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分からない問題はここに書いてね317

1 :132人目の素数さん:2009/08/14(金) 15:22:16
さあ、今日も1日頑張ろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね316
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1249275844/

2 :132人目の素数さん:2009/08/14(金) 15:59:45
(2^n+1)/n^2 が整数となるような1より大きい整数nをすべて決定せよ。

3 :132人目の素数さん:2009/08/14(金) 16:52:27
3

4 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 00:20:19
n=3だけかな。

5 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 00:24:13
x^3+3xy+y^3=1
このグラフを書け
どうしてもわからん

6 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 01:24:24
>>4
算数じゃないんだから、根拠も書こうよ。漏れもそう思うんだが、証明はわからん。

>>5
ネタ!?
y=1-x

7 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 01:43:02
1.四次元空間を用意します

8 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 01:54:38
>>6
そう
なんでそれと同じになるの?

9 :sage:2009/08/15(土) 02:16:36
>>8
x^3+y^3+(-1)^3-3*(-1)*xyを因数分解してみよー

10 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 02:19:19
あ、ああ・・・
ありがとう
解決した

11 :5:2009/08/15(土) 02:39:05
ごめんまた質問になっちゃうんだけど
これって(-1,-1)って通る?
何度計算しても通るようになっちゃうんだけどグラフはy=1-xと同じなんじゃないの・・・?

12 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 02:51:41
>>11
因数分解した時の(x+y-1)じゃないほうを考えると
x^2-x y+x+y^2+y+1
yについて解いてy = (±√(-3(x+1)^2) + x-1)/2
x+1=0のとき、yが実数値をちゃんと取る

13 :5:2009/08/15(土) 02:54:35
>>12
やっぱり通っていいんだよね
俺もそっちを変形して(x-(y-1)/2)^2+3(y+1)^2/4になってちょっとあわてた
じゃあ>>5の答えはy=1-x及び(-1,-1)で良いの?

14 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 02:59:21
3 次元列ベクトルx_n は漸化式
x_n = A*x_n?1 + u (n = 1, 2, . . .)をみたすものとする.
ただし
A =[[1 0 0][0 1 a][0 a a2]]
u =[[b][c][0]]
x_0 =[[0][0][d]]
である.a, b, c, d は実数の定数であり,a ≠ 0 とする.以下の問いに答えよ.
(1) 行列A の固有値をa で表せ.
(2) A の固有ベクトルp, q, r をa で表せ.ただし,p とr をそれぞれ最大固有値と最小固有値に対応させ,
‖p‖ = ‖r‖ =1 /√(a^2 + 1), ‖q‖ = 1 となるようにせよ.
(3) u およびx_0 をp, q, r の線形和で表せ.
(4) x_n = α_n*p + β_n*q + γ_n*r とする.α_n, β_n, γ_n を,α_n?1, β_n?1, γ_n?1 を用いて表せ.
(5) x_n を求めよ.
(6) x_n とベクトルs とのなす角をθn とする.ただしs =[[1][0][0]]である.
limθ_n = 0 となるためにa, b, c, d のみたすべき必要十分条件を示せ.
n→∞

(4)までは解けて、
α_n=(α_n-1*(1+α^2)+γ_n-1*(1-α^2)+c/2)
β_n=(β_n-1+b)
γ_n=γ_n-1 *c/2
と出たのですが、αが煩雑すぎて(5)以降が解けません。
何か上手い解法があるのでしょうか?それとも(4)の解が間違っているのでしょうか?

15 :14:2009/08/15(土) 03:00:25
あぁすいません、?に化けているのは-です。

16 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 03:02:46
_の効果は後一文字のみ。

17 :14:2009/08/15(土) 03:21:50
α_(n-1)と表記すればよいのですか?

18 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 03:33:17
男子6人と女子4人の合計10人から同時に3人選ぶとき男子1人女子2人になる確率を求める式がわからない

19 :5:2009/08/15(土) 03:35:10
6C1*4C2/10C3じゃないの

20 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 03:38:16
6C1って答え30でいいのかな…?

