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代数的整数論 014

1 :132人目の素数さん:2009/08/23(日) 16:25:46
代数的整数論 014
Kummer ◆g2BU0D6YN2 が代数的整数論を語るスレです。

現在は代数的整数論の準備として積分論を述べています。
代数的整数論のみに興味ある方はこのスレは必要になった段階で
参照することをお勧めします。
ただし、このスレが終了すると見れなくなる恐れがあるので、
適時チェックして内容をセーブしたほうが良いでしょう。

内容についてわからないことがあったら遠慮なく
質問してください。
その他、内容についてのご意見は歓迎します。
例えば、誤りの指摘、証明の改良など。
なお、このスレの主題に直接関係のないコメントについては
原則としてレスはしません(たとえそれが励ましの言葉であっても)。

過去スレ
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1126510231
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1132643310
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1141019088/
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1164286624/
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1173998720/
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1185363461/l50
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1187904318/l50
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http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1195560105/
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http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1212143770/
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1246160488/
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1247494646/

2 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/23(日) 16:27:46
過去スレ013の790の訂正
>f を X から [0, +∞] への関数で、

f を G から [0, +∞] への関数で、

過去スレ013の791, 792, 793, 794も同様の訂正

3 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/23(日) 16:47:08
命題
G を局所コンパクト群とする。
H を G の格子(>>667)とする。
μ を G の左Haar測度とする。
λ を>>671で定まる G/H 上の G-不変な正値Radon測度とする。
ψ: G → G/H を標準写像とする。
A を G のμ可測な部分集合で、ψ により1対1に ψ(A) に写されるとする。

このとき、μ(A) = μ(ψ(A)) である。

証明
χ_A を A の特性関数とする。
過去スレ013の793より、
μ(A) = ∫^*(Σχ_A(xξ)) dλ(xH) である。
ここで、ξ は H の元全体を動く。

x ∈ G に対して xH ∩ A ≠ φ とする。
xξ ∈ A となる ξ ∈ H がある。
y = xξ とおけば、y ∈ H で xH = yH となる y が一意に定まる。
よって、xξ ∈ A となる ξ ∈ H も一意に定まる。

よって、xH ∈ ψ(A) のとき Σχ_A(xξ) = 1 である。
xH ∈ ψ(A) でないとき Σχ_A(xξ) = 0 である。
よって、Σχ_A(xξ) = χ_ψ(A) である。

よって、μ(A) = ∫^*(Σχ_A(xξ)) dλ(xH) = μ(ψ(A)) である。
証明終

4 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/23(日) 16:49:53
>>3の訂正
>このとき、μ(A) = μ(ψ(A)) である。

このとき、μ(A) = λ(ψ(A)) である。

5 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/23(日) 16:53:56
>>3の補足
G/H はコンパクトであるから、λ(ψ(A)) < +∞ である。
よって、μ(A) < +∞ である。


6 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/23(日) 17:02:45
命題(Minkowskiの定理(過去スレ013の653)の拡張)
G を局所コンパクト群で、H を G の格子(>>667)とする。
μ を G の左Haar測度とする。
λ を>>671で定まる G/H 上の G-不変な正値Radon測度とする。
A を G のμ可測な部分集合で、μ(A) > λ(G/H) とする。

このとき、y^(-1)x ∈ H となる A の元 x, y が存在する。

証明
ψ: G → G/H を標準写像とする。
このような x, y が存在しないと A は ψ により1対1に ψ(A) に
写される。
よって、>>3より、μ(A) = λ(ψ(A)) ≦ λ(G/H) となって仮定に反する。
証明終

7 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/23(日) 17:10:01
>>3の補足
>よって、μ(A) = ∫^*(Σχ_A(xξ)) dλ(xH) = μ(ψ(A)) である。

過去スレ013の793より、xH → Σχ_A(xξ) はλ可測である。
即ち、χ_ψ(A) はλ可測である。
よって、∫^*(Σχ_A(xξ)) dλ(xH) = ∫^* χ_ψ(A) dλ = λ(ψ(A)) である。

8 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/23(日) 17:14:24
>>6の訂正
>G を局所コンパクト群で、H を G の格子(>>667)とする。

G を局所コンパクト群で、H を G の格子(過去スレ013の667)とする。

9 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/24(月) 07:48:22
補題
X を局所コンパクト空間とする。
(U_λ), λ ∈ Λ を X の開被覆で各U_λの閉包 (U_λ)~ はコンパクト
であるとする。
μ を K(X, C) (過去スレ009の21)上の線型形式とする。
各λ ∈ Λ に対して実数 M_λ ≧ 0 が存在し、
任意の f ∈ K(X, (U_λ)~, C) (過去スレ009の662) に対して
μ(f) ≦ (M_λ)|f|_b が成立つとする。
ここで、|f|_b = sup{|f(x)|; x ∈ X} である。

このとき、μ は X 上の複素Radon測度である。

証明
K を X の任意のコンパクト部分集合とする。
K は有限個の U_λ_1, ..., U_λ_n により被覆される。
このとき、過去スレ010の102(1の分割)により、
X から [0, 1] への連続関数 g_1, ..., g_n で
各i で Supp(g_i) ⊂ U_λ_i
すべての x ∈ X で g_1(x) + ... + g_n(x) ≦ 1 となり
x ∈ K のとき g_1(x) + ... + g_n(x) = 1 となるものが存在する。

Supp(fg_i) ⊂ U_λ_i であり、任意の f ∈ K(X, K, C) に対して、
f = fg_1 + ... + fg_n である。

μ(f) = μ(fg_1) + ... + μ(fg_n)
≦ M_λ_1|fg_1|_b + ... + M_λ_n|fg_n|_b
≦ M_λ_1|f|_b + ... + M_λ_n|f|_b

よって、M = M_λ_1 + ... + M_λ_n とおけば、
μ(f) ≦ M|f|_b
M は K のみで決まるから過去スレ009の705より、μ は複素Radon測度である。
証明終

10 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/24(月) 09:16:36
補題
X を局所コンパクト空間とする。
(U_α), α ∈ A を X の開被覆で、各αに対して U_α 上の複素Radon測度
μ_α が与えられ、任意の対 (α, β) ∈ A×A に対して、
μ_α 及び μ_β の U_α ∩ U_β への制限が一致するとする。
f を K(X, C) の元とし、K = Supp(f) とおく。

g_1, ..., g_n を K(X, C) の元の列で
各i で Supp(g_i) ⊂ U_α_i
x ∈ K のとき g_1(x) + ... + g_n(x) = 1 とする。

同様に、h_1, ..., h_m を K(X, C) の元の列で
各j で Supp(h_j) ⊂ U_β_j
x ∈ K のとき h_1(x) + ... + h_m(x) = 1 とする。

このとき、
μ_α_1(fg_1) + ... + μ_α_n(fg_n) = μ_β_1(fg_1) + ... + μ_β_m(fg_n)
となる。

証明
fg_i = Σf(g_i)h_j, j = 1, 2, ..., m
よって、
Σμ_α_i(fg_i) = Σμ_α_i(f(g_i)h_j), i = 1, ..., n, j = 1, ..., m

同様に、
Σμ_β_j(fh_j) = Σμ_β_j(f(g_i)h_j), i = 1, ..., n, j = 1, ..., m
である。

Supp(f(g_i)h_j) ∈ U_α_i ∩ U_β_j だから、
μ_α_i(f(g_i)h_j) = μ_β_j(f(g_i)h_j) である。
よって、Σμ_α_i(fg_i) = Σμ_β_j(fh_j)
証明終

11 :132人目の素数さん:2009/08/24(月) 09:44:11
sageろよ
 糞野郎

12 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/24(月) 12:41:20
命題
X を局所コンパクト空間とする。
(U_α), α ∈ A を X の開被覆で、各αに対して U_α 上の複素Radon測度
μ_α が与えられ、任意の対 (α, β) ∈ A×A に対して、
μ_α 及び μ_β の U_α ∩ U_β への制限が一致するとする。

このとき、X 上の複素Radon測度 μ で各 U_α への制限が μ_α に一致
するものが一意に存在する。

証明
f ∈ K(X, C) に対して K = Supp(f) とおく。
K は有限個の U_α_1, ..., U_α_n により被覆される。
このとき、過去スレ010の102(1の分割)により、
X から [0, 1] への連続関数 g_1, ..., g_n で
各i で Supp(g_i) ⊂ U_α_i
すべての x ∈ X で g_1(x) + ... + g_n(x) ≦ 1 となり
x ∈ K のとき g_1(x) + ... + g_n(x) = 1 となるものが存在する。
Supp(fg_i) ⊂ U_α_i であり、f = fg_1 + ... + fg_n である。
よって、本命題のμが存在すれば、
μ(f) = μ(fg_1) + ... + μ(fg_n) = μ_α_1(fg_1) + ... + μ_α_n(fg_n)
となり、μ は一意に決まる。

一方、>>10より、μ(f) = μ(fg_1) + ... + μ(fg_n) は、g_1, ..., g_n
の選び方によらない。

X は局所コンパクトだから、X の各点 x に対して x の近傍 V_x で
V_x の閉包 (V_x)~ がある U_α に含まれるようなものが存在する。
μ は、X の被覆 (V_x), x ∈ X に対して、>>9 の条件を満たすから
μ は X 上の複素Radon測度であり、本命題の条件を満たす。
証明終

13 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/24(月) 12:51:41
定義
X と Y を位相空間とする。
f: X → Y を X から Y への写像とする。
f が次の性質をもつとき、f を局所同相と言う。

X の各点 x に対して x の開近傍 U で f(U) が Y の開集合となり、
f の U への制限 f|U : U → f(U) が同相となるものが存在する。

14 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/24(月) 13:04:12
命題
X と Y を位相空間とする。
f: X → Y を X から Y への局所同相写像(>>13)とする。

f は連続である。

証明
x を X の任意の点とする。
x の開近傍 U で f(U) が Y の開集合となり、
f の U への制限 f|U : U → f(U) が同相となるものが存在する。

W を f(x) の任意の開近傍とする。
g = f|U とおき、V = g^(-1)(f(U) ∩ W) とおく。
V は U の開集合であり、x ∈ V であるから x の近傍である。
f(V) ⊂ W であるから f は連続である。
証明終

15 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/24(月) 13:40:25
命題
X と Y を位相空間とする。
f: X → Y を X から Y への局所同相写像(>>13)とする。

f は開写像である。

証明
V を X の任意の空でない開集合とする。
x ∈ V を V の任意の点とする。
定義(>>13)より、x の開近傍 U で f(U) が Y の開集合となり、
f の U への制限 f|U : U → f(U) が同相となるものが存在する。
U ∩ V は X の開集合で f(U ∩ V) は f(U) の開集合である。
f(U) は Y の開集合であるから、f(U ∩ V) も Y の開集合である。
f(x) ∈ f(U ∩ V) ⊂ f(V) であるから、f(x) は f(V) の内点である。
よって、f(V) は Y の開集合である。
証明終

16 :132人目の素数さん:2009/08/24(月) 15:22:44
表現論やらないのにこれだけ積分論やる意味あるのか?

17 :132人目の素数さん:2009/08/24(月) 18:42:37
とりすとらむしゃんでぃ

18 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/25(火) 14:27:41
>>9から>>15までは過去スレ013の671の別証をするために用意したが、どうも
勘違いしてたようでうまくいかない。
したがって、話題を変えることにする。

19 :132人目の素数さん:2009/08/25(火) 15:51:21
涙を拭いてコーヒーを吹け

20 :132人目の素数さん:2009/08/25(火) 15:55:22
その前に謝れ。

21 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/25(火) 20:22:44
過去スレ013の749
>Gelfand-Mazurはやるかどうか迷ってます。

Gelfand-Raikovはやるかどうか迷ってます。
つまり任意の局所コンパクト群は十分多くの既約ユニタリ表現を持つという定理。

22 :132人目の素数さん:2009/08/25(火) 20:27:35
むしろはやく supercuspidal 表現をやれと

23 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/27(木) 09:19:07
過去スレ013の489の訂正
>p: X → X/G を標準射とする。

f: X → X/G を標準射とする。

24 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/27(木) 09:38:44
過去スレ013の489の X が群で G がその閉部分群のときその証明に選択公理は
必要ないことを示そう。

命題
G を局所コンパクト群とし、H をその閉部分群とする。
p: G → G/H を標準射とする。
L を G/H の任意のコンパクト集合とする。

このとき、G のコンパクト集合 K があり、p(K) = L となる。

証明
V を G の単位元 e のコンパクト近傍とする。
過去スレ013の465より、p は開写像であるから G の任意の元 x に対して
p(xV) は p(x) の近傍である。
よって、G の有限個の元 x_1, ..., x_n があり、
p(x_1V), ..., p(x_nV) は L の被覆となる。
M = x_1V ∪ ... ∪ x_nV とおく。
M はコンパクトであるから、K = M ∩ p^(-1)(L) とおけばよい。
証明終

25 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/27(木) 18:22:26
過去スレ013の556はWeilが
"L'integration dans les groupes topologiques et ses applications" で
始めて述べて証明したものである。
過去スレ013の556の証明はBourbakiによるがやや回りくどい。
Weilのオリジナルの証明は簡潔なのでそれを紹介する。
因みに、この本は全体的にやや簡潔すぎるきらいがある。

26 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/27(木) 19:46:09
命題(過去スレ013の556の必要条件の別証明)
G を局所コンパクト群、H をその閉部分群とする。
χ を G から (R^*)+ = {x ∈ R; x > 0 } への連続準同型とする。
G/H 上に乗因子(過去スレ012の412) χ の 0 でない相対不変(過去スレ012の411)な
正値Radon測度 λ が存在するとする。

このとき、任意の ξ ∈ H に対して
χ(ξ) = Δ_H(ξ)/Δ_G(ξ) となる。
ここで、Δ_H と Δ_G はそれぞれ H と G のモジュール(過去スレ012の477)
である。

証明
βを H のHaar測度とする。
f を K(G, R) (過去スレ009の21) の元とする。
過去スレ013の495より、任意の x ∈ G に対して H 上の関数 ξ → f(xξ) は
K(H, R) の元である。
よって、∫ f(xξ) dβ(ξ) が意味を持つ。
過去スレ013の496より、G 上の関数 x → ∫ f(xξ) dβ(ξ) は連続であり、
過去スレ013の497と過去スレ013の494より、K(G/H, R) の元と見なせる。
よって、∫dλ(xH) ∫ f(xξ) dβ(ξ) が意味を持つ。
ν(f) = ∫dλ(xH) ∫ f(xξ) dβ(ξ) とおけば、明らかに ν は
G 上の正値adon測度である。

s ∈ G に対して
∫ f(s^(-1)x) dν(x) = ∫dλ(xH) ∫ f(s^(-1)xξ) dβ(ξ)
= χ(s)∫dλ(xH) ∫ f(xξ) dβ(ξ)
= χ(s)∫ f(x) dν(x)
よって、ν は乗因子 χ の相対不変な正値Radon測度である。

(続く)

27 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/27(木) 19:46:53
>>26の続き

f ∈ K(G, R) に K(G/H, R) 上の関数 x → ∫ f(xξ) dβ(ξ) を対応させるのは
過去スレ013の506より、K(G, R) から K(G/H, R) への全射である。
よって、ν ≠ 0 である。
過去スレ013の545より、ν = cχμ となる。
ここで、c > 0 は定数で μ は G 上のHaar測度である。
cμ もHaar測度であるから c = 1 と仮定してよい。
よって、任意の f ∈ K(G, R) に対して、
∫dλ(xH) ∫ f(xξ) dβ(ξ) = ∫ f(x)χ(x) dμ(x)

この等式の両辺の f(x) を f(xη^(-1)) に置き換えると、
左辺は
∫dλ(xH) ∫ f(xξη^(-1)) dβ(ξ) = Δ_H(η)∫dλ(xH) ∫ f(xξ) dβ(ξ)

右辺は
∫ f(xη^(-1))χ(x) dμ(x) = χ(η)∫ f(xη^(-1))χ(xη^(-1)) dμ(x)
= χ(η)Δ_G(η)∫ f(x)χ(x) dμ(x)

よって、Δ_H(η) = χ(η)Δ_G(η) である。
証明終

28 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/27(木) 21:11:09
>>27の訂正
>f ∈ K(G, R) に K(G/H, R) 上の関数 x → ∫ f(xξ) dβ(ξ) を対応させるのは
>過去スレ013の506より、K(G, R) から K(G/H, R) への全射である。

f ∈ K(G, R) に K(G/H, R) の関数 xH → ∫ f(xξ) dβ(ξ) を対応させるのは
過去スレ013の506より、K(G, R) から K(G/H, R) への全射である。

29 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/27(木) 21:49:12
命題(過去スレ013の556の十分条件の別証明)
G を局所コンパクト群、H をその閉部分群とする。
χ を G から (R^*)+ = {x ∈ R; x > 0 } への連続準同型で、
任意の ξ ∈ H に対して χ(ξ) = Δ_H(ξ)/Δ_G(ξ) とする。
ここで、Δ_H と Δ_G はそれぞれ H と G のモジュール(過去スレ012の477)
である。
このとき、G/H 上に乗因子(過去スレ012の412) χ の 0 でない相対不変
(過去スレ012の411)な正値Radon測度 λ が存在する。
さらに、μ と β をそれぞれ G と H のHaar測度とすると、
λ は次の等式で定まる。
任意の f ∈ K(G, R) (過去スレ009の21) に対して、
∫dλ∫ f(xξ) dβ(ξ) = ∫ χ(x)f(x) dμ(x) である。

証明
f を K(G, R) の元とする。
過去スレ013の495より、任意の x ∈ G に対して H 上の関数 ξ → f(xξ) は
K(H, R) の元である。
よって、∫ f(xξ) dβ(ξ) が意味を持つ。
過去スレ013の496より、G 上の関数 f^1: x → ∫ f(xξ) dβ(ξ) は連続であり、
過去スレ013の497と過去スレ013の494より、K(G/H, R) の元と見なせる。
f^1 = 0 のとき、∫ χ(x)f(x) dμ(x) = 0 を証明しよう。

任意の x ∈ G に対して ∫ f(xξ) dβ(ξ) = 0 であるから、
過去スレ013の510より、
∫ f(xξ^(-1))Δ_H(ξ^(-1)) dβ(ξ) = 0 である。

(続く)

30 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/27(木) 21:50:31
>>29の続き

この左辺に、任意の g ∈ K(G, R) に対して、∫ g(x)χ(x) dμ(x) を掛けて

∫ f(xξ^(-1))Δ_H(ξ^(-1)) dβ(ξ)∫ g(x)χ(x) dμ(x)
= ∫ Δ_H(ξ^(-1)) dβ(ξ)∫ g(x)χ(x)f(xξ^(-1)) dμ(x) ← 積分の順序交換
= ∫ Δ_H(ξ^(-1)) Δ_G(ξ)dβ(ξ)∫ g(xξ)χ(xξ)f(x) dμ(x)
= ∫ Δ_H(ξ^(-1)) Δ_G(ξ)χ(ξ)dβ(ξ)∫ g(xξ)χ(x)f(x) dμ(x)
= ∫ dβ(ξ)∫ g(xξ)χ(x)f(x) dμ(x) ← χ(ξ) = Δ_H(ξ)/Δ_G(ξ) より
= ∫ χ(x)f(x) dμ(x)∫ g(xξ) dβ(ξ) ← 積分の順序交換
= 0

K = Supp(f) とおく。
g ∈ K(G, R) に K(G/H, R) の関数 xH → ∫ g(xξ) dβ(ξ) を対応させるのは
過去スレ013の506より、K(G, R) から K(G/H, R) への全射である。
p: G → G/H を標準写像としたとき p(K) はコンパクトだから
x ∈ K のとき ∫ g(xξ) dβ(ξ) = 1 となる g ∈ K(G, R) が存在する。
よって、∫ χ(x)f(x) dμ(x)∫ g(xξ) dβ(ξ) = 0 より
∫ χ(x)f(x) dμ(x) = 0 である。

よって、f と h が K(G, R) の元で f^1 = h^1 のとき
∫ χ(x)f(x) dμ(x) = ∫ χ(x)h(x) dμ(x) である。
よって、G/H 上の正値Radon測度 λ で、λ(f^1) = ∫ χ(x)f(x) dμ(x) と
なるものが存在する。
即ち、∫dλ∫ f(xξ) dβ(ξ) = ∫ χ(x)f(x) dμ(x) である。

s ∈ G のとき、
∫ χ(x)f(s^(-1)x) dμ(x) = χ(s)∫ χ(s^(-1)x)f(s^(-1)x) dμ(x)
= χ(s)∫ χ(x)f(x) dμ(x)
であるから、λ は乗因子 χ の相対不変な正値Radon測度である。
証明終

31 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/27(木) 21:54:22
別証明といっても、>>26>>29も本質的には過去スレ013の556の証明と同じである。


32 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/29(土) 09:55:36
過去スレ013の656の命題の証明はあまりよくないので改めて述べる。

まず次の補題を用意する。
この補題の証明は過去スレ013の511(樽と半ノルムの関係)の証明と
ほぼ同じである。

補題
E を実数体 R 上の位相線形空間とする。
B を E の空でない閉集合で原点に関して対称で凸とする。
このとき、B = ∩(1 + ε)B である。
ここで、ε > 0 は正の実数全体を動く。

証明
過去スレ008の438より、B は平衡的(過去スレ006の630)である。
すなわち、|λ| ≦ 1 なら λB ⊂ B である。
ε > 0 のとき、1/(1 + ε) < 1 であるから (1/(1 + ε))B ⊂ B である。
よって、B ⊂ (1 + ε)B である。

x を E の元で任意の ε > 0 に対して x ∈ (1 + ε)B とする。
(1/(1 + ε))x ∈ B となる。
ε → 0 のとき 1/(1 + ε) → 1 だから
(1/(1 + ε))x → x となる。
B は閉集合だから x ∈ B である。
よって、∩(1 + ε)B ⊂ B である。

以上から B = ∩(1 + ε)B である。
証明終

33 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/29(土) 09:57:59
命題(過去スレ013の656)
R を実数体とし、E を R 上の n 次元のベクトル空間とする。
E に標準位相(>>275)を入れて R 上の位相ベクトル空間と考える。
E は局所コンパクトであるから E の加法群の Haar測度 μ が存在する。
G を E の格子(過去スレ013の649)とする。
S を E のコンパクト部分集合で原点に関して対称で凸とする。
さらに μ(S) ≧ (2^n)vol(G, μ) とする。
ここで、vol(G, μ) は G の μ に関する体積(過去スレ013の651)である。

このとき、S は G の 0 でない点を含む。

証明
ε > 0 を任意の実数として (1 + ε)S を考える。
(1 + ε)S は原点に関して対称で凸であるから過去スレ013の654より、
(1 + ε)S ∩ (G - {0}) ≠ φ である。
過去スレ013の91より、G は E の閉部分群である。
よって、(1 + ε)S ∩ G はコンパクトであり、離散であるから
有限集合である。
よって、(1 + ε)S ∩ (G - {0}) も有限集合であるからコンパクトである。
よって、∩((1 + ε)S ∩ (G - {0})) ≠ φ である。
ここで、ε はすべての実数 > 0 を動く。

∩((1 + ε)S ∩ (G - {0})) = (∩((1 + ε)S) ∩ (G - {0}) であり、
>>32より、S = ∩(1 + ε)S であるから S ∩ (G - {0})) ≠ φ である。
証明終

34 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/29(土) 10:03:13
>>32の訂正
>この補題の証明は過去スレ013の511(樽と半ノルムの関係)の証明と
>ほぼ同じである。

この補題の証明は過去スレ008の511(樽と半ノルムの関係)の証明と
ほぼ同じである。


35 :132人目の素数さん:2009/08/29(土) 11:10:30
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36 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/29(土) 12:30:49
>>33の補足
>(1 + ε)S は原点に関して対称で凸であるから過去スレ013の654より、
>(1 + ε)S ∩ (G - {0}) ≠ φ である。

E の元 x に (1 + ε)x を対応させる写像 ψ は位相線形空間としての
E の自己同型である。
det(ψ) = (1 + ε)^n であるから過去スレ013の247より、
mod(ψ) = (1 + ε)^n である。
過去スレ012の536より、μ(ψ(S)) = mod(ψ)μ(S) であるから、
μ((1 + ε)S) = μ(ψ(S)) = mod(ψ)μ(S) = (1 + ε)^nμ(S) > μ(S)

仮定より、μ(S) ≧ (2^n)vol(G, μ) であるから
μ((1 + ε)S) > (2^n)vol(G, μ) となる。
よって、過去スレ013の654より、(1 + ε)S ∩ (G - {0}) ≠ φ である。

37 :132人目の素数さん:2009/08/29(土) 12:42:26
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38 :132人目の素数さん:2009/08/29(土) 14:03:56
また、>>35=37のホモが湧いて出たな。

39 :名無しさん@そうだ選挙に行こう:2009/08/30(日) 04:04:43
クマーのことが気になって気になって仕方ないんだろw

40 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/30(日) 09:34:05
過去スレ012の536の別証を述べる。
その前に次の補題を用意する。

補題
G を局所コンパクト群とし、μ を G 上の左 Haar 測度とする。
ψ を G の自己同型とする。
U を G の開集合とすれば、

μ(ψ(U)) = mod(ψ)μ(U)

である。

証明
過去スレ008の115より、ψ(U) の特性関数 χ_ψ(U) は下半連続である。
よって、過去スレ008の144より、

μ(ψ(U)) = ∫ χ_ψ(U) dμ = sup{ ∫ f dμ; f ∈ K+(G, R), f ≦ χ_ψ(U)}
= sup{ ∫ f dμ; f ∈ K+(G, R), fψ ≦ χ_U}
= sup{ ∫ gψ^(-1) dμ; g ∈ K+(G, R), g ≦ χ_U}
= sup{ mod(ψ)∫ g dμ; g ∈ K+(G, R), g ≦ χ_U}
= mod(ψ)μ(U)

証明終

41 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/30(日) 09:48:08
補題
G を局所コンパクト群とし、μ を G 上の左 Haar 測度とする。
ψ を G の自己同型とする。

A を G の任意の部分集合とすれば、
μ^*(ψ(A)) = mod(ψ)μ^*(A)


証明
A を G の任意の部分集合とすれば、過去スレ008の16より、
μ^*(A) = inf {μ(U); U は X の開集合で A ⊂ U }

よって、>>40より、

μ^*(ψ(A)) = inf {μ(U); U は X の開集合で ψ(A) ⊂ U }
= inf {μ(U); U は X の開集合で A ⊂ ψ^(-1)(U) }
= inf {μ(ψ(V)); V は X の開集合で A ⊂ V }
= inf {mod(ψ)μ(V); V は X の開集合で A ⊂ V }
= mod(ψ)μ^*(A)

証明終

42 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/30(日) 09:54:52
命題(過去スレ012の536)
G を局所コンパクト群とし、μ を G 上の左 Haar 測度とする。
ψ を G の自己同型とする。
E をμ可測とすれば、ψ(E) もμ可測で、μ(ψ(E)) = mod(ψ)μ(E) である。

証明
E と ψ(E) がμ可測であれば、>>41より、μ(ψ(E)) = mod(ψ)μ(E) である。
よって、E がμ可測なときに ψ(E) がμ可測であることを示せばよい。

E がμ可測とすれば、過去スレ007の768より、G の任意の部分集合 A に対して
μ^*(A) = μ^*(A ∩ E) + μ^*(A - E))
この等式の A を ψ^(-1)(A) で置き換えれば、
μ^*(ψ^(-1)(A)) = μ^*(ψ^(-1)(A) ∩ E) + μ^*(ψ^(-1)(A) - E)

この両辺に mod(ψ) を掛けると
mod(ψ)μ^*(ψ^(-1)(A))
= mod(ψ)μ^*(ψ^(-1)(A) ∩ E) + mod(ψ)μ^*(ψ^(-1)(A) - E)

一方、>>41より、
μ^*(A) = mod(ψ)μ(ψ^(-1)(A))

μ^*(A ∩ ψ(E)) = mod(ψ)μ^*(ψ^(-1)(A) ∩ E)

μ^*(A - ψ(E)) = mod(ψ)μ^*(ψ^(-1)(A) - E)

よって、μ^*(A) = μ^*(A ∩ ψ(E)) + μ^*(A - ψ(E)))
よって、ψ(E) はμ可測である。
証明終

43 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/30(日) 12:23:29
補題
X を局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
ψ: X → X を位相同型とする。
ν = ψ(μ) (過去スレ011の765)とおく。
U を G の開集合とすれば、
ν^*(ψ(U)) = μ^*(U)

証明
過去スレ008の115より、ψ(U) の特性関数 χ_ψ(U) は下半連続である。
よって、過去スレ008の144より、

ν^*(ψ(U)) = ∫ χ_ψ(U) dν = sup{ ∫ f dν; f ∈ K+(X, R), f ≦ χ_ψ(U)}
= sup{ ∫ f dν; f ∈ K+(G, R), fψ ≦ χ_U}
= sup{ ∫ gψ^(-1) dν; g ∈ K+(G, R), g ≦ χ_U}
= sup{ ∫ g dμ; g ∈ K+(G, R), g ≦ χ_U}
= μ^*(U)

証明終

44 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/30(日) 12:27:12
>>43の訂正
補題
X を局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
ψ: X → X を位相同型とする。
ν = ψ(μ) (過去スレ011の765)とおく。
U を G の開集合とすれば、
ν(ψ(U)) = μ(U)

証明
過去スレ008の115より、ψ(U) の特性関数 χ_ψ(U) は下半連続である。
よって、過去スレ008の144より、

ν(ψ(U)) = ∫ χ_ψ(U) dν = sup{ ∫ f dν; f ∈ K+(X, R), f ≦ χ_ψ(U)}
= sup{ ∫ f dν; f ∈ K+(G, R), fψ ≦ χ_U}
= sup{ ∫ gψ^(-1) dν; g ∈ K+(G, R), g ≦ χ_U}
= sup{ ∫ g dμ; g ∈ K+(G, R), g ≦ χ_U}
= μ(U)

証明終

45 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/30(日) 12:29:20
補題
X を局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
ψ: X → X を位相同型とする。

A を X の任意の部分集合とすれば、
ν^*(ψ(A)) = μ^*(A)


証明
A を X の任意の部分集合とすれば、過去スレ008の16より、
μ^*(A) = inf {μ(U); U は X の開集合で A ⊂ U }

よって、>>44より、

ν^*(ψ(A)) = inf {ν(U); U は X の開集合で ψ(A) ⊂ U }
= inf {ν(U); U は X の開集合で A ⊂ ψ^(-1)(U) }
= inf {ν(ψ(V)); V は X の開集合で A ⊂ V }
= inf {μ(V); V は X の開集合で A ⊂ V }
= μ^*(A)

証明終

46 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/30(日) 12:31:41
>>45の訂正
補題
X を局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
ψ: X → X を位相同型とする。
ν = ψ(μ) (過去スレ011の765)とおく。

A を X の任意の部分集合とすれば、
ν^*(ψ(A)) = μ^*(A)


証明
A を X の任意の部分集合とすれば、過去スレ008の16より、
μ^*(A) = inf {μ(U); U は X の開集合で A ⊂ U }

よって、>>44より、

ν^*(ψ(A)) = inf {ν(U); U は X の開集合で ψ(A) ⊂ U }
= inf {ν(U); U は X の開集合で A ⊂ ψ^(-1)(U) }
= inf {ν(ψ(V)); V は X の開集合で A ⊂ V }
= inf {μ(V); V は X の開集合で A ⊂ V }
= μ^*(A)

証明終

47 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/30(日) 12:37:21
命題
X を局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
ψ: X → X を位相同型とする。
ν = ψ(μ) (過去スレ011の765)とおく。

E をμ可測とすれば、ψ(E) はν可測で、ν(ψ(E)) = μ(E) である。

証明
E がμ可測で ψ(E) がν可測であれば、>>46より、
ν(ψ(E)) = mod(ψ)μ(E) である。
よって、E がμ可測なときに ψ(E) がν可測であることを示せばよい。

E がμ可測とすれば、過去スレ007の768より、G の任意の部分集合 A に対して
μ^*(A) = μ^*(A ∩ E) + μ^*(A - E))
この等式の A を ψ^(-1)(A) で置き換えれば、
μ^*(ψ^(-1)(A)) = μ^*(ψ^(-1)(A) ∩ E) + μ^*(ψ^(-1)(A) - E)

一方、>>46より、
ν^*(A) = μ(ψ^(-1)(A))

ν^*(A ∩ ψ(E)) = μ^*(ψ^(-1)(A) ∩ E)

ν^*(A - ψ(E)) = μ^*(ψ^(-1)(A) - E)

