:36:08
0.999・∞・9と書いたら止まってる
0.999・・・と書いたら動く数値の幻想
意味不明

746 :132人目の素数さん:2008/06/27(金) 10:50:02
0.999…は動きません

747 :132人目の素数さん:2008/06/27(金) 10:53:37
動かないと止まってるは同じ意味だろーがぁ

748 :132人目の素数さん:2008/06/27(金) 10:55:20
de?

749 :132人目の素数さん:2008/06/27(金) 10:56:24
小学校の国語からやりなおせ

750 :132人目の素数さん:2008/06/27(金) 10:56:54
桁が何処かで止まってる、とその数値が止まってる、がごっちゃになってるぞ

751 :132人目の素数さん:2008/06/27(金) 10:58:52
ここは楽しい漫才スレでつね

752 :132人目の素数さん:2008/06/27(金) 11:02:05
>>745,747
0.999・∞・9という表記が正しいかどうかはとりあえず置いとくが

0.999・∞・9と書いたら「9がどこかの桁で」止まってる
0.999・・・と書いたら「9はどの桁でも」止まっていない

0.999・・・は「数値としては」もちろん止まってる(定数なんだから当たり前)

753 :132人目の素数さん:2008/06/27(金) 11:07:49
こういう言い回しを数値詐欺っていうんだよ

754 :132人目の素数さん:2008/06/27(金) 11:11:10
>>753
泣くなよw

755 :132人目の素数さん:2008/06/27(金) 11:14:38
「もしもし、どちらさま?」
「オレだよ、オレ。0.999・・・・・・・・」
「?」
「999999・・・・・・・・・・・・・・・」
「あ、もしかして」
「999999・・・・・・・・・・・・・・・」
「1かい?」
「そうそう、そうなんだよ」


756 :132人目の素数さん:2008/06/27(金) 11:17:41
どの桁でも止まっていない
数値としては定数だから止まっている
意味がまったく分からん

757 :132人目の素数さん:2008/06/27(金) 11:19:09
矛盾だらけでまったく詐欺だよな

758 :132人目の素数さん:2008/06/27(金) 11:21:08
>>756-757
解らないのはお前の頭が悪いから
どこも矛盾してはいない

759 :132人目の素数さん:2008/06/27(金) 11:25:03
お前らのDNAには数学という概念概念組み込まれていないと思うぞW

760 :132人目の素数さん:2008/06/27(金) 11:33:01
>>756
1/3=0.333…ってのは納得できるよね?
0.333…も0.999…と同じくどの桁でも止まっていない数だけど、
これは1/3と等しいんだから、勝手に動かれちゃ困る
それと一緒

761 :132人目の素数さん:2008/06/27(金) 11:36:43
0.333・・・は定数ではない

762 :132人目の素数さん:2008/06/27(金) 11:37:30
「表記」と「数値」がなぜごっちゃになる?


763 :132人目の素数さん:2008/06/27(金) 11:39:55
1/3=0.3 余り 0.1 だろ

764 :132人目の素数さん:2008/06/27(金) 11:51:43
自分が間違ってるのは薄々気付いてるけど、それを認めたくないんだろw
哀れだな

765 :132人目の素数さん:2008/06/27(金) 11:57:57
とうとう荒らしに変貌したかw

766 :132人目の素数さん:2008/06/27(金) 12:00:21
とか言ってお前らも、こういう馬鹿が沸いてスレが伸びた方が楽しいんだろ?

767 :132人目の素数さん:2008/06/27(金) 12:01:39
いや論破したからもーこねーよ

768 :132人目の素数さん:2008/06/27(金) 12:10:34
>>761
0.333…も0.999…も定数ですが
これは数学における決まりごとで、否定する余地はどこにも無い

769 :132人目の素数さん:2008/06/27(金) 12:16:05
>>768
決まりごと(公理)なら、いつでも覆してよいのが数学。
いくらでも自由に否定できる。違う公理系というだけだ。


770 :132人目の素数さん:2008/06/27(金) 12:24:17
>>769
そういう事を言ってるんでなく、適当な(この場合は一般的な)公理系の上では、と言う話

771 :132人目の素数さん:2008/06/27(金) 14:06:37
果たして本当にそれ公理なのだろうか?

772 :132人目の素数さん:2008/06/27(金) 14:09:21
>>767
お前、このスレ↓で無限桁目の議論で論破されてた例のキチガイだろ(640以降を参照のこと。最後のレスは715)。
ttp://mimizun.com/search/perl/dattohtml.pl?http://mimizun.com/log/2ch/math/science6.2ch.net/math/kako/1190/11904/1190459453.dat
背理法も理解できないクズに数学は理解できません。

773 :132人目の素数さん:2008/06/27(金) 14:30:08
>>756
1つ質問していいかな?

0.9とは、「1桁目が9であり、それ以降の任意の桁が0である数」のことだね?
0.99とは、「1桁目と2桁目が9であり、それ以降の任意の桁が0である数」のことだね?
0.999…99とは、「ある∞桁目までが9であり、それ以降の任意の桁が0である数」のことだね?

じゃあ、「任意の桁が9である数」は何でしょう?
(ここで言う任意の桁とは、有限桁目はもちろんのこと、それ以降の全ての∞桁目も含めて任意と言っている。)

774 :132人目の素数さん:2008/06/27(金) 18:34:44
∞桁目ってのは沢山あるのか?

775 :132人目の素数さん:2008/06/27(金) 18:40:18
そもそも∞桁目という表現が、∞を数のように言っててよろしくないよな。

776 :132人目の素数さん:2008/06/27(金) 23:13:01
バカが出てくるのはいいけど
どこかで見たようなパターンのバカは燃料にもならん
どうせならもっと斬新なのを期待

バカに下限はないから、もうパターン出尽くしたと思っても
きっと何か新しいタイプが出てくる

777 :132人目の素数さん:2008/06/29(日) 05:02:41
馬鹿に下限というのは失礼な言い方だ。
馬鹿には上限はなく無限の可能性があると言うほうがよりよい表現と思われる。

100馬鹿 と 50馬鹿では どちらのほうがより素晴らしい馬鹿と感じるかを考えてみればよい。

778 :132人目の素数さん:2008/06/29(日) 09:05:01
また1≠0.999…とする超現実数の亜流かね?

779 :132人目の素数さん:2008/06/29(日) 12:20:16
1と0.999・・・がなぜ等しいのか理解している奴となぜだか知らないけど等しいと思ってる奴が
同じ立ち位置で振舞おうとしているのが滑稽だ。

780 :132人目の素数さん:2008/06/30(月) 07:12:08
何だ、1≠0.999…となる数系を構成してみた例は
Wikipediaに出てるじゃんか…だけど全く使えねーみたいねぇ

781 :132人目の素数さん:2008/06/30(月) 22:03:49
馬鹿が非有界であることの証明:

 任意の馬鹿に対し、必ずそれより馬鹿な馬鹿が湧いてくる。 Q.E.D.


782 :132人目の素数さん:2008/06/30(月) 22:15:50
>>781
それは最大値(or最小値)が無いことを言っているにすぎない。
上限(or下限)は存在するかもしれない。その場合、馬鹿は有界である。

783 :132人目の素数さん:2008/07/01(火) 03:54:09
湧いてくる馬鹿予備軍の数は有限であることについて。

784 :132人目の素数さん:2008/07/01(火) 07:39:18
時間の流れまで含めると実質無限ともいえる

785 :132人目の素数さん:2008/07/01(火) 10:40:20
ある生物種に与えられる時間の流れも有限なことについて。

786 :132人目の素数さん:2008/07/02(水) 02:32:42
宇宙まるごと輪廻転生…を仮定したとしても、各輪廻内で有限だな
その様な中でも進化していくなら…もう訳分からん
拡大解釈し過ぎた

787 :132人目の素数さん:2008/07/04(金) 03:23:58
どうした?限り無い馬鹿がこのスレには居るではないか
gnik

788 :132人目の素数さん:2008/07/04(金) 23:38:17
はあ?永遠のものは確実に存在するぞ。

それは「巨人軍」だ!!!


証明終了!!

789 :1stVirtue ◆.NHnubyYck :2008/07/04(金) 23:49:46
Reply:>>787 お前は何をたくらんでいる。

790 :132人目の素数さん:2008/07/06(日) 12:18:28
・合わせ鏡理論

こう見えるのが、0.999・・・・8くらいで、

・・・(-(-(-(-(-_-)
・・・(((( ( (   )
・・・||||||

こうみえるのが、0.999999・・・9で、
((-_-)
((   )
|| |
           .
こうみえるのが、0.9と1
(-_-)
(   )
|  |

791 :132人目の素数さん:2008/07/08(火) 23:15:30
みんな心の底では1=0.999...とは思っていない。
だまされた振りをしてるんだ・・・

792 :132人目の素数さん:2008/07/08(火) 23:18:25
そのタイプのバカは新しいかも

793 :132人目の素数さん:2008/07/08(火) 23:28:12
>>791
んなこたーない

794 :132人目の素数さん:2008/07/08(火) 23:42:13
んじゃ、9999.999...円セールは1万円ってことか?
訴えられない?

795 :132人目の素数さん:2008/07/09(水) 00:04:38
>>794
9999.999…円は寸分の狂いもなく1万円なのだから、そのことでは訴えられない。
訴えるやつは、9999.999…=10000であることを理解していないバカ。
ただし、「この表現は紛らわしい!」という理由で訴えることはできるかもしれない。
どのみち、9999.999…=10000であることに変わりはない。

796 :132人目の素数さん:2008/07/09(水) 00:18:20
「∞桁目があるんだ」「1に無限に近いけど1じゃない数だ」「誤差だ」「近似だ」「3進法なら解決だ」「みんなほんとは信じてないんだ」
・・・もっとパターンちょうだい

797 :132人目の素数さん:2008/07/09(水) 09:34:58
0.999...は10進法には存在せず、自動的に繰り上がって1になる。
ってのがいいな。
0.999...は永久欠番

798 :粋蕎 ◆C2UdlLHDRI :2008/07/09(水) 20:05:43
何じゃそりゃ…駄目だこりゃあ次いってみょ〜

>>780
果たして、その系は数系と呼べるのか?