21 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 03:43:28
6C1=6
4C2=6
10C3=120

22 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 03:43:52
すいません答えもわからない、教えてください!

23 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 03:49:15
10C3は10/3×9/1で30じゃ…?
120になるんかな
6×6/30・・・?あれ?

24 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 03:50:42
あ、120で計算して3/10でいいのか
有難う御座いました
あれ、でもなんで120になるんだろう…

25 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 03:51:52
あれ?
俺がコンビネーション間違えてるのか?
10C3=10P3/3!=10*9*8/3*2*1=120
じゃないの?
間違ってたら消えるわ

26 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 03:58:55
消えろ

27 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 04:03:36
え?え?どうなるんですかこれ

28 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 04:04:30
>>17
うん、>>14だと読みとりづらいのでそうしてくんろ。

29 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 04:13:56
質問者の18が18以降名無しのまま18と名乗らないから
誰が誰やらわけのわからん展開になっているな……

30 :141:2009/08/15(土) 04:23:24
3 次元列ベクトルx_n は漸化式
x_n = A*x_(n-1) + u (n = 1, 2, . . .)をみたすものとする.
ただし
A =[[1 0 0][0 1 a][0 a a2]]
u =[[b][c][0]]
x_0 =[[0][0][d]]
である.a, b, c, d は実数の定数であり,a ≠ 0 とする.以下の問いに答えよ.
(1) 行列A の固有値をa で表せ.
(2) A の固有ベクトルp, q, r をa で表せ.ただし,p とr をそれぞれ最大固有値と最小固有値に対応させ,
‖p‖ = ‖r‖ =1 /√(a^2 + 1), ‖q‖ = 1 となるようにせよ.
(3) u およびx_0 をp, q, r の線形和で表せ.
(4) x_n = α_n*p + β_n*q + γ_n*r とする.α_n, β_n, γ_n を,α_(n-1), β_(n-1), γ_(n-1) を用いて表せ.
(5) x_n を求めよ.
(6) x_n とベクトルs とのなす角をθn とする.ただしs =[[1][0][0]]である.
limθ_n = 0 となるためにa, b, c, d のみたすべき必要十分条件を示せ.
n→∞

(4)までは解けて、
α_n=(α_(n-1)*(1+α^2)+γ_(n-1)*(1-α^2)+c/2)
β_n=(β_(n-1)+b)
γ_n=γ_(n-1) *c/2
と出たのですが、αが煩雑すぎて(5)以降が解けません。
何か上手い解法があるのでしょうか?それとも(4)の解が間違っているのでしょうか?

修正しました、よろしくお願い致します。

31 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 05:48:55
>>30
Aの(3,3)成分はa^2か?

だとすると(4)の解は違う

32 :14:2009/08/15(土) 06:33:49
a^2です、すいません
んー、どこが違うんだろう・・

33 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 07:42:19
[問]「x_1,x_2,x_3の内,任意の2ベクトルが一次独立ならこれら3ベクトルも一次独立」はどうすれば示せますでしょうか?

34 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 09:42:57
>>33 その結論正しいの?

35 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 09:43:16
>>33
 x_k = (cos(2kπ/n), sin(2kπ/n)),   (1≦k≦n)
とおくと
 x_1 + x_2 + ・・・・ + x_n = 0,
らしい。

36 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 09:52:35
>34
いえ,反例があるかもです。
お教え下さい。m(_ _)m

37 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 09:57:32
>>36
x_1 = (1,0), x_2 = (0,1), x_3 = (1,1)

38 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 10:04:56
>37
どうもありがとうございます。

39 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 10:51:58
問題じゃなくて質問します。
行列は2階のテンソルだから行列から行列の一次写像は
行列ですよね。
なので3階のテンソルから3階のテンソルの一次写像のやり方教えてください。

40 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 11:04:27
>>39
どんなテンソルかしらんけど
普通にテンソルで書けば。

41 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 11:15:11
じゃあ、その普通のテンソルで書く方法をご教示ください。
よろしくお願いします。

42 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 11:23:51
調べたら分かりました。

43 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 11:34:05
数学の問題です。一辺の長さが2の正五角形の対角線を結んでできる五角形ABCDEの一辺の長さABを答えよ。
お願いです教えてください。