よって、ν^*(A) = ν^*(A ∩ ψ(E)) + ν^*(A - ψ(E)))
よって、ψ(E) はν可測である。
証明終

48 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/30(日) 12:59:02
補題
X を局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
ψ: X → X を位相同型とする。
ν = ψ(μ) (過去スレ011の765)とおく。

このとき、μ = ψ^(-1)(ν) である。

証明
ν は、任意の f ∈ K(X, R) に対して
∫ f(x) dν(x) = ∫ f(ψ(x)) dμ(x)
となるRadon測度として特徴付けられる。

この等式の f を fψ^(-1) で置き換えれば、
∫ f(ψ^(-1)(x)) dν(x) = ∫ f(x) dμ(x)

よって、μ = ψ^(-1)(ν) である。
証明終

49 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/30(日) 13:00:36
命題
X を局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
ψ: X → X を位相同型とする。
ν = ψ(μ) (過去スレ011の765)とおく。

E を X の部分集合とする。
ψ(E) がν可測であるためには E がμ可測であることが必要十分である。
さらに、このとき、ν(ψ(E)) = μ(E) である。

証明
>>47>>48より明らかである。

50 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/30(日) 13:13:52
補題
X を局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
ψ: X → X を位相同型とする。
ν = ψ(μ) (過去スレ011の765)とおく。
f : X → [0, +∞) を単関数(過去スレ007の298)とする。

f がν可測であるためには、f(ψ(x)) がμ可測であることが
必要十分である。

さらにこのとき、
∫^* f(y) dν(y) = ∫^* f(ψ(x)) dμ(x) である。

証明
A を X のν可測な部分集合とし、 f = aχ_A の場合に本命題を証明すればよい。
ここで a ≧ 0 は有限な実数である。
fψ = aχ_ψ^(-1)(A) である。

f がν可測であることは、A がν可測であることと同値である。
>>49より、これは ψ^(-1)(A) がμ可測であることと同値である。
fψ = aχ_ψ^(-1)(A) であるから、これは fψ がμ可測であることと
同値である。

このとき、
∫^* f(y) dν(y) = aν(A) = aμ(ψ^(-1)(A)) = ∫^* f(ψ(x)) dμ(x) である。
証明終

51 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/30(日) 13:57:50
命題
X を局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
ψ: X → X を位相同型とする。
ν = ψ(μ) (過去スレ011の765)とおく。
f : X → [0, +∞) を任意の関数とする。

f がν可測であるためには、f(ψ(x)) がμ可測であることが
必要十分である。
さらにこのとき、
∫^* f(x) dν(x) = ∫^* f(ψ(x)) dμ(x) である。

証明
f がν可測であるとする。
過去スレ007の304より、次の条件を見たす可測で有限な単関数 f_n が存在する。
1) 0 ≦ f_1 ≦ f_2 ≦ . . . ≦ f
2) 任意の x ∈ X において、n → ∞ のとき f_n(x) → f(x)

任意の x ∈ X において、
0 ≦ f_1(ψ(x)) ≦ f_2(ψ(x)) ≦ . . . ≦ f(ψ(x))
n → ∞ のとき f_n(ψ(x)) → f(ψ(x)) である。

>>50より、各f_n(ψ(x)) はμ可測であるから、過去スレ007の295より
f(ψ(x)) はμ可測である。

このとき、Lebesgue の単調収束定理(過去スレ007の435)より、
∫^* f(x) dν(x) = lim ∫^* f_n(x) dμ(x)
∫^* f(ψ(x)) dμ(x) = lim ∫^* f_n(ψ(x)) dμ(x)

一方、>>50より、lim ∫^* f_n(x) dμ(x) = lim ∫^* f_n(ψ(x)) dμ(x)
よって、
∫^* f(x) dν(x) = ∫^* f(ψ(x)) dμ(x) である。
証明終

52 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/30(日) 14:00:44
>>51の補足

f(ψ(x)) がμ可測のとき、f がν可測であることの証明が残っているが、
これは>>48から出る。

53 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/30(日) 14:10:58
命題
X を局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
ψ: X → X を位相同型とする。
ν = ψ(μ) (過去スレ011の765)とおく。
f : X → [-∞, +∞] を任意の関数とする。

f がν可積分であるためには、f(ψ(x)) がμ可積分であることが
必要十分である。

さらにこのとき、
∫ f(x) dν(x) = ∫ f(ψ(x)) dμ(x) である。

証明
f : X → [0, +∞] と仮定してよい。

f がν可積分であるとする。
f はν可測だから、>>51より、f(ψ(x)) はμ可測であり、
∫ f(x) dν(x) = ∫^* f(ψ(x)) dμ(x) < +∞ である。
よって、f(ψ(x)) はμ可積分であり、>>51より、
∫ f(x) dν(x) = ∫ f(ψ(x)) dμ(x) である。

逆に f(ψ(x)) がμ可積分であるとする。
>>48より、μ = ψ^(-1)(ν) であるから、
f(x) = f(ψ(ψ^(-1)(x))) はν可積分である。
証明終

54 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/30(日) 14:28:31
命題
X を局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
ψ: X → X を位相同型とする。
ν = ψ(μ) (過去スレ011の765)とおく。
f : X → C を複素数値関数とする。

f がν可積分であるためには、f(ψ(x)) がμ可積分であることが
必要十分である。

さらにこのとき、
∫ f(x) dν(x) = ∫ f(ψ(x)) dμ(x) である。

証明
f の実部と虚部をそれぞれ Re(f), Im(f) とすれば、
f = Re(f) + iIm(f) である。

f がν可積分であるためには、Re(f) と Im(f) がν可積分であることが
必要十分である。
よって、本命題は>>53から直ちに得られる。
証明終

55 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/30(日) 14:29:11
>>53は過去スレ011の819の特別の場合である。
過去スレ011の819の証明はBourbakiによる。
この証明は、実質的には正値Radon測度全体の空間 M+(X) に値をとる関数の
積分(過去スレ013の720)の一般論から導かれている。
>>53の証明は伝統的な方法による。

56 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/30(日) 15:16:50
命題
G を局所コンパクト群とし、μを G 上の左Haar測度とする。
f : X → [0, +∞) をμ可測関数とする。

任意の s ∈ G に対して γ(s)f (過去スレ013の551)はμ可測であり、

∫^* γ(s)f dμ = ∫^* f dμ である。

証明
γ(s): G → G は位相同型である。
ν = γ(s^(-1))(μ) (過去スレ011の765)とおく。

ν は、任意の g ∈ K(G, R) に対して
∫ g(x) dν(x) = ∫ g(γ(s^(-1))(x)) dμ(x) = ∫ g(s^(-1)(x)) dμ(x)
となる Radon測度として特徴付けられる。

ところが、∫ g(s^(-1)(x)) dμ(x) = ∫ g(x) dμ(x) であるから
ν = μ である。

よって、>>51より、γ(s)f(x) = f(s^(-1)(x)) はμ可測であり、
∫^* f(x) dμ(x) = ∫^* f(s^(-1)(x)) dμ(x) である。
証明終

57 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/30(日) 15:36:03
命題
G を局所コンパクト群とし、μを G 上の左Haar測度とする。
f : X → [0, +∞) をμ可測関数とする。

任意の s ∈ G に対して δ(s)f (過去スレ013の552)はμ可測であり、

∫^* δ(s)f dμ = Δ(s^(-1))∫^* f dμ である。
ここで、Δ は G のモジュール(過去スレ012の474)である。

証明
δ(s): G → G は位相同型である。
ν = δ(s^(-1))(μ) (過去スレ011の765)とおく。

ν は、任意の g ∈ K(G, R) に対して
∫ g(x) dν(x) = ∫ g(δ(s^(-1))(x)) dμ(x) = ∫ g(xs) dμ(x)
となる Radon測度として特徴付けられる。

ところが、過去スレ012の474より、
∫ g(xs) dμ(x) = Δ(s^(-1))∫ g(x) dμ(x) であるから

ν = Δ(s^(-1))μ である。

一方、>>51より、δ(s)f はμ可測であり、
∫^* f(x) dν(x) = ∫^* δ(s)f dμ(x) である。

よって、
Δ(s^(-1))∫^* f dμ = ∫^* δ(s)f dμ である。
証明終

58 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/30(日) 16:51:54
補題
X を位相空間とし、f, g を X から [0, +∞) への
下半連続関数(過去スレ008の113)とする。
このとき、fg は下半連続である。

証明
a を X の任意の点とする。
h を 0 ≦ h < f(a)g(a) となる任意の実数とする。
h/f(a) < g(a) であるから h/f(a) < s < g(a) となる s がある。
0 < s かつ 0 < f(a) であるから、h/s < f(a) である。
r = h/s とおく。

h = rs であり、
r < f(a)
s < g(a)
となる。

f および g はそれぞれ a で下半連続であるから、
a の近傍 V があり、x ∈ V なら r < f(x)
a の近傍 W があり、x ∈ W なら s < g(x)

よって、x ∈ V ∩ W なら h = rs < f(x)g(x)
よって、fg は a で下半連続である。
a は X の任意の点だから fg は下半連続である。
証明終

59 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/30(日) 16:55:56
補題
X を局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
g: X → [0, +∞) を局所μ可積分(過去スレ010の504)な連続関数とする。
ν = gμ (過去スレ011の765)とおく。
U を G の開集合とすれば、
ν(U) = ∫ (χ_U)g dμ

証明
過去スレ008の115より、ψ(U) の特性関数 χ_ψ(U) は下半連続である。
よって、過去スレ008の144より、

ν(U) = ∫ χ_U dν = sup{ ∫ f dν; f ∈ K+(X, R), f ≦ χ_U}
= sup{ ∫ fg dμ; f ∈ K+(G, R), f ≦ χ_U}

一方、過去スレ008の120より、
sup{fg; f ∈ K+(G, R), f ≦ χ_U} = sup{f; f ∈ K+(G, R), f ≦ χ_U}g
= (χ_U)g

(χ_U)g は>>58より下半連続であるから、過去スレ008の144より、
∫ (χ_U)g dμ = sup{ ∫ fg dμ; f ∈ K+(G, R), f ≦ χ_U}

よって、
ν(U) = ∫ (χ_U)g dμ
証明終

60 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/30(日) 17:17:57
補題
X を位相空間とし、f を X から [0, +∞) への
下半連続関数(過去スレ008の113)とし、
g を X から [0, +∞] への下半連続関数とする
(g は +∞ をとる可能性があることに注意)。
このとき、fg は下半連続である。

証明
a を X の任意の点とする。
h を 0 ≦ h < f(a)g(a) となる任意の実数とする。
h/f(a) < g(a) であるから h/f(a) < s < g(a) となる s がある。
0 < s かつ 0 < f(a) であるから、h/s < f(a) である。
r = h/s とおく。

h = rs であり、
r < f(a)
s < g(a)
となる。

f および g はそれぞれ a で下半連続であるから、
a の近傍 V があり、x ∈ V なら r < f(x)
a の近傍 W があり、x ∈ W なら s < g(x)

よって、x ∈ V ∩ W なら h = rs < f(x)g(x)
よって、fg は a で下半連続である。
a は X の任意の点だから fg は下半連続である。
証明終

61 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/30(日) 17:24:44
補題
X を局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
g: X → [0, +∞) を局所μ可積分(過去スレ010の504)な連続関数とする。
ν = gμ (過去スレ011の765)とおく。

f: X → [0, +∞] を下半連続関数(過去スレ008の113)とする。
このとき、∫^* f dν = ∫^* fg dμ である。

証明
過去スレ008の120より、
f = sup { h ∈ K+(X, R) | h ≦ f }
よって、過去スレ008の144より、

∫^* f dν = sup{ ∫ h dν; h ∈ K+(X, R), h ≦ f}
= sup{ ∫ hg dμ; h ∈ K+(X, R), h ≦ f}

一方、
sup{ hg; h ∈ K+(X, R), h ≦ f} = sup{ h; h ∈ K+(X, R), h ≦ f}g
= fg
であり、>>60より、fg は下半連続である。
よって、過去スレ008の144より、
sup{ ∫ hg dμ; h ∈ K+(X, R), h ≦ f} = ∫^* fg dμ である。

よって、
∫^* f dν = ∫^* fg dμ である。
証明終

62 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/30(日) 18:05:28
>>61は、過去スレ011の617の別証明のために用意した。
しかし、この別証明は意外に難しいので中止する。

63 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/30(日) 19:07:59
過去スレ011の738の訂正

命題
X, Y を局所コンパクト空間とする。
λを X 上の正値Radon測度、μを Y 上の正値Radon測度とする。
ν = λ×μ (過去スレ010の270)とする。
f : X×Y → [0, ∞] を X×Y 上の関数とする。

∬^* f(x, y) dλ(x)dμ(y) ≧ ∫^* dλ(x) ∫^* f(x, y) dμ(y) である。

証明
g ∈ I+(X×Y) (過去スレ008の119)、g ≧ f のとき、任意の x ∈ X に対して
∫^* g(x, y) dμ(y) ≧ ∫^* f(x, y) dμ(y)
よって、
∫^* dλ(x) ∫^* g(x, y) dμ(y) ≧ ∫^* dλ(x) ∫^* f(x, y) dμ(y)

この左辺は、過去スレ011の736より、∬^* g(x, y) dλ(x)dμ(y) に等しい。
よって、
∬^* g(x, y) dλ(x)dμ(y) ≧ ∫^* dλ(x) ∫^* f(x, y) dμ(y)
この左辺の g に関する inf をとって、
∬^* f(x, y) dλ(x)dμ(y) ≧ ∫^* dλ(x) ∫^* f(x, y) dμ(y) である。
証明終

64 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/30(日) 21:09:05
まだ、いろいろと見直したい箇所(例えば積測度とかRadon-Nikodymの定理とか)が
あるが、それらはひとまず置いて先に進むとする。
これからコンパクト群の表現について述べる。
ひとまずPeter-Weylの定理を目標とする。


65 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/30(日) 21:52:02
定義
G を群とし、E を可換体 K 上の線形空間とする。
G から Aut(E) への準同型を G の E における線型表現と言う。
ここで、Aut(E) は E の自己同型群である。

66 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/30(日) 21:53:53
定義
G を位相群とし、E を実数体または複素数体上の位相線形空間とする。
U を G の E における線型表現(>>65)とする。
G×E から E への写像 (s, x) → U(s)x が連続なとき、
U を E における連続な線型表現と言う。

67 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/31(月) 07:56:26
E を実数体または複素数体 K 上の有限次ベクトル空間とする。
E はその標準位相(過去スレ013の275)により K 上の位相線型空間となる。
Hom(E, E) を K 上の線型空間としての E の自己準同型全体とする。
Hom(E, E) の各元は E の標準位相で連続であるから、Hom(E, E) は
K 上の位相線型空間としての E の自己準同型全体でもある。
Hom(E, E) は K 上の有限次代数であるから過去スレ013の278より、
局所コンパクトな位相環である。

GL(E) を K 上の線型空間としての E の自己同型群とする。
GL(E) は Hom(E, E) の可逆元全体と一致するから過去スレ013の299より、
Hom(E, E) の開集合であり、Hom(E, E) の部分空間としての位相により、
局所コンパクト群になる。
この位相を GL(E) の標準位相と言う。

68 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/31(月) 08:32:31
命題
G を位相群とし、E を実数体または複素数体 K 上の有限次ベクトル空間とする。
E はその標準位相(過去スレ013の275)により K 上の位相線型空間となる。
U を G から GL(E) (>>67)への群としての準同型とする。

U が E における連続な線型表現(>>66)であるためには、
GL(E) に標準位相(>>67)を与えたとき、U が G から GL(E) への写像として
連続であることが必要十分である。

証明
E の基底を任意にとり、E を K^n と同一視するとき、
GL(E) は GL(n, K) (過去スレ013の151)と同一視される。
このとき、s → U(s) が連続であることは、U(s) の各成分 u_(i, j)(s) が
連続であることと同値である。

よって、s → U(s) が連続であれば、
G×E から E への写像 (s, x) → U(s)x は連続である。

逆に、(s, x) → U(s)x は連続であるとする。
e_1, ..., e_n を K^n の標準基底とする。
各 j に対して、U(s)e_j = Σu_(i, j)(s)e_i である。
s → U(s)e_j は連続であるから各写像 s → u_(i, j)(s) は連続である。
よって、s → U(s) は連続である。
証明終

69 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/31(月) 09:11:39
定義
G を位相群とし、E を実数体または複素数体 K 上の有限次ベクトル空間とする。
E はその標準位相(過去スレ013の275)により K 上の位相線型空間となる。
U を E における連続な線型表現(>>66)とする。
E の K 上の次元を U の次数(degree)と呼ぶ。

70 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/31(月) 09:15:03
>>69の訂正
>U を E における連続な線型表現(>>66)とする。

U を E における G の連続な線型表現(>>66)とする。

71 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/31(月) 09:28:03
定義
K を実数体または複素数体とする。
G を位相群とし、E と F を K 上の位相線型空間とする。
U と V をそれぞれ E および F における G の連続な線型表現(>>66)とする。

f: E → F を連続な線型写像とし、任意の s ∈ G と x ∈ E に対して
f(U(s)x) = V(s)f(x) となるとする。
このとき、 f を U から V への準同型写像または単に準同型と呼ぶ。

f が位相線型空間としての同型写像のとき、f を U から V への同型写像または
単に同型と呼ぶ。

U から V への同型写像が存在するとき、U と V は同値と言う。

72 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/31(月) 09:37:56
定義
K を実数体または複素数体とする。
G を位相群とし、E を K 上の位相線型空間とする。
U を E における G の連続な線型表現(>>66)とする。
F を E の部分空間とする。
任意の s ∈ G と x ∈ F に対して U(s)x ∈ F となるとき
F を E の (U に関して) G-不変な部分空間と呼ぶ。

73 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/31(月) 09:44:07
定義
K を実数体または複素数体とする。
G を位相群とし、E を K 上の分離位相線型空間とする。
U を E における G の連続な線型表現(>>66)とする。
E の G-不変な閉部分空間(>>72)は {0} および E のみであるとき、
U を既約という。
U が既約でないとき U は可約という。

74 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/31(月) 09:46:50
>>73の訂正
>G を位相群とし、E を K 上の分離位相線型空間とする。

G を位相群とし、E ≠ {0} を K 上の分離位相線型空間とする。

75 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/31(月) 11:56:30
命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の有限次ベクトル空間とする。
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の有界なRadon測度とする。
即ち、μ(X) < +∞ である。
μ は K が実または複素に応じて実または複素とする。

U: X → E を連続写像とする。
e_1, ..., e_n を E の任意の基底とする。
x ∈ X に対して U(x) = ΣU_i(x)e_i とする。
各 i に対して x → U_i(x) は連続である。
μは有界だから、U_i(x) はμ可積分である。

このとき、Σ (∫ U_i(x) dμ(x))e_i は基底 e_1, ..., e_n の
選び方によらない。

証明
f_1, ..., f_n を E の基底とする。
f_i = Σa_(i, j) e_j とする。
x ∈ X に対して U(x) = ΣV_i(x)f_i とする。

U(x) = ΣV_i(x)f_i = Σ(V_i(x)Σa_(i, j)) e_j

よって、U_j(x) = Σa_(i, j)V_i(x)
よって、∫ U_j(x) dμ(x) = Σa_(i, j)∫ V_i(x) dμ(x)
よって、Σ(∫ U_j(x) dμ(x))e_j = Σ(∫ V_i(x) dμ(x))f_i
証明終

76 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/31(月) 12:00:15
定義
>>75の Σ (∫ U_i(x) dμ(x))e_i を
∫ U dμ または ∫ U(x) dμ(x) と書き、U の μ に関する積分と呼ぶ。


77 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/31(月) 13:44:40
補題
G を局所コンパクト群とし、E を実数体または複素数体 K 上の
有限次ベクトル空間とする。
μ を G 上の有界なRadon測度とする。
μ は K が実または複素に応じて実または複素とする。

U を G から Hom(E, E) への連続写像とする。
F を E の部分空間とし、すべての s ∈ G に対して U(s)(E) ⊂ F とする。
このとき、(∫ U(s) dμ(s)) (E) ⊂ F である。

ここで、∫ U(s) dμ(s) は Hom(E, E) の元であり、>>75で定義されたもの。

証明
E の基底 e_1, ..., e_n を、e_1, ..., e_r (r ≦ n) が F の基底に
なるように選ぶ。

任意の s ∈ G に対して U(s)(E) ⊂ F であるから、
U(s)(e_j) = Σu_(i, j)(s) e_i とすれば、
i > r のとき u_(i, j)(s) = 0 である。

よって、i > r のとき ∫ u_(i, j)(s) dμ(s) = 0 である。
よって、(∫ U(s) dμ(s)) (E) ⊂ F である。
証明終

78 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/31(月) 13:46:11
>>77の訂正
>ここで、∫ U(s) dμ(s) は Hom(E, E) の元であり、>>75で定義されたもの。

ここで、∫ U(s) dμ(s) は Hom(E, E) の元であり、>>76で定義されたもの。

79 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/31(月) 14:06:23
命題
G を局所コンパクト群とし、E を実数体または複素数体 K 上の
有限次ベクトル空間とする。
U を E における連続な線型表現(>>66)とする。
F を E の (U に関して) G-不変な部分空間(>>72)とする。
このとき、E = F + W (直和) となる G-不変な部分空間 W が存在する。

証明
p: E → F を射影とする。
s ∈ G に対して U(s)pU(s^(-1)) ∈ Hom(E, E) である。
E のある基底に関する U(s)pU(s^(-1)) の表現行列の各成分は
s の関数として連続である。
よって、s → U(s)pU(s^(-1)) は G から Hom(E, E) への写像として連続である。
F は G-不変だから、U(s)pU(s^(-1))(E) ⊂ F である。
よって、q = ∫ U(s)pU(s^(-1)) dμ(s) とおくと、
>>77より、q(E) ⊂ F である。

一方、 x ∈ F のとき、U(s^(-1))(x) ∈ F であるから
pU(s^(-1))(x) = U(s^(-1))(x)
よって、U(s)pU(s^(-1))(x) = x である。
よって、q(x) = x である。
よって、W = Ker(q) とおけば、E = F + W (直和) である。
さらに、次に示すように U(s)q = qU(s) となるので、
x ∈ W なら 0 = U(s)q(x) = qU(s)(x) となり、U(s)(x) ∈ W である。
即ち、W は G-不変である。

U(s)qU(s^(-1))
= ∫ U(s)U(t)pU(t^(-1))U(s^(-1)) dμ(t)
= ∫ U(st)pU((st)^(-1)) dμ(t)  ← U は G の表現だから
= ∫ U(t)pU(t^(-1)) dμ(t)  ← μ はHaar測度だから
= q
証明終

80 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/31(月) 14:17:41
>>79の訂正
>G を局所コンパクト群とし、E を実数体または複素数体 K 上の
>有限次ベクトル空間とする。

G をコンパクト群とし、E を実数体または複素数体 K 上の
有限次ベクトル空間とする。

81 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/31(月) 14:19:36
>>79への補足
>よって、q = ∫ U(s)pU(s^(-1)) dμ(s) とおくと、

μ は g のHaar測度で μ(G) = 1 となるもの。

82 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/31(月) 14:24:23
>>79の主張およびその証明は
Serre の "Representations lineaires des groupes finis"
からヒントを得た。
この本ではもっぱら有限群のみを扱っているが、コンパクト群の表現は
有限群のそれとある程度並行的な取り扱いが出来る。

もっとも、G が有限群の場合の>>79の主張(Mashkeの定理)およびその証明は、
Serre の本を持ち出すまでもなくかなり有名である。

83 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/31(月) 14:40:18
定義
K を実数体または複素数体とする。
G を位相群とし、E を K 上の位相線型空間とする。
U を E における G の連続な線型表現(>>66)とする。
このとき、E を G の表現空間と呼ぶ。
用語の濫用で E を G の表現とも言う。

さらに F を E の G-不変な部分空間(>>72)とする。
このとき、U(s) の F への制限を V(s) とすれば
s → V(s) は G の F における連続な線型表現である。
このとき、V を U の部分表現と言う。
用語の濫用で F を E の部分表現とも言う。

84 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/31(月) 14:46:16
>>79の状況において G の表現 U の F と W への制限をそれぞれ U_1, U_2 とする。
このとき、U は表現 U_1 と U_2 の直和であると言う。
また、用語の濫用で E を表現 F と W の直和であると言う。

85 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/31(月) 17:52:24
>>79への補足説明
>一方、 x ∈ F のとき、U(s^(-1))(x) ∈ F であるから
>pU(s^(-1))(x) = U(s^(-1))(x)
>よって、U(s)pU(s^(-1))(x) = x である。
>よって、q(x) = x である。

A(s) = U(s)pU(s^(-1)) とおく。
e_1, ..., e_n を E の基底で e_1, ..., e_r (r ≦ n) が F の基底に
なっているとする。
1 ≦ j ≦ n のとき、A(s)e_j = Σa_(i, j)(s)e_i とする。

1 ≦ j ≦ r のとき、A(s)e_j = e_j であるから、
1 ≦ j ≦ r, 1 ≦ i ≦ n で、i ≠ j のとき a_(i, j)(s) = 0
i = j のとき a_(i, j)(s) = 1 である。

従って、1 ≦ i ≦ r, 1 ≦ i ≦ n で、i ≠ j のとき ∫ a_(i, j)(s) dμ(s) = 0
i = j のとき ∫ a_(i, j)(s) dμ(s) = 1 である
(ここで、μ(G) = 1 を使っている)。

よって、1 ≦ j ≦ r のとき、
q(e_j) = Σ(∫ a_(i, j)(s) dμ(s)) e_i = e_j である。

よって、 x ∈ F のとき、q(x) = x である。

86 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/08/31(月) 17:57:24
コンパクト群の任意の有限次元連続表現はユニタリ表現に同値であることを
証明しよう。
最初にユニタリ変換について述べる。
後の引用のために無限次元を含めて述べる。

87 :132人目の素数さん:2009/08/31(月) 19:16:15
Serre の本はダメだな

88 :132人目の素数さん:2009/08/31(月) 19:29:29
だったら久マーだめじゃん。

89 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/01(火) 04:23:44
定義
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の線型空間とする。

写像 h: E×F → K が任意の x, y ∈ E と u, v ∈ F と任意の α, β ∈ K
に対して次の条件を満たすとき、h を半双線型形式(sesquilinear form)と呼ぶ。

1) h(x + y, u) = h(x, u) + h(y, u)
2) h(αx, u) = αh(x, u)
3) h(x, u + v) = h(x, u) + h(x, v)
4) h(x, βu) = β~h(x, u)

ここで、β~ は β の複素共役である。

K が実数体のときは β = β~ であるから h は双線型形式(bilinear form)である。

90 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/01(火) 04:31:17
定義
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上のノルム空間とし、h: E×F → K を半双線型形式(>>89)とする。

sup{|h(x, y)/|x||y|; x ∈ E - {0}, y ∈ F - {0}}
= sup{|h(x, y)/|x||y|; |x| = 1, |y| = 1}
を h のノルムと言い |h| と書く。

|h| < +∞ のとき h を有界という。

91 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/01(火) 04:57:18
補題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の線型空間とし、F を K 上のHilbert空間(過去スレ010の600)とする。
h: E×F → K を半双線型形式(>>89)とする。

このとき、線型写像 T: E → F で h(x, y) = <T(x), y> が
任意の x ∈ E と y ∈ F に対して成り立つものが一意に存在する。

証明
x ∈ E を固定する。
y → h(x, y)~ は F 上の線型であるからRieszの定理(過去スレ011の20)より、
任意の y ∈ F に対して、h(x, y)~ = <y, z> となる z ∈ F が一意に存在する。
h(x, y) = <y, z>~ = <z, y> である。
z は x により決まるから z = T(x) と書くことにする。
即ち、h(x, y) = <T(x), y> である。

任意の x, y ∈ E と z ∈ F と α, β ∈ K に対して、

<T(αx + βy), z> = h(αx + βy, z) = αh(x, z) + βh(y, z)
= α<T(x), z> + β<T(y), z>
= <αT(x) + βT(y), z>

よって、T(αx + βy) = αT(x) + βT(y)
よって、T は線型である。
T の一意性は h(x, y) = <T(x), y> から直ちに出る。
証明終

92 :132人目の素数さん:2009/09/01(火) 11:31:39
>>87
なんでダメなの?

93 :「猫」∈社会の屑 ◆ghclfYsc82 :2009/09/01(火) 11:58:21
ソレって
Cours d'arithmetiqueじゃなくって
Representations lineaires des groupes finis
ですよね。

ワシも何でダメなのか理由が知りたいですな。


94 :132人目の素数さん:2009/09/01(火) 14:01:05
>>87, >>92, >>93

俺も知りたいね。
Serreの本は「外れ」は少ない筈だよ。ま、スタイルが50-60年代だから無味乾燥なきらいはあるが。
具体的に言うと:
Representations lineaires des groupes finis はそんな酷い本じゃない思うが?
ついでだが、Cours d'arithmetiqueもそれなりに興味深いよ(全然初心者向きではないが。)

95 :「猫」∈社会の屑 ◆ghclfYsc82 :2009/09/01(火) 16:34:22
ワシはCours d'arithmetiqueは大好きですねん。
昔にコレの和訳を4年のセミナーで使ったら
スグに潰れた事がありますが。


96 :132人目の素数さん:2009/09/01(火) 16:43:00
Serre 古すぎるから現代の普通の表現論の感覚が取り入れられていない

97 :132人目の素数さん:2009/09/01(火) 16:56:51
>Serreの本は「外れ」は少ない
それは正しいけど「あたり」とはかぎらない

98 :猫は残飯 ◆ghclfYsc82 :2009/09/01(火) 18:02:51
これはワシの印象ですけどね、
セールの講義とか論文とか本とかが
合う人と合わない人とが居ますわな。
まあこういうクリアーカットの人は
ワシは好きですが。ソレで必ずしも
判る訳ではなくって「判った気になる」
だけですけど。


99 :132人目の素数さん:2009/09/01(火) 18:38:21
やっぱしセールじゃないと買わないよ
フランスではセールの時期が決まっているんだろ

100 :100:2009/09/01(火) 18:39:07
100

101 :132人目の素数さん:2009/09/01(火) 18:42:41
n人の人がいっせいにジャンケンをするとき、1回で勝った人数をX人とする。
(1) X=k(k=1,2,3,...,n-1)となる確率を求めよ
(2) X=0となる確率を求めよ
(3) Xの期待値を求めよ

(3)は方針だけでも。(1),(2)は答えまで正確に頼む



102 :Takagi:2009/09/01(火) 18:47:53
819 名前:132人目の素数さん :2009/09/01(火) 18:31:10
にほんではだれもたかぎをこえられないのか?
820 名前:132人目の素数さん :2009/09/01(火) 18:33:58
教師で落ちこぼれるのは教科書書かないで引き写すやつ。
たかぎなんか超えて当たり前です。 でも超えられない。
それが解析学者の実力。



103 :132人目の素数さん:2009/09/01(火) 19:09:33
しかしまあちゅうとはんぱに表現論にはいったものだな
ぺーたーわいるのためにはまたじゅんびの横道に行くだろう
有限群だってどこまでやるのかしらんけど

104 :猫は残飯 ◆ghclfYsc82 :2009/09/01(火) 19:12:27
ほんなら豊富な知識と深い理解を誇る
アンタがちゃんと見てはったら宜しいがな。


105 :132人目の素数さん:2009/09/01(火) 19:14:42
>>104
黙れ

106 :猫は残飯 ◆ghclfYsc82 :2009/09/01(火) 19:23:42
イチャモン付けはったんはアンタですがな!
何でワシが黙らなアカンのん?


107 :132人目の素数さん:2009/09/01(火) 19:24:35
猫は照明が嫌いなんだ。

108 :132人目の素数さん:2009/09/01(火) 19:27:03
>何でワシが黙らなアカンのん?
黙れ



109 :猫は残飯 ◆ghclfYsc82 :2009/09/01(火) 19:29:31
別にそんな事あらへんよ。
そやけど、まあ、全体の流れが判り易い方が
エエのかも知れませんなぁ
少なくとも論理構造がかっちりしてんのが
大好きなんですが。


110 :132人目の素数さん:2009/09/01(火) 19:31:53
全体の流れ・・・・・・・・・・>見えたかあ?

111 :132人目の素数さん:2009/09/01(火) 19:36:40
アーベル群の無限次元既約表現の使い方について

112 :132人目の素数さん:2009/09/01(火) 19:44:11
>>何でワシが黙らなアカンのん?
黙るな



113 :132人目の素数さん:2009/09/01(火) 19:54:26
>何でワシが黙らなアカンのん?
謝れ!