799 :132人目の素数さん:2008/07/12(土) 03:17:17
こんなのを読みました。

1.000000000000000000000

0.999999999999999999999

各桁を調べてみる。

1の位 1と0
小数点以下 0と9

明らかに違うことは誰の眼にも明白。
これを同じという人はめくらか基地外。
=ではなくほぼ等しいというのなら理解できるが、1と0、0と9が同じと理解する人はキチ。

よっと1=0.9999・・・ではない。

800 :訂正:2008/07/12(土) 03:19:32
1.000000000000000000000・・・

0.999999999999999999999・・・


801 :132人目の素数さん:2008/07/12(土) 04:08:10
あっ、今行ったらこの投稿が消えていた。w

面白いと思ったんだけど。

802 :132人目の素数さん:2008/07/12(土) 13:28:23
限りなく1に近いのと=1とは違うし。w
たんなる約束事だろう?

そんなに厳密に考えることはない。

803 :132人目の素数さん:2008/07/12(土) 13:31:13
=と強弁するからややこしくなるだけ。

804 :132人目の素数さん:2008/07/12(土) 17:05:58
>>802
0.999…=1だよ。任意の桁が9である数のことを0.999…と書く。

>>803
強弁しているのではない。実際に0.999…=1なのだ。

805 :132人目の素数さん:2008/07/12(土) 17:48:09
=と勉強しないからややこしくなっているのだろう?

806 :132人目の素数さん:2008/07/12(土) 18:18:18
1=0.999・・・しか認めてないわけではないからね。

807 :132人目の素数さん:2008/07/12(土) 20:59:18
「0.999...の小数点以下を切り捨てよ」って言われたら?

808 :132人目の素数さん:2008/07/12(土) 22:38:18
A−B=0であればA=Bだ。
そこで 1−0.999...を計算してみる。
   1
− 0.999...
-----------
  0.000...
このように、無限に0が続くのだから0.000...は0
つまり1=0.999...

えっ、0.000...が0かどうか怪しいって?
では、↓で検証してみよう。


809 :132人目の素数さん:2008/07/12(土) 22:38:56
1秒間に0を10個印刷する機械があったとする。
0.000...  この機械は休むことなく0を打ち続ける。
1時間も2時間も休むことなく。

君がちょっと飲み物を買いに行っているときも
漫画を読んでいるときも昼寝をしているときも、ずっと打ち続ける。
数え切れないくらいの枚数の紙に0を打ち続ける。

もう部屋の中は0がぎっしり並んだ紙でいっぱいだ。
紙を買うために全ての貯金を引き出し、
売れるものは全て売って紙を買った。
お金はもう残っていない。
後は今セットしてある紙だけだ。

この全ての0の何億倍も何兆倍も0並べても終わらずに0が続く。
ほら、0.000...は0だろ思い出しただろ。

810 :132人目の素数さん:2008/07/13(日) 00:13:37
>>807
0.999…の小数点以下を切り捨てたら0。
1の小数点以下を切り捨てたら1。
しかし何も問題は無い。小数点以下を切り捨てた後の数が
一致していなければならないという定理は無いのだ。

811 :132人目の素数さん:2008/07/13(日) 05:24:21
0.5と0.499999…を小数点以下第一位で四捨五入したときも似たような感じですね。

812 :132人目の素数さん:2008/07/13(日) 05:26:14
小数点以下第一位と言われればそうなのかもしれないが

ただ単に四捨五入して整数にせよと言われたらどうだろう?

0.5と等しい場合は切り上げねばならないのか?




813 :132人目の素数さん:2008/07/13(日) 08:31:00
桁数を指定しないで四捨五入せよという問題はない。
四捨五入して整数にせよというのは小数第1位を四捨五入せよと指定されているのと同じ。
(他を四捨五入したとき1.0や1.00などとなって整数にならないから)

814 :粋蕎 ◆C2UdlLHDRI :2008/07/15(火) 11:12:55
>>810-813
これは又、個人的に新たな発見じゃ

815 :132人目の素数さん:2008/07/15(火) 16:29:38
1の有効数字はは、一桁で1

では0.9999999…の有効数字は何桁?


816 :132人目の素数さん:2008/07/15(火) 16:31:33
桁数という考えから離れたほうがいいかも

817 :132人目の素数さん:2008/07/15(火) 17:33:04
無限小数に対して「有効数字」ってのは見たことが無い。目標とする
数値aからは少し誤差がある  有 限 小 数 x に対して、
「有効数字」という概念が定義されるんじゃないの?

というか、そもそも「有効数字」の数学的な定義を知らないw

818 :132人目の素数さん:2008/07/15(火) 17:46:08
>>817
あるよ、数学的定義。
四捨五入の定義と似たようなもんで、不等式で明確に示されてる
まぁ単に観測値をどう扱うかってのを決めたにすぎないんだけど

しかも「観測値」から必然的に有限小数に限られるね

819 :132人目の素数さん:2008/07/15(火) 18:00:23
測定結果が0,5だったときは基数を3に変えれば
有効数字の桁数が上がりますね。



820 :132人目の素数さん:2008/07/16(水) 22:35:26
打たれ弱い数学初心者です。
否定するときは優しく否定してください。

ケーキが1個あって、それをもらえるとして
1回目は全体の9割
2回目は残りの9割
3回目は残りの9割
このようにして限りなくもらったとしたら、全部もらったことになる
ということでしょうか。
つまり、0.9+0.09+0.009+… =1 ということですか。

この場合いつまでたっても残りがあるように感じるのはおかしいのでしょうか?

821 :132人目の素数さん:2008/07/16(水) 23:08:07
そうやって切り取った残りを
1g未満にしようと思えば何十回か切ればできる
0.1g未満にしようと思えばさらに何回か切ればできる
0.01g未満にしようと・・・(以下略

よってどんなに小さい正のx(g)に対しても、回数Nが存在して
「N回切ったあとの残りはx(g)未満である」という状態にできる。
それが 1 - 0.999... = 0 すなわち 0.999... = 1 ということ。

実際に無限回切ることはできないので、
「いつまでたっても残りがある」ことを根拠に0.999... = 1を否定するのは誤り。

822 :132人目の素数さん:2008/07/16(水) 23:14:30
>>820
アキレスが1m先で止まっている亀に向かって走っていきます。最初に残りの道のり1mをチェックします。
さらに、チェック毎に残りの道のりの90%進んだ地点で、再チェックします。アキレスのスピードは変わりません。

1回目は0.9mの地点でチェックが入ります。
2回目は0.99mの地点でチェックが入ります。

以下同じです

ふつーに考えるとアキレスは亀に追いつくはずですから、無限回のチェックで追いつくとすれば…
1=0.999… となるのは現実からの素直な結論として何らおかしくないのでは?

****
ケーキの場合は無限回の切断で…(あるいはケーキの原子が1個になった以降)残りが無くなるとしても
良いのでは?

823 :132人目の素数さん:2008/07/17(木) 00:01:45
>>820
>このようにして限りなくもらったとしたら、
「限りなく」なのに「貰った」はおかしいですね。
「限りなく貰い続ける」ならいいですが。

>全部もらったことになるということでしょうか。
もし「貰い続ける」ならそれは「動作」ですから
「全部貰った」という「状態」と等しいはずはありません。

>つまり、
何がつまりなのか不明です。

>0.9+0.09+0.009+… =1 ということですか。
それは正しいです。
ちなみに「0.9+0.09+0.009+…」は「動作」はありません。
動作を足し算の対象にしたりは普通しませんから。

>この場合
どの場合ですか?

>いつまでたっても残りがあるように感じるのはおかしいのでしょうか?
限りなくケーキを貰い続けた場合のことを言っているなら
いつまでたっても残りはあります。
何もおかしくはありません。

824 :132人目の素数さん:2008/07/17(木) 01:45:00
また湧いてきたな

825 :132人目の素数さん:2008/07/17(木) 04:24:34
国語が出来ない奴の回答は読む気がしないね。

仕事の時は仕方なく採点するが


826 :132人目の素数さん:2008/07/17(木) 12:17:33
>>820です。皆さんありがとうございました。とても参考になりました。

>>821 >「いつまでたっても残りがある」ことを根拠に0.999... = 1を否定するのは誤り。
これがはっきりしなかったので質問したのですが、結論はそうなのですね。

>>822 >ケーキの場合は無限回の切断で残りが無くなるとしても良いのでは?
820のたとえ話で何となく変だな考えてしまうのは有限回の途中で考えてしまうからですね。
無限回で考えなければいけないということですね。

>>823 >「限りなく」なのに「貰った」はおかしいですね。
    >「限りなく貰い続ける」ならいいですが。
これです。自分が間違っていた部分は。
「限りなく」と言っておきながら「貰った」というように過去に(貰うを終了)してしまったことですね。
「つまり」は「限りなくもらったとしたら、全部もらったことになる」を式にすると、という意味で書きました。
「この場合」というのは「9割ずつ貰い続ける場合」です。
いつも1割が残るのに全体を貰ったことになるのが不思議な気がして
「おかしいのでは?」と質問しました。

827 :132人目の素数さん:2008/07/18(金) 00:20:50
>>826
限りなくもらい続けることなら、余りなんてないよ。
いつも1割が残るように感じるのは、
頭の中で試行を有限回に止めているから。

828 :132人目の素数さん:2008/07/18(金) 01:35:05
>>827
いつも1割残る「ように感じる」のは君だけだよ。

829 :132人目の素数さん:2008/07/18(金) 01:46:29
>>827 

>>820です。ありがとうございます。
たとえ少しでももらい続けるわけですから、無限回もらえば全部もらうことができるわけですね。


>>828
いつも残ると思ったのは私で>>827さんは私(820)の言葉を説明のために使っただけです。
わかってないのは私です。

830 :132人目の素数さん:2008/07/18(金) 11:31:21
そもそも無限回なんていう回数は存在しない。
とか言ってみようかな。

831 :132人目の素数さん:2008/07/18(金) 13:51:45
無限回っていうとその先がないように感じるから間違った解釈をしてしまう

832 :132人目の素数さん:2008/07/29(火) 19:02:34
限り無い回数とは何か

833 :132人目の素数さん:2008/07/31(木) 00:26:00
つまりどうやっても0.99999....からは0.0000...1余るわけだ
つまりその0.0000...1こそが人間の魂なのさ