44 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 12:12:56
>>43
ぐぐった方がはやい。

45 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 12:17:23
>>43
外側の正五角形をPQRSTとし、PSとQTの交点をA、PRとQTの交点をBとする。
△QAPと△PBAは相似で、PA=PB=QBであることを利用し、
PA=xとおいて、ABをxで表し、xについての二次方程式を立てる。


46 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 12:30:17
>>43
t = cos(π/5)とおいて
2 cos(2π/5)/cos(π/5)
= 2(2t - (1/t))

47 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 12:53:12
テンソルは行列でいうと正方行列しか作れないんですか?

48 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 12:59:35
>>47
なんでそう思うの?

49 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 13:04:21
http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/TensorConcept/
のホームページのテンソルの成分の注に書いてあったことからそう思いました。

50 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 14:03:05
できないわけではないけど
面倒だからあまりやらない程度のもんでは
座標変換みたいなモンばかりに使うと
行き先も同じ次元なわけで

51 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 16:27:27
x軸に直交する円の微分方程式を求めよ。
まず方程式を設定すると (x-X)^2 + y^2 = R^2 (X、Rは定数)が出ると思うんですけど
この定数の消し方が分かりません。

2回微分すると 1 + (y')^2 + yy" = 0
これが答えでは無いですよね?
どなたか教えてください。

52 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 16:33:56
>>51
2回微分してそれが出てくるならそれが答え。
XとRで2つの任意定数があるということは
2階の微分方程式なんだろうし。

逆に解いてみれば

x + yy' = c
x^2 + y^2 = 2cx + d

(x-c)^2 + y^2 = c^2 + d

だからそれで問題ないのでは

53 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 16:36:20
>>52
なんかxが消えて良いのかと思って混乱してました、
どうもありがとうございます。

54 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 17:54:40
m次の代数方程式の解は係数の1/mヘルダー連続となる事を示せ。

という問題がさっぱりです。助けてください。

55 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 18:00:26
>>54
1/mヘルダー連続の定義ってなんだっけ?

56 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 18:03:53
一様連続性の特別な場合として、ヘルダー連続性の概念がある。
一変数実関数fの値f(x) と f(y) の差が x と y の差のべき乗に比例する
ある量で抑えられるとき f はヘルダー連続であるという。



57 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 18:04:38
(-∂^2/∂x^2-∂^2/∂y^2-∂^2/∂z^2+m^2)Φ(xベクトル)=δ^3(xベクトル)
でΦ(xベクトル)のフーリエ変換を
Φ(kベクトル)=∫d^3Φ(xベクトル)exp(-ikベクトル・xベクトル)とすると
Φ(kベクトル)はどうなりますか?
(xベクトル=(x,y,z) δ^3(xベクトル)=δ(x)δ(y)δ(z) kベクトル=(kx,ky,kz)とする。

両辺に∫d^3exp(-ikベクトル・xベクトル)かけてフーリエ変換すると右辺は1になると思うのですがその先が分かりません。。
どなたかお願いします

58 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 18:13:12
ベクトルベクトルやかましいなあ…

59 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 18:24:04
>>54
逆方向で考えて、一つ(たとえばa[k])以外の係数を固定して、解を動かしたときa[k]がm乗のオーダーで動くことを示す
そこから逆写像:係数→解が1/mヘルダー連続になることをいう

60 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 18:28:55
>>58
すいません、ベクトルの書き方が分からなくて・・・
どのようにしたらいいでしょうか・・・?

61 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 18:58:11
>>57
逆変換してΦ(xベクトル)をΦ(kベクトル)で表した式を代入する

62 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 19:00:16
x↑

63 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 19:05:01
>>60
区別を付けたければスカラーをグリークで、ベクトルをラテンで書けばよい。
しかし通常は文字に区別を付ける必要などない。

書籍等で矢印をつけたり太字にしたりするのは初学者が混同しないための
強調のカラクリでしかない。
また、強調のために「ベクトル」という肩書きをつけるのならば、肩書きは前置する。

64 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 19:12:01
>>61
逆変換したとして右辺をどうしたらいいですか?