114 :何でワシが黙らなアカンのん? :2009/09/01(火) 19:55:38
猫だとか熊だとか
動物園かね÷÷÷÷÷…………

115 :132人目の素数さん:2009/09/01(火) 19:58:27
>ワシが黙らなアカンのん?
アカン

116 :132人目の素数さん:2009/09/01(火) 20:34:45
>>96
>Serre 古すぎるから現代の普通の表現論の感覚が取り入れられていない

「現代の普通の表現論の感覚」って何?具体的にオセ−て。

117 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/01(火) 21:48:01
>>75の訂正
>X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の有界なRadon測度とする。
>即ち、μ(X) < +∞ である。

X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の台(過去スレ010の118)が
コンパクトな複素Radon測度とする。

118 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/01(火) 21:54:55
>>117
μを X 上の有界な正値Radon測度とすると、連続関数 f: X → [0, +∞) に対して
∫ f dμ < +∞ とは限らない。

μ の台 S がコンパクトなら f は S 上で有界だから ∫ f dμ < +∞ である。

119 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/01(火) 21:59:07
>>117
>>75の訂正
>X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の有界なRadon測度とする。
>即ち、μ(X) < +∞ である。

X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の台(過去スレ010の118)が
コンパクトなRadon測度とする。


120 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/01(火) 21:59:50
>>77の訂正
>μ を G 上の有界なRadon測度とする。

μ を X 上の台(過去スレ010の118)がコンパクトなRadon測度とする。


121 :132人目の素数さん:2009/09/01(火) 22:06:42
しかしレベル低いな

122 :132人目の素数さん:2009/09/01(火) 22:19:04
>>121 じゃあお前がもっと低レベルな書き込みしろよ

123 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/01(火) 22:26:45
命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のノルム空間とし、F を K 上のHilbert空間(過去スレ010の600)とする。
h: E×F → K を有界(>>90)な半双線型形式(>>89)とする。

このとき、連続な線型写像 T: E → F で h(x, y) = <T(x), y> が
任意の x ∈ E と y ∈ F に対して成り立つものが一意に存在し、
|T| = |h| である。

証明
>>91より、線型写像 T: E → F で h(x, y) = <T(x), y> が
任意の x ∈ E と y ∈ F に対して成り立つものが一意に存在する。

T = 0 なら h = 0 であるから |T| = |h| である。
よって、 T ≠ 0 と仮定する。

>>90より、
|h| = sup{|<T(x), y>|/|x||y|; x ∈ E - {0}, y ∈ F - {0}}
≧ sup{|<T(x), T(x)>/|x||T(x)|; x ∈ E - {0}}
= sup{|T(x)|^2/|x||T(x)|; x ∈ E - {0}}
= sup{|T(x)|/|x|; x ∈ E - {0}}
= |T|

よって、|T| < +∞ であるから過去スレ006の693より、T は連続である。

逆向きの不等式はCauchy-Schwarzの不等式(過去スレ010の594)より得られる:
|h| = sup{|<T(x), y>|/|x||y|; x ∈ E - {0}, y ∈ F - {0}}
≦ sup{|T(x)||y|/|x||y|; x ∈ E - {0}, y ∈ F - {0}}
= sup{|T(x)||/|x|; x ∈ E - {0}}
= |T|
証明終

124 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/01(火) 22:48:43
>>90
過去スレ007の134より、h が有界であることと h が連続であることは同値である。


125 :king氏ね:2009/09/01(火) 22:51:55
自己レスする奴はたいていキチガイ

126 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/01(火) 23:39:30
命題
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上のHilbert空間(過去スレ010の600)とする。
T: E → F を連続な線型写像とする。

このとき、連続な線型写像 S: F → E で <T(x), y> = <x, S(y)> が
任意の x ∈ E と y ∈ F に対して成り立つものが一意に存在し、
|T| = |S| である。

証明
h: F×E → K を h(y, x) = <y, T(x)> により定義する。
h は明らかに半双線型形式(>>89)である。
T は連続だから過去スレ006の693より、|T| < +∞ である。
Cauchy-Schwarzの不等式(過去スレ010の594)より:
|h(y, x)| ≦ |<y, T(x)>| ≦ |y||T(x)| ≦ |T||x||y|
よって、>>90 より |h| ≦ |T| である。

他方、|h| = sup{|<y, T(x)>|/|y||x|; y ∈ F - {0}, x ∈ E - {0} }
≧ sup{|<T(x), T(x)>|/|T(x)||x|; x ∈ E - {0}}
= sup{|T(x)|^2/|T(x)||x|; x ∈ E - {0}}
= sup{|T(x)|/|x|; x ∈ E - {0}}
= |T|

よって、|h| = |T| である。
>>123より、連続な線型写像 S: F → E で h(y, x) = <S(y), x> が
任意の y ∈ F と x ∈ E に対して成り立つものが一意に存在し、
|S| = |h| である。
よって、|T| = |h| = |S| である。

<y, T(x)> = <S(y), x> であり、両辺の複素共役をとれば
<T(x), y> = <x, S(y)>
証明終

127 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/02(水) 06:44:35
補題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の線型空間とし、F を K 上の分離的(過去スレ010の592)な
前Hilbert空間(過去スレ010の598)とする。
T: E → F を線型写像とする。

任意の x ∈ E と y ∈ F に対して <T(x), y> = 0 であれば、
T = 0 である。

証明
F が分離的であることの定義(過去スレ010の592)より明らかである。

128 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/02(水) 06:49:07
定義
>>126の S を T の随伴写像と呼び、 T^* と書く。

129 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/02(水) 07:02:38
命題
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上のHilbert空間(過去スレ010の600)とする。
S: E → F と T: E → F を連続な線型写像とする。
S^* と T^* をそれぞれ S と T の随伴写像(>>128)とする。

このとき、以下が成り立つ。

1) 任意の x ∈ E と y ∈ F に対して <T^*(y), x> = <y, T(x)>

2) (S + T)^* = S^* + T^*

3) 任意の α ∈ K に対して (αT)^* = α~T^*

4) (T^*)^* = T

証明
随伴写像の定義(>>128)と>>127より単純計算により証明される。
詳細は読者にまかす。

130 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/02(水) 07:46:51
命題
K を実数体または複素数体とする。
E, F, G を K 上のHilbert空間(過去スレ010の600)とする。
S: E → F と T: F → G を連続な線型写像とする。
S^* と T^* をそれぞれ S と T の随伴写像(>>128)とする。

このとき、(TS)^* = S^*T^*

証明
任意の x ∈ E と z ∈ G に対して、
<TS(x), z> = <S(x), T^*(z)> = <x, S^*T^*(z)>
よって、(TS)^* = S^*T^*
証明終

131 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/02(水) 08:21:10
命題
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上のHilbert空間(過去スレ010の600)とする。
T: E → F を連続な線型写像とする。

このとき、|T^*T| = |TT^*| = |T|^2

証明
Cauchy-Schwarzの不等式(過去スレ010の594)より
|T(x)|^2 = <T(x), T(x)> = <x, T^*T(x)> ≦ |T^*T(x)||x|

この両辺の |x| = 1 における sup をとって
|T|^2 ≦ |T^*T|

過去スレ007の141より、|T^*T| ≦ |T^*||T| = |T|^2
よって、|T|^2 = |T^*T|

この等式の T を T^* に変えて (T^*)* = T (>>129の 4)) を使うと

|T^*|^2 = |TT^*|

|T^*| = |T| (>>126)だから |T|^2 = |TT^*|
証明終

132 :132人目の素数さん:2009/09/02(水) 09:04:33
>>103
>しかしまあちゅうとはんぱに表現論にはいったものだな

どこが中途半端なの?

133 :猫は残飯 ◆ghclfYsc82 :2009/09/02(水) 09:13:00
そやねぇ、ソレもワシは訊いときたいなァ
中途半端っちゅうんやったらやね
どないしたら中途半端やないんかを
言うて貰わんとなァ

そのヲッサンにはちゃんと答えて貰わんと
アカンなァ、早うカキコしいや!


134 :132人目の素数さん:2009/09/02(水) 09:15:52
35000の90%返金っていくらですか!?至急教えてください。

135 :猫は残飯 ◆ghclfYsc82 :2009/09/02(水) 09:18:23
何アホな事カキコしてんねん!
アッチへ行かんかい!


136 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/02(水) 09:30:22
補題
E を K 上の前Hilbert空間(過去スレ010の598)とする。
任意の x, y ∈ E に対して

|x + y|^2 = |x|^2 + |y|^2 + 2Re<x, y>

|x + iy|^2 = |x|^2 + |y|^2 + 2Im<x, y>

証明
|x + y|^2 = <x + y, x + y> = <x, x> + <y, y> + <x, y> + <y, x>
= <x, x> + <y, y> + <x, y> + <x, y>~ = |x|^2 + |y|^2 + 2Re<x, y>

|x + iy|^2 = <x + iy, x + iy> = <x, x> + <y, y> + <x, iy> + <iy, x>
= |x|^2 + |y|^2 - i<x, y> + i<y, x>
= |x|^2 + |y|^2 - i<x, y> + i<x, y>~
= |x|^2 + |y|^2 + i(<x, y>~ - <x, y>)
= |x|^2 + |y|^2 + i(-2iIm<x, y>)
= |x|^2 + |y|^2 + 2Im<x, y>
証明終

137 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/02(水) 09:32:26
>>136の訂正

補題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の前Hilbert空間(過去スレ010の598)とする。
このとき、任意の x, y ∈ E に対して
|x + y|^2 = |x|^2 + |y|^2 + 2Re<x, y>

K が複素数体のとき、任意の x, y ∈ E に対して

|x + iy|^2 = |x|^2 + |y|^2 + 2Im<x, y>

証明
|x + y|^2 = <x + y, x + y> = <x, x> + <y, y> + <x, y> + <y, x>
= <x, x> + <y, y> + <x, y> + <x, y>~ = |x|^2 + |y|^2 + 2Re<x, y>

|x + iy|^2 = <x + iy, x + iy> = <x, x> + <y, y> + <x, iy> + <iy, x>
= |x|^2 + |y|^2 - i<x, y> + i<y, x>
= |x|^2 + |y|^2 - i<x, y> + i<x, y>~
= |x|^2 + |y|^2 + i(<x, y>~ - <x, y>)
= |x|^2 + |y|^2 + i(-2iIm<x, y>)
= |x|^2 + |y|^2 + 2Im<x, y>
証明終

138 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/02(水) 09:37:04
補題(polarization formula)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の前Hilbert空間(過去スレ010の598)とする。

任意の x, y ∈ E に対して
Re<x, y> = (1/4)(|x + y|^2 - |x - y|^2)

K が複素数体のとき、任意の x, y ∈ E に対して
Im<x, y> = (1/4)(|x + iy|^2 - |x - iy|^2)

証明
>>137より、任意の x, y ∈ E に対して
|x + y|^2 = |x|^2 + |y|^2 + 2Re<x, y>
|x - y|^2 = |x|^2 + |y|^2 - 2Re<x, y>

よって、Re<x, y> = (1/4)(|x + y|^2 - |x - y|^2)

K が複素数体のとき、>>137より、任意の x, y ∈ E に対して
|x + iy|^2 = |x|^2 + |y|^2 + 2Im<x, y>
|x - iy|^2 = |x|^2 + |y|^2 - 2Im<x, y>
よって、Im<x, y> = (1/4)(|x + iy|^2 - |x - iy|^2)
証明終

139 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/02(水) 10:14:39
命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のHilbert空間(過去スレ010の600)とする。

U: E → E を線型写像とする。
以下の条件はすべて同値である。
1) U は全射で、任意の x, y ∈ E に対して <U(x), U(y)> = <x, y>

2) U は全射で、任意の x ∈ E に対して |U(x)| = |x|

3) U は連続な全単射で U^* = U^(-1)
ここで、U^* は U の随伴写像(>>128)である。

証明
1) ⇒ 2) は明らかである。
2) ⇒ 1) は>>138から直ちに出る。

1) ⇒ 3)
|U(x)| = |x| より、U は連続である。
U(x) = 0 なら |U(x)| = |x| より、x = 0 である。
よって、U は単射であり、仮定より全単射である。
よって、U^(-1) が存在する。
U^* の定義(>>128)より、
<U(x), U(y)> = <U^*U(x), y)> = <x, y>
よって、>>127より、U^*U = 1 である。
この等式の両辺に U^(-1) を掛けて
U^*UU^(-1) = U^(-1)
この左辺は U^* だから、U^* = U^(-1)

3) ⇒ 1)
<U(x), U(x)> = <U^*U(x), y)> = <x, y>
証明終

140 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/02(水) 10:19:31
定義
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のHilbert空間(過去スレ010の600)とする。
>>139の同値な条件を満たす U をユニタリ変換またはユニタリ作用素と呼ぶ。

141 :132人目の素数さん:2009/09/02(水) 14:33:41
基地外警報基地外警報基地外警報基地外警報基地外警報基地外警報基地外警報基地外警報
基地外警報基地外警報基地外警報基地外警報基地外警報基地外警報基地外警報基地外警報
基地外警報基地外警報基地外警報基地外警報基地外警報基地外警報基地外警報基地外警報
基地外警報基地外警報基地外警報基地外警報基地外警報基地外警報基地外警報基地外警報
基地外警報基地外警報基地外警報基地外警報基地外警報基地外警報基地外警報基地外警報
基地外警報基地外警報基地外警報基地外警報基地外警報基地外警報基地外警報基地外警報
基地外警報基地外警報基地外警報基地外警報基地外警報基地外警報基地外警報基地外警報
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142 :132人目の素数さん:2009/09/02(水) 14:37:13
>>141
>基地外
ホモの自己紹介乙。

143 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/02(水) 15:43:14
補題
K を可換とは限らない位相体とする。
E と F を K 上の位相線型空間とする。
f: E → F を位相線型空間としての同型とする。
このとき、f は一様同型である。
従って、E が完備なら F も完備である。

証明
f は連続な線型写像であるから、過去スレ006の351より一様連続である。
f の逆写像も同様である。
従って、f は一様同型である。
証明終

144 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/02(水) 15:48:46
次の定理は過去スレ006の651であるが、その証明にやや説明不足のところが
あったので改めて述べる。

定理
K を可換とは限らない体とする。
| | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414, 過去スレ006の422)とする。
K はこの絶対値による位相で完備とする。

E を K 上の n 次元の分離位相ベクトル空間とする。
e_1, . . . , e_n をその任意の基底とする。

写像 (ξ_i) → Σ(ξ_i)(e_i) は K^n から E への位相同型である。

証明
n に関する帰納法による。

n = 1 のときは過去スレ006の648より成り立つ。

H を e_1, . . . , e_(n-1) で生成される部分空間とする。
帰納法の仮定より、
写像 (ξ_1, . . ., ξ_n) → ξ_1e_1 + . . . + ξ_(n-1)e_(n-1) は
K^(n-1) から H への位相同型である。
よって、>>143より K^(n-1) と H は一様同型である。
過去スレ006の255より K^(n-1) は完備だから H も完備である。
よって 過去スレ006の253 より H は E の閉部分空間である。

L = Ke_n とする。
E は H と L の直和である。
過去スレ006の650 より E は H と L の位相直和(過去スレ006の642)である。
よって写像 (ξ_i) → Σ(ξ_i)(e_i) は K^n から E への
位相同型である。
証明終

145 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/02(水) 15:55:24
命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の有限次の分離的な前Hilbert空間(過去スレ010の598)とすると、
E はHilbert空間(過去スレ010の600)である。

証明
>>144より、E は K^n と位相線型空間として同型である。
過去スレ006の255より K^n は完備だから >>143より E も完備である。
よって、E はHilbert空間である。
証明終

146 :132人目の素数さん:2009/09/02(水) 16:00:38
ブルバキの丸写しかね?

147 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/02(水) 18:05:47
定義
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の前Hilbert空間(過去スレ010の598)とする。

(x_i), i ∈ I を E の元の族で、 i ≠ j なら常に <x_i, x_j> = 0 となる
ものとする。
このとき、(x_i), i ∈ I を E の直交族(orthogonal family)と呼ぶ。
I が可算のときは、直交列(orthogonal sequence)と呼ぶ。

さらに、各 i に対して <x_i, x_i> = 1 となるとき、
(x_i), i ∈ I を E の正規直交族(orthonormal family)と呼ぶ。
I が可算のときは、正規直交列(orthonormal sequence)と呼ぶ。

S を E の部分集合とする。
S から S への恒等写像 I は E の元の族 (I(x)), x ∈ S を定める。
(I(x)), x ∈ S が直交族となるとき、 S を E の直交集合(orthogonal set)と
呼ぶ。
(I(x)), x ∈ S が正規直交族となるとき、 S を E の正規直交集合
(orthonormal set)と呼ぶ。

148 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/02(水) 19:07:55
>>147の訂正
>I が可算のときは、直交列(orthogonal sequence)と呼ぶ。

I が可算のときは、直交列(orthogonal sequence)とも呼ぶ。

>I が可算のときは、正規直交列(orthonormal sequence)と呼ぶ。

I が可算のときは、正規直交列(orthonormal sequence)とも呼ぶ。

149 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/02(水) 19:11:13
定義
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の位相線型空間とする。
E の部分集合 S は S が生成する E の代数的な線型部分空間 M が
E において稠密なとき完全(total)と言う。

150 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/02(水) 19:34:22
補題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の前Hilbert空間(過去スレ010の598)とする。
(x, y) → <x, y> は E×E から K への連続写像である。

証明
任意の (x, y), (a, b) ∈ E×E に対して、
|<x, y> - <a, b>| = |<x, y> - <x, b> + <x, b> - <a, b>|
= |<x, y - b> + <x - a, b>| ≦ |<x, y - b>| + |<x - a, b>|
≦ |x||y - b| + |x - a||b|

|y - b| < ε, |x - a| < ε であれば、
|x| = |x - a + a| ≦|x - a| + |a| ≦ ε + |a|

よって、|<x, y> - <a, b>| ≦ (ε + |a|)ε + |b|ε = (ε + |a| + |b|)ε

よって、ε → 0 のとき |<x, y> - <a, b>| → 0 となって
(x, y) → <x, y> は (a, b) で連続である。
証明終

151 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/02(水) 19:48:58
命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の分離的な前Hilbert空間(過去スレ010の598)とする。
E の部分集合 S が完全(>>149)なら S^⊥ = {0} である。
ここで、S^⊥ は S の直交補空間(過去スレ010の601)である。

証明
x を S^⊥ の任意の元とする。
S が生成する E の代数的な線型部分空間を M とする。
M の閉包は E だから M の元の列 (x_n), n = 1, 2, ... で
lim x_n = x となるものが存在する。
x ∈ S^⊥ だからすべての n に対して <x, x_n> = 0 である。
>>150 より、(z, w) → <z, w> は連続だから
<x, x> = 0 である。
E は分離的だから x = 0 である。
よって、S^⊥ = {0} である。
証明終

152 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/02(水) 20:17:30
命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のHilbert空間(過去スレ010の600)とする。
E の部分集合 S が S^⊥ = {0} であれば、S は完全(>>149)である。
ここで、S^⊥ は S の直交補空間(過去スレ010の601)である。

証明
S が生成する E の代数的な線型部分空間を M とする。
x を M^⊥ の任意の元とする。
x ∈ S^⊥ であるから x = 0 である。
よって、M^⊥ = {0} である。
N を M の閉包とする。
>>150 より、(z, w) → <z, w> は連続だから
N^⊥ = 0 である。

一方、N は完備空間 E の閉部分空間であるから完備である。
よって、過去スレ010の607より、E = N + N^⊥ (直和)である。
N^⊥ = 0 であるから E = N である。
即ち、S は完全である。
証明終

153 :132人目の素数さん:2009/09/02(水) 20:42:19
返事がない件

>>87
なんでダメなの?

>>103
>しかしまあちゅうとはんぱに表現論にはいったものだな

どこが中途半端なの?

154 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/02(水) 22:24:23
命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の前Hilbert空間(過去スレ010の598)とする。
E の任意の正規直交族(>>147) (e_i), i ∈ I は一次独立である。

証明
I は有限集合 {1, 2, ..., n} と仮定してよい。
α_1, α_2, ..., α_n を K の元で、
α_1e_1 + ... + α_ne_n = 0 とする。

各i に対して、
<α_1e_1 + ... + α_ne_n, e_i> = α_i<e_i, e_i> = α_i = 0
よって、(e_i), i ∈ I は一次独立である。
証明終

155 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/02(水) 22:56:40
命題(Gram-Schmidt)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の分離的な前Hilbert空間(過去スレ010の598)とする。
x_1, ..., x_n を E の K 上一次独立な列とし、
この列で生成される E の部分空間を [x_1, ..., x_n] とする。

このとき、E の正規直交列(>>147) e_1, ..., e_n で
[x_1, ..., x_n] = [e_1, ..., e_n] となるものが存在する。

証明
帰納的に e_1, ..., e_n を構成する。

x_1 ≠ 0 で E は分離的だから |x_1| ≠ 0。
e_1 = x_1/|x_1| とおく。

i > 1 のとき、E の正規直交列 e_1, ..., e_(i-1) で
[x_1, ..., x_(i-1)] = [e_1, ..., e_(i-1)] となるものが存在するとする。
f_i = x_i - <x_i, e_1>e_1 - ... - <x_i, e_(i-1)>e_(i-1)
とおく。
x_1, ..., x_i は一次独立だから、f_i ≠ 0 である。
E は分離的だから |f_i| ≠ 0 である。
e_i = f_i/|f_i| とおく。

e_1, ..., e_i は正規直交列で、[x_1, ..., x_i] = [e_1, ..., e_i]
である。
証明終

156 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/02(水) 23:00:52
命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の有限次Hilbert空間とする。
このとき、E の正規直交列(>>147) e_1, ..., e_n で
E の基底となるものが存在する。

証明
>>155より明らかである。

157 :132人目の素数さん:2009/09/03(木) 01:27:25
              _.。ャぁ大将軍フ7ゎ。._
           ,.ィ炙ヲi≠┴⇒弍j込ス>。
.        ,ィ升ヲナ'´           `゙'<弖心、
.        ;夕フア´                \ホi心.
       んfiУ                ▽ij∧
       从j'Y                   ∨iハ
.       斤W                      kい バカにはできないコピペです
     |友カ                    }ソ川 できるもんならやってみろ
.       い叭                   仄ガ
.     Wi从                  从ノリ
.      ∀t△                 ∧fリ/
       ゙マじへ、             /リiУ
        \夊id、_             ,.イ!刋/
         `マ才i「≧ェ。。.__。っ夭テ少'゚
           `゚'' ミうんもり祭 =‐'´

158 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/03(木) 05:56:21
補題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の前Hilbert空間(過去スレ010の598)とする。
e_1, ..., e_n を E の正規直交列(>>147) とする。
x を E の任意の元とする。

y = Σ<x, e_i>e_i とおくと、<x - y, y> = 0 である。

証明
<x - y, y> = <x, y> - <y, y>
= <x, Σ<x, e_i>e_i> - <Σ<x, e_i>e_i, Σ<x, e_j>e_j>
= Σ<x, e_i><x, e_i>~ - Σ<x, e_i><x, e_i>~
= 0
証明終

159 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/03(木) 06:11:10
補題(ピタゴラスの公式)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の前Hilbert空間(過去スレ010の598)とする。
E の元 x, y が <x, y> = 0 であれば、
|x + y|^2 = |x|^2 + |y|^2

証明
>>136より、
|x + y|^2 = |x|^2 + |y|^2 + 2Re<x, y> = |x|^2 + |y|^2
証明終

160 :猫は残飯 ◆ghclfYsc82 :2009/09/03(木) 06:17:40
>>157
余りにも見事で極めて完成度が高く、ただただ恐れ入るばかりです。
この様な作品はただ単に目に触れるだけでも、その機会に巡り会った
幸運に感謝したいと思います。

どうも有難う御座いました。最高の敬意を捧げます。

敬具

猫拝

追記:かつてマッキントッシュのアプリケーションで
Textureというのがありましたが、其処にサンプルファイル
として配布されていた円形のDVIを出力する作品を
思い出しました。


161 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/03(木) 06:26:50
補題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の前Hilbert空間(過去スレ010の598)とする。
e_1, ..., e_n を E の正規直交列(>>147) とする。

x を E の任意の元とするとき、
Σ|<x, e_i>|^2 ≦ |x|^2

証明
>>158より、
y = Σ<x, e_i>e_i とおくと、<x - y, y> = 0 である。

>>159より、
|x|^2 = |x - y + y|^2 = |x - y|^2 + |y|^2
よって、|y|^2 ≦ |x|^2

|y|^2 = Σ|<x, e_i>|^2 であるから Σ|<x, e_i>|^2 ≦ |x|^2
証明終

162 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/03(木) 06:40:31
命題(Besselの不等式)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の前Hilbert空間(過去スレ010の598)とする。
(e_i), i ∈ I を E の正規直交族(>>147) とする。

x を E の任意の元とするとき、
Σ|<x, e_i>|^2 ≦ |x|^2

このとき、<x, e_i> ≠ 0 となる i の集合 J は可算である。

証明
Σ|<x, e_i>|^2 ≦ |x|^2 は>>161より明らかである。
過去スレ010の156より、J は可算である。
証明終

163 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/03(木) 08:07:47
命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のHilbert空間(過去スレ010の600)とする。
(e_i), i ∈ I を E の正規直交族(>>147) とする。
(α_i), i ∈ I を K の元の族とする。

(α_ie_i), i ∈ I が E において総和可能(過去スレ006の147)なためには
(|α_i|^2), i ∈ I が K において総和可能なことが必要十分である。

証明
J を I の任意の有限部分集合とする。
S(J) = Σα_ie_i とおく。
T(J) = Σ|α_i|^2 とおく。
ここでそれぞれの右辺の和の i は J の元全体を動く。
J が空集合のときは S(J) = 0, T(J) = 0 とする。

(e_i), i ∈ I は正規直交族であるから、|S(J)|^2 = T(J) である。
よって、(α_ie_i), i ∈ I が Cauchy の判定条件(過去スレ006の153)を
満たすためには、(|α_i|^2), i ∈ I が Cauchy の判定条件を満たすことが
必要十分である。

一方、過去スレ006の152と過去スレ006の158より、
(α_ie_i), i ∈ I が総和可能なためには、
(α_ie_i), i ∈ I が Cauchy の判定条件を満たすことが必要十分であり、
(|α_i|^2), i ∈ I が総和可能なためには、
(|α_i|^2), i ∈ I が Cauchy の判定条件を満たすことが必要十分である。
証明終

164 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/03(木) 08:31:35
命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の分離的な前Hilbert空間(過去スレ010の598)とする。
(e_i), i ∈ I を E の正規直交族(>>147) とする。
(α_i), i ∈ I を K の元の族とする。

(α_ie_i), i ∈ I が E において総和可能(過去スレ006の147)であるとする。
x = Σα_ie_i とおけば、任意の i ∈ I に対して
<x, e_i> = α_i である。

証明
I の有限部分集合全体の集合を Φ(I) とする。
Φ(I) は包含関係で上向きの有向集合である。
J ∈ Φ(I) とし、S(J) = Σα_je_j とおく。
ここで j は J の元全体を動く。
J が空集合のときは S(J) = 0 とする。
任意の j ∈ J に対して、<S(J), e_j> = α_j である。

x = lim S(J), J ∈ Φ(I) である。
>>150より、(z, w) → <z, w> は連続であるから、
任意の i ∈ I に対して
<x, e_i> = <lim S(J), e_i> = lim <S(J), e_i> = α_i
証明終

165 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/03(木) 08:37:41
命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のHilbert空間(過去スレ010の600)とする。
(e_i), i ∈ I を E の正規直交族(>>147) とする。
x を E の任意の元とする。

このとき、(<x, e_i>e_i), i ∈ I は
E において総和可能(過去スレ006の147)である。

証明
Besselの不等式(>>162)より、
(|<x, e_i>|^2), i ∈ I は K において総和可能である。
よって、>>163より、(<x, e_i>e_i), i ∈ I は総和可能である。
証明終

166 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/03(木) 10:53:23
>>164の補足
>x = lim S(J), J ∈ Φ(I) である。

念のために、この意味について説明する。

X をHausdorff位相空間とし、Ψ を X におけるフィルター基底(過去スレ006の77)
とする。
x を X の点とする。
x の任意の近傍 V に対して F ⊂ V となる F ∈ Ψ が存在するとき
Ψ は x に収束するといい、Ψ → x または x = lim Ψ と書く。
x のことを Ψ の極限とも言う(過去スレ006の131)。

A を前順序関係(過去スレ008の139) ≦ による上向きの有向集合
(過去スレ008の140)とする。
α ∈ A のとき、A(α) = {β ∈ A; α ≦ β} と書く
Ψ = {A(α); α ∈ A} は A におけるフィルター基底である。

f: A → X を写像とする。
f(Ψ) は X におけるフィルター基底である。
f(Ψ) が X の点 x に収束するとき f は x に収束すると言い、
x = lim f または x = lim f(α), α ∈ A と書く。

即ち、x = lim f(α), α ∈ A とは、x の任意の近傍 V に対して
ある α ∈ A があり、α ≦ β なら常に f(β) ∈ V となることである。

167 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/03(木) 12:52:33
補題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の分離的な前Hilbert空間(過去スレ010の598)とする。
(e_i), i ∈ I を E の正規直交族(>>147) とする。
(α_i), i ∈ I を K の元の族とする。
(α_ie_i), i ∈ I が E において総和可能(過去スレ006の147)であるとする。

このとき、(|α_i|^2), i ∈ I は K において総和可能であり、
|Σα_ie_i|^2 = Σ|α_i|^2 である。

証明
I の有限部分集合全体の集合を Φ(I) とする。
Φ(I) は包含関係で上向きの有向集合である。
J ∈ Φ(I) とし、S(J) = Σα_je_j とおく。
ここで j は J の元全体を動く。
J が空集合のときは S(J) = 0 とする。

任意の J ∈ Φ(I) に対して |S(J)|^2 = Σ|α_j|^2, j ∈ J である。
関数 x → |x|^2 は連続であるから、
|Σα_ie_i|^2 = |lim S(J)|^2 = lim |S(J)|^2 = Σ|α_i|^2
証明終

168 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/03(木) 13:10:53
命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のHilbert空間(過去スレ010の600)とする。
(e_i), i ∈ I を E の正規直交族(>>147) とする。

次の条件は同値である。
1) (e_i), i ∈ I は完全(>>149)である。

2) E の任意の元 x に対して (<x, e_i>e_i), i ∈ I は総和可能
(過去スレ006の147)であり、x = Σ<x, e_i>e_i となる。

3) E の任意の元 x に対して (|<x, e_i>|^2), i ∈ I は総和可能であり、
Σ|<x, e_i>|^2 = |x|^2 となる。

証明
1) ⇒ 2)
>>165より、(<x, e_i>e_i), i ∈ I は総和可能である。
y = Σ<x, e_i>e_i とおき、M = {e_i; i ∈ I} とおく。
>>164より、任意の j ∈ I に対して
<x - y, e_j> = <x, e_j> - <Σ<x, e_i>e_i, e_j> = <x, e_j> - <x, e_j> = 0
よって、x - y ∈ M^⊥ である。
一方、>>151より、M^⊥ = 0 である。よって、x = y となる。

2) ⇒ 3)
>>167より、明らかである。

3) ⇒ 1)
(e_i), i ∈ I が完全でないとする。
>>152より、E の元 x ≠ 0 で任意の i ∈ I に対して <x, e_i> = 0 となるものが
存在する。
ところが、3) より、|x|^2 = Σ|<x, e_i>|^2 = 0 となり、x = 0 となって矛盾。
証明終

169 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/03(木) 13:27:23
命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のHilbert空間(過去スレ010の600)とする。
A を E の正規直交集合(>>147)とする。
A を含む完全(>>149)な正規直交集合 S が存在する。

証明
Zornの補題より A を含む極大な正規直交集合 S が存在する。
S の極大性より S^⊥ = {0} である。
>>152より、S は完全である。
証明終

170 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/03(木) 13:30:32
>>168
3) の Σ|<x, e_i>|^2 = |x|^2 を Parseval の等式と言う。

171 ::2009/09/03(木) 15:13:20


172 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/03(木) 15:28:39
可算集合とは自然数全体の濃度をもつ集合のことを意味するのが通例であるので
有限集合を含まない。
有限集合を含めたいときは高々可算と言う。
よって、これに関していくつか訂正をする。

173 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/03(木) 15:29:25
>>147の訂正
>I が可算のときは、直交列(orthogonal sequence)と呼ぶ。

I が高々可算のときは、直交列(orthogonal sequence)とも呼ぶ。

>I が可算のときは、正規直交列(orthonormal sequence)と呼ぶ。

I が高々可算のときは、正規直交列(orthonormal sequence)とも呼ぶ。

174 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/03(木) 15:31:17
>>162の訂正
>このとき、<x, e_i> ≠ 0 となる i の集合 J は可算である。

このとき、<x, e_i> ≠ 0 となる i の集合 J は高々可算である。

>過去スレ010の156より、J は可算である。

過去スレ010の156より、J は高々可算である。

175 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/03(木) 15:48:40
>>169より、任意のHilbert空間 H には完全正規直交集合が存在する。
S と T をそれぞれ H の完全正規直交集合とすると S と T の濃度は一致する。
この事実の証明はやや面倒であるし、後で応用する機会があるとも思えないので
やや躊躇したが、成り行き上証明することにする。
そのため、集合の濃度についていくつかの補題と命題を述べる。

176 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/03(木) 15:52:10
定義
集合 A の濃度を |A| と書く。


177 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/03(木) 16:01:01
補題
自然数全体の集合を N とする。
即ち、N = {1, 2, ...} である。
A を有限集合とする。
|N + A| = |N| である。
ここで、N + A は N と A の直和集合である。

証明
簡単なので読者に任す。

178 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/03(木) 16:02:06
補題
自然数全体の集合を N とする。
即ち、N = {1, 2, ...} である。
|N + N| = |N| である。
ここで、N + N は N と N の直和集合である。

証明
簡単なので読者に任す。

179 :132人目の素数さん:2009/09/03(木) 16:07:38
>>153
毎日にちゃん見てるわけでもないからすぐに返事なんかできねえよ
どこがダメかとか中途半端とか
見てればわかるよ

何でも他人にきいて答えてくれると思うなよ

180 :132人目の素数さん:2009/09/03(木) 16:11:31
>>116
質問の仕方が間違ってるな

181 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/03(木) 16:12:20
補題
自然数全体の集合を N とする。
即ち、N = {1, 2, ...} である。
A を空でない有限集合とする。
|N×A| = |N| である。
ここで、N×A は N と A の直積集合である。

証明
|A| = n による帰納法による。

|N×{1}| = |N| は明らかである。

|N×{1, 2, ..., n - 1}| = |N| と仮定する。
N×{1, 2, ..., n} = N×{1, 2, ..., n - 1} + N×{n} である。
よって、>>178より、|N×{1, 2, ..., n - 1}| = |N| + |N| = |N|
証明終

182 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/03(木) 16:13:48
補題
自然数全体の集合を N とする。
即ち、N = {1, 2, ...} である。
|N×N| = |N| である。
ここで、N×N は N と N の直積集合である。

証明
簡単なので読者に任す。

183 :132人目の素数さん:2009/09/03(木) 16:30:27
>>179
だめだめ詐欺乙
知ったかは哲厨以上にうざい。消えれ。

184 :132人目の素数さん:2009/09/03(木) 16:32:28
>>183
> >>179
>だめだめ詐欺乙
>知ったかは哲厨以上にうざい。消えれ。

同感だね。

185 :132人目の素数さん:2009/09/03(木) 16:35:28
>>183
オマエが消えろ
知ったか厨め

186 :132人目の素数さん:2009/09/03(木) 16:37:58
>>184
一人二役乙

187 :132人目の素数さん:2009/09/03(木) 16:46:17
>>185
今時メル欄にレスとかはやんねーぞ、おっさんw

188 :132人目の素数さん:2009/09/03(木) 16:48:11
>>187
妄想乙

189 :たとえば直積群の既約表現だな:2009/09/03(木) 17:35:36
指標なんか使ってるだろ
ダメだよセンスわるい
お前らにはわからないだろうけどな

190 :132人目の素数さん:2009/09/03(木) 17:54:58
>>182
恩あるブルバキに逆らうなんて!