834 :132人目の素数さん:2008/07/31(木) 02:28:27
0.999… と0.999…99 は全く別の数。

「どの桁も9である数」のことを0.999…と書くのだ。
このとき余りは0である。つまり、

0.999… については、余りは0である

ということになる。一方で、「ある(無限)桁目までは9である数」
について考えると、そのときは余りは0.0000…1になる。つまり、

0.999…99 については、余りは0.0000…1である

ということになる。だから>>833は間違い。

835 :132人目の素数さん:2008/07/31(木) 03:08:30
かわいそうに…。

836 :132人目の素数さん:2008/07/31(木) 07:27:27
「ある(無限)桁目までは9である数」か
バカ既存パターンの一つだな、つまらん

837 :132人目の素数さん:2008/07/31(木) 09:44:27
> 「どの桁も9である数」のことを0.999…と書くのだ。

それはどうかな。

838 :132人目の素数さん:2008/07/31(木) 13:05:09
>>837
ある桁が9でなければ、その数は「0.999…」と表記するのにふさわしくない。
ある桁が1であれば、そのときは「0.999…」ではなく「0.999…9991」のように
表記すべき。ある桁が0であれば、そのときは「0.999…9990」のように表記すべき。
ある桁が1であったり0であったりするのに「0.999…」という記号列で表記してしまうと、
両者の区別がつかないのだ。
そして、どの桁も9であるときに限り、「0.999…」という記号列を使うべき。

また、「0.999…」とか「0.999…999」のような表記法には言及せず、単純に
「どの桁も9である」という記述のみを用いるならば、話は少し単純になる。
つまり、次のようになる。

・どの桁も9であるような数について、その余りは0である

↑これに関しては文句あるまい。

839 :132人目の素数さん:2008/07/31(木) 15:48:33
「どの桁も9である」数が1に等しいかどうかの議論はどうするんだ?

840 :132人目の素数さん:2008/07/31(木) 16:00:56
>>839
余りが0だから1に等しい。

841 :132人目の素数さん:2008/07/31(木) 16:05:33
一応言っておくと、ここでいう「余り」とは、何らかの割り算をしたときの
あの”余り”ではなくて、>>833で使われている意味での余り。
つまり、1との誤差のことを余りと呼んでいる。

842 :132人目の素数さん:2008/07/31(木) 17:26:23
やっぱ、文字の見た目そのままを定義にすると話が頼りなくなるなぁ

843 :132人目の素数さん:2008/07/31(木) 19:39:00
今日初めて数学板に来た。
既出だと思うが、疑問を一点。

1=0.9999…の初等的証明は、証明かどうかすら怪しいと思うのだが。
これは一種の循環論法じゃないか?
はじめから答えを知っていて、その答えを使って、また答えを出しているだけに見える。
例えば@はいきなり0.333…=1/3から始まっているが、
「0.999…は1よりもちょっと小さいよ」と文句を言う人は、
「0.333…も1/3よりちょっと小さいからダメだ」、と言うのでは?
と、するとこんな証明をいくら見せつけても無意味。
むしろ、前提条件そのものが証明で、その後は定義されたものに過ぎないのでは?

844 :132人目の素数さん:2008/07/31(木) 19:39:59
今日初めて数学板に来た。
既出だと思うが、疑問を一点。

1=0.9999…の初等的証明は、証明かどうかすら怪しいと思うのだが。
これは一種の循環論法じゃないか?
はじめから答えを知っていて、その答えを使って、また答えを出しているだけに見える。
例えば@はいきなり0.333…=1/3から始まっているが、
「0.999…は1よりもちょっと小さいよ」と文句を言う人は、
「0.333…も1/3よりちょっと小さいからダメだ」、と言うのでは?
とすると、こんな証明をいくら見せつけても無意味。
むしろ、前提条件そのものが証明で、その後は定義されたものに過ぎないのでは?

845 :132人目の素数さん:2008/07/31(木) 19:43:55
二重投稿失礼

846 :132人目の素数さん:2008/07/31(木) 19:51:22
>>843
ちょっと論理学かじってればその疑問がいかに初歩的であるかわかる。
少しセンスのある奴は論理学の基礎知識があろうがなかろうが、その種の疑問は抱かない。

あとはテンプレ嫁。君の疑問に対する解答がおおまかに書いてある。
証明はトートロジーにはなってない。

847 :132人目の素数さん:2008/07/31(木) 20:12:41
>>846
トートロジーではないってどういう意味?
整合的としか言えないということ?

848 :132人目の素数さん:2008/07/31(木) 20:19:20
結局、最初にルール作る時にどうしたかって問題だな。

849 :132人目の素数さん:2008/07/31(木) 21:17:08
>1=0.9999…の初等的証明は、証明かどうかすら怪しいと思うのだが。
>これは一種の循環論法じゃないか? >
>はじめから答えを知っていて、その答えを使って、また答えを出しているだけに見える。

循環論法というからには、結論を導く仮定で
結論自身(もしくは結論から導かれる別の事実)を使っているってことだよね。
どこがそうなっているか具体的に指摘しようよ。

>例えば@はいきなり0.333…=1/3から始まっているが、
>「0.999…は1よりもちょっと小さいよ」と文句を言う人は、
>「0.333…も1/3よりちょっと小さいからダメだ」、と言うのでは?

「例えば」って言ってるけどこれは全然循環論法の指摘になってないしな。

850 :132人目の素数さん:2008/07/31(木) 21:59:38
>>849
846によると、自分の論理的センスのなさのようです。
間違っているなら、間違っているで、何処がどう間違っているのか、
丁寧に説明していただければ幸いです。

0.333…=1/3がはじまってしまっている時点で、
暗に0.999…=1を言ってしまっていると思うのです。
だから、テンプレ@の0.333…=1/3だろう?という出だしは、
すでに0.999…=1という結果を使っていると思うのです。
この点に循環論法を疑いました。
ですから、0.999…=1を認めない者を説得する手段としては、怪しいわけです。

この自分のセンスの何処が悪いのか指摘すれば、より確固たるものになります。
というか既出なんじゃ…

>>848
同感です。
「そういう方向性で数学やっていきましょう」の「そういう」を知ろうとしないと。

851 :132人目の素数さん:2008/07/31(木) 22:06:08
テンプレに書いてあるのは、証明というよりは一般人を納得させるいくつかの方法なわけで、
それがそのまま数学的な証明というわけではない。
また、最初に書いてあるからといって、それが証明の出発点というわけでもない。

0.333…=1/3の話で納得いかないならば、
無限小数とは何なのか、とかの極限の概念などをしっかり考える必要がある。

852 :132人目の素数さん:2008/07/31(木) 22:14:23
0.999…≠1だと意地を張っている人が、0.333…=1/3だけ認めるのはおかしい
というかそれって自分で自分が矛盾している
0.999…≠1だと言い張る人は0.333…≠1/3だとダダこねるはず
で、最初から一般的に0.999…=1だと分かっている人は、
わざわざ0.333…=1/3を経由しなくてもよい

一般に0.999…=1であることが知られている
よって0.999…=1である

これはダメなのか?何で1/3を経由する必要があるの?

853 :132人目の素数さん:2008/07/31(木) 22:25:01
「意地を張っている人」「言い張る人」を、「思ってる人」に置き換えてみたら?

854 :132人目の素数さん:2008/07/31(木) 22:33:32
「0.999…≠1だと意地を張っている人」が、矛盾のない論理にしたがって考察するとは思えないんだが。

855 :132人目の素数さん:2008/07/31(木) 22:48:50
人間みな素直が一番ということですね、わかります

856 :132人目の素数さん:2008/07/31(木) 22:57:33
というか 0.999999… = 1 のまともな証明を聞いたことがない。

857 :132人目の素数さん:2008/07/31(木) 23:20:14
>だから、テンプレ@の0.333…=1/3だろう?という出だしは、
>すでに0.999…=1という結果を使っていると思うのです。

使ってないよ。どう使ってるのかを指摘すべき。
「だから」と言われても何が「だから」なのかわからん。

858 :132人目の素数さん:2008/07/31(木) 23:25:34
命題「a=bならば2a=2b」を証明せよ

仮定より a = b
両辺2倍して 2a = 2b
証明終わり

これ別に循環論法じゃないからなあ

859 :132人目の素数さん:2008/08/01(金) 00:54:15
0.999・・・=1が都合いいならそうする。ただそれだけ。

860 :132人目の素数さん:2008/08/01(金) 01:57:29
>>858
じゃぁ「A=BならばA=B」もあるな。

0.999…=1という仮定が既にあるわけだから、
両辺を1倍して0.999…=1

これでもいいということか?

861 :132人目の素数さん:2008/08/01(金) 02:17:24
0.333…=1/3をわざわざ経由したのは、
他のものから導いた方が説得力があるからでしょうか?