>>63
あとで注意を書き足せばいいという事ですか?

65 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 19:19:20
俺なら

Φ(x) (x=(x1,x2,x3)∈R^3)

と書く

66 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 19:36:02
>>64
そのほうがよほど読みやすいでしょう。

どうしてもそういう表記に馴染めない場合は
texvcやmimetexなどが使える掲示板を利用すれば
太字も思う存分使えるので、
そういうところを探すのがいいと思います。

67 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 20:54:06
>>65
>>66
指摘ありがとうございます。
今後気をつけます。

それとできれば57の問題をお願いします・・・。

68 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 20:55:15
2階のテンソルが行列と言うように3階のテンソルの特別な呼び方ありますか?

69 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 21:06:03
>>68
3階テンソルの特別な呼び方は(単に)「テンソル」。

ちなみに、2階テンソルを行列の形に書くことがあるからといって
行列は必ずしも2階テンソルではないし、2階テンソルが行列なわけでも無いよ。

70 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 22:29:38
  ∧ ∧
三Φ(x)Φ三

71 :「猫」∈社会の屑 ◆ghclfYsc82 :2009/08/15(土) 22:36:34
流石にテンソルと猫は無関係じゃないの?
まさか多様体の上に猫が住んでる訳じゃないんだし。


72 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 22:45:24
確か、「4次元のトポロジー」では
多様体の上に牛が住んでたぞ

73 :「猫」∈社会の屑 ◆ghclfYsc82 :2009/08/15(土) 23:10:10
ソレって「あの人」でっか?
元気にしてはるんかなぁ


74 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 23:18:05
一次関数のグラフの利用の問題です。

兄は、A町を出発してB町へ向かった。弟は、兄と同時刻にB町を出発して、A町に向かった。兄がA町を出発してからx分後の距離をymとすると、2人の位置関係はグラフのようになった。このとき、次の問いに答えなさい。

(1)兄、弟は分速何mか、それぞら求めなさい

(2)弟について、xとyの関係を式で表しなさい。

(3)2人が出会うのは出発してから何分後か。また、その地点は、A町から何m離れたところか。

グラフから読み取れるのは、兄は30分で2700m、弟は45分で2700m歩いたってことです。
(2)からが全くもって分からないんですが…。

75 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 23:21:22
>>74
意味不明。
グラフが分からないと何とも言えないね。

76 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 23:26:48
>>75
画像のアップロードってどうやればできるんですかね?

77 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 23:36:40
>>76
ろだは自分で探せ。
この板ではできない。

78 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 23:38:13
http://oekyo.org/08/ix/continue/A49215/

お絵かき共和国さんを借りてグラフを書いてみました。
上記のURLからいけない場合はお絵かき共和国のファンイラスト、仮保、khooという名前のを見てくだされば…

79 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 23:40:25
しつこいですが>>57
どなたかお願いします;

80 :132人目の素数さん:2009/08/15(土) 23:51:54
>>78
兄は分速90m
弟は分速60m

弟は
x=0 で y = 2700
x=45 で y = 0
だからこの2点を通る直線の式を考えればよい。
45分で -2700m だから 傾きは -60
よって弟の式は
y = -60x + 2700

兄の式は y = 90x

連立させて、二人が出会う時刻を求めると
-60x + 2700 = 90x
150x = 2700
x = 18
y = 1620

81 :132人目の素数さん:2009/08/16(日) 00:07:18
>>79
書き直してくれたらちょっと考えてみる。手伝えるかどうかは保証しないけど。

82 :132人目の素数さん:2009/08/16(日) 01:00:01
問.f(x)をx+1,(x-1)^2で割ったときの余りがそれぞれ5,x+2であるとき
f(x)を(x+1)(x-1)^2で割ったときの余りを求めよ

一応自分なりに解いてみて、答えが x^2-x+3 と出ました
これは正解でしょうか?