191 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/03(木) 18:02:02
補題
自然数全体の集合を N とする。
M を無限集合とする。
このとき、集合 S で |M| = |N×S| となるものが存在する。

証明
M の部分集合の集合 Ψ で次の条件(*)を満たすものを考える。

(*) Ψ の各元は可算集合であり、Ψ の相異なる元は交わらない。

このような Ψ の全体を Σ とする。
Σ は M のべき集合 P(M) の部分集合である。
M は無限集合であるから可算部分集合を含む。
よって、Σ は空でない。
Σ は包含関係により帰納的な順序集合になるから、Zornの補題より、
極大元 Ψ が存在する。
T = ∪{A; A ∈ Ψ} とおく。
M - T = U とおく。
U が無限集合であると仮定すると、U は可算集合を含み、Ψ の極大性に反する。
よって、U は有限集合である。
Ψ から任意の元 A を取り出す。
>>177より、A ∪ U は可算集合である。
Ψ の A を A ∪ U で置き変えたものを Φ とすれば、
M = Σ{A; A ∈ Φ} (直和)となる。
よって、|M| = |N×Φ| である。
証明終

192 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/03(木) 18:12:41
補題
M を無限集合とし、F を有限集合とする。
|M + F| = |M| である。

証明
M は無限集合だから可算集合 A を含む、
B = M - A とおけば、|M| = |B| + |A| である。

|M + F| = |B| + |A| + |F|
= |B| + |A|  ← >>177より
= |M|
証明終

193 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/03(木) 18:23:58
補題
M を無限集合とし、S を M の無限部分集合と同じ濃度の集合とする。
このとき、|M| + |S| = |M| である。

証明
>>191より、|S| = |N×T| となる集合 T が存在する。
S は M の無限部分集合 A と同じ濃度とする。
B = M - A とおけば、
|M| = |B| + |A| = |B| + |S| = |B| + |N×T|

よって、
|M| + |S| = |B| + |N×T| + |S| = |B| + |N×T| + |N×T|
= |B| + |(N + N)×T|
= |B| + |N×T|  ← >>178より
= |M|

証明終

194 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/03(木) 18:27:52
定義
集合 A から B への単射が存在するとき |A| ≦ |B| と書く。
|A| ≦ |B| かつ |A| ≠ |B| のとき |A| < |B| と書く。

195 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/03(木) 18:30:24
>>194への補足

|A| ≦ |B| は |B| ≧ |A| とも書く。

196 :なるほど:2009/09/03(木) 18:32:07
ヒルベルト空間初等理論を写すつもりか

197 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/03(木) 18:36:10
定理
A と B を集合とする。
|A| ≦ |B| かつ |A| ≧ |B| なら |A| = |B| である。

証明
A が有限集合のときは明らかであるから、A は無限集合とする。
|A| ≦ |B| だから B も無限集合である。
>>193より、|A| = |A| + |B| = |B|
証明終

198 :132人目の素数さん:2009/09/03(木) 18:38:59


199 :132人目の素数さん:2009/09/03(木) 18:51:10
>>189
とりあえず俺のコーヒーを返せ

200 :132人目の素数さん:2009/09/03(木) 18:55:00
>>199こーしーって完備性のことか?
返さないよ。

201 :132人目の素数さん:2009/09/03(木) 18:58:50
111 :132人目の素数さん:2009/09/01(火) 19:36:40
アーベル群の無限次元既約表現の使い方について


202 :132人目の素数さん:2009/09/03(木) 19:49:51
>>189
>指標なんか使ってるだろ

有限群の表現に指標使うのは当然なわけだが


203 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/03(木) 20:04:28
定理
M を無限集合とする。
|M×M| = |M| である。

証明
部分集合 A と A から A×A への全単射 f の組 (A, f) 全体の
集合 Ψ を考える。
M の無限M は可算集合 A を含む。
>>182より、|A×A| = |A| である。
よって、Ψ は空でない。
(A, f), (B, g) ∈ Ψ で、 A ⊂ B かつ g は f の拡張となっているとき
(A, f) ≦ (B, g) と定義すると Ψ は帰納的な順序集合である。
Zornの補題より Ψ には極大元 (S, h) が存在する。
T = M - S とおく。
|T| ≦ |S| なら>>193より、|M| = |S| + |T| = |S| となって、
|M×M| = |S×S| = |S| = |M| である。
よって、この場合は本定理が成り立つ。

|T| > |S| と仮定する。
T は S と同じ濃度の部分集合 U を含む。

(S + U)×(S + U) = S×S + S×U + U×S + U×U
|S×U + U×S + U×U| = |S×S| + |S×S| + |S×S|
= |S| + |S| + |S|
= |S|  ← >>193より

よって |(S + U)×(S + U)| = |S×S + U| である。
よって、h: S → S×S の拡張となる全単射 g: S + U → (S + U)×(S + U) が
存在し、(S, h) の極大性に反する。
証明終

204 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/03(木) 20:12:33
命題
M を無限集合、A を空でない集合で、|M| ≧ |A| とする。
このとき、|M×A| = |M| である。

証明
|M×M| ≧ |M×A| ≧ |M| である。
>>203より、|M×M| = |M| であるから、|M×A| ≦ |M| となる。
よって、>>197より、|M×A| = |M| である。
証明終

205 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/03(木) 20:35:39
命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のHilbert空間(過去スレ010の600)とする。
S と T をそれぞれ E の完全正規直交集合とすると S と T の濃度は一致する。

証明
S が有限の場合は、>>155より S は E の線型空間としての基底であるから
|S| = |T| は明らかである。

よって S は無限集合であるとする。このとき T も無限集合である。
S の元 x に対して、>>162より <x, y> ≠ 0 となる T の元 y の集合 T_x は
高々可算である。
>>151より、S^⊥ = {0} であるから T の任意の元 y に対して
<x, y> ≠ 0 となる x ∈ S がある。
よって、T = ∪T_x, x ∈ S である。
よって、|T| ≦ |S×N| である。ここで N は自然数全体の集合である。

>>204より、|S×N| = |S| であるから |T| ≦ |S| である。
同様に |T| ≧ |S| であるから >>197より |S| = |T| である。
証明終

206 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/03(木) 20:38:21
定義
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のHilbert空間(過去スレ010の600)とする。
>>205より E の完全正規直交集合の濃度は完全正規直交集合の選び方によらない。
これを E のHilbert次元と呼ぶ。

207 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/03(木) 20:44:39
>>191, >>197, >>203などは現代数学概説T(岩波)による。

208 :132人目の素数さん:2009/09/03(木) 22:34:03
>>202
> >>189
> >指標なんか使ってるだろ
>有限群の表現に指標使うのは当然なわけだが

だからさ、189は知ったかチャンなんだろ。

209 :132人目の素数さん:2009/09/04(金) 02:56:26
悲しみのKummerさんへ

2chに毎日書き込んで〜〜wwwwwwwwwwwwwww
あなた明日が見えますか〜〜wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

210 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/04(金) 06:52:31
定義
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の前Hilbert空間(過去スレ010の598)とする。
f: E → F を線型写像とする。
f が全単射で、任意の x, y ∈ E に対して <f(x), f(y)> = <x, y> となるとき
f を前Hilbert空間 E から前Hilbert空間 F への同型写像または同型と呼ぶ。

同型が存在するとき E と F は前Hilbert空間として同型であると言う。
同型写像の逆写像は明らかに同型写像であるから、この関係は同値関係である。

211 :132人目の素数さん:2009/09/04(金) 06:53:58
お前の方が哀れに見えるが

212 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/04(金) 06:55:57
命題
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の前Hilbert空間(過去スレ010の598)とする。
f: E → F を線型写像とする。
f が全単射で、任意の x ∈ E に対して |f(x)| = x となるとき
f は前Hilbert空間としての同型(>>210)である。

証明
Polarization formula(>>138)より明らかである。

213 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/04(金) 06:57:36
>>212の訂正

命題
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の前Hilbert空間(過去スレ010の598)とする。
f: E → F を線型写像とする。
f が全単射で、任意の x ∈ E に対して |f(x)| = |x| となるとき
f は前Hilbert空間としての同型(>>210)である。

証明
Polarization formula(>>138)より明らかである。

214 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/04(金) 08:18:25
命題
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上のHilbert空間(過去スレ010の600)とする。
E と F が同型(>>210)であるためには E と F のHilbert次元(>>206)が
一致することが必要十分である。

証明
必要性は明らかである。
十分性を証明する。

(e_i), i ∈ I を E の完全正規直交族(>>149, >>147)とする。
仮定より F には I を添字集合とする完全正規直交族 (f_i), i ∈ I が
存在する。

>>168より、E の任意の元 x に対して (<x, e_i>e_i), i ∈ I は総和可能
であり、x = Σ<x, e_i>e_i となる。
>>163より、(|<x, e_i>|^2), i ∈ I は総和可能である。
よって、再び>>163より、(<x, e_i>f_i), i ∈ I は F において総和可能
である。
f(x) = Σ<x, e_i>f_i として、写像 f: E → F を定義する。
任意の x, y ∈ E と任意の α, β ∈ K に対して
f(αx + βy) = Σ<αx + βy, e_i>f_i = Σ(α<x, e_i> + β<y, e_i>)f_i
= αΣ<x, e_i>f_i + βΣ<y, e_i>f_i = αf(x) + βf(y)

よって、f は線型である。

(続く)

215 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/04(金) 08:19:51
>>214の続き

Parsevalの等式(>>170)より、|f(x)|^2 = Σ|<x, e_i>|^2 = |x|^2
よって、|f(x)| = |x| である。
これから f は単射であることがわかる。

>>168より、F の任意の元 y に対して (<y, f_i>f_i), i ∈ I は総和可能
であり、y = Σ<y, f_i>f_i となる。
>>163より、(|<y, f_i>|^2), i ∈ I は総和可能である。
よって、再び>>163より、(<y, e_i>e_i), i ∈ I は E において総和可能
である。
x = Σ<y, f_i>e_i とおく。
>>164より、<x, e_i> = <y, f_i> である。
よって、f(x) = y である。
即ち、f は全射である。

>>212より 、f はHilbert空間としての同型である。
証明終

216 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/04(金) 08:48:12
定義
I を任意の集合とする。
I に離散位相を入れて局所コンパクト空間とみなす。
μ を I の各点 x で μ({x}) = 1 となるRadon測度とする。
K を実数体または複素数体とする。
過去スレ011の41より L^2(I, K, μ) は K 上のHilbert空間である。
これを l^2(I, K) または l^2(I) と書く。

217 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/04(金) 09:17:41
I を任意の集合とする。
I に離散位相を入れて局所コンパクト空間とみなす。
μ を I の各点 x で μ({x}) = 1 となるRadon測度とする。
f: I → [0, +∞) を任意の関数とする。

f は連続であるからμ可測である。
よって、∫ f dμ = Σf(i), i ∈ I である。
ここで、右辺は I の有限部分集合 J における f の部分和 Σf(j), j ∈ I 全体の
上限である。

よって、f がμ可積分であるためには Σf(i), i ∈ I が
総和可能(過去スレ006の147)であることが必要十分である。

よって、f が X から (-∞, +∞) への関数とき、
f がμ可積分であるためには Σf(i), i ∈ I が
総和可能であることが必要十分である。

よって、f が X から複素数体への関数とき、
f がμ可積分であるためには Σf(i), i ∈ I が
総和可能であることが必要十分である。

218 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/04(金) 09:19:29
>>217の訂正
>よって、f が X から (-∞, +∞) への関数とき、

よって、f が I から (-∞, +∞) への関数とき、

>よって、f が X から複素数体への関数とき、

よって、f が I から複素数体への関数とき、

219 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/04(金) 09:23:52
K を実数体または複素数体とする。
I を任意の集合とする。
f: I → K を任意の関数とする。

>>217より、f ∈ l^2(I, K) (>>216)となるためには
Σ|f(i)|^2, i ∈ I が総和可能であることが必要十分である。

220 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/04(金) 09:41:44
K を実数体または複素数体とする。
I を任意の集合とする。
f, g ∈ l^2(I, K) (>>216)に対して
<f, g> = ∫ f(i)g(i)~ dμ(i) = Σf(i)g(i)~, i ∈ I である。

i ∈ I に対して e_i ∈ l^2(I, K) を
i = j のとき、e_i(j) = 1
i ≠ j のとき、e_i(j) = 0
で定義する。
明らかに (e_i), i ∈ I は l^2(I, K) の正規直交族である。

f ∈ l^2(I, K) に対して <f, e_i> = 0 が任意の i ∈ I に対して
成り立つとすると、<f, e_i> = f(i) であるから f = 0 である。
よって、>>152より、(e_i), i ∈ I は完全である。
よって、l^2(I, K) のHilbert次元(>>206)は I の濃度に等しい。

よって、>>214より、任意のHilbert空間は、ある l^2(I, K) に同型である。

221 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/04(金) 10:08:49
定義
X を距離空間とする。
X の高々可算な部分集合 A で X において稠密なものが存在するとき
X を可分(separable)という。

222 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/04(金) 10:22:01
命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の分離的(過去スレ010の592)な前Hilbert空間(過去スレ010の598)で
可分(>>221)とする。
このとき、E には高々可算な完全(>>149)正規直交集合(>>147)が存在する。

証明
E は可分であるから、 E の高々可算な部分集合 A で E において稠密なものが
存在する。
A で生成される E の線型部分空間を V とする。
Gram-Schmidtの方法(>>155)により、V に含まれる正規直交集合 S で
A と同じ濃度を持ち、V を生成するものが存在する。
V は E で稠密であるから S は完全である。
証明終

223 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/04(金) 10:37:00
>>222の証明は間違いなので訂正する。

命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の分離的(過去スレ010の592)な前Hilbert空間(過去スレ010の598)で
可分(>>221)とする。
このとき、E には高々可算な完全(>>149)正規直交集合(>>147)が存在する。

証明
E は可分であるから、 E の高々可算な部分集合 A で E において稠密なものが
存在する。
A で生成される E の線型部分空間を V とする。
V の基底は高々可算である。
よって、Gram-Schmidtの方法(>>155)により、V に含まれる高々可算な
正規直交集合 S で、V を生成するものが存在する。
V は E で稠密であるから S は完全である。
証明終

224 :132人目の素数さん:2009/09/04(金) 14:59:11
>>208
>>202
>有限群の表現に指標使うのは当然なわけだが
>だからさ、189は知ったかチャンなんだろ。

おまえらのレベルはその程度なのよ。ガキンチョは
スッコンデな。 言ってもわからないだろからな。
コンパクトじゃない群の直積で既約表現どうなるか考えてからものをいえ。

225 :132人目の素数さん:2009/09/04(金) 15:12:49
朝のはよから熱心な書き込みですな
今日は幼稚園お休みですか?
それにしても無駄に細かい
積分より病気が進行してる感じがするぞ

226 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/04(金) 15:53:48
命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の前Hilbert空間(過去スレ010の600)とする。
M を E の部分線型空間で、E = M + M^⊥ (直和) とする。
p: E → M をこの直和分割の射影とする。

このとき、任意の x ∈ E と任意の y ∈ M に対して、
|x - y|^2 = |x - p(x)|^2 + |p(x) - y|^2

これから特に、
|x - y| ≧ |x - p(x)| となる。

即ち、|x - p(x)| は x と M の点との距離の最短である。

証明
x - p(x) ∈ M^⊥
p(x) - y ∈ M
よって、<x - p(x), p(x) - y> = 0
よって、ピタゴラスの公式(>>159)より、
|x - y|^2 = |x - p(x)|^2 + |p(x) - y|^2
証明終

227 :132人目の素数さん:2009/09/04(金) 16:19:07
>>224
コンパクト群の表現の話をしてるときにコンパクトじゃない群の表現を
持ち出してSerreの本はダメと言っても通らないわけだが

228 :132人目の素数さん:2009/09/04(金) 16:19:19
>>224
202は有限群の表現って言ってるのに何でコンパクトじゃない群なの?
馬鹿なの?死ぬの?

229 :132人目の素数さん:2009/09/04(金) 16:21:28
>>227>>228
まあお前らそのレベルだから
死ね

230 :132人目の素数さん:2009/09/04(金) 16:27:15
>>227>>228
どうせ言ってもわからないだろうけど
セールの本が古いということを理解するのに
証明の感覚の古さをいってるわけだ
お前らがわかるのはせいぜいセールが書いてくれた証明
自分の力じゃ証明できないからな
だからコンパクトじゃない群で通用する証明ができる程度に
なってから発言しろよと言ってるんだよ
わかるかなガキども

231 :132人目の素数さん:2009/09/04(金) 16:30:18
だいたいやり方が古いからセンスがないとか言ってる人の方がセンスがない。
古いやり方が時を経て見直されるなんてことは何度もあっただろうに。

232 :132人目の素数さん:2009/09/04(金) 16:31:48
>>231
バカが一般論でものを言うな

233 :132人目の素数さん:2009/09/04(金) 16:33:28
>>230
非コンパクトに通用しないからだめとかw
非可換に通用しないからだめだって言ってるのと
同レベルの発言てことに気付けw

234 :132人目の素数さん:2009/09/04(金) 16:35:07
>>233
全然ちがう
お前らの実力を試してるだけだよ
偉そうにいうならちゃんと自分で証明してからにしろよ

235 :132人目の素数さん:2009/09/04(金) 16:37:12
>>233
いっとくけど無条件じゃいえないからな
成立するための条件もわからなきゃいかんで

236 :132人目の素数さん:2009/09/04(金) 16:55:53
どうでもいい、黙れ

237 :132人目の素数さん:2009/09/04(金) 17:13:37
>>234
お前は子供かw
この問題が解けないからお前はだめだとか、そんなのは水掛け論にしかならんの。
お前の言う直積群の既約表現の議論が、表現論の中でどのような位置づけにあって、
従って指標を用いて証明しているセールの本は現代において読む価値が薄い
っていうことなら、そこからはじめて議論が始まるんだよ。
問題の出し合いをしたいなら他スレに行け。

238 :KingGold ◆3waIkAJWrg :2009/09/04(金) 17:14:41
人類への念の無許可知による介在を阻止せよ。

239 :132人目の素数さん:2009/09/04(金) 17:20:07
>>237
どこまでもバカだな
問題の出し合いなんかしてないだろ
オマエに発言する実力がないことを証明しただけだ
オマエには議論する資格はないな

もういいから黙っておけ恥さらし

240 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/04(金) 17:54:17
補題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のHilbert空間とする。
M を E の閉部分線型空間とする。
過去スレ010の607より、E = M + M⊥ (直和) となる。
p: E → M をこの直和分割の射影とする。

M はHilbert空間であるから、>>169より、M における
完全正規直交族 (e_i), i ∈ I が存在する。
>>165より、E の任意の元 x に対して (<x, e_i>e_i), i ∈ I は総和可能
である。

このとき、p(x) = Σ<x, e_i>e_i), i ∈ I である。

証明
y = Σ<x, e_i>e_i, i ∈ I とおく。
M は E の閉集合だから y ∈ M である。

>>164より、任意の j ∈ I に対して
<x - y, e_j> = <x, e_j> - <Σ<x, e_i>e_i, e_j> = <x, e_j> - <x, e_j> = 0

M は集合 {e_i; i ∈ I} で生成される E の線型部分空間の
E における閉包であるから、Hermite 形式 < , > の連続性(>>150)より、
x - y ∈ M^⊥ である。
x = y + (x - y) であるから y = p(x) である。
証明終

241 :132人目の素数さん:2009/09/04(金) 17:57:51
きたきた
>過去スレ010の607より、E = M + M⊥ (直和) となる。
ふえ〜どんな過去だ


242 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/04(金) 18:14:51
命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の高々加算なHilbert次元のHilbert空間とする。
このとき、E は可分(>>221)である。

証明
K が実数体の場合も同様であるので、K は複素数体として証明する。
(e_i), i = 1, 2, ... を E の完全(>>149)な正規直交列(>>147)とする。
各整数 k ≧ 1 に対して、A_k を
(r_1 + is_1)e_1 + ... (r_k + is_k)e_k の全体とする。
ここで、各 i, 1 ≦ i ≦ k に対して r_i と s_i は有理数である。

A_k で生成される E の線型空間を M_k とする。
M_k は有限次元の分離的な前Hilbert空間であるから、
>>145よりHilbert空間である。
よって過去スレ010の607より、E = M_k + (M_k)^⊥ (直和) となる。
p_k: E → M_k をこの直和分割の射影とする。
(e_i), i = 1, 2, ... は完全だから、
E の任意の元 x と任意の ε > 0 に対して、整数 k ≧ 1 があり、
|x - y| < ε/2 となる y ∈ M_k がある。
>>226より、|x - y| ≧ |x - p_k(x)| である。
よって、|x - p_k(x)| < ε/2 となる。

一方、>>240より、p(x) = Σ<x, e_i>e_i, i = 1, 2, ..., k である。
|Σ(<x, e_i>e_i - γ_i)e_i| < ε/2 となる γ_i, 1 ≦ i ≦ k がある。
ここで、γ_i = r_i + is_i で r_i と s_i は有理数である。

z = Σγ_ie_i, i = 1, 2, ..., k とおけば、z ∈ A_k である。
|x - z| ≦ |x - p_k(x)| + |p_k(x) - z| < ε/2 + ε/2 = ε
よって、A = ∪A_k, k = 1, 2, ... とおけば A は E で稠密である。
A は高々加算であるから E は可分(>>221)である。
証明終

243 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/04(金) 18:17:23
>>242
>E を K 上の高々加算なHilbert次元のHilbert空間とする。

E を K 上の高々可算なHilbert次元(>>206)のHilbert空間とする。

244 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/04(金) 18:56:06
次の命題は過去スレ010の607の特別な場合だが簡単な別証があるので紹介する。

命題
K を実数体または複素数体とし、E を K 上の有限次Hilbert空間とする。
M を E の線型部分空間とする。
E = M + M^⊥ (直和) となる。

証明
M の K 上の次元を r とする。
Gram-Schmidtの方法(>>155)により M には正規直交列 e_1, ..., e_r が存在する。
>>154より、e_1, ..., e_r は一次独立であるから M の基底である。

x を E の任意の元とする。
y = Σ<x, e_i>e_i は M の元である。

任意の j, 1 ≦ j ≦ r に対して、
<x - y, e_j> = <x, e_j> - <x, e_j> = 0
よって、x - y ∈ M^⊥ である。
即ち、x = y + (x - y) ∈ M + M^⊥
よって、E = M + M^⊥ となる。

一方、z ∈ M ∩ M^⊥ とすると |z|^2 = <z, z> = 0 であるから z = 0
即ち、M ∩ M^⊥ = {0} である。
よって、M + M^⊥ は直和である。
証明終

245 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/04(金) 19:20:19
定義
K を実数体または複素数体とし、E と F を K 上の線型空間とする。
写像 f: E → F が次の性質をもつとき、f を半線型写像(semilinear)と呼ぶ。

任意の x, y ∈ E と任意の α ∈ K に対して、
1) f(x + y) = f(x) + f(y)
2) ψ(αx) = α~ψ(x)

ここで、α~ は α の複素共役である。

246 :132人目の素数さん:2009/09/04(金) 19:25:08
なんでセミ?

247 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/04(金) 19:29:46
次の命題はRieszの定理(過去スレ011の20)の特別な場合だが
簡単な別証があるので紹介する。

命題
K を実数体または複素数体とし、E を K 上の有限次Hilbert空間とする。
f を E 上の線型形式とする。
f(x) = <x, y> が任意の x ∈ E に対して成り立つような y ∈ E が
一意に存在する。

証明
y ∈ E に対して、x → <x, y> は E 上の線型形式である。
この線型形式を、δ_y と書く。

ψ: y → δ_y は E から Hom(E, K) への半線型写像(>>245)である。
よって、ψ(E) は Hom(E, K) の線型部分空間である。
ここで、Hom(E, K) は E 上の線型形式全体の作る線型空間である。

ψ(y) = 0 とすると、δ_y = 0 であるから δ_y(y) = <y, y> = 0 となって
y = 0 である。
よって、ψ は単射である。

一方、Hom(E, K) の K 上の次元は E の K 上の次元と等しいから
ψ は全単射である。
よって、本命題の主張が得られる。
証明終

248 :132人目の素数さん:2009/09/04(金) 19:32:45
自動証明検証システム Mizar や ら な い か ?

249 :132人目の素数さん:2009/09/04(金) 19:44:39
>>239
>どこまでもバカだな

ホモの自己紹介乙

250 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/04(金) 20:23:04
命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の有限次の分離的な前Hilbert空間(過去スレ010の598)とする。
E の K 上の次元を n とする。
E は K^n と位相同型である。
ここで、K^n には K の直積位相を入れるものとする。

証明
Gram-Schmidtの方法(>>155)により E には正規直交列 e_1, ..., e_n が存在する。
>>154より、e_1, ..., e_n は一次独立であるから E の基底である。

各 i (1 ≦ i ≦ n) に対して、K^n の元 x = (x_1, ..., x_n) に x_i を
対応させる写像を p_i とする。

x ∈ K^n に対して Σp_i(x)e_i を対応させる写像を f とする。

|f(x) - f(y)| = |Σp_i(x)e_i - Σp_i(y)e_i| = |Σ(p_i(x) - p_i(y))e_i|
≦ Σ|p_i(x) - p_i(y)|

よって、f は連続である。

E の元 x に (<x, e_1>, ..., <x, e_n>) ∈ K^n を対応させる写像を g とする。
g は f の逆写像である。
各 i に対して x → <x, e_i> は連続である(>>150)から g は連続である。
よって、f: K^n → E は位相同型である
証明終

251 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/04(金) 20:37:13
>>250の訂正

命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の有限次の分離的な前Hilbert空間(過去スレ010の598)とする。
E の K 上の次元を n とする。
K^n には、K 上の有限次線型空間としての標準位相(過去スレ013の275)をいれる。
このとき、E は K^n と位相線型空間として同型である。

証明
Gram-Schmidtの方法(>>155)により E には正規直交列 e_1, ..., e_n が存在する。
>>154より、e_1, ..., e_n は一次独立であるから E の基底である。

各 i (1 ≦ i ≦ n) に対して、K^n の元 x = (x_1, ..., x_n) に x_i を
対応させる写像を p_i とする。

x ∈ K^n に対して Σp_i(x)e_i を対応させる線型写像を f とする。

|f(x) - f(y)| = |Σp_i(x)e_i - Σp_i(y)e_i| = |Σ(p_i(x) - p_i(y))e_i|
≦ Σ|p_i(x) - p_i(y)|

よって、f は連続である。

E の元 x に (<x, e_1>, ..., <x, e_n>) ∈ K^n を対応させる線型写像を
g とする。
g は f の逆写像である。
各 i に対して x → <x, e_i> は連続である(>>150)から g は連続である。
よって、f: K^n → E は位相線型空間として同型である
証明終

252 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/04(金) 20:41:12
>>145の別証

命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の有限次の分離的な前Hilbert空間(過去スレ010の598)とすると、
E はHilbert空間(過去スレ010の600)である。

証明
>>251より、E は K^n と位相線型空間として同型である。
K は完備だから過去スレ010の255より、K^n も完備である。
よって、E は完備である。
証明終

253 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/04(金) 21:59:45
命題
E を実数体または複素数体上のHilbert空間とする。
E 上のユニタリ変換(>>140)全体は群をなす。

証明
U: E → E と V: E → E をユニタリ変換とする。
>>139の 2) より、UV は全射であり、
任意の x ∈ E に対して |UV(x)| = |V(x)| = |x|
よって、UV はユニタリ変換である。

>>139の 3) より、U は全単射であり、逆写像 U^(-1) が存在する。
>>139の 2) より、任意の x ∈ E に対して |U(x)| = |x| である。
よって、x を U^(-1)(x) で置き換えて、
|UU^(-1)(x)| = |U^(-1)(x)|

この左辺は |x| だから U^(-1) はユニタリ変換である。
証明終

254 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/04(金) 22:01:17
定義
E を実数体または複素数体上のHilbert空間とする。
E 上のユニタリ変換(>>140)全体のなす群(>>253)を U(E) と書く。

255 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/04(金) 22:11:51
定義
G を位相群とし、E を実数体または複素数体上のHilbert空間とする。
G から U(E) (>>254)への抽象群としての準同型 U を
G の E における(抽象群としての)ユニタリ表現と言う。

G×E から E への写像 (s, x) → U(s)x が連続なとき、
U を E における連続なユニタリ表現と言う。

256 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/04(金) 22:47:21
命題
G をコンパクト群とし、E を実数体または複素数体 K 上の
有限次ベクトル空間とする。
U を E における連続な線型表現(>>66)とする。
このとき K 上の有限次Hilbert空間 F と、
G の F における連続なユニタリ表現(>>255) V があり、
U は V と同値(>>71)になる。

証明
E の K 上の基底 e_1, ..., e_n を任意に選ぶ。
E の元 x = Σx_ie_i と y = Σy_ie_i に対して
f(x, y) = Σx_i(y_i)~ とおく。
f は明らかに正値Hermite形式(過去スレ010の593)である。
f(x, x) = 0 なら x = 0 であるから f は分離的(過去スレ010の592)である。
よって、f により E は K 上の分離的な前Hilbert空間になる。
>>252 より、E は K 上のHilbert空間である。