862 :132人目の素数さん:2008/08/01(金) 03:46:32
>>856
数学的に一番まともなのは、まずペアノの公理系から自然数を構成し、
そこから順次実数まで構成して、そのあとε−δ論法で極限の概念を
定義し、最後に無限小数という表記法を定義する。あとはその定義から
0.999…=1は明らか。

863 :132人目の素数さん:2008/08/01(金) 07:51:55
>>860
物事の本質が見えない奴だな。

「A=BならばA=B」は仮定と結論が同じだから証明の必要がない恒真命題
結論を導出するのに結論自身を使うのが循環論法

864 :132人目の素数さん:2008/08/01(金) 08:15:51
>>860
> 0.999…=1という仮定が既にあるわけだから

0.999…=1の証明するんだったら、方法問わず、それは仮定にならないだろ。

865 :132人目の素数さん:2008/08/01(金) 10:05:47
でも何で0.333…=1/3は知っているの?それどっから出てきたの?
ちゃんとした証明ではないと思うんだが。

866 :132人目の素数さん:2008/08/01(金) 10:15:52
>>863
ということは、
「『A=BならばnA=nB』は、仮定A=Bの両辺をn倍することで証明される」と言いたい場合は、
「但し、n≠1とする」と断る必要があるわけか。トートロジーは証明も何もないから。

あ、あと、n≠0も必要かな。

867 :132人目の素数さん:2008/08/01(金) 10:19:05
実数の概念および四則算法は既知と仮定する。

868 :132人目の素数さん:2008/08/01(金) 10:24:13
>>866
A=Bならば1*A=1*B だったら
1*A=1*Bを整理してA=B
で終わりでいいじゃん

869 :132人目の素数さん:2008/08/01(金) 11:44:55
>>866
「自明な場合(トートロジーとか)も含む一般的な命題の証明」と
「自明な場合(トートロジーとか)の命題の証明」は別。

870 :132人目の素数さん:2008/08/02(土) 07:57:25
それにしても、日常生活の多くが有限なのに、無限に立ち向かうなんて不思議だ

871 :132人目の素数さん:2008/08/02(土) 08:26:44
>0.9999…と1が異なるとなるとすると、その間の数がある
これの意味が分かりませんorz
例えば、1と2は異なる整数ですが、その間に整数はありません
異なっていても隣同士だったらどうなるのでしょう?

872 :132人目の素数さん:2008/08/02(土) 20:56:38
>>871
数⊃整数、同値ではない

873 :132人目の素数さん:2008/08/03(日) 05:43:06
>>872
とすると、あなたの言う「数」の場合、異なる数同士の間に、必ず数があるわけですか。
整数と違って、作ろうと思えばいくらでも作れるからだろうか…
ということは「数」の場合、隣り合う数同士(整数なら1と2のようなもの)が永久に現れないのだろうか

874 :132人目の素数さん:2008/08/03(日) 09:25:55
これはバカというより無知か

875 :132人目の素数さん:2008/08/03(日) 14:40:17
両方だろう

876 :873:2008/08/03(日) 18:00:20
あれ、俺の考えは何処をどう訂正したらいいんだ?
この数というのは実数のことでしょうか?

877 :132人目の素数さん:2008/08/04(月) 02:52:46
Level.1
納得仕切れないが取り敢えず1=0.999…を認める
Level.2
1/3=0.333…は認めらるが1=0.999…は認められない
Level.3
1=0.999…を認められない余りに1/3=0.333…も否定し始める
Level.4
Level.3から更に悪化し、遂に循環小数は有理数ではないとする
Level.5
Level.4から更に進み、実数の連続性をも幻想だと言い始める
Level.6
1=0.999…を例を用いて議論するなら二分法になる所を、
飛矢不動説で議論し始めたり、更に不適なアキレスと亀説で議論し始め、
「アキレスと亀説よりも飛矢不動、飛矢不動よりも二分法の方が
例に適する筈」と言う助言さえも無視し始める
Level.7
数学全体の信頼性の疑問視、
数学を神だの仏だの持ち出しつつトンデモ哲学者的に鼻で笑う、
のどちらか一方をやり始める
Level.8
Level.7で挙げた行動を両方やり始める

不納得者 → 「"無限桁目"の余り」バカ → トンデモ無限説者

878 :132人目の素数さん:2008/08/04(月) 02:55:00
あん?1≠.999…とする系だって?
そんな実数から連続性が失われ、ややもすると順序性も失われる物は
劣実数と呼ぶ事にしよう

879 :132人目の素数さん:2008/08/04(月) 03:52:19
Wikipedia - 0.999…を見ると0.999… < 1の様にデザインされた系では
減法が成り立たない。


Wikipediaよりp-進数による証明
(中略)
3番目の誘導方法はある中学1年生によって発明された。その生徒は
教師が 0.999…=1 を極限を用いて行った議論に疑いを持ったが、
上記の 10 を掛ける証明を反対の方向へ用いてみようとした。すると、
x = ...999 ⇒ 10x = ...990 であるから、10x = x − 9 であり、再び x = −1 となる[41]。

最後の拡張として、0.999…=1(実数における等式)と…999=−1(10-進数における等式)であるから、
「盲目的に記号を偽弄することを恥じなければ(by blind faith and unabashed juggling of symbols)」[43]
2つの等式の両辺を加えて …999.999… = 0 を得る。この等式はもはや10-進数としても
通常の小数展開としても意味を持たないが、よく知られた体系、即ち実数を表現する為に、
左方への循環も許す"double-decimals" の理論を誰かが開発すれば
一転してこの等式も意味をもち正しくなる[44]。

880 :132人目の素数さん:2008/08/04(月) 16:54:27
>>879
>x = ...999 ⇒ 10x = ...990 であるから
無限桁目を有効に活用している。
「"無限桁目"の余り」バカ はもっと見習うべき。

881 :132人目の素数さん:2008/08/04(月) 20:54:00
2の補数表現による2バイト符号付き整数において
0xFF = -1 となるのと似てなくもない

882 :132人目の素数さん:2008/08/05(火) 19:34:25
>2バイト

883 :132人目の素数さん:2008/08/06(水) 11:43:42
初めて書き込む、数学素人ですが、疑問を
0.999・・・・が1なら、「1-0.000・・・1」は0.999・・・だから1?
もしそうだとしたら「1-0.000・・・(上より一桁上げた位置)1」も0.999・・・だから1?
じゃあ「何桁までいけば」1じゃなくなるのでしょうか?
なんか曖昧な気がする

884 :132人目の素数さん:2008/08/06(水) 13:04:55
0.000・・・1
が何を表しているかによる。

885 :132人目の素数さん:2008/08/06(水) 13:17:08
0.999・・・・が1なら
1-0.0000000000000001=0.99999(略 も1になるという事でしょうか?
そして、何桁まで9が続けば1になるのでしょうか?


886 :132人目の素数さん:2008/08/06(水) 17:28:45
>そして、何桁まで9が続けば1になるのでしょうか?
どの桁も9である数を0.999…と書く。だから0.999…=1になる。

>0.999・・・・が1なら、「1-0.000・・・1」は0.999・・・だから1?
1−0.000…1=0.999…999≠0.999… だから1ではない。0.999…999と0.999…は別の数。
0.999…999は1より少しだけ小さいが、0.999…は1。

887 :132人目の素数さん:2008/08/06(水) 17:51:59
なるほど、999・・・と続く場合が1なのですね。分かりました。ありがとうございます。

もう一つ。
0.999・・・が1ならば、0.000・・・1の分の誤差はどうなるのでしょう?
「0.999・・・ = 1」ですよね
でも「0.999・・・ + 0.00・・・1 = 1」これでも1になりませんでしょうか?

逆に引いていっても無限に1のまま?
1 - 0.00・・・1 = 0.999・・・ は1
それからまた引く
1 - 0.00・・・1 = 0.999・・・ = 1
.
.
.
ずーと引いていっても1のいまま?



888 :132人目の素数さん:2008/08/06(水) 18:10:25
まず
0.00・・・1
の定義を聞かせてもらおうか?

889 :132人目の素数さん:2008/08/06(水) 18:15:41
>>887
>0.999・・・が1ならば、0.000・・・1の分の誤差はどうなるのでしょう?
>「0.999・・・ = 1」ですよね
>でも「0.999・・・ + 0.00・・・1 = 1」これでも1になりませんでしょうか?
3行目が間違い。君がやろうとしている計算を正しく言い表すならば、それは

0.999…999+0.000…1=1

という計算になる。もう一度言うが、0.999…と0.999…999は別の数。0.999…に
対しては、0.999…+0.000…1=1.000…1 となり、右辺は1よし少しだけ大きい。

890 :132人目の素数さん:2008/08/06(水) 18:15:57
9なのだから1足りないですよね
その分の誤差です

891 :132人目の素数さん:2008/08/06(水) 18:21:06
>>889
0.>999…に
対>しては、0.999…+0.000…1=1.000…1 となり、右辺は1よし少しだけ大きい。

では、9に対してのわずかな誤差はどうなるのでしょうか?
1.0ではなく0.「9」・・・・ですよね


892 :132人目の素数さん:2008/08/06(水) 18:22:21
>>890
>9なのだから1足りないですよね
そこが間違い。もし、どこかの桁で1足りないのであれば、考えている数は
「0.999…999」という形の数になる。つまり、途中から9が無くなる。
お分かり?もう一度言うよ。

ど こ か の 桁 で 1 足 り な い の で あ れ ば 、
考えている数は「0.999…999」という形の数になる。途中から9が無くなる。

ところが、「0.999…999」という形の数は、「どの桁も9である数」では無い。
なぜなら、9が途中で打ち切られているからだ。一方で、「どの桁も9である数」の
ことを0.999…と書くのだから、0.999…に対しては、1足りないという現象は
起きない。だから0.999…=1になる。

893 :132人目の素数さん:2008/08/06(水) 18:29:05
1たりないと言うことはないのならば、なぜ0.「999・・・」なのでしょうか?