83 :132人目の素数さん:2009/08/16(日) 01:02:34
計算していないがx^2-x+3をx+1で割ると5余り、(x-1)^2で割るとx+2余るのでおそらく正解だろう。

84 :132人目の素数さん:2009/08/16(日) 01:09:14
>>83
なるほど!そうやって検算すればよかったんですね
ありがとうございます

85 :132人目の素数さん:2009/08/16(日) 04:02:35
ざ・わーるど

86 :132人目の素数さん:2009/08/16(日) 04:28:31
f(x)=g(y) という式があってxとyの間には何の関係も無い場合、f(x)とg(y)は定数ですか?

87 :132人目の素数さん:2009/08/16(日) 04:38:19
>>86
何の関係も無いという言葉の意味によるが
xを固定してyを自由に動かせる。またはその逆が可能なら
定数。

88 :132人目の素数さん:2009/08/16(日) 08:25:01
n次元実ベクトル p_i をn次元実ベクトル p_{i+1} に移す線形変換
p_{i+1}=A p_i
を考える。ただし、Aはn次実正方行列である。

(1)この線形変換でベクトルのノルム(大きさ)が変化しないための条件
(2)この線形変換で、ゼロベクトルでない、変化しないベクトルが存在するための条件

考え方がわかりません。解説をいただけないでしょうか。

89 :132人目の素数さん:2009/08/16(日) 08:37:04
>>79
>>61

90 :132人目の素数さん:2009/08/16(日) 08:37:25
p_{i}とは?愛とは?

91 :132人目の素数さん:2009/08/16(日) 08:44:31
(1) (^t)A*A=E
(2) Aが固有値 1 を持つ

92 :132人目の素数さん:2009/08/16(日) 09:06:22
>>91
ありがとうございます。
どうしてそうなるのか、もしくはどうやって求めたのか教えていただけませんか。

93 :132人目の素数さん:2009/08/16(日) 09:12:28
>>80
ありがとうございます!
解き方も分かりました

94 :132人目の素数さん:2009/08/16(日) 09:51:31
『次の複素積分の値を求めよ。

 (1)∫{C:|z|=1} z^n・e^(-z) dz  (nは整数)

 (2)∫{C:|z|=2} z^n・(1-z) ^m dz (n,mは整数)』

↑の二題に関して
「z=e^{iθ} や z=2e^{iθ} とおいて解くのは難しいので、整数の場合分けで考えた方がいい」
とのアドバイスを頂いたのですが、いまだに分からなくて……
どなたか分かる方がいらっしゃれば、具体的な手順を示して頂けないでしょうかm(__)m



95 :132人目の素数さん:2009/08/16(日) 09:57:08
>>94

留数定理を用いる。
(1)はn≠-1のといは0、n=-1のときは2πi
(2)も同じ。4πi(n=m=-1),2πi(n,m一方のみ-1),0(n,mともに≠1)

96 :132人目の素数さん:2009/08/16(日) 09:59:09
>>95
訂正、(2)の答えは間違ってる。留数定理をつかって計算してけれ。0、±2πiになる。

97 :132人目の素数さん:2009/08/16(日) 10:02:10
留数定理……特異点を使うやつですですね!
すみません、ありがとうございましたm(__)m

98 :132人目の素数さん:2009/08/16(日) 16:20:00
>>57です。
>>61が言っているように逆変換を考えたのですが
右辺をどのように対処すればいいのか分かりません。。
どなたか詳しくお願いします;

99 :132人目の素数さん:2009/08/16(日) 16:30:06
とりあえず問題を書き直しt

100 :132人目の素数さん:2009/08/16(日) 16:54:53
>>99
(-∂^2/∂x^2-∂^2/∂y^2-∂^2/∂z^2+m^2)Φ(x)=δ^3(x)
でΦ(x)のフーリエ変換を
Φ(k)=∫d^3Φ(x)exp(-ik・x)とすると
Φ(k)はどうなりますか?
(x=(x,y,z) δ^3(x)=δ(x)δ(y)δ(z) k=(kx,ky,kz)とする。)
です。

両辺に∫d^3exp(-ik・x)かけてフーリエ変換すると右辺は1になると思うのですがその先が分かりません。。


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