>>251より、f により定まる E の位相は E の標準位相と一致する。
よって、x, y ∈ E に対して s → f(U(s)(x), U(s)(y)) は連続である。
よって、∫ f(U(s)(x), U(s)(y)) dμ(s) が意味を持つ。
ここで、μ は μ(G) = 1 となる G のHaar測度である。

g(x, y) = ∫ f(U(s)(x), U(s)(y)) dμ(s) とおく。
g は明らかに正値Hermite形式である。
g(x, x) = 0 とすると、
∫ f(U(s)(x), U(s)(x)) dμ(s) = ∫ |U(s)(x)|^2 dμ(s) = 0
よって、|U(s)(x)|^2 = 0 となり、U(s)(x) = 0となる。
U(s) は単射だから x = 0 である。
即ち、g は分離的である。
(続く)

257 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/04(金) 22:49:33
>256の続き

任意の t ∈ G に対して、
g(U(t)(x), U(t)(y)) = ∫ f(U(s)U(t)(x), U(s)U(t)(y)) dμ(s)
= ∫ f(U(st)(x), U(st)(y)) dμ(s) = ∫ f(U(s)(x), U(s)(y)) dμ(s)
= g(x, y)

よって、U(t) は g に関してユニタリ変換である。
>>251より、g により定まる E の位相は E の標準位相と一致する。
よって、t → U(t) は連続なユニタリ表現である。

E と g により定まるHilbert空間を F とし、V = U とすれば本命題の主張が得られる。
証明終

258 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/04(金) 23:12:23
>>79の別証

命題
G を局所コンパクト群とし、E を実数体または複素数体 K 上の
有限次ベクトル空間とする。
U を E における連続な線型表現(>>66)とする。
F を E の (U に関して) G-不変な部分空間(>>72)とする。
このとき、E = F + W (直和) となる G-不変な部分空間 W が存在する。

証明
>>256より、E はHilbert空間で、U は連続なユニタリ表現と仮定してよい。
>>244より、E = F + F^⊥ (直和) となる。

任意の s ∈ G と任意の x ∈ F^⊥ と任意の y ∈ F に対して
<U(s)(x), U(s)(y)> = <x, y>

この両辺の y を U(s^(-1))(y) ∈ F で置き換えれば、
<U(s)(x), y> = <x, U(s^(-1))(y)> = 0

よって、U(s)(x) ∈ F^⊥ である。
よって、F^⊥ は G-不変である。
W = F^⊥ とすればよい。
証明終

259 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/04(金) 23:13:58
>>258の訂正

>>79の別証

命題
G をコンパクト群とし、E を実数体または複素数体 K 上の
有限次ベクトル空間とする。
U を E における連続な線型表現(>>66)とする。
F を E の (U に関して) G-不変な部分空間(>>72)とする。
このとき、E = F + W (直和) となる G-不変な部分空間 W が存在する。

証明
>>256より、E はHilbert空間で、U は連続なユニタリ表現と仮定してよい。
>>244より、E = F + F^⊥ (直和) となる。

任意の s ∈ G と任意の x ∈ F^⊥ と任意の y ∈ F に対して
<U(s)(x), U(s)(y)> = <x, y>

この両辺の y を U(s^(-1))(y) ∈ F で置き換えれば、
<U(s)(x), y> = <x, U(s^(-1))(y)> = 0

よって、U(s)(x) ∈ F^⊥ である。
よって、F^⊥ は G-不変である。
W = F^⊥ とすればよい。
証明終

260 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/05(土) 08:32:26
定義
G を位相群とし、E を実数体または複素数体上の分離位相線形空間とする。
U を G の E における連続な線型表現(>>66)とする。
E ≠ {0} かつ E の G-不変(>>72)な閉部分線形空間は {0} と E のみとする。
このとき、U および E を既約と言う。

261 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/05(土) 08:37:40
定義
G を位相群とし、E を実数体または複素数体上の分離位相線形空間とする。
U を G の E における連続な線型表現(>>66)とする。
E ≠ {0} かつ U が既約(>>260)でないとき U および E を可約と言う。

262 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/05(土) 08:59:35
命題
G をコンパクト群とし、E を実数体または複素数体 K 上の
有限次ベクトル空間とする。
U を E における連続な線型表現(>>66)とする。
U は既約表現の直和(>>84)となる。

証明
dim E による帰納法による。
dim E = 1 のときは U は既約である。

dim E = n ≧ 2 とする。
E が既約でないとすると、E には G-不変な部分線型空間 F で
F ≠ 0 かつ F ≠ E となるものが存在する。

>>79(およびその訂正>>80)より、E = F + W (直和) となる。
ここで、W は G-不変である。

dim F < dim E かつ dim W < dim E であるから
帰納法の仮定より F および W はそれぞれいくつかの既約な
G-不変部分線型空間の直和になる。
よって、E もいくつかの既約な G-不変部分線型空間の直和になる。
証明終

263 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/05(土) 09:56:04
補題
X と Y と Z を位相空間とする。
f: X → Y を全射連続写像とし、
g: Y → Z を写像とする。

gfが開写像であれば g も開写像である。

証明
U を Y の開集合とする。
f は連続であるから f^(-1)(U) は X の開集合である。
f は全射であるから f(f^(-1)(U)) = U である。
gf は開写像であるから gf(f^(-1)(U)) = g(U) は Z の開集合である。
よって、g は開写像である。
証明終

264 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/05(土) 09:58:02
補題
X と Y と Z を位相空間とする。
f: X → Y をidentification(過去スレ013の467)とし、
g: Y → Z を全単射でとする。

gfが連続開写像であれば g は位相同型である。

証明
f は全射連続写像であるから、>>263より、g は開写像である。
一方、過去スレ013の468より、g は連続である。
よって、g は位相同型である。
証明終

265 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/05(土) 10:16:13
命題
(G_i), i ∈ I を位相群の族とする。
(H_i), i ∈ I を位相群の族で、各 H_i は G_i の正規部分群であるとする。
G = ΠG_i
H = ΠH_i
とおく。
各 i に対して h_i: G_i → G_i/H_i を標準射とする。
h: G → ΠG_i/H_i を (h_i), i ∈ I の積とする。

g: G/H → ΠG_i/H_i を h から定まる写像とする。

このとき、g は位相群としての同型である。

証明
f: G → G/H を標準射とする。
h = gf である。

f はidentification(過去スレ013の467)である。
g は抽象群としての同型である。

各 h_i は開写像で全射であるから h は開写像である。
h は連続でもあるから>>264より、g は位相同型である。
証明終

266 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/05(土) 10:38:32
定義
G を群とし、E を可換体 K 上の線形空間とする。
写像 f: G × E → E が与えられ、以下の (1) と (2) を満たすとする。
ただし、f(s, x) を sx と書く。

(1) ex = x が任意の x ∈ E に対して成り立つ。
ここで e は G の単位元である。

(2) s(tx) = (st)x が任意の s, t ∈ G と任意の x ∈ E に対して成り立つ。

(3) s(x + y) = sx + sy が任意の s ∈ G と任意の x, y ∈ E に対して成り立つ。

(4) s(αx) = α(sx) が任意の s ∈ G と任意の x ∈ E と任意の α ∈ K に
対して成り立つ。

このとき、 E を K 上の G-線型空間と呼ぶ。

267 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/05(土) 10:58:12
定義
G を位相群とし、E を実数体または複素数体 K 上の位相線形空間とする。
さらに E は K 上の G-線型空間(>>266)であるとする。
写像 f: G × E → E を f(s, x) = sx で定まるものとする。
f が連続のとき E を K 上の連続な G-線型空間と呼ぶ。

268 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/05(土) 11:03:45
>>267の訂正

定義
G を位相群とし、E を実数体または複素数体 K 上の位相線形空間とする。
さらに E は K 上の G-線型空間(>>266)であるとする。
写像 f: G × E → E を f(s, x) = sx で定まるものとする。
f が連続のとき E を K 上の G-位相線型空間と呼ぶ。

269 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/05(土) 11:06:34
G を群とし、 E を K 上の G-線型空間(>>266)とする。
s ∈ G に対して U(s): x → sx は E から E への線型写像である。

s, t ∈ G と x ∈ E に対して U(s)(U(t)x) = s(tx) = (st)x = U(st)x
よって、U(st) = U(s)U(t)

ex = x であるから U(e) = 1

よって、U(s^(-1))U(s) = U(s)U(s^(-1)) = U(ss^(-1)) = U(e) = 1
即ち U(s) は可逆である。

よって、s → U(s) は G の E における線型表現(>>65)である。

逆に、G の E における線型表現 U が与えられると、
s ∈ G と x ∈ E に対して sx = U(s)x と定義することにより
E は K 上の G-線型空間となる。

よって、G-線型空間と G の線型表現とは本質的には同じものである。

さらに G は位相群で、E は実数体または複素数体 K 上の位相線形空間とする。
このとき E に K 上の G-位相線形空間(>>268)の構造を与えることと、
G の E における連続な線型表現(>>66)を考えることは本質的には同じものである。

270 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/05(土) 11:12:17
定義
G を位相群とし、K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の G-位相線型空間(>>268)とする。

f: E → F を K 上の線型写像で連続とする。

任意の s ∈ G と任意の x ∈ E に対して、f(sx) = sf(x)
となるとき、f を G-位相線型空間としての準同型または射と呼ぶ。

271 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/05(土) 11:48:00
G を位相群とし、K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の G-位相線型空間(>>268)とする。
E の G-不変な部分線型空間は>>72と同様に定義される。
E のG-不変な部分線型空間は E のG-部分線型空間とも言う。

272 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/05(土) 11:54:16
G を位相群とし、K を実数体または複素数体とする。
E をG-位相線型空間(>>268)とする。
E の既約/可約は、>>260, >>261と同様に定義される。

273 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/05(土) 12:20:30
命題
G を位相群とし、K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の G-位相線型空間(>>268)とする。
F を G-部分線型空間(>>271)とする。

このとき、E/F はG-位相線型空間(>>268)である。

証明
p: E → E/F を標準写像とする。
f: G×(E/F) → E/F を f(s, p(x)) = p(sx) で定義する。
f が連続であることを証明すればよい。

h: G×E → E を h(s, x) = sx で定義する。
E は G-位相線型空間であるから連続である。
p は連続であるから ph: G×E → E/F は連続である。

g: G×E → G×(E/F) を (s, x) → (s, p(x)) で定義する。

ph(s, x) = p(sx)
fg(s, x) = f(s, p(x)) = p(sx)
よって、ph = fg である。
ph は連続であるから、fg は連続である。

一方、>>265より、(G×E)/({e}×F) と G×(E/F) は位相群として同型である。
よって、g はidentification(過去スレ013の467)である。

fg: G×E → G×(E/F) → E/F

fg は連続であるから、過去スレ013の468より、f は連続である。
証明終

274 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/05(土) 13:32:55
G を位相群とし、K を実数体または複素数体とする。
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上有限次元の分離的なG-位相線型空間とする。
>>144より、E の位相は E の標準位相(過去スレ013の275)と一致する。
F を E の部分線型空間とする。
F は完備であるから E の閉部分線型空間である。
よって、E/F は分離的である。
よって、E/F の位相は標準位相である。

275 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/05(土) 13:36:50
定義
G を位相群とし、K を実数体または複素数体とする。
M を K 上の有限次元の分離的 G-位相線型空間(>>268)とする。

M の G-部分線型空間の列
M = M_0 ⊃ M_1 ⊃ M_2 ... ⊃ M_n = 0
があるとする。

>>273>>274より、各 M_i/M_(i+1) は分離的 G-位相線型空間であるが、
これは既約(>>272)とする。

このとき、列 (M_i) を M のG-組成列または組成列と呼ぶ。
n をこの組成列の長さという。

276 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/05(土) 13:51:00
命題
G を位相群とし、K を実数体または複素数体とする。
M と N を K 上の有限次元の分離的 G-位相線型空間(>>268)とする。
f: M → N をG-位相線型空間としての準同型(>>270)で全射とする。
このとき M/Ker(f) は標準的に N とG-位相線型空間として同型である。

証明
>>273より、M/Ker(f) はG-位相線型空間である。
M/Ker(f) は N と K 上の線型空間として標準的に同型である。
>>274より、両者とも標準位相であるから位相線型空間として同型である。
よって、本命題の主張が得られる。
証明終

277 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/05(土) 13:52:31
命題
G を位相群とし、K を実数体または複素数体とする。
M と N を K 上の有限次元の分離的 G-位相線型空間(>>268)とする。
f: M → N をG-位相線型空間としての準同型(>>270)で全射とする。
このとき M/Ker(f) は標準的に N とG-位相線型空間として同型である。

証明
>>273より、M/Ker(f) はG-位相線型空間である。
M/Ker(f) は N と K 上の線型空間として標準的に同型である。
>>274より、両者とも標準位相であるから位相線型空間として同型である。
よって、本命題の主張が得られる。
証明終

278 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/05(土) 13:54:25
>>277
誤って2重ポスト

279 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/05(土) 14:05:07
命題
G を位相群とし、K を実数体または複素数体とする。
M を K 上の有限次元の分離的 G-位相線型空間(>>268)とする。
A と B を M のG-部分線型空間(>>271)とする。
このとき、A/(A ∩ B) は (A + B)/B とG-位相線型空間として同型である。

証明
A + B は M の部分線型空間であり、明らかに G-不変である。
よって、>>273より、(A + B)/B はG-位相線型空間である。
f: M → M/B を線型空間としての標準射とする。
f はG-位相線型空間としての射でもある。

f(A) = (A + B)/B であるから
g: A → (A + B)/B を f の制限とすると、g は全射である、

Ker(g) = A ∩ B であるから>>276より、本命題の主張が得られる。
証明終

280 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/05(土) 14:12:26
命題(Jordan-Holder)
G を位相群とし、K を実数体または複素数体とする。
M を K 上の有限次元の分離的 G-位相線型空間(>>268)とする。

M = M_0 ⊃ M_1 ⊃ M_2 ... ⊃ M_n = 0 をG-組成列(>>275)とする。
M の任意のG-組成列の長さは n であり、その剰余群の列は、
順序を別にして 列 (M_i/M_(i+1)) とG-位相線型空間として同型である。

証明
>>279を使用すれば、過去スレ001の286とまったく同様にして証明される。

281 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/05(土) 14:48:01
G をコンパクト群とし、E を実数体または複素数体 K 上の
有限次ベクトル空間とする。
U を E における連続な線型表現(>>66)とする。
U が部分表現 U_1 と U_2 の直和(>>84)になるとき U = U_1 + U_2 と書く。

282 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/05(土) 15:00:31
命題
G をコンパクト群とし、E を実数体または複素数体 K 上の
有限次ベクトル空間とする。
U を E における連続な線型表現(>>66)とする。
>>262より、U は既約表現直和(>>84)となる。
U = U_1 + ... + U_n 及び
U = V_1 + ... + V_m をそれぞれ
U の既約表現への直和分割とする。

このとき、n = m であり、U_1, ..., U_n を適当に並べ替えると
各 i に対して U_i と V_i は同型になる。

証明
各 U_i に対する E の部分表現空間を E_i とする。
E = E_1 + ... + E_n (直和) である。
各 E_i はG-位相線型空間(>>268)であり既約(>>272)である。

M_0 = E
M_1 = E_2 + ... + E_n
M_2 = E_3 + ... + E_n
.
.
.
M_(n-1) = E_n
M_n = 0
とおく。

M = M_0 ⊃ M_1 ⊃ M_2 ... ⊃ M_n = 0 となり、
M_(i-1)/M_i は E_i と同型である。

よって、本命題の主張は>>280から出る。
証明終

283 :132人目の素数さん:2009/09/05(土) 15:05:44
天才さま

284 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/05(土) 20:26:03
圏と関手の定義について知らない読者はWikipediaの記事を参照されたい。
英語版のほうが良いが日本語版でも十分である。

定義
A と B を必ずしも可換とは限らない環とする。
左 A-加群全体の圏を A-Mod とし、
左 B-加群全体の圏を B-Mod とする。
T を A-Mod から B-Mod への関手とする。

M, N を任意の A-加群とする。
任意の f, g ∈ Hom(M, N) に対して、T(f + g) = T(f) + T(g) となるとき
T を加法的関手という。

285 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/05(土) 20:49:57
命題
M_1, M_2, M を A-加群とする。

f_1: M_1 → M
f_2: M_2 → M
を A-加群の射とする。

M_1 + M_2 を直和とする。

(x_1, x_2) ∈ M_1 + M_2 に対して f_1(x_1) + f_2(x_2) ∈ M を対応させる
写像を f とする。
f が同型であるためには、A-加群の射
g_1: M → M_1
g_2: M → M_2
で、次の条件を満たすものが存在することが必要十分である。

1) i = j のとき g_jf_i = 1
2) i ≠ j のとき g_jf_i = 0
3) f_1g_1 + f_2g_2 = 1

証明
簡単なので読者に任す。

286 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/05(土) 21:02:46
命題
A と B を必ずしも可換とは限らない環とする。
左 A-加群全体の圏を A-Mod とし、
左 B-加群全体の圏を B-Mod とする。
T を A-Mod から B-Mod への加法的関手(>>284)とする。

M_1, M_2 を A-加群とする。
M = M_1 + M_2 を直和とする。

f_1: M_1 → M
f_2: M_2 → M
をそれぞれ標準単射とし、
g_1: M → M_1
g_2: M → M_2
をそれぞれ射影とする。

このとき、
(y_1, y_2) ∈ T(M_1) + T(M_2) に対して T(f_1)(y_1) + T(f_2)(y_2) ∈ M を対応させる写像 ψ は T(M_1) + T(M_2) から T(M) への同型である。

証明
T は加法的関手であるから、以下が成り立つ。

1) i = j のとき T(g_j)T(f_i) = 1
2) i ≠ j のとき T(g_j)T(f_i) = 0
3) T(f_1)T(g_1) + T(f_2)T(g_2) = 1

よって、>>285より本命題の主張が成り立つ。
証明終

287 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/05(土) 21:26:34
A を可換環とする。
M を A-加群とする。
M^* を M の双対加群、即ち Hom(M, A) とする。
F を A-加群とし、(M^*)※F を M^* と F の A 上のテンソル積とする。

M を固定して、T(F) = (M^*)※F とおけば、
T は A-Mod から A-Mod への加法的関手(>>284)である。

M を固定して、S(F) = Hom(M, F) とおけば、
S は A-Mod から A-Mod への加法的関手(>>284)である。

u ∈ M^*, y ∈ F とする。
x ∈ M に u(x)y ∈ F を対応させる写像を ρ(u, y) と書く。
明らかに ρ(u, y) ∈ Hom(M, F) である。
ρ(u, y) は双線型であるから T(F) から S(F) への準同型 θ(F) を
引き起こす。

用意に確かめられるように θ は T から S への自然変換である
(自然変換の定義についてはWikipediaの関手の項を参照)。

288 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/07(月) 08:02:48
命題
A を可換環とする。
M を A-加群とする。
M^* を M の双対加群、即ち Hom(M, A) とする。
F を有限生成の自由 A-加群とし、
(M^*)※F を M^* と F の A 上のテンソル積とする。

このとき、θ(F)(>>287): (M^*)※F → Hom(M, F) は同型である。

証明
>>287より、θ は加法的関手 T から S への自然変換である。
F = A のとき、明らかに θ(F) は同型である。
よって、本命題は>>286から得られる。
証明終

289 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/07(月) 08:27:34
定義
A を可換環とする。
M を有限生成の自由 A-加群とする。
M^* を M の双対加群、即ち Hom(M, A) とする。
(M^*)※M を M^* と M の A 上のテンソル積とする。

>>288 より、θ(M)(>>287): (M^*)※M → Hom(M, M) は同型である。
この逆写像を τ: Hom(M, M) → (M^*)※M とする。

ρ: (M^*)※M → A を A-加群の射で、u ∈ (M^*), x ∈ M のとき
ρ(u※x) = u(x) となるものとする。

A-加群の射 ρτ: Hom(M, M) → A をトレース写像(trace map)または
単にトレースと呼び、Tr と書く。
f ∈ Hom(M, M) のとき、Tr(f) を f のトレースと言う。

290 :132人目の素数さん:2009/09/07(月) 10:23:40
おい、クンマー
2ちゃんねるを私物化するな

291 :132人目の素数さん:2009/09/07(月) 10:50:23
>>290
>おい、クンマー
>2ちゃんねるを私物化するな

Threadを立てて書き込むのは「私物化」とは言わんだろう。
気に入らなければ見なければいいだけの話だ。

292 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/07(月) 11:27:16
定義
A を可換環とし、X = (x_(i, j)), 1 ≦ i, j ≦ n を
A 上の n 次の正方行列とする。
Σx_(i, i), i = 1, ..., n を X のトレース(trace)と呼び、Tr(X) と書く。

293 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/07(月) 11:35:17
A を可換環とし、M を有限生成の自由 A-加群とする。
M^* を M の双対加群、即ち Hom(M, A) とする。
(M^*)※M を M^* と M の A 上のテンソル積とする。
>>288 より、>>287のθ(M): (M^*)※M → Hom(M, M) は同型である。

e_1, ..., e_n を M の基底とする。
(e_1)^*, ..., (e_n)^* は M^* の基底である。
ここで (e_i)^* は (e_i)^* (e_j) = δ_(i, j), 1 ≦ i, j ≦ n
を満たすM^* の元である。
ここで、δ_(i, j) は Kronecker のデルタである。

f を Hom(M, M) の任意の元とする。
任意の x ∈ M は x = Σ(e_i)^*(x)e_i と表される。
よって、
f(x) = f(Σ(e_i)^*(x)e_i) = Σ(e_i)^*(x)f(e_i)
よって、
f = θ(M)(Σ(e_i)^*※f(e_i))

よって、>>289より、Tr(f) = Σ(e_i)^*(f(e_i))

一方、f(e_j) = Σc_(i, j)e_i, c_(i, j) ∈ A とする。
行列 C = (c_(i, j)), 1 ≦ i, j ≦ n は M の基底 e_1, ..., e_n に関する
f の表現行列である。

このとき、
Tr(f) = Σ(e_j)^*(f(e_j)) = Σ(e_j)^*(Σc_(i, j)e_i) = Σc_(j, j)

>>292より、Tr(f) = Tr(C) である。

294 :132人目の素数さん:2009/09/07(月) 15:27:39
>>291
気に入らなければ気に入らないと書くのがまともな人間だよ。
オマエだって>>290が気に入らないから余計なこと書き込んでるんだろ。
もっともオマエはまともじゃないけどな。

295 :132人目の素数さん:2009/09/07(月) 15:35:27
>>294
>>291はクンマーだよ
ブログでやれよ、うざい
おまえ=クンマーは目立ちたがり屋のバカ

296 :132人目の素数さん:2009/09/07(月) 15:37:40

マンフオードがハーバード卒の最初のフイールズ賞受賞者

広中はハーバード卒ではない

悔しいのおw




297 :132人目の素数さん:2009/09/07(月) 15:40:14
クンマー、2ちゃんを私物化するな!
低脳の分際で、自己顕示欲丸出しで、きもい
誰も、おまえの書くことに関心ない
バカが数学を語るなw








298 :132人目の素数さん:2009/09/07(月) 15:40:26
>>289ダメだ不合格

299 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/07(月) 16:22:23
命題
A を可換環とする。
M を A-加群とする。
E と F を有限生成の自由 A-加群とし、
f: E → F と g: F → E をそれぞれ A-加群としての射とする。
このとき、Tr(fg) = Tr(gf) である。

証明
(f, g) → Tr(fg) と (f, g) → Tr(gf) は
それぞれ Hom(E, F)×Hom(F, E) から A への双線型写像である。

>>288 より、>>287のθ(F): (E^*)※F → Hom(E, F) は同型である。
よって、 f = θ(F)(Σ(a_i)^*b_i), 1 = 1, ..., n と書ける。
ここで、(a_i)^* ∈ E^*, b_i ∈ F である。

同様に、θ(E): (F^*)※E → Hom(F, E) は同型である。
よって、 g = θ(E)(Σ(c_i)^*d_i), 1 = 1, ..., m と書ける。
ここで、(c_i)^* ∈ F^*, d_i ∈ E である。

以上から f: x → a^*(x)b, g: y → c^*(y)d の場合に本命題を証明すればよい。
ここで、a^* ∈ E^*, b ∈ F, c^* ∈ F^*, d ∈ E である。

fg(y) = a^*(c^*(y)d)b = c^*(y)a^*(d)b
よって、Tr(fg) = c*(a^*(d)b) = a^*(d)c^*(b)

gf(x) = c^*(a^*(x)b)d = a^*(x)c^*(b)d
よって、Tr(gf) = a^*(c^*(b)d) = c^*(b)a^*(d)

よって、Tr(fg) = Tr(gf) である。
証明終

300 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/07(月) 16:26:14
>>299の訂正
>命題
>A を可換環とする。
>M を A-加群とする。

命題
A を可換環とする。

301 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/07(月) 16:59:01
命題
A を可換環とする。
X = (x_(i, j)), 1 ≦ i ≦ m, 1 ≦ j ≦ n
Y = (y_(i, j)), 1 ≦ i ≦ n, 1 ≦ j ≦ m
をそれぞれ A 上の行列とする。

このとき、Tr(XY) = Tr(YX) である。

証明
>>293>>299より明らかである。

次のように直接計算しても証明できる。

Tr(XY) = Σx_(i, k)y_(k, i), 1 ≦ i ≦ m, 1 ≦ k ≦ n
Tr(YX) = Σy_(k, i)x_(i, k), 1 ≦ i ≦ m, 1 ≦ k ≦ n

よって、Tr(XY) = Tr(YX)
証明終

302 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/07(月) 17:28:24
定義
G を位相群とし、E を実数体または複素数体 K 上の有限次ベクトル空間とする。
ρ を E における連続な線型表現(>>66)とする。
G から K への写像 s → Tr(ρ(s)) を ρ の指標(charcter)と呼ぶ。
ここで、Tr(ρ(s)) は ρ(s) のトレース(>>289)である。

303 :132人目の素数さん:2009/09/07(月) 17:29:30
クンマー

おまえは出て行け!

304 :132人目の素数さん:2009/09/07(月) 17:34:39
そこで猫ですよ
熊猫

305 :132人目の素数さん:2009/09/07(月) 17:37:47
50 名前:132人目の素数さん :2009/09/07(月) 15:36:55
なにをやろうと勝手だがなにか?

51 名前:132人目の素数さん :2009/09/07(月) 15:43:05
>なにか?
なにをひとまえでやってはいけないよ


306 :132人目の素数さん:2009/09/07(月) 17:46:12
charcter

307 :132人目の素数さん:2009/09/07(月) 18:04:41
かみさま ぼくの どりょくが むくわれて きょうじゅに なれますように

308 :132人目の素数さん:2009/09/07(月) 18:19:57
今のところ、熊がいる天体は地球しか確認されてないからなあ。


309 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/07(月) 18:41:04
命題
K を実数体または複素数体とする。
G を位相群とし、E と F を K 上の有限次線型空間とする。
ρ と τ をそれぞれ E および F における G の連続な線型表現(>>66)とする。
ρ と τ が同値(>>71) であれば、ρ と τ の指標は一致する。

証明
f: ρ → τ を同型写像(>>71)とする。

即ち、f: E → F は線型写像で、任意の s ∈ G と x ∈ E に対して
f(ρ(s)x) = τ(s)f(x) となるとする。

fρ(s) = τ(s)f であるから、fρ(s)f^(-1) = τ(s) である。

>>299より、Tr(τ(s)) = Tr(fρ(s)f^(-1)) = Tr(ρ(s)f^(-1)f) = Tr(ρ(s))
証明終

310 :132人目の素数さん:2009/09/07(月) 18:45:19
あなた、あまり人好きあいは苦手のようですけど、その考え方、改めたほうがいいですよ。


311 :132人目の素数さん:2009/09/07(月) 18:56:57
>人好きあい

いいね

312 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/07(月) 20:49:55
命題
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の有限次元のHilbert空間(過去スレ010の600)とする。
f: E → F を線型写像とする。
e_1, ..., e_n と f_1, ..., f_m をそれぞれ E と F の正規直交基底(>>147)とする。
f の e_1, ..., e_n と f_1, ..., f_m に関する行列表現を A = (a_(i, j)) とする。
f の随伴写像(>>128) f^* の e_1, ..., e_n と f_1, ..., f_m に関する
行列表現は (A^t)~ である。
ここで、A^t は A の転置行列であり、(A^t)~ は A^t の複素共役である。

証明
f^* の f_1, ..., f_m と e_1, ..., e_n に関する行列表現を B = (b_(i, j))
とする。

f(e_j) = Σa_(i, j)f_i
f^*(f_j) = Σb_(i, j)e_i
である。

よって、
a_(i, j) = <f(e_j), f_i> = <e_j, f^*(f_i)> = <f^*(f_i), e_j>~
= <Σb_(j, i)e_j, e_j>~ = b_(j, i)~

よって、a_(i, j)~ = b_(j, i)
即ち、B = (A^t)~
証明終

313 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/07(月) 20:56:02
定義
K を実数体または複素数体とする。
A を K 上の (n, m)型の行列とする。
(A^t)~ を A の随伴行列と呼び、A^* と書く。
ここで、A^t は A の転置行列であり、(A^t)~ は A^t の複素共役である。

314 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/08(火) 07:10:38
命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の有限次元のHilbert空間(過去スレ010の600)とする。
f: E → F を線型写像で全単射とする。
f の e_1, ..., e_n に関する行列表現を A = (a_(i, j)) とする。
f がユニタリ変換であるためには A^* = A^(-1) が必要十分である。

証明
>>140より、f がユニタリ変換であるためには、f^* = f^(-1) が必要十分である。
>>312より、これは A^* = A^(-1) と同値である。
証明終

315 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/08(火) 07:25:27
命題
G を位相群とし、E を実数体または複素数体 K 上の有限次ベクトル空間とする。
ρ を E における連続な線型表現(>>66)とする。
χ を ρ の指標とする。
任意の s, t ∈ G に対して χ(tst^-1) = χ(s) である。

証明
u = ts
v = t^(-1)
とおけば、
tst^-1 = uv
s = vu

逆に、任意の u, v ∈ G に対して u = ts, v = t^(-1) となる s, t ∈ G が、
一意に定まる。
よって、χ(tst^-1) = χ(s) は χ(uv) = χ(vu) と同値である。

χ(uv) = χ(vu) はトレースの性質(>>299)より明らかである。
証明終

316 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/08(火) 07:31:39
定義
G を群とし、K を実数体または複素数体とする。
G から K への関数 f が、
任意の s, t ∈ G に対して f(tst^-1) = f(s) となるとき、
f を中心的(central)という。

これは、>>315の証明でみたように、
任意の u, v ∈ G に対して f(uv) = f(va) となることと
同値である。

317 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/08(火) 07:43:18
命題
G をコンパクト群とし、E を実数体または複素数体 K 上の有限次線型空間とする。
ρ を E における連続な線型表現(>>66)とする。
χ を ρ の指標とする。
任意の s ∈ G に対して χ(s^-1) = χ(s)~ である。

証明
>>256>>309より、E はHilbert空間で、U は連続なユニタリ表現と仮定してよい。
>>140より、任意の s ∈ G に対して ρ(s^-1) = ρ(s)^* である。
よって、χ(s^-1) = Tr(ρ(s)^*)
一方、>>314より、Tr(ρ(s)^*) = Tr(ρ(s))~ = χ(s)~ である。
証明終

318 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/08(火) 08:49:49
>>317
>一方、>>314より、Tr(ρ(s)^*) = Tr(ρ(s))~ = χ(s)~ である。

一方、>>312より、Tr(ρ(s)^*) = Tr(ρ(s))~ = χ(s)~ である。

319 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/08(火) 10:01:37
補題
A = (a_(i, j)) を可換体 K の n 次の正方行列とする。
A の固有多項式 f(X) は
X^n - Tr(A)X^(n-1) + ... + (-1)^n det(A)
の形である。

証明
固有多項式の定義から f(X) = det(X1_n - A) である。
ここで、1_n は n 次の単位行列」である。

f(X) = X^n + a_1X^(n-1) + ... + a_n とする。

a_1 は (X - a_(1, 1))(X - a_(2, 2))...(X - a_(n, n)) の
X^(n-1) の係数であるから
a_1 = -a_(1, 1) - a_(2, 2) - ... - a_(n, n)) = -Tr(A) である。

f(0) = a_n であるから、a_n = det(-A) = (-1)^n det(A)
証明終

320 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/08(火) 10:09:23
補題
A を可換体 K 上の n 次の正方行列とする。
K~ を K の代数的閉包とする。
A の固有多項式 f(X) は K~ において一次式に分解する。
f(X) = (X - α_1)(X - α_2)...(X - α_n) とする。
ここで、α_1, α_2, ..., α_n は K~ の元である。