894 :132人目の素数さん:2008/08/06(水) 18:30:12
>>891
>では、9に対してのわずかな誤差はどうなるのでしょうか?
>1.0ではなく0.「9」・・・・ですよね
敢えて表記するならば、

0.999…という数に対しての誤差=「どの桁も0である数」

である。つまり、誤差は「0.000…」になる。つまり

0.999…+0.000…=1

という式が成り立つ。一応注意しておくが、この0.000…という数は
「どの桁も0である数」であって、0.000…1といった数とは別物。
0.000…という数のどの桁を見ても、「1」は現れない。

895 :132人目の素数さん:2008/08/06(水) 18:36:04
>>893
それは892に書いたばかりではないか。もう一度書くぞ、
「どの桁も9である数」のことを0.999…と書くのだ。もし、この数に
1足りない部分があったとすると、1−0.999…=0.000…1 という式が
成り立つことになる。式変形して、1−0.000…1=0.999… という式が
成り立つことになる。左辺について、1−0.000…1=0.999…999
だから、結局0.999…999=0.999… という式が成り立つことになる。
これは矛盾である。なぜなら、右辺は「どの桁も9である数」なのに、
左辺は9でない桁が存在するからだ。つまり、0.999…という数に対しては、
1足りない部分はない。

896 :132人目の素数さん:2008/08/06(水) 18:43:53
割り切れなくてずーと誤差0の桁が続いてるのですよね
5÷5みたいに割って1だから1ならわかるのですが、1で割り切れないのに1ってのは違和感を感じてしまいます



897 :132人目の素数さん:2008/08/06(水) 18:49:23
>>896
違和感を感じるのは、単に慣れの問題にすぎない。少なくとも、
「どこかの桁で1足りない部分があったとすると矛盾する」
という現実は受け止めなければならない。これは>>895に書いた。

898 :132人目の素数さん:2008/08/06(水) 18:54:34
割り切れないという点がきになりますが、、ありがとうございました

899 :132人目の素数さん:2008/08/07(木) 02:09:37
初心者の相手はやはり同程度の人じゃないと付き合ってくれないんだな。

900 :132人目の素数さん:2008/08/07(木) 04:09:49
独自発想的にp-進数を用いたWikipediaの中学生を見習わないと…あ!
そっか!!今度は「“左方無限桁目”の余り」バカになっちゃうんだ!!

901 :132人目の素数さん:2008/08/07(木) 09:31:54
>>899
いや、俺は数学科だよ。0.999…はε−δで定義すべきだと思っているし、
上の議論が正しいとは主張しない(ところが、上の議論はこれ単独では
間違いとも言いきれない。それは後述する)。
それでも、上の883〜898のやり方は、今のところ、初心者向けのベストな
説明だと思っている。今までは、俺は次のように説明していた。

[予め仮定するもの]
・0.999…は実数である。
・0.999…≦1である。
・任意の自然数nに対して、0.999…>0.99…99=1−1/10^nである。

[0.999…=1であることの証明]
0999…<1だとすると、1−0.999…=xとおけばx>0である。よって1/x>0である。
アルキメデスの原理より、1/x<nを満たす自然数nが存在する。よってx>1/nである。
一方、0.999…>0.99…99=1−1/10^n (右辺は9がn個並んでいる)だから、
1/10^n>1−0.999…=x になる。これとx>1/nから1/10^n>1/nとなり、n>10^nと
なる。この不等式は明らかに成り立たない。よって0.999…≧1であり、
これと0.999…≦1から0.999…=1を得る。

これは本質的にε−δ論法を使った証明で、かつて、このやり方で何人かは納得した。
しかし、いわゆる”無限小”を実数に含めてしまっている人には通用しなかった。
883〜898のやり方では、そういう人種にもある程度対応できる。

902 :132人目の素数さん:2008/08/07(木) 09:33:27
ところで、「上の議論はこれ単独では間違いとも言いきれない」と書いたが、
その理由は簡単だ。883〜898の議論では、0.000…1で表される数の「どの桁」が
1なのか言及していない。同じく、0.999…999で表される数の「どの桁までが」
9なのか言及していない。俺は意図的に言及しなかったし、相手もなぜか言及
しなかった。従って、

桁数     → 通常の解釈をする。つまり有限桁目のみ。”無限桁目”は考えない。
0.999…    → 通常の定義で解釈する(よって1に等しい)。
「どの桁も9」 → 任意の有限桁目が9である、と読む。
0.000…1   → ある有限桁目が1であると解釈する。
0.999…99  → ある有限桁目までが9であると解釈する。

という通常の解釈のもとでは、883〜898の議論は正しい議論である。
だから、883〜898の議論は、これ単独では矛盾しているか判断できない。
少なくとも、通常の解釈では883〜898の議論は正しくなる。

903 :132人目の素数さん:2008/08/07(木) 09:44:12
尤も、文脈を考えれば、いわゆる無限桁目が1であるとか、無限桁目までが9であると
解釈するのが自然だが、それはそれで、もし「無限桁目」なる概念がうまく定義
できるならば問題ない。「じゃあ、どうやって定義するんだ?」と思うのが数学屋の
サガなのだが、実は、そこは後回しで構わない。どう定義するかよりも、うまく定義が
できたと仮定しておいて、そこから何が言えるかを先に考えるべき。初心者の幻想を
そのまま受け止めるのだ。もしそれでも0.999…=1を初心者に納得させることが
できたならば、それでオシマイだ。もし納得しなかったら、そのとき初めて>>888
ようなレスをすべき。

初心者の幻想とは言っても、通常の実数と、初心者が抱く幻想には、「無限小」「無限桁目」
の違いしか無い。そして、ほとんどの場合、初心者のそういう幻想は、通常の実数の
演算や大小関係を(安易に)拡張したものになっている。ということは、通常の実数で
成り立つ議論を うまくその拡張に乗せることができたならば、初心者の幻想の中でも
0.999…=1が示せたことになる。883〜898では それをやっている。

ほとんどの場合、0.999…≠1を主張する輩は、「0.999…」なんて書いておきながらも、
実際には「0.999…999」を考えているのだ。つまり、途中で9を打ち切った数について
考えているのだ(どの「桁」で打ち切っているかは問題でない。無限桁目を導入しようとも
構わない)。しかし、「0.999…」という記号が本質的に持っている”気分”は「どの桁も9」
なのだ。どこを見ても打ち切られてはいないのだ。

904 :132人目の素数さん:2008/08/08(金) 01:59:09
よく纏まっとるな、局所的には
>桁数     → 通常の解釈をする。つまり有限桁目のみ。”無限桁目”は考えない
が特に効いとる。

…だがそうすると彼奴等は
無限桁目や無限小にまで議論を進めようとする…

905 :132人目の素数さん:2008/08/08(金) 02:04:15
例)“ ; ”を用いたり等で無限桁の隔たりを表現してきたりする
.999…;…999
.000…;…001

906 :132人目の素数さん:2008/08/08(金) 02:42:25
>>904-905
その場合も、とりあえずは同様の論法が通用する。なぜなら、たとえ無限桁目を
導入しようとも、彼等が言うところの0.999…≠1という式は、実のところは
0.999…999≠1であったり0.999…;…999≠1であったりするからだ。ところが、
「0.999…」という記号が表すのは「どの桁も9である数」のことだから、ここで
彼等は矛盾する。たとえば、彼等が「;」という表記を用いた場合は次のようにする。

1−0.999…=0.000…;…001だとすると、式変形して0.999…=1−0.000…;…001
=0.999…;…999 となる。つまり0.999…=0.999…;…999 となる。ところが、
左辺は「どの桁も9である数」なのに対し、右辺はそうでない。途中で9が打ち
切られているからだ。これは矛盾である。

907 :132人目の素数さん:2008/08/08(金) 06:05:19
でもまー、0.999…=1がわからない奴は直感力は言うに及ばず、論理力も皆無に近い
から背理法の証明なんぞ理解できないのだが。

結局、人間は自分の理解の及ぶ範囲でしか物事を理解出来ないしオーバーキャパに
なった者は諦めるか、コンプレックスの固まりと化して自分にしか通用しないトンデモ理論
を構築し始めて悦に入るかのどちらかに分かれる。(大体このパターンの輩は自分が理解
できないのは従来理論が不完全だからだと思いこんでる)

そして後者に対して、馬鹿馬鹿しくも真剣に説得をこころみようとしてるのがこのスレだが
冒頭の二行に書いたとおり、そもそも無駄なことなのである。

908 :132人目の素数さん:2008/08/08(金) 06:43:36
>>907
ちっとも無駄ではない。なぜなら、>>901の下から3行目に書いたように、
かつて俺が使っていた901の説明でさえ、「何人かは納得した」からだ。
もちろん失敗したケースもあったが。要するにケースバーイケース。
ちなみに、
>論理力も皆無に近いから背理法の証明なんぞ理解できないのだが。
ここまで知能の低い人間は今までで一人しか知らない。以前このスレ
(姉妹スレの方だったかもしれないが)に現れたトンデモだ。ヤツだけは
背理法を理解していなかった。「背理法はいつでも正しいとは限らない」
とか何とか言っていた。

909 :132人目の素数さん:2008/08/08(金) 07:05:38
>>908
>「背理法はいつでも正しいとは限らない」
実はもの凄く深い意味で、直観主義者だったのかもw

910 :132人目の素数さん:2008/08/08(金) 07:20:03
>>909
そういう可能性も無いことはないが、ヤツに限っては あり得ないと思うw
ちなみに、当時リアルタイムでそういうレスがあった。


>でもまー、0.999…=1がわからない奴は直感力は言うに及ばず、
直感の話をするならば、0.999…≠1派の直感は素朴には正しい。なぜなら、
彼等のほとんどは、0.999…≠1なんて書いておきながらも、実際には
0.999…999≠1という式を考えているからだ。0.999…≠1は間違い
だけれども、0.999…999≠1は正しい。この式は、最後の「9」が
有限桁目にある場合は当然正しいし、いわゆる”無限桁目”に
ある場合も正しいと解釈すべき。
(なぜなら、我々が”無限桁目”をマジメに定義しようとしたら、
どのみち0.999…999≠1という式が成り立つように定義するはず
だからだ。無限桁目が実際に定義できるか否かに関わらず。)


彼等の言う0.999…≠1という式が実際には0.999…999≠1のことを
指している限りは、彼等の言っていることは正しい。彼等は

(途中まで9が続く数)≠1

と言っているにすぎないのだ(ここで言う「途中」とは、有限桁目で
あっても”無限桁目”であっても構わない)。
もっとも、0.999…と0.999…999の区別が出来ていないところは
間違いだし、彼等に本当の0.999…という数(どの桁も9である数)を
教えたとき、0.999…=1という式、すなわち

(どの桁も9である数)=1

という式をちゃんと理解してくれるかは分からないが。

911 :132人目の素数さん:2008/08/08(金) 08:15:02
>>910
> (どの桁も9である数)=1
> という式をちゃんと理解してくれるかは分からないが。

そんなトンデモ理論は怪しいと疑う方が正常。

912 :132人目の素数さん:2008/08/08(金) 08:25:11
>>911
(どの桁も9である数)=1という式はトンデモ理論じゃないよ。なぜなら、
通常の解釈で考える限りは、この式は正しいからだ。通常の解釈では、
桁数は有限桁目のみを扱い、無限桁目なるものは考えない。その場合、
0.999… という記号で表される数は「任意の有限桁目が9である数」を
表す。それは、通常の極限の定義に従って計算すれば1になる(よって
0.999…=1になる)。一方で、今考えている解釈では有限桁目のみを
扱うのだから、「任意の有限桁目が9である数」という表現は
「どの桁も9である数」という表現で書き換えることができる。
これと0.999…=1から、(どの桁も9である数)=1という式が成り立つ。
つまり、通常の解釈では、この式はトンデモでも何でも無い。

この式をトンデモだと感じる可能性があるのは、”無限桁目”を
導入したときのみ。そして、トンデモだと感じるかじるかどうかは、
相手(=初心者)が無限桁目をどのように捉えているかによって変わる。
ケースバイケース。

913 :132人目の素数さん:2008/08/08(金) 10:26:25
>>911
…999.999…≠1
という突っ込みと予想

914 :132人目の素数さん:2008/08/08(金) 17:49:44
>>846
証明されたことはトートロジーであると思うのだが。
循環論法になっていないということかな?