このとき、
Tr(A) = α_1 + α_2 + ... + α_n である。
det(A) = α_1α_2...α_n である。


証明
>>319より明らかである。

321 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/08(火) 11:26:31
定義
K を実数体または複素数体とする。
A を K 上の n 次の正則行列とする。
A^* = A^(-1) となるとき、A をユニタリ行列という。
ここで、A^* は A の随伴行列(>>313)である。

322 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/08(火) 12:23:35
命題
E を複素数体上の有限次Hilbert空間とする。
f を E 上のユニタリ変換(>>140)とする。
f の固有値の絶対値は 1 である。

証明
α を f の任意の固有値とする。
fx = αx となる E の元 x ≠ 0 がある。

|f(x)| = |x| であるから、|f(x)| = |α||x| = |x| である。
|x| ≠ 0 であるから、|α| = 1 である。
証明終

323 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/08(火) 14:01:01
補題
K を可換体とする。
V を K 上の有限次元の線型空間とする。
W を V の部分線型空間とする。
f: V → V を線型写像で、f(W) ⊂ W とする。
f を W に制限した線型写像を g とする。
f は線型写像 h: V/W → V/W を引き起こす。
e_1, ..., e_r を W の基底とし、
e_1, ..., e_r, e_(r+1), ..., e_n を V の基底とする。
f の基底 e_1, ..., e_r, e_(r+1), ..., e_n に関する表現行列を
A = (a_(i, j)), 1 ≦ i, j ≦ n とする。

このとき、C = (a_(i, j)), r+1 ≦ i, j ≦ n は
V/W の基底 p(e_(r+1)), ..., p(e_n) に関する h の表現行列である。
ここで、p は V から V/W への標準写像である。

証明
α_(r+1), ..., α_n を K の元の列とし、
α_(r+1)p(e_(r+1)) + ... + α_np(e_n) = 0 とする。
p(α_(r+1)e_(r+1) + ... + α_ne_n) = 0 であるから、
α_(r+1)e_(r+1) + ... + α_ne_n ∈ W である。
よって、α_(r+1) = ... = α_n = 0 となり、
p(e_(r+1)), ..., p(e_n) は V/W の基底である。

任意の 1 ≦ j ≦ n に対して
f(e_j) = Σa_(i, j)e_i, i = 1, ..., n

よって、任意の r+1 ≦ j ≦ n に対して
h(p(e_j)) = Σa_(i, j)p(e_i), i = r+1, ..., n
よって、 C は V/W の基底 p(e_(r+1)), ..., p(e_n) に関する h の
表現行列である。
証明終

324 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/08(火) 14:23:59
補題
K を代数的閉体とする。
V を K 上の有限次元の線型空間とする。
f: V → V を任意の線型写像とする。
V の基底を適当にとると、その基底に関する f の表現行列は
三角行列になる。

証明
V の次元 n に関する帰納法で証明する。
n = 1 のときは明らかである。
K は代数的閉体であるから f は少なくともひとつの固有値 α を持つ。
α の固有空間を W とする。
即ち W = {x ∈ V; f(x) = αx} である。
明らかに f(W) ⊂ W である。
W の基底を e_1, ..., e_r とする。

p: V → V/W を標準写像とし、
f が V/W に引き起こす線型写像を g とする。
dim V/W < n であるから V/W の基底 p(e_(r+1)), ..., p(e_n) で
その基底に関する g の表現行列が三角行列になるものが存在する。

α_i, i = 1, ..., n を K の元とし、
α_1e_1 + ... α_re_r + α_(r+1)e_(r+1) + ... + α_ne_n = 0 とする。
この両辺に p を作用させると、
α_(r+1)p(e_(r+1)) + ... + α_np(e_n) = 0 であるから、
α_(r+1) = ... = α_n = 0 である。
よって、α_1e_1 + ... α_re_r = 0 となり、
α_1 = ... = α_r = 0 である。
よって、e_1, ..., e_r, e_(r+1), ..., e_n は V の基底である。
>>323より、この基底に関する f の表現行列は三角行列である。
証明終

325 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/08(火) 14:35:03
>>324の補足および訂正

f の W への制限写像を h とすると、h の e_1, ..., e_r に関する表現行列は
対角行列、したがって三角行列である。

>dim V/W < n であるから V/W の基底 p(e_(r+1)), ..., p(e_n) で

V = W のときは、f の e_1, ..., e_n に関する表現行列は対角行列である。
よって、 V ≠ W と仮定してよい。

326 :132人目の素数さん:2009/09/08(火) 14:43:18
charcter

327 :132人目の素数さん:2009/09/08(火) 15:49:53
明らかなスペルミスをしつこく指摘する件


328 :132人目の素数さん:2009/09/08(火) 15:53:30
そのくせ証明の間違いについては指摘しない(出来ない)件

329 :132人目の素数さん:2009/09/08(火) 15:54:51
charcter

330 :132人目の素数さん:2009/09/08(火) 15:59:12
>>328
やりたかったらオマエがやれよ金魚の糞

331 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/08(火) 16:03:22
補題
K を可換環とする。
A = (a_(i, j)) と B = (b_(i, j)) を K 上の n 次の上三角行列とする。
AB = C = (c_(i, j)) とする。

このとき、
c_(i, i) = a_(i,i)b_(i, i), i = 1, ..., n である。

証明
c_(i, i) = Σa_(i, k)b_(k, i), k = 1, ..., n である。

i > k のとき a_(i, k) = 0
k > i のとき b_(k, i) = 0 である。

よって、
c_(i, i) = a_(i, i)b_(i, i) である。
証明終

332 :132人目の素数さん:2009/09/08(火) 16:04:43
>>328

本になったとき序文で2ちゃん所属金魚の糞氏には証明の誤りを指摘していただいた
ここに衷心より感謝する

って書いてもらえるぞ

333 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/08(火) 16:09:43
補題
K を可換環とする。
A = (a_(i, j)) を K 上の n 次の上三角行列で可逆であるとする。
A^(-1) = (b_(i, j)) とする。

このとき、b_(i, i) = a_(i, j)^(-1), i = 1, ..., n である。

証明
1_n を K 上の n 次の単位行列とする。
AA^(-1) = 1_n である。
>>331より、1 = a_(i,i)b_(i, i), i = 1, ..., n である。
よって、b_(i, i) = a_(i, j)^(-1), i = 1, ..., n である。
証明終

334 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/08(火) 16:11:57
>>333の訂正
>このとき、b_(i, i) = a_(i, j)^(-1), i = 1, ..., n である。

このとき、b_(i, i) = a_(i, i)^(-1), i = 1, ..., n である。

>よって、b_(i, i) = a_(i, j)^(-1), i = 1, ..., n である。

よって、b_(i, i) = a_(i, i)^(-1), i = 1, ..., n である。

335 :132人目の素数さん:2009/09/08(火) 16:15:33
charcter

336 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/08(火) 16:18:38
命題
K を代数的閉体とする。
V を K 上の有限次元の線型空間とする。
f: V → V を線型写像で全単射とする。
f の固有値を重複度を込めて α_1, ..., α_n とする。

f^(-1) の固有値は重複度を込めて (α_1)^(-1), ..., (α_n)^(-1) である。

証明
>>324より、V の基底を適当にとると、その基底に関する f の表現行列は
三角行列になる。
よって、本命題の主張は>>333から直ちに出る。
証明終

337 :132人目の素数さん:2009/09/08(火) 16:21:12
線型代数スレでどうぞ

338 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/08(火) 16:26:30
命題
K を代数的閉体とする。
V を K 上の有限次元の線型空間とする。
f: V → V を線型写像とする。
f の固有値を重複度を込めて α_1, ..., α_n とする。

このとき、任意の整数 r > 0 に対して
f^r の固有値は重複度を込めて (α_1)^r, ..., (α_n)^r である。

証明
>>324より、V の基底を適当にとると、その基底に関する f の表現行列は
三角行列になる。
よって、>>331より本命題の主張が得られる。
証明終

339 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/08(火) 16:28:00
命題
K を代数的閉体とする。
V を K 上の有限次元の線型空間とする。
f: V → V を線型写像で、ある整数 r > 0 に対して f^r = 1 とする。

このとき、f の任意の固有値は 1 の r 乗根である。

証明
>>338より明らかである。

340 :132人目の素数さん:2009/09/08(火) 16:28:39
無限集合のうち最小のものを構成せよ。また、それは可算濃度より小さいか、判定不能かを述べよ。

341 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/08(火) 16:41:41
有限群は離散位相でコンパクト群になる。

>>317において G が有限群のときの別証を述べる。

命題
G を有限群とし、E を複素数体 K 上の有限次線型空間とする。
ρ を E における線型表現(>>65)とする。
χ を ρ の指標とする。
任意の s ∈ G に対して χ(s^-1) = χ(s)~ である。

証明
ρ(s) の固有値を重複度を込めて α_1, ..., α_n とする。
>>336より、ρ(s^-1) の固有値は重複度を込めて
(α_1)^(-1), ..., (α_n)^(-1) である。

よって、>>320より、χ(s^(-1)) = (α_1)^(-1) + ... + (α_n)^(-1) である。

一方、s は有限位数であるから>>339より、各 α_i は 1 のべき根である。
よって、|α_i| = 1 である。
よって、(α_i)^(-1) = (α_i)~ である。

よって、>>320より、χ(s^(-1)) = (α_1)~ + ... + (α_n)~ = χ(s)~ である。
証明終

342 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/08(火) 16:45:20
>>320の補足

この補題は、>>324から直ちに得られる。

343 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/08(火) 17:09:45
命題(Schurの補題)
K を実数体または複素数体とする。
G を位相群とし、V と W を K 上の有限次線形空間とする。
ρ と τ をそれぞれ V および W における G の連続な線型表現(>>66)
で既約(>>260)とする。
V と W はそれぞれ ρ と τ によりG-位相線型空間(>>268)となる。
f: V → W を G-位相線型空間としての準同型(>>270)とする。

このとき f = 0 または f は同型となる。

証明
f ≠ 0 とする。
Ker(f) は V の G-不変(>>72)な閉部分線形空間で V でないから
Ker(f) = {0} である。

他方、f(V) は W の G-不変(>>72)な閉部分線形空間で {0} でないから
f(V) = W である。

以上から f は同型である。
証明終

344 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/08(火) 17:18:35
命題
K を複素数体とする。
G を位相群とし、V を K 上の有限次線形空間とする。
ρ をそれぞれ V における G の連続な線型表現(>>66)
で既約(>>260)とする。
V は ρ によりG-位相線型空間(>>268)となる。
f: V → V を G-位相線型空間としての準同型(>>270)とする。

このとき、α ∈ K があり、f = α(1_V) となる。
ここで、1_V は V の恒等写像である。

証明
f の任意の固有値をαとする。
g = f - α(1_V) とおく。
g : V → V は G-位相線型空間としての準同型である。
Ker(g) ≠ 0 であるからSchurの補題(>>343)より、
g = 0 である。
証明終

345 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/08(火) 17:24:11
>>344は K が実数体のときには一般に成り立たない。
f の固有多項式は実根をもつとは限らないからである。

346 :132人目の素数さん:2009/09/08(火) 17:37:53
位相群とか連続とか 唖

347 :132人目の素数さん:2009/09/08(火) 18:17:45
ぶちこわしだな。

348 :132人目の素数さん:2009/09/08(火) 19:01:04
バレバレ

349 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/08(火) 19:26:33
補題
K を実数体または複素数体とする。
G をコンパクト群とし、V と W を K 上の有限次線形空間とする。
ρ と τ をそれぞれ V および W における G の連続な線型表現(>>66)
で既約(>>260)とする。
V と W はそれぞれ ρ と τ によりG-位相線型空間(>>268)となる。

h: V → W を任意の線型写像とする。
t → τ(t^(-1))hρ(t) は G から Hom(V, W) への連続写像である。
よって、f = ∫τ(t^(-1))hρ(t) dμ(t) ∈ Hom(V, W)
が意味を持つ(>>76)。
ここで、μ は μ(G) = 1 となる G のHaar測度である。

このとき、f: V → W は G-位相線形空間としての準同型(>>270)である。
従って、Schurの補題(>>343)より、f = 0 または f は同型となる。

証明
τ(s^(-1))fρ(s) = ∫τ(s^(-1))τ(t^(-1))hρ(t)ρ(s) dμ(t)
= ∫τ((ts)^(-1))hρ(ts) dμ(t)
= ∫τ(t^(-1))hρ(t) dμ(t)
= f

よって、fρ(s) = τ(s)f
証明終

350 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/08(火) 19:40:11
補題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の有限次ベクトル空間とする。
X をコンパクト空間とし、μ を X 上の正値Radon測度とする。

ρ: X → Hom(E, E) を連続写像とする。

f = ∫ ρ(x) dμ(x) (>>76)とおく。

このとき、
Tr(f) = ∫ Tr(ρ(x)) dμ(x)
である。

証明
E の基底 e_, ..., e_n を選び ρ(x) のこの基底に関する表現行列を R(x) とする。
S(x) = ∫ R(x) dμ(x) とおく。
Tr(S(x)) = ∫ Tr(R(x)) dμ(x) である。

よって、Tr(f) = ∫ Tr(ρ(x)) dμ(x)
である。
証明終

351 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/08(火) 19:50:23
補題
K を複素数体とする。
G をコンパクト群とし、V を K 上の有限次線形空間とする。
ρ を V における G の連続な線型表現(>>66)で既約(>>260)とする。

h: V → W を任意の線型写像とする。
t → ρ(t^(-1))hρ(t) は G から Hom(V, V) への連続写像である。
よって、f = ∫ρ(t^(-1))hρ(t) dμ(t) ∈ Hom(V, W)
が意味を持つ(>>76)。
ここで、μ は μ(G) = 1 となる G のHaar測度である。

このとき、f = (1/n)Tr(h)(1_V) となる。
ここで、1_V は V の恒等写像であり、n = dim V である。

証明
>>349より、f: V → V は G-位相線形空間としての準同型(>>270)である。
>>344より、α ∈ K があり、f = α(1_V) となる。

>>350より、Tr(f) = ∫ Tr(ρ(t^(-1))hρ(t)) dμ(x)
= ∫ Tr(h) dμ(x) = Tr(h)

一方、Tr(f) = nα である。
よって、α = (1/n)Tr(h) である。
証明終

352 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/08(火) 19:51:50
>>344の訂正
>ρ をそれぞれ V における G の連続な線型表現(>>66)
>で既約(>>260)とする。

ρ を V における G の連続な線型表現(>>66)
で既約(>>260)とする。

353 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/08(火) 19:56:06
>>351の訂正
>h: V → W を任意の線型写像とする。

h: V → V を任意の線型写像とする。

>よって、f = ∫ρ(t^(-1))hρ(t) dμ(t) ∈ Hom(V, W)
>が意味を持つ(>>76)。

よって、f = ∫ρ(t^(-1))hρ(t) dμ(t) ∈ Hom(V, V)
が意味を持つ(>>76)。

354 :132人目の素数さん:2009/09/08(火) 19:59:45
>>346
位相群の連続表現になんか問題あるのか?

355 :132人目の素数さん:2009/09/08(火) 20:02:23
>>330
>>328が熊かもしれない件に気づいてない件


356 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/08(火) 20:47:23
命題
K を実数体または複素数体とする。
G をコンパクト群とし、V と W を K 上の有限次線形空間とする。
ρ と τ をそれぞれ V および W における G の連続な線型表現(>>66)
で既約(>>260)とする。
さらに、ρ と τ は同型でないとする。

e_1, ..., e_n を V の基底とし、
f_1, ..., f_m を W の基底とする。
ρ の e_1, ..., e_n に関する行列表現を R とし、
τ の f_1, ..., f_m に関する行列表現を T とする。

R(s) = (R_(i, j)(s)), T(s) = (T_(k, l)(s)) とする。

このとき、任意の i, j, k, l に対して、
∫ T_(k, l)(s^(-1))R_(i, j)(s) dμ(s) = 0 である。
ここで、μ は μ(G) = 1 となる G のHaar測度である。

証明
h: V → W を任意の線型写像とし、h の e_1, ..., e_n と f_1, ..., f_m に
関する表現行列を H とする。

>>349より、∫T(s^(-1))HR(s) dμ(s) = 0 である。

H として (l, i) 成分が 1 でその他の成分が 0 の行列を取ると、
∫ T_(k, l)(s^(-1))R_(i, j)(s) dμ(s) = 0 である。
証明終

357 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/08(火) 21:00:27
命題
K を複素数体とする。
G をコンパクト群とし、V を K 上の有限次線形空間とする。
ρ を V における G の連続な線型表現(>>66)で既約(>>260)とする。

e_1, ..., e_n を V の基底とし、
ρ の e_1, ..., e_n に関する行列表現を R とする。

R(s) = (R_(i, j)(s)) とする。

このとき、任意の i, j, k, l に対して、
∫ R_(k, l)(s^(-1))R_(i, j)(s) dμ(s) = (1/n)δ_(k. j)δ_(l. i) である。

ここで、μ は μ(G) = 1 となる G のHaar測度であり、
δ_(k. j), δ_(l. i) は Kroneckerのデルタである。

証明
h: V → V を任意の線型写像とし、h の e_1, ..., e_n に
関する表現行列を H とする。

>>351より、∫R(s^(-1))HR(s) dμ(s) = (1/n)Tr(H)(1_n)

H として (l, i) 成分が 1 でその他の成分が 0 の行列を取ると、
∫ R_(k, l)(s^(-1))R_(i, j)(s) dμ(s) = (1/n)δ_(k. j)δ_(l. i)
証明終

358 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/08(火) 21:58:31
命題
K を実数体または複素数体とする。
G をコンパクト群とし、V と W を K 上の有限次Hilbert空間とする。
ρ と τ をそれぞれ V および W における G の連続なユニタリ表現(>>255)
で既約(>>260)とする。
さらに、ρ と τ は同型でないとする。

e_1, ..., e_n を V の正規直行基底とし、
f_1, ..., f_m を W の正規直行基底とする。
ρ の e_1, ..., e_n に関する行列表現を R とし、
τ の f_1, ..., f_m に関する行列表現を T とする。

R(s) = (R_(i, j)(s)), T(s) = (T_(k, l)(s)) とする。

このとき、任意の i, j, k, l に対して、
∫ T_(l, k)(s)~R_(i, j)(s) dμ(s) = 0 である。
ここで、μ は μ(G) = 1 となる G のHaar測度である。

証明
>>356より、任意の i, j, k, l に対して、
∫ T_(k, l)(s^(-1))R_(i, j)(s) dμ(s) = 0 である。

T はユニタリ行列であるから T(s^(-1)) = T^*(s) である。
よって、T_(k, l)(s^(-1)) = T_(l, k)(s)~である。
証明終

359 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/08(火) 22:01:56
命題
K を複素数体とする。
G をコンパクト群とし、V を K 上の有限次Hilbert空間とする。
ρ を V における G の連続なユニタリ表現(>>255)で既約(>>260)とする。

e_1, ..., e_n を V の正規直交基底とし、
ρ の e_1, ..., e_n に関する行列表現を R とする。

R(s) = (R_(i, j)(s)) とする。

このとき、任意の i, j, k, l に対して、
∫ R_(l, k)(s)~R_(i, j)(s) dμ(s) = (1/n)δ_(k. j)δ_(l. i) である。

ここで、μ は μ(G) = 1 となる G のHaar測度であり、
δ_(k. j), δ_(l. i) は Kroneckerのデルタである。

証明
>>357より、
このとき、任意の i, j, k, l に対して、
∫ R_(k, l)(s^(-1))R_(i, j)(s) dμ(s) = (1/n)δ_(k. j)δ_(l. i) である。
R はユニタリ行列であるから R(s^(-1)) = R^*(s) である。
よって、R_(k, l)(s^(-1)) = R_(l, k)(s)~である。
証明終

360 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/08(火) 22:06:57
>>358において、ρ だけが連続なユニタリ表現であればよい。

361 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/08(火) 22:09:14
>>360の訂正
>>>358において、ρ だけが連続なユニタリ表現であればよい。

>>358において、τ だけが連続なユニタリ表現であればよい。


362 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/08(火) 22:14:13
命題
K を実数体または複素数体とする。
G をコンパクト群とし、V と W を K 上の有限次線形空間とする。
ρ と τ をそれぞれ V および W における G の連続な線型表現(>>66)
で既約(>>260)とする。
さらに、ρ と τ は同型でないとする。
ρ と τ の指標をそれぞれ χ_1, χ_2 とする。

このとき、∫ χ_1(s)χ_2(s)~ dμ(s) = 0 である。

証明
>>256>>309より、W はHilbert空間で、τ は連続なユニタリ表現と仮定してよい。

>>358>>361より、任意の i, j, k, l に対して、
∫ T_(l, k)(s)~R_(i, j)(s) dμ(s) = 0 である。

よって、∫ χ_1(s)χ_2(s)~ dμ(s) = 0 である。
証明終

363 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/08(火) 22:24:28
命題
K を複素数体とする。
G をコンパクト群とし、V を K 上の有限次線形空間とする。
ρ を V における G の連続な線型表現(>>66)で既約(>>260)とする。
ρ の指標を χ とする。

このとき、∫ χ(s)χ~(s) dμ(s) = 1 である。

証明
>>256>>309より、V はHilbert空間で、ρ は連続なユニタリ表現と仮定してよい。

e_1, ..., e_n を V の正規直交基底とし、
ρ の e_1, ..., e_n に関する行列表現を R とする。
R(s) = (R_(i, j)(s)) とする。

>>359より、任意の i, j に対して、
∫ R_(i, i)(s)~R_(j, j)(s) dμ(s) = (1/n)δ_(i. j) である。

よって、
∫ χ(s)χ~(s) dμ(s) = 1 である。

証明終

364 :132人目の素数さん:2009/09/09(水) 03:05:01
転写乙転写乙転写乙転写乙転写乙転写乙転写乙転写乙転写乙転写乙転写乙転写乙
転写乙転写乙転写乙転写乙転写乙転写乙転写乙転写乙転写乙転写乙転写乙転写乙

365 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/09(水) 07:20:46
>>362>>363の証明には>>256を使っている。
G が有限群の場合には>>341を使うことにより、>>362>>363の証明において
>>256を避けることが出来る。

366 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/09(水) 08:13:58
E を実数体上の有限次線型空間とし、n = dim E とする。
E※C は 複素数体上の線型空間で、n = dim E※C である。
ここで、E※C は E と 複素数体 C の実数体上のテンソル積である。

G を位相群とし、ρ を E における G の連続な線型表現とする。
τ(x※α) = ρ(x)※α と定義することにより、
τ は E※C における連続な線型表現となる。
τをρの複素拡大と呼ぶ。

E の基底を e_1, ..., e_n とする。
e_1※1, ..., e_n※1 は E※C の基底である。
R を ρ の e_1, ..., e_n に関する行列表現とすれば、
R は τの e_1※1, ..., e_n※1 に関する行列表現でもある。
よって、τの指標はρの指標と一致する。
よって、通常、τはρと同一視する。

367 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/09(水) 08:32:45
定義
K を実数体または複素数体とする。
G を位相群とし、E を K 上の有限次線型空間とする。
ρ を E における連続な線型表現(>>66)とする。
χ を ρ の指標(>>302)とする。

K が実数体のとき、χ を実指標といい、
K が複素数体のとき、χ を複素指標という。
単に指標というときは、複素指標を意味する。
>>366より、実指標は複素指標でもある。
ρが既約のとき、χ を既約指標という。

368 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/09(水) 08:35:34
G をコンパクト群とする。
μ を μ(G) = 1 となる G のHaar測度とする。
>>362>>363により、G の既約指標(>>367)の全体 X(G) は
L^2(G, C, μ) (過去スレ008の299) の正規直交集合(>>147)である。

G 上の複素数値連続関数全体 K(G, C) は L^2(G, C, μ) の部分空間であり、
前Hilbert空間となる。
X(G) は K(G, C) に含まれるから K(G, C) の正規直交集合でもある。

369 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/09(水) 09:43:11
命題
K を実数体または複素数体とする。
G を位相群とし、V_1 と V_2 を K 上の有限次線型空間とする。
ρ_1 と ρ_2 をそれぞれ V_1 と V_2 における G の連続な線型表現(>>66)とする。
χ_1 と χ_2 をそれぞれ ρ_1 と ρ_2 の指標とする。
V = V_1 + V_2 (直和) とする。
V はρ_1 と ρ_2 の直和(>>84) ρ を定める。
ρ の指標を χ とする。

このとき、
χ = χ_1 + χ_2 である。

証明
V_1 の基底 (e_i) と V_2 の基底 (f_j) を任意に選ぶ。
V の基底は、(e_i), (f_j) である。
ρ のこの規定に関する行列表現を考えれば、χ = χ_1 + χ_2 は明らかである。
証明終

370 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/09(水) 10:47:08
>>367の訂正
定義
K を複素数体とする。
G を位相群とし、E を K 上の有限次線型空間とする。
ρ を E における連続な線型表現(>>66)とする。
χ を ρ の指標(>>302)とする。

ρが既約(>>260)のとき、χ を既約指標という。

371 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/09(水) 10:52:48
G を位相群とし、E を 実数体上の有限次線型空間とする。
ρ を E における連続な線型表現(>>66)とする。
χ を ρ の指標(>>302)とする。
τをρの複素拡大(>>366)とする。
ρが既約(>>260)であっても、τ は既約とは限らない。

372 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/09(水) 11:06:15
定義
G をコンパクト群とする。
f, g ∈ L^2(G, C, μ) (過去スレ008の299) に対して、
<f, g> = ∫ f(s)g(s)~ dμ(s) と書く。

(f, g) → <f, g> は正値Hermite形式(過去スレ010の593)であり、
L^2(G, C, μ) は、< , > によりHilbert空間になる(過去スレ011の41)。

χ_1, χ_2 を G の指標(>>302)とする。
χ_1, χ_2 ∈ L^2(G, C, μ) であるから、
<χ_1, χ_2> = ∫ χ_1(s)χ_2(s)~ dμ(s) が定義される。

373 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/09(水) 13:10:14
G をコンパクト群とし、V と W を K 上の有限次線形空間とする。
ρ と τ をそれぞれ V および W における G の連続な線型表現(>>66)
で既約(>>260)とする。
さらに、ρ と τ は同型でないとする。
ρ と τ の指標をそれぞれ χ_1, χ_2 とする。

このとき、χ_1 ≠ χ_2 である。
何故なら、χ_1 = χ_2 とすると、<χ_1, χ_2> = |χ_1|^2 であるが、
>>362より、|χ_1|^2 = 0 となり、χ_1 = 0 となって矛盾となるからである。
χ_1 ≠ 0 は χ_1(e) = n からわかる。
ここで、 n は V の次数である。

以上から、G の有限次既約表現は、その指標により一意に決まる。

374 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/09(水) 14:05:20
命題
K を複素数体とする。
G をコンパクト群とし、V を K 上の有限次線形空間とする。
ρ を V における G の連続な線型表現(>>66)とし、
ρ の指標を ψ とする。

V = W_1 + ... + W_r を既約表現の直和とする。
W を K 上の任意の既約な有限次線形表現とし、その指標を χ とする。

このとき、W と同型な W_i の個数は <ψ, χ> (>>372)である。

証明
各 W_i の指標を χ_i とする。
>>369より、ψ = χ_1 + ... χ_r である。

>>362, >>363より、W_i が W と同型なら <χ_i, χ> = 1,
同型でないなら <χ_i, χ> = 0 である。
よって、本命題の主張が得られる。
証明終

375 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/09(水) 14:24:04
>>374より、>>282の別証が直ちに得られる。

376 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/09(水) 14:28:33
>>374より、コンパクト群の連続な線型表現はその指標により
一意に決まることがわかる。
即ち、同じ指標をもつ表現は同型である。


377 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/09(水) 14:45:37
命題
K を複素数体とする。
G をコンパクト群とし、V ≠ 0 を K 上の有限次線形空間とする。
ρ を V における G の連続な線型表現(>>66)とし、
ρ の指標を ψ とする。

<ψ, ψ> は整数 > 0 である。
ρ が既約であるためには <ψ, ψ> = 1 が必要十分である。

証明
V は (m_1)W_1 + ... + (m_r)W_r と同型である。
ここで、各 W_i は既約であり、i ≠ j のとき W_i と W_j は
同型ではないとする。
各 m_i は整数 > 0 である。

W_i の指標を χ_i とする。
>>369より、ψ = Σ(m_i)χ_i である。
>>362>>363により、<ψ, ψ> = Σ(m_i)^2 > 0 である。

<ψ, ψ> = Σ(m_i)^2 = 1 であれば、r = 1 で m_1 = 1 である。
よって、V = W_1 となり、ρ は既約である。
逆に ρ が既約なら >>363により、<ψ, ψ> = 1 である。
証明終

378 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/10(木) 08:33:22
定義
K を可換環とし、A, B, C, D を K-加群とする。
f: A → C
g: B → D
を K-加群の射とする。
A※B と C※D を、それぞれ K 上のテンソル積とする。

(a, b) ∈ A×B に対して f(a)※g(b) ∈ C※D を対応させる写像は
双線型である。
よって、K-加群の射ψ: A※B → C※D で ψ(a※b) = f(a)※g(b) となるものが
一意に定まる。
ψ を f※g と書き、f と g のテンソル積という。

379 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/10(木) 09:18:06
K を可換環とし、A, B, C, D を K 上の有限生成の自由加群とする。
A, B, C, D の K 上の階数をそれぞれ n, m, p, q とする。

A, B, C, D の K 上の基底をそれぞれ (a_i), (b_j), (c_k), (d_l) とする。
f: A → C
g: B → D
を K 上の線型写像とする。

f の基底 (a_i), (c_k) に関する表現行列を M = (μ_(k, i)) とし、
g の基底 (b_j), (d_l) に関する表現行列を N = (ν_(j, l)) とする。

f(a_i) = Σμ_(k, i)c_k
g(b_j) = Σν_(l, j)d_l
である。

(f※g)((a_i)※(b_j)) = f(a_i)※g(b_j) = (Σα_(k, i)c_k)※(Σβ_(l, j)d_l)
= Σα_(k, i)β_(l, j)(c_k)※(d_l)

よって、f※g の基底 ((a_i)※(b_j)), ((c_k)※(d_l)) に関する表現行列は、
(μ_(k, i)ν_(l, j)) である。

(続く)

380 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/10(木) 09:18:49
>>379の続き

A※B の基底を

(a_1)※(b_1), (a_1)※(b_2), ..., (a_1)※(b_m),
(a_2)※(b_1), (a_2)※(b_2), ..., (a_2)※(b_m),
.
.
.
(a_n)※(b_1), (a_n)※(b_2), ..., (a_n)※(b_m)
の順に並べる。

同様に C※D の基底を
(c_1)※(d_1), (c_1)※(d_2), ..., (c_1)※(d_q),
(c_2)※(d_1), (c_2)※(d_2), ..., (c_2)※(d_q),
.
.
.
(c_n)※(d_1), (c_n)※(d_2), ..., (c_p)※(d_q)
の順に並べる。

この基底に関する f※g の表現行列は、次のようになる。

μ_(1, 1)N, ..., μ_(1, n)N
μ_(2, 1)N, ..., μ_(2, n)N
.
.
.
μ_(p, 1)N, ..., μ_(p, n)N

この行列を M と N の Kronecker積という。

381 :132人目の素数さん:2009/09/10(木) 09:45:46


Kummer ◆g2BU0D6YN2 のオナニースレは、やめてくれないかな?
少なくともサゲでやれよ>Kummer ◆g2BU0D6YN2




382 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/10(木) 09:56:46
>>380
>この行列を M と N の Kronecker積という。

M と N の Kronecker積を M※N と書くことにする。

383 :132人目の素数さん:2009/09/10(木) 10:54:32
381 名前:132人目の素数さん :2009/09/10(木) 09:45:46


Kummer ◆g2BU0D6YN2 のオナニースレは、やめてくれないかな?
少なくともサゲでやれよ>Kummer ◆g2BU0D6YN2


同意

384 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/10(木) 10:59:25
命題
K を可換環とし、E, F を K 上の有限生成の自由加群とする。
f: E → E
g: F → F
を K 上の線型写像とする。
f※g (>>378) は K 上の線型写像: E※F → E※F である。

このとき、Tr(f※g) = Tr(f)Tr(g) である。
ここで Tr はトレース(>>289)である。

証明
(f, g) → Tr(f※g) と (f, g) → Tr(f)Tr(g) は
それぞれ Hom(E, E)×Hom(F, F) から K への双線型写像である。

>>288 より、>>287のθ(E): (E^*)※E → Hom(E, E) は同型である。
よって、 f = θ(E)(Σ(a_i)^*b_i), 1 = 1, ..., n と書ける。
ここで、(a_i)^* ∈ E^*, b_i ∈ E である。
即ち、任意の x ∈ E に対して f(x) = Σ(a_i)^*(x)b_i となる。

同様に、θ(F): (F^*)※F → Hom(F, F) は同型である。
よって、 g = θ(F)(Σ(c_i)^*d_i), 1 = 1, ..., m と書ける。
ここで、(c_i)^* ∈ F^*, d_i ∈ F である。
即ち、任意の x ∈ F に対して g(x) = Σ(c_i)^*(x)d_i となる。

以上から f: x → a^*(x)b, g: y → c^*(y)d の場合に本命題を証明すればよい。
ここで、a^* ∈ E^*, b ∈ E, c^* ∈ F^*, d ∈ F である。
f※g(x※y) = (a^*(x)b)※(c^*(y)d) = a^*(x)c^*(y)(b※d)

写像 x※y → a^*(x)c^*(y) は (E※F)^* の元であるから
>>289より、Tr(f※g) = a^*(b)c^*(d) である。
よって、Tr(f※g) = Tr(f)Tr(g) である。
証明終

385 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/10(木) 11:02:31
>>384>>380からも明らかである。

386 :132人目の素数さん:2009/09/10(木) 11:04:07
猫たん

海外の数学者と交流が多かったでしょ?
ペニスって、国によって長さが違うのですか?

387 :132人目の素数さん:2009/09/10(木) 11:05:43
Cartierはかなりの爺さんですよ
先日、フランスで会いました

388 :猫は残飯 ◆ghclfYsc82 :2009/09/10(木) 11:24:06
ああ、そうですか。
Cartier先生は今でもお元気なんですかね。
彼は昔ですね、自分の自転車でChartresまで行って、
所が流石に帰りはダウンしてしまったんで、
観念してSNCFで帰還しはった、な〜んて言ってはりました。
まあ数学も体も超元気なオッサンしてはりました。
食事のテーブルでの話も面白いしね、
下ネタは言わないしフランス語はゆっくりだし。


389 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/10(木) 12:28:28
命題
K を可換環とし、E, F を K 上の有限生成の自由加群とする。
E と F の K 上の階数をそれぞれ n, m とする。
f: E → E
g: F → F
を K 上の線型写像とする。

f※g (>>378) は K 上の線型写像: E※F → E※F である。

このとき、det(f※g) = det(f)^m det(g)^n

証明
f※g = (f※1_F)(1_E※g) である。
ここで、1_E, 1_F はそれぞれ E と F の恒等写像である。

E のある基底に関する 1_E 表現行列を 1_n とし、
F のある基底に関する g の表現行列 を N とする。
1※g のこれ等の基底に関する表現行列は>>380より、

δ_(1, 1)N, ..., δ_(1, n)N
δ_(2, 1)N, ..., δ_(2, n)N
.
.
.
δ_(p, 1)N, ..., δ_(n, n)N

となる。
ここで、δ_(i, j) はKroneckerのデルタである。
よって、det(1_E※g) = det(N)^n = det(g)^n である。
よって、det(f※1_F) = det(f)^m も同様である
(ただし、基底の並べ方は>>380と逆である)。
証明終

390 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/10(木) 12:41:03
命題
K を可換環とし、E, F を K 上の有限生成の自由加群とする。
E と F の K 上の階数をそれぞれ n, m とする。
f: E → E
g: F → F
を K 上の線型写像とする。

f※g (>>378) は K 上の線型写像: E※F → E※F である。

このとき、f と g が可逆であれば f※g も可逆である。

K が可換体であれば逆も言える。

証明
f と g が可逆であれば
(f※g)(f^(-1)※g^(-1)) = (ff^(-1)※gg^(-1)) = 1※1 = 1
同様に、(f^(-1)※g^(-1))(f※g) = 1
よって、f※g は可逆である。

K が可換体で、f※g が可逆であるとする。
>>389より、det(f※g) = det(f)^m det(g)^n ≠ 0
よって、det(f) ≠ 0 かつ det(g) ≠ 0
よって、f と g は可逆である。
証明終

391 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/10(木) 12:50:45
定義
K を実数体または複素数体とする。
G を位相群とし、V_1 と V_2 を K 上の有限次線型空間とする。
ρ_1 と ρ_2 をそれぞれ V_1 と V_2 における G の連続な線型表現(>>66)とする。
ρ: s → ρ_1(s)※ρ_2(s) は G の (V_1)※(V_2) による G の連続な線型表現である。ここで、ρ_1(s)※ρ_2(s) は、ρ_1(s) と ρ_2(s) のテンソル積(>>378)である。
ρ が連続なことは ρ(s) の行列表現(>>379)よりわかる。

このとき、ρ を ρ_1 と ρ_2 のテンソル積と呼び ρ_1※ρ_2 と書く。

392 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/10(木) 13:41:28
命題
K を実数体または複素数体とする。
G を位相群とし、V_1 と V_2 を K 上の有限次線型空間とする。
ρ_1 と ρ_2 をそれぞれ V_1 と V_2 における G の連続な線型表現(>>66)とする。
ρ_1 と ρ_2 の指標(>>302)をそれぞれ χ_1, χ_2 とする。

このとき、ρ_1※ρ_2 (>>391) の指標 χ は、(χ_1)(χ_2) である。

証明
>>384より明らかである。

393 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/10(木) 13:48:38
定義
K を実数体または複素数体とする。
G_1 と G_2 を G を位相群とし、V_1 と V_2 を K 上の有限次線型空間とする。
ρ_1 と ρ_2 をそれぞれ V_1 と V_2 における G_1, G_2 の連続な線型表現(>>66)
とする。

ρ_1※ρ_2(s_1, s_2) = ρ_1(s_1)※ρ_2(s_2) とおく。
ここで、ρ_1(s_1)※ρ_2(s_2) は、ρ_1(s_1) と ρ_2(s_2) のテンソル積(>>378)
である。

ρ_1※ρ_2 は明らかに G_1×G_2 の V_1※V_2 における連続な線型表現である。

ρ_1※ρ_2 を ρ_1 と ρ_2 のテンソル積と呼ぶ。

394 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/10(木) 13:50:51
命題
K を実数体または複素数体とする。
G_1 と G_2 を G を位相群とし、V_1 と V_2 を K 上の有限次線型空間とする。
ρ_1 と ρ_2 をそれぞれ V_1 と V_2 における G_1, G_2 の連続な線型表現(>>66)
とする。

ρ_1 と ρ_2 の指標(>>302)をそれぞれ χ_1, χ_2 とし、
ρ_1※ρ_2 の指標を χ とする。

任意の (s_1, s_2) ∈ G_1×G_2 に対して
χ(s_1, s_2) = χ_1(s_1)χ_2(s_2)

証明
>>384より、
χ(s_1, s_2) = Tr(ρ_1(s_1)※ρ_2(s_2)) = Tr(ρ_1(s_1))Tr(ρ_2(s_2))
= χ_1(s_1)χ_2(s_2)
証明終

395 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/10(木) 13:53:09
>>393>>394の訂正
>G_1 と G_2 を G を位相群とし、V_1 と V_2 を K 上の有限次線型空間とする。

G_1 と G_2 を位相群とし、V_1 と V_2 を K 上の有限次線型空間とする。

396 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/10(木) 14:02:03
命題
K を複素数体とする。
G_1 と G_2 をコンパクト群とし、V_1 と V_2 を K 上の有限次線型空間とする。
ρ_1 と ρ_2 をそれぞれ V_1 と V_2 における G_1, G_2 の連続な線型表現(>>66)
とする。

ρ_1 と ρ_2 が既約であれば、ρ_1※ρ_2 (>>393) も既約である。

証明
ρ_1 と ρ_2 の指標(>>302)をそれぞれ χ_1, χ_2 とし、
ρ_1※ρ_2 の指標を χ とする。

μ_1 を μ_1(G_1) = 1 となる G_1 のHaar測度とする。
μ_2 を μ_2(G_2) = 1 となる G_2 のHaar測度とする。

μ = μ_1×μ_2 とおく。

>>394>>363より、

∫χ(s_1, s_2)χ(s_1, s_2)~ dμ
= ∫χ_1(s_1)χ_(s_2)χ_1(s_1)~χ_(s_2)~ dμ
= ∫χ_1(s_1)χ_1(s_1)~dμ_1∫χ_2(s_2)χ_2(s_2)~ dμ_2
= 1

>>377より、ρ_1※ρ_2 は既約である。
証明終

397 :132人目の素数さん:2009/09/10(木) 14:14:47
78 名前:猫は残飯 ◆ghclfYsc82 :2009/09/10(木) 11:16:18
そんな事は貴方が心配してもどうにもならないし、
それにしょうがないでしょう。
まあお気遣い戴いているという事だけ気に留めておきますんで。

脱出までは何とか持ちこたえたいと思っています。
どうも有難う御座います。

猫拝

猫さんへ:

脱出はいつごろになりますか?
何を待っているのですか? すぐにでも脱出してはいかがでしょうか?

フランスにこの夏行った時、向こうの人で気にしている人がいましたよ

398 :132人目の素数さん:2009/09/10(木) 15:23:42
あげ

猫さんの回答を要求します

399 :132人目の素数さん:2009/09/10(木) 15:38:06
ばかでづね べーだーばいるはよいけや

400 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/10(木) 15:45:30
>>380
A※B の基底を

(a_1)※(b_1), (a_2)※(b_1), ..., (a_n)※(b_1),
(a_1)※(b_2), (a_2)※(b_2), ..., (a_n)※(b_2),
.
.
.
(a_1)※(b_m), (a_2)※(b_m), ..., (a_n)※(b_m)
の順に並べる。

同様に C※D の基底を
(c_1)※(d_1), (c_2)※(d_1), ..., (c_p)※(d_1),
(c_1)※(d_2), (c_2)※(d_2), ..., (c_p)※(d_2),
.
.
.
(c_1)※(d_q), (c_2)※(d_q), ..., (c_p)※(d_q)
の順に並べる。

この基底に関する f※g の表現行列は、次のようになる。

Mν_(1, 1), ..., Mν_(1, n)
Mν_(2, 1), ..., Mν_(2, n)
.
.
.
Mν_(p, 1), ..., Mν_(p, n)

この行列を M と N の Kronecker積ともいい、M※N とも書く。

今後、どちらの定義を採用するかは、決めないでおく。

401 :132人目の素数さん:2009/09/10(木) 15:46:51
アスペルガーだな。

402 :132人目の素数さん:2009/09/10(木) 15:51:23
そうだな 低脳だな

403 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/10(木) 16:05:13
命題
K を実数体または複素数体とする。
G と H を位相群とし、V ≠ 0 と W を K 上の有限次線型空間とする。
ρ と τ をそれぞれ V と W における G と H の連続な線型表現(>>66)
とする。
τ が可約(>>261)であれば ρ※τ も可約である。

証明
>>79より、W = W_1 + W_2 (直和)となる。
ここで、W_1 ≠ 0 と W_2 ≠ 0 は H-不変である。

V※W = V※W_1 + V※W_2 (直和)である。
V※W_1 と V※W_2 は (G×H)-不変で、V※W_1 ≠ 0 かつ V※W_2 ≠ 0 である。
よって、ρ※τ は可約である。
証明終

404 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/10(木) 16:13:39
命題
K を複素数体とする。
G と H をコンパクト群とし、V を K 上の有限次線型空間とする。
ρ を V における G×H の連続な線型表現(>>66)で既約とする。

このとき、ρ は ρ_1※ρ_2 と同型である。
ここで、ρ_1 と ρ_2 は、それぞれ G と H の
K 上の連続な有限次線型表現で既約である。

証明
任意に選んだ V の基底に関する ρ の行列表現 R を考える。
R(s, e) = S(s) とおく。
S は G の行列表現である。

同様に、
R(e, t) = T(t) とおく。
T は H の行列表現である。

R(s, t) = R(s, e)R(e, t) = S(s)T(t)
R(s, t) = R(e, t)R(s, e) = T(t)S(s)
である。
よって、S(s)T(t) = T(t)S(s)

>>262より、S は既約表現の M_1, ..., M_m の直和となる。
S(s) は行列 M_1(s), ..., M_m(s) が対角線上に並んでいるとしてよい。
各 M_i の次数を r_i とする(i = 1, ..., m)。

(続く)

405 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/10(木) 16:15:32
>>404の続き

n = dim V とし、A を K 上の n次の行列で、任意の s ∈ G に対して
S(s)A = AS(s) とする。

A を (r_i, r_j) タイプの小行列 A_(i, j) に分割する。
S(s)A = AS(s) より、M_iA_(i, j) = A_(i, j)M_j, i, j = 1, ..., m である。

i ≠ j となる任意の組 (i, j) に対して M_i と M_j が同型でないとする。
Schurの補題(>>343)より、A_(i, j) = 0 となる。
よって、A は A_(1, 1), ..., A_(m, m) が対角線上に並び、
その他の成分は 0 である。

今の結果を A = T(t) に適用すると、
T(t) は、小行列 T_(1, 1)(t), ..., T_(m, m)(t) が対角線上に並び、
その他の成分は 0 である。
よって、R(s, t) = S(s)T(t) は可約となる(m ≠ 1 のとき)。
これは仮定に反するので、M_1, ..., M_m は全て同型である。

基底を適当にとり、M_1, ..., M_m は全て同じ M としてよい。
M の次数を r とする。
1_m を m 次の単位行列とする。
S(s) = M(s)※1_m である。ここで、M(s)※1_m は Kronecker積(>>400)である。

(続く)

406 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/10(木) 16:16:18
>>405の続き

再び、A を K 上の n次の行列で、任意の s ∈ G に対して
S(s)A = AS(s) とする。
A を (r, r) タイプの小行列 A_(i, j) に分割する。
S(s)A = AS(s) より、MA_(i, j) = A_(i, j)M, i, j = 1, ..., m である。
>>344より、A_(i, j) = β_(i, j)1_r となる。
ここで、β_(i, j) ∈ K である。
よって、B = (β_(i, j)) とおくと、A = 1_r※B である。

A として T(t) をとると、T(t) = 1_r※N(t) となる。
ここで、 N(t) は m 次の連続な行列表現である。

以上から
R(s, t) = S(s)T(t) = (M(s)※1_m)(1_r※N(t)) = M(s)※N(t)

N(t) が可約とすると、>>403より、R(s, t) も可約となり、仮定に反する。
よって、N(t) は既約である。
証明終

407 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/10(木) 16:23:38
>>404の証明は Weilによる。
ポントリャーギンの本では、Peter-Weylの定理を使っている。

408 :132人目の素数さん:2009/09/10(木) 16:42:51
どっちにしろほめられたものではない

409 :132人目の素数さん:2009/09/10(木) 16:54:04
増田哲也ってデブでみっともない小男と聞いたが
実際にはどうなの?

410 :132人目の素数さん:2009/09/10(木) 16:55:53
小男というのはちょっとちがうけど
残りは多分当たってるね
主観の問題だけどね

411 :132人目の素数さん:2009/09/10(木) 16:56:55
>>404
あのさ、その定理の述べ方だと、不正確だよ
よするにクロネッカー積に分解可能だということだけど
そうは読み取れないね

君はもう少し、論理的に厳密に述べる習慣をつけた方がいいよ

412 :132人目の素数さん:2009/09/10(木) 17:36:43
>その他、内容についてのご意見は歓迎します。
>例えば、誤りの指摘、証明の改良など。

歓迎して

413 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/10(木) 17:40:40
>>411
具体的にどこがおかしいのか指摘していただけるとありがたいです。

414 :132人目の素数さん:2009/09/10(木) 18:09:55
たしかに論理に欠点があるな

415 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/10(木) 18:11:06
命題
K を複素数体とする。
G をコンパクト群とし、V を K 上の有限次線型空間とする。
n = dim V とする。
ρ を V における G の連続な線型表現(>>66)で既約とする。
χ を ρ の指標とする。

f: G → K を連続で中心的(>>316)な関数とする。

g = ∫ f(t)ρ(t) dμ(t) とおく。
ここで μ は μ(G) = 1 となる G のHaar測度である。

このとき、 g = λ(1_V) である。
ここで、1_V は V の恒等写像であり、
λ = (1/n)∫ f(t)χ(t) dμ(t) = (1/n)<f, χ~> である。

証明
ρ(s^(-1)gρ(s) = ∫ ρ(s^(-1)f(t)ρ(t)ρ(s) dμ(t)
= ∫ f(t)ρ(s^(-1)ts) dμ(t)
= ∫ f(sus^(-1))ρ(u) dμ(u)
= ∫ f(u)ρ(u) dμ(u)
= g

よって、>>344より、λ ∈ K があり、g = λ(1_V) となる。
よって、Tr(g) = nλ である。
一方、
Tr(g) = ∫ f(t)Tr(ρ(t)) dμ(t) = ∫ f(t)χ(t) dμ(t)
よって、λ = (1/n)∫ f(t)χ(t) dμ(t) である。
証明終

416 :132人目の素数さん:2009/09/10(木) 18:12:55
指摘されても無視するだけか

417 :132人目の素数さん:2009/09/10(木) 18:17:14
おそらく具体的に指摘してくれと言ったのにとか言い訳するに違いない。
しかし普通なら読み返してすぐわかるはず。
バカなのか傲慢なのか。

418 :132人目の素数さん:2009/09/10(木) 18:53:32
>バカなのか傲慢なのか。
バカかつ傲慢 デショ

419 :132人目の素数さん:2009/09/10(木) 19:37:06
直積群の既約表現のプロがこのスレを監視しています。

420 :132人目の素数さん:2009/09/10(木) 19:44:32
>>419 それで固まったのか

421 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/10(木) 19:53:10
>>405
>これは仮定に反するので、M_1, ..., M_m は全て同型である。

ここがおかしいですね。
ありがとうございました。

422 :132人目の素数さん:2009/09/10(木) 20:21:51
バカかつ傲慢かつ低脳かつ禿げでオナニストなのだろう
違うか?

423 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/10(木) 20:34:57
定義
K を実数体または複素数体とする。
G を有限群とする。
G の元を基底とする K 上の線型空間 K[G] を考える。
即ち、K[G] の元 x は形式的和 Σ(α_t)t, t ∈ G, α_t ∈ K である。
s ∈ G に対して t → st は 線型写像 γ(s): K[G] → K[G] を引き起こす。
γ(s)(Σ(α_t)t) = Σ(α_t)st である。

γ(s) は明らかに G の線型表現である。
これを G の (K 上の) 正則表現という。

424 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/10(木) 20:46:58
G を有限群とする。
G に離散位相をいれると G はコンパクト群である。
μ を G のHaar測度で μ(G) = 1 となるものとする。

f を G 上の複素数値関数としたとき、
∫ f(s) dμ(s) = (1/|G|)Σf(s), s ∈G である。
ここで、|G| は G の位数である。

425 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/10(木) 20:59:29
命題
K を複素数体とする。
G を有限群とする。
γ を G の K 上の正則表現(>>423)とする。
γ の指標を ψ とする。

このとき、
ψ(e) = |G|
s ≠ e のとき ψ(s) = 0

証明
ψ(e) = |G| は明らかである。
s ≠ e のとき、任意の t ∈ G に対して st ≠ t である。
よって、γ(s) の K[G] (>>423)の基底 {t; t ∈ G} に関する
表現行列の対角成分はすべて 0 である。
よって、ψ(s) = Tr(γ(s)) = 0 である。
証明終

426 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/10(木) 21:11:42
命題
K を複素数体とする。
G を有限群とする。
G の K 上の任意の既約表現 W は(同型の違いを無視して)
G の K 上の正則表現(>>423)に重複度 r で含まれる。
ここで r は W の次数である。

証明
G の K 上の正則表現(>>423)の指標を ψ とする。
W の指標を χ とする。

>>425より、
<ψ, χ> = 1/|G|Σψ(s)χ(s)~ = (1/|G|)ψ(e)χ(e)~ = (1/|G|)|G|r= r

よって、>>374より、本命題の主張が得られる。
証明終

427 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/10(木) 21:16:13
>>426より、有限群の既約表現の同値類の個数は有限である。
しかし、既約でない表現の同値類は明らかに無数にある。

428 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/10(木) 21:30:33
命題
K を複素数体とする。
G を有限群とする。
χ_1, ..., χ_h を G の K 上の既約指標の全体とする。
各 χ_iの次数を n_i とする。

Σ(n_i)^2 = |G| である。

証明
G の K 上の正則表現(>>423)の指標を ψ とする。
>>426より、ψ = Σ(n_i)χ_i である。

|G| = ψ(e) = Σ(n_i)χ_i(e) = Σ(n_i)^2
証明終

429 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/10(木) 21:41:09
>>405
Weilの証明は間違いかもしれないですね(恐れ多いですが)。

Weilの証明は、
i ≠ j となるある組 (i, j) に対して M_i と M_j が同型でないとする。
Schurの補題(>>343)より、A_(i, j) = 0 となる。
これを A = T(t) に適用して、R(s, t) = S(s)T(t) は可約となる。
というものですが、何故、可約なのかわかりません。

430 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/10(木) 21:48:27
>>429

>>404のPontryaginの証明はPeter-Weylの定理を使っている。
Serreの証明(有限群が対象だが)も似たような手法を使っている。
したがって、Weilのように初等的かつ簡単に証明出来るとは、
話がちょっとうますぎる感じがしないでもない。

431 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/10(木) 22:53:14
命題
K を複素数体とする。
G を有限群とする。
χ_1, ..., χ_h を G の K 上の既約指標の全体とする。
G 上の中心的(>>316)な複素数値関数全体を Cent(G) とする。
χ_1, ..., χ_h は Cent(G) の正規直交基底である。

証明
>>362>>363により、χ_1, ..., χ_h は正規直交列である。
f ∈ Cent(G) がすべての (χ_i)~ と直交するとする。
このとき、f = 0 を言えばよい。

V を K 上の有限次線型空間とする。
n = dim V とする。
ρ を V における G の連続な線型表現(>>66)とする。
χ を ρ の指標とする。
g = (1/|G|)Σ f(t)ρ(t) とおく。

ρ が既約なら、>>415より、g = λ(1_V) である。
ここで、1_V は V の恒等写像であり、
λ = (1/n)<f, χ~> である。
仮定より、<f, χ~> = よって、g = 0 である。

ρ が既約でないときは、ρ は既約表現の直和になるから
やはり、g = 0 である。

ρ として K 上の正則表現(>>423)をとる。
g(e) = (1/|G|)Σ f(t)ρ(t)(e) = (1/|G|)Σ f(t)t
ここで、g(e) = 0 であるから、(1/|G|)Σ f(t)t = 0 である。
よって、全ての t ∈ G で f(t) = 0 となる。
即ち、f = 0 である。
証明終

432 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/10(木) 23:12:04
>>431の補足
>f ∈ Cent(G) がすべての (χ_i)~ と直交するとする。
>このとき、f = 0 を言えばよい。

すべての (χ_i)~ で生成される Cent(G) の部分線型空間を W とする。
>>244より、Cent(G) = W + W^⊥ (直和) となる。

f = 0 なら W^⊥ = 0 となり、Cent(G) = W である。
よって、任意の h ∈ Cent(G) に対して h~ = Σα_i(χ_i)~ と書ける。
よって、h = Σ(α_i)~(χ_i) と書ける。
即ち、Cent(G) は、すべての χ_i で生成される。

433 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/10(木) 23:18:24
命題
K を複素数体とする。
G を有限群とする。
χ_1, ..., χ_h を G の K 上の既約指標の全体とする。
h は G の共役類の個数に等しい。

証明
G 上の中心的(>>316)な複素数値関数全体を Cent(G) とする。
任意の f ∈ Cent(G) は、G の各共役類において定数をとる関数として
特徴付けられる。
よって、Cent(G) の K 上の次元は G の共役類の個数に等しい。
よって、>>431より、h は G の共役類の個数に等しい。
証明終

434 :132人目の素数さん:2009/09/10(木) 23:43:37
>>422
そいつが気になってしかたないんだろう
違うか?


435 :132人目の素数さん:2009/09/10(木) 23:44:40
キタ━━(゚∀゚)━( ゚∀)━( ゚)━( )━( )━(・ )━(∀・ )━(・∀・)━イイ!!!!
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436 :132人目の素数さん:2009/09/10(木) 23:45:26
中の人乙

437 :132人目の素数さん:2009/09/11(金) 02:03:40
>>355
得意の自演というやつかw

438 :132人目の素数さん:2009/09/11(金) 06:43:45
おい増田!
おまえの院生指導? チャンチャラ笑わせるなw
あれが指導かよ! このバーか

439 :132人目の素数さん:2009/09/11(金) 06:45:19
痴漢野郎
懲戒になるときも、グタグダぬかしやがって
往生際が悪かったなw

440 :132人目の素数さん:2009/09/11(金) 06:46:18
謝罪しろ
土下座して謝れ
おまえのことを許さん >猫

441 :132人目の素数さん:2009/09/11(金) 06:47:43
土下座しろ>猫

わかったか!

442 :132人目の素数さん:2009/09/11(金) 06:48:55
足をひっぱりやがって>猫

糞め

443 :132人目の素数さん:2009/09/11(金) 06:50:14
696 名前:猫は残飯 ◆ghclfYsc82 :2009/09/11(金) 06:39:42
オイ、コラ。ワシに文句言っとった馬鹿院生達、出て来んかい!!
ワシに文句言えるんならちゃんと言うてみよ!
ワシがココで訊いたるさかいナ。



697 名前:132人目の素数さん :2009/09/11(金) 06:42:04
おう! バカ? おまえがバカだろ!

をいをい、ここではまともそうな役回りをしているが
おまえが同僚についてボロクソに言っていたのを
言われた本人も含めて、みなが知っているわい!


444 :猫は残飯 ◆ghclfYsc82 :2009/09/11(金) 06:58:59
何だか荒れてますなぁ
一体何の騒ぎやねん!


445 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/11(金) 07:17:00
命題
K を複素数体とする。
G を位相アーベル群とし、V を K 上の有限次線形空間とする。
ρ を V における G の連続な線型表現(>>66)で既約(>>260)とする。

このとき、dim V = 1 である。
よって、ρ はその指標と同一視される。

証明
>>344より、任意の s ∈ G に対して ρ(s) = α(s)(1_V) となる
α(s) ∈ K が存在する。
このとき、dim V > 1 だと ρ は可約となって仮定に反する。
証明終

446 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/11(金) 07:20:31
>>445の証明において G の位相は何の働きもしていないことに注意。

447 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/11(金) 07:27:49
命題
K を複素数体とする。
G を有限群とする。
G の K 上のすべての既約表現の次数が1なら G はアーベル群である。

証明
χ_1, ..., χ_h を G の K 上の既約指標の全体とする。
>>428より、|G| = h である。
>>433より、G の各共役類は1個の元よりなる。
よって、 G はアーベル群である。
証明終

448 :132人目の素数さん:2009/09/11(金) 08:42:18
猫、いや増田
おまえが謝れ
まずはそれからだ

449 :132人目の素数さん:2009/09/11(金) 08:44:11


700 名前:猫は残飯 ◆ghclfYsc82 :2009/09/11(金) 07:54:36
あのね、ワシは何っちゅうて「誰を」、「どんな風に」
馬鹿にしたんでしたかね?
ちょっと覚えてないんでですね、
ココで思い出させてくれませんかね?

済みませんが宜しくお願いしますョ


ほうw おまえの同僚だよ
主任に何て言ったか思い出せよw

450 :猫は残飯 ◆ghclfYsc82 :2009/09/11(金) 09:18:22
ほう、何だか良く判らへんけど「同僚」じゃなくって:
「元同僚」
ってヤツですかね。まあ文句とか謝れとか
言わはるんやったら:
「先ずは自分の名前を名乗る」
事から始めましょうよ。そうでなければ:
「文句の内容に関する数学的な記述」
とかね、とにかく何かそういう話を公開
しはったらどうでっしゃろ!

そやないとワシは無視しますよ。
宜しいですわな。


451 :猫は残飯 ◆ghclfYsc82 :2009/09/11(金) 09:21:50
そうそう、そんでねぇ
「アンタの話みたいなママゴト」
は数学を真面目にやってはる人の迷惑になる
さかいね、何処か別の所でやりませんかね。

ココはちゃんと表現論の話をやってるんやからサ。


452 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/11(金) 10:30:44
命題
K を複素数体とする。
G と H を有限群とし、V を K 上の有限次線型空間とする。
ρ を V における G×H の連続な線型表現(>>66)で既約とする。

このとき、ρ は ρ_1※ρ_2 と同型である。
ここで、ρ_1 と ρ_2 は、それぞれ G と H の
K 上の連続な有限次線型表現で既約である。

証明
χ_1, ..., χ_h を G の K 上の既約指標全体とする。
ψ_1, ..., ψ_m を H の K 上の既約指標全体とする。
>>396より、χ_iψ_j, i = 1, ..., h, j = 1, ..., m は
G×H の既約指標である。

G と H は離散位相でコンパクト群とみなす。
μを G のHaar測度で μ(G) = 1 となるものとし、
νを H のHaar測度で ν(G) = 1 となるものとする。

i, j, k, l に対して i ≠ k なら
>>362より、
∫χ_i(s)ψ_j(t)χ_k(s)~ψ_l(t)~ dμ(s)dν(t)
= ∫χ_i(s)χ_k(s)~dμ(s)∫ψ_j(t)ψ_l(t)~ dν(t) = 0
同様に、j ≠ l なら
∫χ_i(s)ψ_j(t)χ_k(s)~ψ_l(t)~ dμ(s)dν(t) = 0

i = k かつ j = l なら
>>363より、
∫χ_i(s)ψ_j(t)χ_k(s)~ψ_l(t)~ dμ(s)dν(t)
= ∫χ_i(s)χ_k(s)~dμ(s)∫ψ_j(t)ψ_l(t)~ dν(t) = 0

(続く)

453 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/11(金) 10:31:40
>>452の続き

よって、χ_iψ_j, i = 1, ..., h, j = 1, ..., m は
Cent(G×H) における正規直交列である。
ここで、Cent(G×H) は G×H 上の中心的(>>316)な複素数値関数全体である。

f ∈ Cent(G×H) がすべての χ_iψ_j に対して
∫f(s, t)χ_i(s)~ψ_j(t)~ dμ(s)dν(t) = 0 とする。

ψ_j に対して、g_j(s) = ∫f(s, t)ψ_j(t)~ dν(t) とおく。

任意の u ∈ G に対して
g_j(u^(-1)su) = ∫f(u^(-1)su, t)ψ_j(t)~ dν(t)
= ∫f(s, t)ψ_j(t)~ dν(t)
= g_j(s)
よって、g は中心的である。

すべての i に対して
∫g_j(s)χ_i(s)~ dμ(s) = ∫χ_i(s)~ dμ(s)∫f(s, t)ψ_j(t)~ dν(t)
= ∫f(s, t)χ_i(s)~ψ_j(t)~ dμ(s)dν(t)
= 0

よって、>>431より、g_j = 0 である。

s を固定したとき、t → f(s, t) は中心的である。
すべての j に対して g_j(s) = ∫f(s, t)ψ_j(t)~ dν(t) = 0 であるから
f = 0 である。
よって、χ_iψ_j, i = 1, ..., h, j = 1, ..., m は
Cent(G×H) における正規直交基底である。
即ち、G×H 上の既約指標はこれ等で尽くされる。
証明終

454 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/11(金) 10:40:31
>>452の別証

命題
K を複素数体とする。
G と H を有限群とし、V を K 上の有限次線型空間とする。
ρ を V における G×H の連続な線型表現(>>66)で既約とする。

このとき、ρ は ρ_1※ρ_2 と同型である。
ここで、ρ_1 と ρ_2 は、それぞれ G と H の
K 上の連続な有限次線型表現で既約である。

証明
χ_1, ..., χ_h を G の K 上の既約指標全体とする。
ψ_1, ..., ψ_m を H の K 上の既約指標全体とする。
>>396より、χ_iψ_j, i = 1, ..., h, j = 1, ..., m は
G×H の既約指標である。

和 Σχ_i(e)^2ψ_j(e)^2 を考える。
ここで、和は、すべての組 (i, j) に渡る。
e はそれぞれ G と H の単位元である。

>>428より、
Σχ_i(e)^2ψ_j(e)^2 = (Σχ_i(e)^2)(Σψ_j(e)^2) = |G||H|

よって、χ_iψ_j, i = 1, ..., h, j = 1, ..., m は
G×H の既約指標を尽くす。
証明終

455 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/11(金) 10:45:37
>>452の補足
>ρ を V における G×H の連続な線型表現(>>66)で既約とする。

G×H は離散だから G×H 上の任意の有限次線型表現は連続である。
よって、「連続な」という形容詞は余計である。

456 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/11(金) 10:47:11
>>454の証明のほうがやや簡単だが、>>452の証明はコンパクト群の場合にも
通用するという利点がある。

457 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/11(金) 10:51:40
>>452の補足
>μを G のHaar測度で μ(G) = 1 となるものとし、

G 上の任意の複素数値関数 h に対して

∫ h(s) dμ(s) = (1/|G|)Σh(s) である。

Σ を使わなかったのは、コンパクト群の場合との共通性を保つためである。

458 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/11(金) 13:28:07
K を実数体または複素数体とする。
G を局所コンパクト群とし、E を K 上の位相線型空間とする。
U を G の E における線型表現(>>65)とする。
U が連続(>>66)になるための条件を調べる。

459 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/11(金) 13:58:03
命題
X を位相空間とし、Y を一様空間(過去スレ006の194)とする。
C(X, Y) を X から Y への連続写像全体とする。
C(X, Y) に一様収束の位相(過去スレ007の149)を与える。

C(X, Y)×X から Y への写像 (f, x) → f(x) は連続である。

証明
(f_0, x_0) ∈ C(X, Y)×X とする。
f_0(x_0) の任意の近縁 W をとる。
V^2 ⊂ W となる対称近縁 V をとる。

f_0 は連続だから x_0 の近傍 U があり、
任意の x ∈ U に対して (f_0(x), f_0(x_0)) ∈ V となる。

任意の x ∈ X に対して (f(x), f_0(x)) ∈ V となる
f ∈ C(X, Y) の全体を W(f_0, V) とする。
W(f_0, V) は f_0 の C(X, Y) における近傍である。

(f, x) ∈ W(f_0, V)×U とする。
(f(x), f_0(x)) ∈ V かつ (f_0(x), f_0(x_0)) ∈ V となる。
よって、(f(x), f_0(x_0)) ∈ V^2 ⊂ W である。
よって、(f, x) → f(x) は (f_0, x_0) で連続である。

(f_0, x_0) は C(X, Y)×X の任意の点であるから
本命題の主張が得られる。
証明終

460 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/11(金) 14:24:11
話は変わりますが、コンパクト群および局所コンパクト群の表現についての
良書というと、どんなものがあるんでしょうか?