915 :132人目の素数さん:2008/08/08(金) 19:12:06
>>906、ん?
そうはならないんじゃ?どっちにしろ表現できぬんじゃ?
1.000…:…000
0.999…;…999
差は
0.000…;…001

然し
1.000…;…000
0.999…;…000
差は─表現不能

1.000…:…000 (=1)
0.999…;…999
差は
0.000…;…001

1.000…;…000 (=1)
0.999…;…000
差は表現できないが
0.000…;…000 (=0)より大きいんじゃ?

な〜んてな
以上、「“無限桁目”の余り」バカを超えた、諦め論的立場を
>>905が演じました

まぁ、かく言う俺もまた、納得いかぬ物の背理法の前に諦めて
悟った振りしてる輩ですww

>>908
ヘンチクリン三進法の人ですね。もっと前に、あれより遥かに上手の
コテハン“トンデモ無限説”なる哲房気取りも居ましたねww

916 :132人目の素数さん:2008/08/09(土) 01:57:46
1=0.9dotなんてのもいたな、君だろ
君も黙れば?(w

917 :132人目の素数さん:2008/08/09(土) 15:58:57
…999 = -1
0.999… = 1

…999.999… = 0

918 :132人目の素数さん:2008/08/10(日) 20:22:13
p-進数質問

…は幾ら終わりが無いとはいえ、、、
桁左側が終わり無しって何よ?!
1との差は自然数を無限大に拡張させた様な
1000…;…000じゃないんケよ?!

919 :132人目の素数さん:2008/08/11(月) 00:28:59
>>901のように「相手が何を考えているか」を見抜いて上手に対応するのが大人だと思う。
極限値として何の抵抗もなく受け入れた人(自分も特に抵抗を感じた記憶はないが…)は、
とかく木で鼻をくくったような対応しかしない(できない?)。
だから、不満がいつまでもくすぶってしまう。

ところでこの機会に、よく見逃されているもう一つのパターンについて言及しておきたい。
それは、0.9999…という表記を、数(実数)でなく数列と考えているというものだ(明確に、
ではなく、「何となく」であることが多いが。漠然としたイメージをよく尋ねてみると、
そういうことがある)。
これは、別に変な考え方ではない。0.999…は0.9+0.99+0.999+…という無限等比級数
と考えられるが、「無限級数」や「a1+a2+a3+…」という表記は、極限値を表すだけで
なく、実際に部分和の数列という意味でも解釈されている。
例:「級数 a1+ a2+ … は収束する」
(もちろん、a1+ a2+ … = αと書くときは、左辺の記号は極限値と解釈されているから、
同じ記号が場合によって2通りに解釈されているといえる)
しかし「部分和の数列」とも解釈するのであれば、a1+ a2+ a3+ … = αと書く代りに、
a1+ a2+ a3+ … → αと書いてもよいはずで、(0.999…が単なる1つの数の表記でなく、
数学的にいうと数列を表しているという約束の元で)0.9999… → 1 と書いてやれば、
上記のパターンの考え方の者は納得するのではなかろうか。

(1-0.999…を持ち出す場合は0.999…を数だと思っているパターンだから>>901〜の
対応になるだろうけど。もっとも、これも1から部分和を引いた数列と思うなら、
0.1, 0.01, 0.001,… ということになる。ひとつの記号ではこの数列をうまく
書けないが、たとえば「…;…」を利用して書けば0.000…;…001 → 0 という
ことになる。誤差の0.00…01が無限の彼方に飛び去ってなくなる感じか。)


920 :132人目の素数さん:2008/08/11(月) 08:02:51
↑本人乙です

921 :132人目の素数さん:2008/08/11(月) 09:30:27
それは俺ではない。勝手な決め付けはやめてもらいたい。

>0.9999… → 1 と書いてやれば、上記のパターンの考え方の者は納得するのではなかろうか。
それは意味がない。我々が目標としているのは

(1)「極限値」と解釈したときの0.999…が、1に一致することを納得させる

ということだ。0.999… → 1と書くことは

(2)「数列」と解釈したときの0.999…が、1に近づくことを納得させる

ということであり、それは(1)とは全く別の目標である。つまり、
0.999… → 1と書くことで初心者が納得する内容は、我々が
納得させたい内容ではない。だから意味がない。

ちなみに、0.999…に数列のようなイメージを持つ者には、
「初心者の幻想を受け止めて0.999…=1を示す」という戦略は出来ない。
なぜなら、0.999…を数列だと思うときは、彼等の言っていることは
基本的には正しいからだ。
0.999…を極限値だと思ったときに0.999…=1が成り立つことを彼等に
納得させるには、まず「0.999…は数列ではない」と宣言しなければならない。
そして、それは「初心者の幻想を受け止めない」ということである。
この辺は仕方が無い。

922 :132人目の素数さん:2008/08/11(月) 11:24:35
>>921
なるほど、でも、初心者の最大の問題は、数列と極限値の区別ができていないこと、
および、「極限値」の意味がわかっていないことではなかろうか。

>「0.999…は数列ではない」
と宣言しておくことは必要だけど(その必要性が見逃されがちというのが>>919かも?)、
0.999…という記号表記が、極限値を数列自体で書いていることに記号的問題があるんじゃないか?

たとえば、lim[n→∞](0.999…9)と“ちゃんと”書けば、=1と書いても気持ち悪がる人は減るのでは。


923 :132人目の素数さん:2008/08/11(月) 15:25:29
俺は駄目だ
どうしても元からの0と極限値0とが同一であるとは考えられない

1.000…;…000
1.000…;…000
-----…;…---
0.000…;…000

1-1
=0
1+0
=1

1.000…;…000
0.999…;…999
-----…;…---
0.000…;…001

lim[n→∞]{1-Σ[k=1,n](9*0.1^k)}
=lim[n→∞](1*0.1^n)=0
lim[n→∞]{(1*0.1^n)+Σ[k=1,n](9*0.1^k)}
=1

どうしてもこの様な筆算を考えてしまう
零と無限小を同一だと見なせない
小数部を切り捨てるコマンド:Int
を考えた時
Int 0 は無限小を含意するとは思えない、無限小成分は無いと思う

同様に絶対値記号 | | とガウス記号 [ ] を考えた時
[|0|]は無限小を含意するとは思えない、無限小成分は無いと思う

924 :132人目の素数さん:2008/08/11(月) 15:27:48
>>923一部訂正
小数部を切り捨てるコマンド:Int

を、
小数点下桁全てを切り捨てるコマンド:Int
にする

925 :132人目の素数さん:2008/08/12(火) 11:25:10
>>923
零と無限小を同一視しろとは言ってない。
それが>>922に言う「極限値の意味がわかってない」という状態ではないか。

無限小=無限に小さい(あるいは、小さくなる)数があるとして、それが「目標とする数」、それが「極限値」。
つまり 0.999… という記号は、0.999…9 が「目標とする数」を意味している(と定義する)。

だから、0.999…=1という式は、「.999…9 が目標とする数=1」という式で、左辺も「目標」、
右辺も「目標」だから、厳密な等式(どちらにも無限小成分は含まれていない)なの!

もう一度言おう。「極限値」というのは過程ではなくて目標。

たとえば、「俺の目標は総理大臣だ」ということを、「俺の目標=総理大臣」という 等 式 で表したのと同じ。
この等式は別に現在の俺が総理大臣であるとは言っていない。それでもこの右辺と左辺は 厳 密 に 等しいだろ?

要するに、>>923のような考えは、別に「感じ方」が間違っているんじゃなくて、0.999…という記号が「何
を表しているか」という、「記号の約束」についての誤解なんだと思う。


926 :132人目の素数さん:2008/08/12(火) 12:03:01
923は、>>698-716も読んでみるとよい

927 :132人目の素数さん:2008/08/13(水) 19:35:51
>>918
p-進数の場合は、通常と距離が違うわけだから
左側に無限に続くとしても「無限大」にはならない。(有限の距離が定まる)

928 :132人目の素数さん:2008/08/13(水) 21:27:50
>>918でも>>923-924でもないが


>>927
だとしても、今度は
9.999…;…990
0.999…;…999
-----…;…---
8.999…;…991
と考えてしまう

或いは、俺がp-進数の解釈を間違えてると仮定しても
9999…;…990
0999…;…999
----…;…---
8999…;…991
と、どうしても上の方と下の方の一方が無い筈なのに両方を考えてしまう

929 :132人目の素数さん:2008/08/17(日) 20:15:56
もっとがんばれ

930 :132人目の素数さん:2008/08/17(日) 21:47:26
>>877
俺はlevel4だw
だがlevel5には至らない

誰か1/3≠0.333…となるも連続になる系を作ってくれ

931 :522&877改:2008/08/18(月) 03:52:53
Level.1
納得仕切れずも取り敢えず1=0.999…を認める
Level.2
1/3=0.333…は認めらるが1=0.999…は認められない
Level.3
1=0.999…を認められぬ余りに1/3=0.333…も否定し始める
Level.4
Level.3から更に悪化し、遂に循環小数は有理数ではないとする
Level.5
Level.4から更に進み、実数の連続性をも幻想だと言い始める
Level.6
ゼノンの逆理を持ち出して偉ぶりながら1=0.999…否定論説し始め
尚且つ人の言う事を聞かなくなってくる
Level.7
数学全体の不信任論を展開し始める
Level.8
トンデモ哲学者的に神だの仏だの言いながら数学を鼻で笑って貶すに至る

納得不全者 → 「"無限桁目"の余り」バカ → トンデモ無限説者

932 :132人目の素数さん:2008/08/18(月) 15:17:41
0.999.....=(定義)整数部0小数点以下無限に9が並ぶ数 ”が、限りなく近づいていくその目標値”=1
で良いのですか?
その場合0.999....=1はただそう決めた、という定義の話なので理解できます。

そうすると、””の部分を抜いた数
整数部0小数点以下無限に9が並ぶ数≠1 でよいのですか?

私は0小数点以下無限に9が並ぶ数=1と理解していました。
最初の一行が間違っているのなら、その後の部分は戯言にすぎなくなりますが、
もし5行目までが正しいのなら、0小数点以下無限に9が並ぶ数
というのは得体の知れない数ですね。

933 :132人目の素数さん:2008/08/18(月) 15:45:54
君の言う「整数部0小数点以下無限に9が並ぶ数」ってのは
動いているものなの、止まっているものなの?
「近づいていくその目標値」というくらいだから動いてる?

正しくは、a(1)=0.9, a(2)=0.99, a(3)=0.999, のように表される
数列a(n)が限りなく近づいていくその目標値が0.999...
んでそれは1に等しい。

934 :132人目の素数さん:2008/08/18(月) 16:19:28
1-0.999・・・=0.00・・・

935 :132人目の素数さん:2008/08/18(月) 16:48:26
>>933
私的には動いているイメージです。
最後の3行はよくわかります。

結局は国語の問題と言うことになるのかもしれませんが
0.999---いくら続いても---9 は1ではなく

0.999---いつまでも続く---- は
0.999---いくら続いても---9 と同じ表記系のように見えて
実は全く異なる表記系(表記系の定義をしていませんが)であり、
そうであるが故に(つまり前レス最後の3行をあらわす表記系であるが故に)=1
と言う理解でいいのでしょうか?
そうであれば私的にはすっきりします。

つまり
0.999---いくら続いても---9から
0.999---いつまでも続く----
の見た目はほとんど同じなくせに概念には飛躍がある
(全然別のことを表している。連続しているように見えて連続していない)
と言う部分がこういった議論の起きる原因なんでしょうか?

なんというか無限というのは実に不思議な概念ですね。おもしろいけど。


936 :132人目の素数さん:2008/08/18(月) 17:02:49
(長くてすみません)
しかし、
1= (定値)
目標値 = (定値)
0.以下9が無限に続く数 = (無限から動的な数をイメージする私には不定値)
なので
0.以下9が無限に続く数(不定値)が目標とする値(定値) = 1 (定値)
は全然問題無いけれども

0.以下9が無限に続く数(不定値) = 1 (定値) 
には違和感が残るんですよね。

動的な数というもの(を想定して良いのかどうかもわかっていませんが)
をきちんと定義(理解)できないまま
自分勝手に操作しているからだとは思うんですけれどね。

この違和感を、もう少しすっきりしたいんですよ。


937 :132人目の素数さん:2008/08/18(月) 18:56:35
>動的な数というもの(を想定して良いのかどうかもわかっていませんが)

そういうものは存在しないし、仮に例えば数列をそれに見立てたとしても、
それを定数1比較することができない。

938 :132人目の素数さん:2008/08/18(月) 18:56:58
誤:定数1比較
正:定数と比較

939 :132人目の素数さん:2008/08/18(月) 21:31:59
パニった、助けて

x=1⇒f(x)=1 & x≠1⇒f(x)=0 なるf(x)に於いては
lim[x→1]f(x)=0
なんろ?

0.999…=lim[n→∞]{Σ[k=1,n](9/10^k)}
とする定義で良いなら、これはどうなっちゃうん?

940 :132人目の素数さん:2008/08/18(月) 21:52:44
>>937
とするとですよ。
同じ事をしつこく質問することになりますが、

0.999......は
0.以下9が無限に続く数が目標とする値(それが極限値)=1
ここはOKです。実にシンプルです。

しかし日本語として
0.以下9が無限に続く数 というのは成立しますよね。
わざわざ目標とする値と言う部分を省くわけだから、二つは違う物と考えられる。
しかし、0.以下9が無限に続く数を逆に数字で表現しろと言われれば
0.99999..........
と書いちゃうんじゃないですか?
と言うのが私の違和感の別な表現ですが、

そもそも0以下9が無限に続く数という”数(値)”と言う物が存在しない。
0以下、9が小数点以下無限に続いていく”数列”は存在する。
しかしその場合でも数列と、定数(この場合極限値)という概念の違う物を等列に
考えられないし、比較も出来ない。

とこういう事ですか?

そうすると、0.9999.......を0以下9が無限に続く数という説明を高校の時に
受けた様に思いますが、不用意で罪な表現ですね。

ちなみに>>935の部分の理解は間違ってないですか?


941 :132人目の素数さん:2008/08/18(月) 21:57:57
「0.以下9が無限に続く数」自体が、
0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ・・・
という数列の目標。

942 :132人目の素数さん:2008/08/18(月) 22:07:50
>>939
どうもこうも、1です。
関数の極限と数列の極限がごっちゃになってるだけでは。

943 :132人目の素数さん:2008/08/18(月) 22:20:57
>>941
と言うことは
0.以下9が無限に続く数が目標とする値
と言う表現が、
「0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ・・・ という数列の目標」が目標とする値
と言っている変な表現であって
その変な表現を受け入れるとすると二つは等値だと言うことですか。

少しずつすっきりしてきました。

944 :132人目の素数さん:2008/08/18(月) 22:24:38
受け入れなくても等値ですけどね。

945 :132人目の素数さん:2008/08/18(月) 22:38:57
いや、等値で言いたかったのは
0.999....=1 の事ではなく

0.以下9が無限に続く数

0.以下9が無限に続く数が目標とする値
の二つが同じ事を言っていたんですね(そして後者はくどい変な表現)、と言うことです。

”目標とする値” の ありやなしやで 違う数であると考えていたのです。

946 :132人目の素数さん:2008/08/18(月) 22:51:43
例えば
「1が目標とする値」
ってのは何なんだ?

947 :132人目の素数さん:2008/08/18(月) 22:57:14
>>943
例えば、
『2が目標とする値』や『3が目標とする値』などと言うものがあるのか?
『n→∞における数列の極限』は『数』であるだろうが、『数』が『数列』ではないだろう。

948 :132人目の素数さん:2008/08/18(月) 23:16:15
>>946, 947
940が長すぎたんで省略されてしまいましたが、
たぶん
>>『n→∞における数列の極限』は『数』であるだろうが、『数』が『数列』ではないだろう。
と同じ意味のことを940の続きの部分に書いています。

私の質問は932から始まっていますが、
”0.以下9が無限に続く数 って 実は数列のことを指しているから話がおかしくなったんですかね?”
と言う問いに
”0.以下9が無限に続く数 自体が数列の目標値(極限)の事を表す表現ですよ。”
という回答をいただいて、
じゃぁ 0.以下9が無限に続く数が目標とする値 と言う表現自体が変だったんですね。

と言うのが今までの流れです。

949 :132人目の素数さん:2008/08/20(水) 01:48:49
そこから、「変な表現を受け入れると・・」と続けようとするから
こいつまだわかってないのか、って思われるんだよ。

950 :132人目の素数さん:2008/08/20(水) 06:56:56
どこがわかってなかったのか説明しようとしたんですが、
墓穴掘っちゃったってことですね。
>>949はじめ、おつきあい下さっている方ありがとうございます。

今けっこう過疎っているみたいなので、自分は本当にわかったのか否か、
もう少しおつきあい下さい。

えっと、

有限集合{0.9, 0.99, 0.999 ,,,,,, 0.9....9}
は任意の要素<1で末項は0.9....9。

片側無限集合{0.9, 0.99, 0.999 ,,,,,,,,,,,,,}は
やはり任意の要素<1だが末項なし
(というか指定不能という気分)

で、問題の
0.999........(=1) はこの無限集合の極限であるが
その要素では無い。

これOKでしょうか?

951 :132人目の素数さん:2008/08/20(水) 07:40:38
>>950
まぁ、そんな感じでいいと思う。

ちなみに、数学では君の発想でコーシー列というのがある。
(コーシー列は実数を定義する為の1つの方法。)

君の文の表現を変えると、
1は、コーシー列{0.9, 0.99, 0.999 ,,,,,,,,,,,,,}によって表される元ともいえる。

>0.999........(=1) はこの無限集合の極限であるが
>その要素では無い。

limの基本的な性質で、
a_n < aの場合 lim a_n ≦ a
となるしな。

952 :132人目の素数さん:2008/08/20(水) 07:54:04
なるほど。

結局
0.999.....はその姿から何とはなしに
{0.9, 0.99, 0.999 ,,,,,,,,,,,,,} の要素と思ってたんですよね。

そうすると、任意の要素は<1だから
あれっ?てな話しで。

無限数列は末項がないのに、0.999......と9が無限に続く数を表現することで
(はっきり意識しないにしろ)末項にあたる数が表現出来るように勘違いしてしまったんです。

この認識が原因で違和感を感じていた人、結構多いんじゃないかなぁ。

で、
0.999.......は1や100などの表記法の一員に見えるので紛らわしいが、
実際は(極限を表す)関数の与える値で、それは1である、
という風に今は認識(これは言い過ぎなのかな)。

>>951 どうもありがとうございました。

953 :132人目の素数さん:2008/08/22(金) 01:58:14
0.999…=1
に納得できない愚か者がここにもいますよw

0.999…っていうのは
『終わる事なく、永遠に、1に近付き続ける』
って意味でしょう?
逆説的に言えば
『果てしなく1に近付き続けるが、決して1にならない』
って意味でもある。


1と0.999…が限りなく近しい数で、=で結んでも問題ないレベルの数だというのは理解できる。
ただ、だからと言って
1と0.999…は等しいんだ!
100%同じなんだ!
違いなんて全くないんだ!
という意味じゃないと思うんだ。

=で結んでも全く差し支えない程度の誤差を持つ、2つの違う数字なんだと思う。

つまり言いたい事を纏めると、=と似たような意味を持ってて
0.999…専用の何か違う記号を作ってそれで結べば良かったのに…と思うんだわさ(´・ω・`)

954 :132人目の素数さん:2008/08/22(金) 02:01:56
ログ読まずに書き込んだら俺空気読めてねぇwww

低学歴は帰りますwごめなさいw

955 :132人目の素数さん:2008/08/22(金) 02:02:22
>>953
> 0.999…っていうのは
> 『終わる事なく、永遠に、1に近付き続ける』
> って意味でしょう?

違うよ。以上。

956 :132人目の素数さん:2008/08/22(金) 02:10:59
>>955
違うの!?Σ(´Д`)

あと、こういう系のスレを見る度に思ってたんだけど
1=0.999…
を数学という学問が肯定してしまうのなら、
例えばテストの中に答えが1になる問題があるとして、解答欄には0.999…と書いた場合○は貰えるんでしょうかw

単純に好奇心ですが気になりますw

957 :132人目の素数さん:2008/08/22(金) 05:21:45
>>956
0.999…=1なんだから、当然○が貰える。担任の教師が
0.999…=1を理解していないバカでなければ。


0.9,0.99,0.999,…という数列を眺めると、これは終わる事なく永遠に□に近付き続ける。

この□に入る数字のことを「0.999…」と書く。それが0.999…の定義。
□には1が入るから、0.999…=1になる。

958 :132人目の素数さん:2008/08/22(金) 05:30:11
数学的に正しいことと答案としての適切さは別物だよ。
答案ではある程度は簡潔な表現が求められる。評価は主観的だけど。

性質Pが満たされる必要十分条件を求めよ、という問題で
「性質Pが満たされること」とか答えても点数はもらえないでしょ。

959 :132人目の素数さん:2008/08/22(金) 13:16:34
>>956
1 ってのは『数』でしょ。
それと、『終わる事なく、永遠に、1に近付き続ける』を比較するのは変だと思わない?

960 :132人目の素数さん:2008/08/23(土) 00:10:24
√2は2乗すると2になる数だが、小数で考えると、2乗すると
2に限りなく近づく数と言って良いのでは?


961 :132人目の素数さん:2008/08/23(土) 00:36:31
>>960
小数で考えても「2乗すると2になる数」だよ。
限りなく近づくんじゃなくて、そのものズバリ「2乗すると2になる数」だよ。

962 :132人目の素数さん:2008/08/23(土) 00:43:40
>960
『数』という静的なものが、どうやって『近づく』事が出来るの?

963 :132人目の素数さん:2008/08/23(土) 01:15:10
そろそろ次スレか
次のテンプレはとりあえずQ8を抜いとかんとな

964 :132人目の素数さん:2008/08/23(土) 01:18:44
>>953
>『終わる事なく、永遠に、1に近付き続ける』

続けるじゃなくて、9が無限に続いた結果。

a_n = 0.9・・・9 (n個9がある)

という数列で、
lim a_n というのが0.9999・・・の定義。

965 :132人目の素数さん:2008/08/23(土) 03:15:38
じゃあ

1/0.999・・・=0 が成り立つんかよw

966 :132人目の素数さん:2008/08/23(土) 03:26:35
訂正

1/0.999・・・=1
が成り立つんかよ

967 :132人目の素数さん:2008/08/23(土) 03:32:00

1-0.999・・・=0
これも成り立つか?

968 :132人目の素数さん:2008/08/23(土) 03:41:28
数式の移行は基本だよなw

969 :132人目の素数さん:2008/08/23(土) 04:46:53
>>966,967
どちらも成り立つが、それがどうかしたのか?

970 :132人目の素数さん:2008/08/23(土) 05:01:11

1*1000・・・=0.999・・・*1000・・・
したがって
1000・・・=999.999・・・
これも成り立つわけだw
ふ〜んw

971 :132人目の素数さん:2008/08/23(土) 05:05:28
訂正
1000・・・=999・・・.999・・・
これも成り立つわけだw

972 :132人目の素数さん:2008/08/23(土) 05:13:05

1=0.999・・・ならば

1+1=0.999・・・+0.999・・・
これも成り立つわけだw

973 :132人目の素数さん:2008/08/23(土) 05:34:46
1000…って何だよw


974 :132人目の素数さん:2008/08/23(土) 05:43:56

1+1+1+・・・=0.999・・・+0.999・・・+0.999・・・+・・・

これも成り立つんだw
すごいねw

975 :132人目の素数さん:2008/08/23(土) 05:52:38
この無能は一体なにをしたいんだろう。

976 :132人目の素数さん:2008/08/23(土) 05:55:15
お前らの好きな・・・を乱発してやってんだよw

977 :132人目の素数さん:2008/08/23(土) 06:02:00
的外れなことをやってる自覚はある?
虚しくはならないの?

978 :132人目の素数さん:2008/08/23(土) 08:23:19
「すごいね」も何も、当たり前としか思わない。

一体何がすごいのやら。

979 :132人目の素数さん:2008/08/23(土) 09:02:57
>>963
抜くんじゃなくて改編すればいいんじゃないか?
『1≠0.999…とすると、例えば減法が成り立たなくなる』とか添えて
コンウェイの超現実数の提示はやめた上で

980 :132人目の素数さん:2008/08/23(土) 09:41:46
>>978
正しい等式から式変形してるだけだから、何も凄いことは無いんだがな。
本人にとっては、どの式も「成り立つはずが無い式」なのだろう。だから
「すごい」と言っているのだろう。大バカだな。

981 :スレ立て前纏め:2008/08/23(土) 10:06:45
新テンプレ纏め>>580
>>502>>931が新しいな、間違ったかして522と名乗ってはいるが。
>>509は以下に改編させて頂く。

Q8:1≠0.999…となる数学モデルは具体的にどの様な物があるのか?
A8:違う表記の数を全て違う数と看す体系など幾つか挙げられる。
但し、どれも実数の拡大体と言えなくなった体系ばかりになっている。
例えば、減法が成り立たなくなる等した例がWikipediaに記されている。

Q&Aは以上。以下、参考文献
Wikipedia - 0.999...
http://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...

J.H.Conwayの超現実数を扱った単行本
至福の超現実数―純粋数学に魅せられた男と女の物語
原著=Donald E.Knuth, 翻訳=松浦 俊輔,
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4760126465

982 :粋蕎 ◆C2UdlLHDRI :2008/08/23(土) 10:10:41
で、折角携帯から苦労して纏めた訳だがスレ立て不成功

983 :132人目の素数さん:2008/08/23(土) 10:12:14
>>982
おれが立ててみる。

984 :132人目の素数さん:2008/08/23(土) 10:26:27
新スレ作成完了

1=0.999・・・ その15.999・・・
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1219454079/

以下、
999.9999・・・・・・・まで埋め

985 :132人目の素数さん:2008/08/23(土) 11:10:24

1=0.999・・・ならば

1-0.1=0.999・・・-0.1
よって
0.9=0.8999・・・

これも成り立つわけだw

986 :132人目の素数さん:2008/08/23(土) 11:15:49
そうすると

1=0.999・・・ならば

2=1.999・・・ も
3=2.999・・・ も永遠と成り立つわけだw

987 :132人目の素数さん:2008/08/23(土) 11:32:01
また
1=0.999・・・ならば

1+0.000・・・1=0.999・・・+0.000・・・1
よって
1.000・・・1=1.000・・・999・・・
これも成り立つわけだw

988 :132人目の素数さん:2008/08/23(土) 11:55:26
>985-987
だから成り立つんだって

0.999・・・^2 = 0.99・・・も成り立つし
0.1=0.099999・・・も成り立つ

一体何が不満なんだ?

989 :132人目の素数さん:2008/08/23(土) 11:56:58
おっと、失礼
>987はダメだな。

0.000・・・1
の定義って何?

無限って終わりが無いって知ってる?
1は何桁目?

990 :132人目の素数さん:2008/08/23(土) 12:15:46

0.999・・・^1000・・・=0.9

になる件について

991 :132人目の素数さん:2008/08/23(土) 13:23:55
>>990
0.999・・・^1000・・・=0.99・・・
なら正しいよ?

992 :粋蕎 ◆C2UdlLHDRI :2008/08/23(土) 13:37:19
>>983-984
いやぁご苦労様

993 :132人目の素数さん:2008/08/23(土) 23:01:04
>>987
> 1=0.999…
> ならば
> 1+0.000…1=0.999…+0.000…1
が何故
> よって
> 1.000…1=1.000…999…
> これも成り立つわけだW
となるんだ?そうじゃなくて
1.000…1=1.000…0999…
だろう?桁を縦に合わせて記せば
1.000…1
1.000…0999…
になるだろう

994 :132人目の素数さん:2008/08/24(日) 06:36:12
一年百五十二日二十時間。


995 :132人目の素数さん:2008/08/25(月) 01:36:12
一年百五十三日十五時間。


996 :132人目の素数さん:2008/08/25(月) 10:36:12
一年百五十四日。


997 :132人目の素数さん:2008/08/25(月) 10:37:12
一年百五十四日一分。


998 :132人目の素数さん:2008/08/25(月) 10:38:12
一年百五十四日二分。


999 :132人目の素数さん:2008/08/25(月) 10:39:12
一年百五十四日三分。


1000 :132人目の素数さん:2008/08/25(月) 10:40:12
一年百五十四日四分。


1001 :1001:Over 1000 Thread
このスレッドは1000を超えました。
もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。

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