私の持っているのは Weil, Pontryagin, 壬生、Hewitt-Ross くらいでして。
これ等は局所コンパクト群の表現論には深入りしてないし、古いですし。
類体論に使う局所コンパクトアーベル群上の位相解析には、
さしあたり表現論の深い結果はあまり必要ないんで、これらで間に合いますが。

461 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/11(金) 14:25:59
>>460
>類体論に使う局所コンパクトアーベル群上の位相解析には、

類体論に使う局所コンパクトアーベル群上の調和解析には、

462 :132人目の素数さん:2009/09/11(金) 14:47:14
>>439>>460 参考にする本が古すぎだな Weil の証明の方が筋がまとも
>局所コンパクトアーベル群上の調和解析
あんたのすきなブルバキがちゃんとあるのになんでコンパクト群かね

463 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/11(金) 14:47:57
T と X を位相空間、Y を一様空間(過去スレ006の194)とする。
写像 f: T×X → Y が与えられているとする。
各 x ∈ X で写像 f_x: t → f(t, x) が連続であるとする。
x ∈ X に対して f_x ∈ C(T, Y) を対応させる写像を ψ とする。

他方、T×C(T, Y) から Y への写像 (t, g) → g(t) を θ とする。

T×X から T×C(T, Y) への写像 1×ψ を考える。
ここで、 1 は T の恒等式 である。
(1×ψ)(t, x) = (t, f_x) である。

1×ψ と θ の合成 θ(1×ψ) は f に等しい:
θ(1×ψ)(t, x) = θ(t, f_x) = f_x(t) = f(t, x)

図式的に、
f: T×X → Y
= θ(1×ψ): T×X → T×C(T, Y) → Y

464 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/11(金) 14:54:16
>>462
>あんたのすきなブルバキがちゃんとあるのになんでコンパクト群かね

Bourbakiのスペクトル解析はまだ読んでないんでw
本は持ってますが。

465 :132人目の素数さん:2009/09/11(金) 15:07:22
ブルバキのスペクトル論はそのものズバリ
ポントリャーギン双対定理を扱っているのにね
まああれでもちょっともたついているが

466 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/11(金) 15:07:47
因みに、壬生はHewitt-Rossと非常に似てます。
証明の進め方、式の記号もそっくりです。
非難できる立場ではないですがw

467 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/11(金) 15:46:47
命題
T と X を位相空間、Y を一様空間(過去スレ006の194)とする。
写像 f: T×X → Y が与えられているとする。
各 x ∈ X に対して写像 : t → f(t, x) を f_x とおく。
各 t ∈ T に対して写像 : x → f(t, x) を f_t とする。

このとき、以下の条件が成り立てば f は連続である。

1) 各 x ∈ X で写像 f_x: t → f(t, x) は連続である。

2) H = {f_t; t ∈ T} は F(X, Y) において同程度連続(過去スレ009の315)である。
ここで、F(X, Y) は X から Y への写像全体である。

証明
x ∈ X に対して f_x ∈ C(T, Y) を対応させる写像を ψ とする。
即ち、ψ: X → C(T, Y)
ここで、C(T, Y) は T から Y への写像全体である。
C(T, Y) に一様収束の位相(過去スレ007の149)を与える。

2) より、任意の x_0 と、Y の任意の近縁 V に対して
x_0 の X での近傍 U が存在し、
任意の x ∈ U と任意の t ∈ T に対して (f(t, x), f(t, x_0)) ∈ V となる。
これは、写像 ψ: x → f_x が x_0 において連続であることを意味する。
よって、ψ: X → C(T, Y) は連続である。

一方、>>459より、T×C(T, Y) から Y への写像 θ: (t, g) → g(t) は連続である。

>>463より、1×ψ と θ の合成 θ(1×ψ) は f に等しい:
よって、f は連続である。
証明終

468 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/11(金) 16:59:40
>>465
>まああれでもちょっともたついているが

誤解のないように言っておきますが私は理論の展開を「クリアに」とか「綺麗に」
とか書くことにあまり重点を置いてないです。
また出来るだけ最新の方法を追求するとかも考えてないです。

それより「腑に落ちる」証明をしたいと思っています。
出来るだけ「自然な」証明というのも狙っています。
それから、非構成的な証明より構成的な証明とか。
歴史的な順序とかも気にしています(こだわるわけではないですが)。

以上は、私の願望でして、実際とは違うかもしれません。

469 :132人目の素数さん:2009/09/11(金) 17:07:46
>>468
言ってることが支離滅裂だな。

470 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/11(金) 17:16:13
>>462
>参考にする本が古すぎだな

だからお勧めを聞いてるわけでして

471 :132人目の素数さん:2009/09/11(金) 17:28:49
無茶苦茶だなあ。表現論に深入りせず
局所コンパクトアーベル群だけでいいなら
局所コンパクト群にまで手を広げる必要はない。
そんなところまで広げたら収拾がつかない。
いまでも収拾がついていないのに。

472 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/11(金) 17:49:05
>>471
表現論の良書を聞いたのは、将来の参考にするためです。
別に今、このスレに応用しようというわけではないです。
早く整数論に行きたいんで表現論はPeter-Weylにとどめておくつもりです。

473 :132人目の素数さん:2009/09/11(金) 18:13:29
>コンパクト群および局所コンパクト群の表現についての良書
こういう聞き方が既に笑っちゃうところだが
このような漠然とした言い方では何を知りたいのか
わからないな
コンパクト群だけなら範囲は限定されるけれど
局所コンパクト群となると方向性だけでも桁違いに広くなってしまうし
一般論ではつまらないし(そんなのをいまどき表現論なんて言わない)
まして良書なんて個人の好みによるだろうけど
考えつかないな
本格的なのはどれもこれも分厚いけどそれだけで何かを勉強できて
満足するようなものはない
Kummerの書いているものから推してどんなのが欲しいかは
想像できるが死ぬほど時間をかけてよまないといけないようなのを
良書だなんてとても言えないね

474 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/11(金) 18:23:13
>>473
入門書ですよ


475 :132人目の素数さん:2009/09/11(金) 18:27:46
そうだな良書とは思わないが
古風な面影を残した一般論の本だと
辰馬伸彦 位相群の双対定理 きのくにや
なんてあるぞ
現代の表現論を全然代表してないけど
Kummerごのみかも

476 :132人目の素数さん:2009/09/11(金) 18:30:10
>>474 入門と言ってもどこに入門したいかがわからんわけだ
局所コンパクト群の表現だけじゃ


477 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/11(金) 18:40:31
>>475
ありがとうございます。


478 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/11(金) 18:41:27
愚問でしたね。
数学辞典(3版ですが)のユニタリ氷原の項を見たら膨大で。
私としては、p進代数群の表現に興味ありますが。
ということで、この質問はなかったことに。

479 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/11(金) 18:42:14
ユニタリ表現

480 :132人目の素数さん:2009/09/11(金) 18:48:32
>この質問はなかったことに。

オマエ喧嘩売るつもりか
ふざけんのも大概にしろよ
ひとをおちょくりやがって


481 :132人目の素数さん:2009/09/11(金) 18:54:06
p−しんなんていちばんむずかしいぶんやだからな

それよりJacquet-Langlands 読め
はなしはそれからだ
あとは Harish-Chandra 全集と
Gelfand 全集の関係ある論文

482 :132人目の素数さん:2009/09/11(金) 19:06:54
Jacquet-Langlands の写経の方がいまのより役に立つ



どうかわからんな
この調子じゃな

483 :132人目の素数さん:2009/09/11(金) 19:42:15
      ____
     /      \
   /  _ノ  ヽ、_  \
  / o゚((●)) ((●))゚o \  ほんとはじゃっけらんぐらんずでやりたいんだお…
  |     (__人__)'    |
  \     `⌒´     /

       ____
     /      \
   /  _ノ  ヽ、_  \
  /  o゚⌒   ⌒゚o  \  でも表現論の専門的な知識がないと読めないお…
  |     (__人__)    |
  \     ` ⌒´     /

       ____
     /⌒  ⌒\
   /( ●)  (●)\
  /::::::⌒(__人__)⌒::::: \   だからばんぷでやるお!
  |     |r┬-|     |
  \      `ー'´     /

484 :132人目の素数さん:2009/09/11(金) 19:48:54
Bump か
イスラエルから来ていたな
ゲルファントの6巻のいちぶとか
いわさわーていととか講義してたな
知ってるないようだけどつきあいで聞いた

485 :132人目の素数さん:2009/09/11(金) 20:20:53
>>476
古典群の超尖点表現の入門書を教えてくれ

486 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/14(月) 16:43:36
補題
K を実数体または複素数体とする。
G を位相群とし、E を K 上の位相線形空間とする。
次の2条件が満たされるとき、ρ は連続(>>66)である。

1) 任意の s ∈ G に対して ρ(s) は連続である。

2) G の単位元 e の近傍 V で、V×E から E への写像 (s, x) → ρ(s)(x) が
連続となるものが存在する。

証明
s_0 を G の任意の点とする。
x_0 を E の任意の点とする。
T を E の 0 の任意の近傍とする。

1) より、0 の近傍 U で x ∈ U なら ρ(s_0)(x) ∈ T となるものが存在する。

2) より、e の近傍 W と 0 の近傍 S で
s ∈ W ∩ V かつ x ∈ x_0 + S なら ρ(s)(x) - ρ(e)(x_0) ∈ U
となるものが存在する。

よって、s ∈ W ∩ V かつ x ∈ x_0 + S なら
ρ(s_0s)(x) - ρ(s_0)(x_0) = ρ(s_0)(ρ(s)(x) - ρ(e)(x_0)) ∈ T

s_0(W ∩ V) は s_0 の近傍であるから
G×E から E への写像 (s, x) → ρ(s)(x) は、(s_0, x_0) で連続である。
(s_0, x_0) は G×E の任意の点であるから ρ は連続である。
証明終

487 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/14(月) 17:02:55
命題
K を実数体または複素数体とする。
G を位相群とし、E を K 上の位相線形空間とする。
ρ を G の E における線型表現(>>65)とする。
次の3条件が満たされるとき、ρ は連続(>>66)である。

1) 任意の s ∈ G に対して ρ(s) は連続である。

2) G の単位元 e の近傍 V で ρ(V) が L(E, E) において
同程度連続(過去スレ009の315)となるようなものが存在する。
ここで、L(E, E) は E から E への連続線型写像全体である。

3) E の密な部分集合 D で D の各点 x で s → ρ(s)x が連続となるような
ものが存在する。

証明
過去スレ009の351より、ρ(V) においては、
単純収束の一様構造(過去スレ007の154)と
D での単純収束の一様構造(過去スレ007の161)は一致する。
よって、各点 x ∈ E で写像 s → ρ(s)x は連続である。
よって、>>467より、V×E から E への写像 (s, x) → ρ(s)(x) は
連続である。
よって、>>486より、ρ は連続である。
証明終

488 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/14(月) 17:16:04
>>486の訂正
>次の2条件が満たされるとき、ρ は連続(>>66)である。

ρ を G の E における線型表現(>>65)とする。
次の2条件が満たされるとき、ρ は連続(>>66)である。

489 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/14(月) 17:44:38
命題
K を実数体または複素数体とする。
G を局所コンパクト群とし、E を K 上の樽型空間(過去スレ009の617)とする。
ρ を E における G の線型表現(>>65)とする。
次の2条件が満たされるとき、ρ は連続(>>66)である。

1) 任意の s ∈ G に対して ρ(s) は連続である。

2) E の各点 x で s → ρ(s)x は連続である。

証明
V を G の単位元 e のコンパクト近傍とする。
2) より、E での単純収束の位相(過去スレ007の161)で
ρ(V) は準コンパクトである。

任意の x ∈ E に対して、L(E, E) から E への写像 ψ_x: f → f(x) は
連続である。ここで、L(E, E) は E から E への連続線型写像全体である。

1) より、ρ(V) ⊂ L(E, E) であるから、ψ_x(ρ(V)) は準コンパクトである。
よって、E の任意の連続な半ノルム p に対して
p(ψ_x(ρ(V))) は有界である。
よって、過去スレ009の633より、ρ(V) は単純有界(過去スレ009の632)である。
よって、一般化されたBanach-Steinhausの定理(過去スレ009の634)より、
ρ(V) は同程度連続(過去スレ009の315)である。
よって、>>487より、ρ は連続である。
証明終

490 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/14(月) 20:21:52
>>489の訂正
>任意の x ∈ E に対して、L(E, E) から E への写像 ψ_x: f → f(x) は
>連続である。

任意の x ∈ E に対して、L(E, E) から E への写像 ψ_x: f → f(x) は
L(E, E) における単純収束の位相で連続である。

491 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/15(火) 08:09:32
補題
X をBaire 空間(過去スレ009の176)とする。
f を X 上の下半連続関数(過去スレ008の113)で有限値のみとるとする。
このとき、X の空でない開集合 U で sup{f(x); x ∈ U} < +∞ となるものが
存在する。

証明
A_n = {x ∈ X; f(x) ≦ n}, n = 1, 2, ... とおく。
各 A_n は閉集合であり、X = ∪A_n, n = 1, 2, ... である。
X はBaire空間だから、ある n に対して A_n は内点を持つ。
U としてこの A_n の内部をとればよい。
証明終

492 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/15(火) 08:32:10
補題
K を実数体または複素数体とする。
G を位相群とし、E を K 上のノルム空間とする。
ρ を E における G の線型表現(>>65)とする。
次の2条件が満たされるとする。

1) 任意の s ∈ G に対して ρ(s) は連続である。

2) E の密な部分集合 D で D の各点 x で s → ρ(s)x が連続となるような
ものが存在する。

このとき、G 上の関数 s → |ρ(s)| は下半連続(過去スレ008の113)である。

証明
|ρ(s)| = sup{ |ρ(s)x|; x ∈ D, |x| ≦ 1} であるから、
|ρ(s)| は下半連続である。
証明終

493 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/15(火) 08:43:36
補題
K を実数体または複素数体とする。
G を局所コンパクト群とし、E を K 上のノルム空間とする。
ρ を E における G の線型表現(>>65)とする。
次の2条件が満たされるとする。

1) 任意の s ∈ G に対して ρ(s) は連続である。

2) E の密な部分集合 D で D の各点 x で s → ρ(s)x が連続となるような
ものが存在する。

このとき、G 上の関数 s → |ρ(s)| は、G の任意のコンパクト集合 K 上で
有界である。

証明
過去スレ009の180より、G はBaire 空間(過去スレ009の176)である。
よって、>>492>>491より、
G の空でない開集合 U で M = sup{|ρ(s)|; s ∈ U} < +∞ となるものが
存在する。

G の任意のコンパクト集合 K は有限個の s_1U, ..., s_nU により被覆される。
任意の t ∈ U に対して
|ρ(s_it)| = |ρ(s_i)ρ(t)| ≦ |ρ(s_i)||ρ(t)| ≦ |ρ(s_i)|M である。

よって、関数 s → |ρ(s)| は K 上で有界である。
証明終

494 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/15(火) 08:58:22
命題
K を実数体または複素数体とする。
G を局所コンパクト群とし、E を K 上のノルム空間とする。
ρ を E における G の線型表現(>>65)とする。
次の2条件が満たされるとする。

1) 任意の s ∈ G に対して ρ(s) は連続である。

2) E の密な部分集合 D で D の各点 x で s → ρ(s)x が連続となるような
ものが存在する。

このとき、ρ は連続である。

証明
V を G の単位元 e のコンパクト近傍とする。
>>493より、G 上の関数 s → |ρ(s)| は、V 上で有界である。
M = sup{|ρ(s)|; s ∈ V} とおく。

任意の x ∈ に対して、
sup{|ρ(s)x|; s ∈ V} ≦ sup{|ρ(s)||x|; s ∈ V}
≦ M|x| < +∞

よって、過去スレ009の633より、ρ(V) は単純有界(過去スレ009の632)である。
よって、一般化されたBanach-Steinhausの定理(過去スレ009の634)より、
ρ(V) は同程度連続(過去スレ009の315)である。

よって、>>487より、ρ は連続である。
証明終

495 :β:2009/09/15(火) 10:27:14
おまえはまだ懲りずにオナニースレを書いているのか>くんまー

496 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/15(火) 10:39:53
補題
K を実数体または複素数体とする。
G を局所コンパクト群とし、μ を G 上のHaar測度とする。
f を K(G, K) (過去スレ009の21) の任意の元とする。
任意の s ∈ G に対して
ψ(s)f ∈ K(G, K) を ψ(s)f(x) = f(sx) により定義する。

p を 1 ≦ p < +∞ となる実数とする。
L^p(G, K, μ) (過去スレ008の299) におけるノルムを N_p と書く。
即ち、N_p(g) = (∫ |g|^p dμ)^(1/p) である。

このとき、任意の実数 ε > 0 に対して G の単位元 e の近傍 U があり、
st^(-1) ∈ U なら N_p(ψ(s)f - ψ(t)f) ≦ ε となる。

証明
S = Supp(f) とおく。
W を G の単位元 e の近傍でコンパクトかつ対称(W = W^(-1))とする。
S はコンパクトであるから、G の単位元 e の近傍 U ⊂ W で
st^(-1) ∈ U なら |f(s) - f(t)| < μ(WS)^(-1/p) ε となるものがある。

st^(-1) ∈ U のとき、
N_p(ψ(s)f - ψ(t)f)^p = ∫ |ψ(s)f - ψ(t)f|^p dμ
= ∫ |f(sx) - f(tx)|^p dμ(x)
= ∫ |f(st^(-1)x) - f(x)|^p dμ  ← μ は Haar測度だから
= ∫[WS] |f(st^(-1)x) - f(x)|^p dμ(x)
≦ ε^p
証明終

497 :猫は残飯 ◆ghclfYsc82 :2009/09/15(火) 11:23:26
>>495
ワシはアンタを狙っています。覚悟する様に。


498 :132人目の素数さん:2009/09/15(火) 11:25:51
Kummerさん:どうしてTeX形式で書かれないのですか?
TeX書式で書いてもらった方が有難いのですが。
st^(-1) \in U って書いてもらってOKですよ。
我々全員TeXでも読めますので。

499 :猫は残飯 ◆ghclfYsc82 :2009/09/15(火) 11:37:04
ほんでやね、βは今何処で何してんねん!
ちょっとココへでも顔出さんかいな。
ワシが相手したるさかいナ。
出て来るんやったら早よせえよ、
人の迷惑になるさかいナ。


500 :β:2009/09/15(火) 12:01:52
ほう・・・おまえはその存在が迷惑であることが分からないらしい脳wWWWW

501 :β:2009/09/15(火) 12:05:34
鶴巻温泉がなにか?wWWWWWWWW

大爆笑

502 :猫は残飯 ◆ghclfYsc82 :2009/09/15(火) 12:24:39
ほんで、どないしたん?
ワシの存在がアンタには迷惑っちゅう事を良く知ってる
さかいココに居るのや! 判ったか!


503 :猫は残飯 ◆ghclfYsc82 :2009/09/15(火) 12:26:30
オマエが直ぐにレスせえへんかったら
もっと追い詰めたるゾ
そやし早うせえや!


504 :猫は残飯 ◆ghclfYsc82 :2009/09/15(火) 12:30:00
ワシはオマエの事を睨んでるだけでやね、
そんなドアホを見てもとても笑えないわなァ
そやけどアンタは大爆笑かいな!
そんな腐った頭で何笑ってんねん!
ちょっと言うてみいや、
ワシが読んだるさかい、
早く早く早く

オラオラ


505 :β:2009/09/15(火) 12:37:59
どうやって追い詰めるのかwWWW 
ほら、やってみろよ はようw

506 :132人目の素数さん:2009/09/15(火) 12:49:58
おまえは死ねばそれでいい

507 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/15(火) 13:02:35
命題
K を実数体または複素数体とする。
G を局所コンパクト群とし、μ を G 上のHaar測度とする。
p を 1 ≦ p < +∞ となる実数とする。
f を L^p(G, K, μ) (過去スレ008の299) の任意の元とする。
任意の s ∈ G に対して
γ(s)f ∈ L^p(G, K, μ) を γ(s)f(x) = f(s^(-1)x) により定義する。

このとき、γ は Banach空間 L^p(G, K, μ) における G の連続な線型表現である。

証明
s → γ(s) が G の線型表現であることは明らかである。

過去スレ012の495より、f ∈ L^p(G, K, μ) のとき、
∫ |γ(s)f|^p dμ = ∫ |f(s^(-1)x)|^p dμ(x) = ∫ |f(x)|^p dμ(x)
即ち、N_p(γ(s)f) = N_p(f) である。
よって、γ(s) は連続である。

>>496より、f ∈ K(G, K) (過去スレ009の21) のとき、写像 s → γ(s)f は
G から L^p(G, K, μ) への連続写像である。
過去スレ008の343より、K(G, K) は L^p(G, K, μ) において稠密である。
よって、>>494より、γ は連続である。
証明終

508 :132人目の素数さん:2009/09/15(火) 13:04:21
こん

509 :132人目の素数さん:2009/09/15(火) 13:05:15
猫ってだれなの?





510 :132人目の素数さん:2009/09/15(火) 13:06:25
IHESに行って来たけど、誰か最近行った人いますか?

511 :132人目の素数さん:2009/09/15(火) 14:01:42
このスレに書いて有る事項くらいもう既知だと思いますが
βさん、あなたの証明した定理はどういうメリットがあるのですか?







アホのβ調子こいとったらぶっ潰したるからな、ハゲが。

512 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/17(木) 12:56:45
定義
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のHilbert空間(過去スレ010の600)とする。
T: E → E を連続な線型写像とする。

T = T^* となるとき、T をHermite写像または自己随伴写像という。
ここで、T^* は T の随伴写像(>>128)である。

513 :β:2009/09/17(木) 13:56:02
メリット?知らんな
しかし一流紙に載っているのでそれを見てくれ

514 :β:2009/09/17(木) 14:01:19
クンマーは自分で定理をつくって、それをここで証明したらどうか?

515 :猫は残飯 ◆ghclfYsc82 :2009/09/17(木) 15:06:44
一流誌ねぇ、ソラ是非とも見せて貰わんとアカンなぁ
そやしネ、どの雑誌の何番何号の何ページとかだけでも
言うて貰わんと誰も信用せえへんがな!

アンタ、まさか「狼少年」とは違うんやろ!
データくらいはちゃんと出せや


516 :猫は残飯 ◆ghclfYsc82 :2009/09/17(木) 15:10:45
>>510
ちょっと質問なんですけどネ、最近はお庭の音楽堂で
時々ちゃんと音楽会とか演奏会をやっていますか?

また「夏の常連」の面々ですけどね、ゲルファントとか
メーザーとか来てました?

覚えていたら教えて下さい。




517 :β:2009/09/17(木) 15:24:22
織れの論文?そんなもん、シュプリンがーリンク、
サイエンスダイレクト、プロジェクトユークリッ都
とか見れば、ざっと三十数個は見られるよ

518 :132人目の素数さん:2009/09/17(木) 17:08:37
わいは女のお万個をふたつしか知らない
日本には6千万くらいおマンコがあると聞いているが、
齢50になっても、そのうちの2つしか知らないというのは
どういうことなのか?

519 :132人目の素数さん:2009/09/17(木) 19:07:41
>>517
言ってて恥ずかしくならんの?

520 :猫は残飯 ◆ghclfYsc82 :2009/09/17(木) 20:01:27
いいの、いいの。馬鹿が自滅するのを皆で観賞しましょうよ。


521 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/18(金) 12:51:38
K を実数体または複素数体とする。
G を有限群とする。
K[G] (>>423)の基底は G の元であるから積が定義される。
この積を K[G] の元の間の積に線型的に拡大することにより、
K[G] は環となる。
これを G の K 上の群代数と呼ぶ。

G から K への写像全体を C(G, K) とする。
G の元 x = Σ(x_t)t, t ∈ G, x_t ∈ K に、
写像 t → x_t を対応させることにより、K[G] から C(G, K) への
全単射が得られる。
この全単射により、K[G] と C(G, K) を同一視する。

f, g ∈ C(G, K) のとき、f と g の K[G] における積を f*g と書くことにする。
f*g(s) = Σf(t)g(u), tu = s
よって、f*g(s) = Σf(su^(-1))g(u), u ∈ G

f ∈ C(G, K) のとき、写像 g → f*g を T(f) と書く。
T(f) ∈ Hom(C(G, K), C(G, K)) である。
ここで、Hom(C(G, K), C(G, K)) は C(G, K) から C(G, K) への
線型写像全体である。

(f*g)*h = f*(g*h) であるから T(f*g) = T(f)T(g) である。

(続く)

522 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/18(金) 12:53:48
>>521の続き

f ∈ C(G, K) のとき、s → f(s^(-1))~ を f^* と書く。
ここで、f(s^(-1))~ は f(s^(-1)) の複素共役である。
C(G, K) に Hermite形式 <f, g> = (1/|G|)Σf(s)g(s)~ を入れて
Hilbert空間とする。

f, g, h ∈ C(G, K) のとき、

<f*g, h> = (1/|G|)Σ(Σf(su^(-1))g(u))h(s)~
= (1/|G|)Σg(u)(Σf^*(us^(-1))~h(s)~)
= <g, (f^*)*h>

よって、写像 g → f*g の随伴写像(>>128)は h → (f^*)*h である。
即ち、T(f)^* = T(f^*)

f = f^* のとき T(f) はHermite写像(>>512)となる。

523 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/18(金) 12:58:25
>>521の訂正
>G の元 x = Σ(x_t)t, t ∈ G, x_t ∈ K に、
>写像 t → x_t を対応させることにより、K[G] から C(G, K) への
>全単射が得られる。

K[G] の元 x = Σ(x_t)t, t ∈ G, x_t ∈ K に、
写像 t → x_t を対応させることにより、K[G] から C(G, K) への
全単射が得られる。

524 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/19(土) 07:24:23
>>522の続き

s ∈ G と g ∈ C(G, K) に対して δ(s)g(x) = g(xs) とおく。
δ(st)g(x) = g(xst) = δ(s)δ(t)g(x)
よって、δ(st) = δ(s)δ(t)
即ち、s → δ(s) は G の C(G, K) における表現である。

<δ(s)g, δ(s)h> = (1/|G|)Σg(xs)h(xs)~ = (1/|G|)Σg(x)h(x)~
= <g, h>
よって、s → δ(s) はユニタリ表現である。

一方、線型代数で良く知られているように T(f) の固有値は全て実数である。
α_1, ..., α_r をその相異なる固有値全体とし、
W(α_1), ..., W(α_r) を各々の固有空間とする。
i ≠ j なら W(α_i) と W(α_j) は直交し、
C(G, K) = W(α_1) + ... + W(α_r) (直和) となる。

α = α_i を T(f) の固有値の一つとする。

g ∈ W(α) なら f*g = αg であるから、
αg(x) = Σf(xy^(-1))g(y)

s を G の任意の元とし、x を xs で置き換えれば、
αg(xs) = Σf(xsy^(-1))g(y) = Σf(xs(ys)^(-1))g(ys)
= Σf(xy^(-1))g(ys)
即ち、αδ(s)g = f*δ(s)g

よって、δ(s) は W(α) を不変にする。
即ち、C(G, K) = W(α_1) + ... + W(α_r) (直和) は、ユニタリ表現 δ(s) の
分解である。

525 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/22(火) 18:16:37
K を実数体または複素数体とする。
G をコンパクト群とする。
μ を G のHaar測度で μ(G) = 1 となるものとする。
G から K への連続写像全体を C(G, K) とする。

f, g ∈ C(G, K) のとき、>>521を真似て、
f*g(x) = ∫f(xy^(-1))g(y) dμ(y) とおく。
(x, y) → f(xy^(-1))g(y) は連続であるから、
過去スレ010の253(および259)より、f*g ∈ C(G, K) である。

f*g を f と g の畳み込み(convolution)または合成積と呼ぶ。
合成積はフランス語の produit de composition の訳である。

f, g, h ∈ C(G, K) のとき、
f*(g*h)(x) = ∫ f(xy^(-1))g*h(y) dμ(y)
= ∫ f(xy^(-1)) dμ(y)∫ g(yz^(-1))h(z) dμ(z)
= ∫ h(z) dμ(z)∫ f(xy^(-1))g(yz^(-1)) dμ(y)  ← 積分の順序交換
= ∫ h(z) dμ(z)∫ f(x(yz)^(-1))g(y) dμ(y)  ← y を yz に置き換える
= ∫ h(z) dμ(z)∫ f(xz^(-1)y^(-1))g(y) dμ(y)
= ∫ f*g(xz^(-1)h(z) dμ(z)
= (f*g)*h

よって、C(G, K) は畳み込みにより環となる。
ただし、一般的にこの環は単位元を持たない。

526 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/22(火) 18:19:50
>>525の修正
>f, g, h ∈ C(G, K) のとき、
>f*(g*h)(x) = ∫ f(xy^(-1))g*h(y) dμ(y)
>= ∫ f(xy^(-1)) dμ(y)∫ g(yz^(-1))h(z) dμ(z)
>= ∫ h(z) dμ(z)∫ f(xy^(-1))g(yz^(-1)) dμ(y)  ← 積分の順序交換
>= ∫ h(z) dμ(z)∫ f(x(yz)^(-1))g(y) dμ(y)  ← y を yz に置き換える
>= ∫ h(z) dμ(z)∫ f(xz^(-1)y^(-1))g(y) dμ(y)
>= ∫ f*g(xz^(-1)h(z) dμ(z)
>= (f*g)*h

f, g, h ∈ C(G, K) のとき、
f*(g*h)(x) = ∫ f(xy^(-1))g*h(y) dμ(y)
= ∫ f(xy^(-1)) dμ(y)∫ g(yz^(-1))h(z) dμ(z)
= ∫ h(z) dμ(z)∫ f(xy^(-1))g(yz^(-1)) dμ(y)  ← 積分の順序交換
= ∫ h(z) dμ(z)∫ f(x(yz)^(-1))g(y) dμ(y)  ← y を yz に置き換える
= ∫ h(z) dμ(z)∫ f(xz^(-1)y^(-1))g(y) dμ(y)
= ∫ f*g(xz^(-1)h(z) dμ(z)
= (f*g)*h(x)

527 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/22(火) 19:04:41
>>525の続き

C(G, K) に正値Hermite形式(過去スレ010の593)
<f, g> = ∫ f(x)g(x)~ dμ(x) を入れて前Hilbert空間(過去スレ010の598)とする。

f ∈ C(G, K) のとき、x → f(x^(-1))~ を f^* と書く。

f, g, h ∈ C(G, K) のとき、

<f*g, h> = ∫ h(x)~ dμ(x)∫ f(xy^(-1)g(y) dμ(y)
= ∫ g(y) dμ(y)∫ f(xy^(-1)h(x)~ dμ(x)
= ∫ g(y) dμ(y)∫ (f(yx^(-1))^*)~h(x)~ dμ(x)
= ∫ g(y)((f^*)*h(y))~ dμ(y)
= <g, (f^*)*h>

>>521を真似して、f ∈ C(G, K) のとき、写像 g → f*g を T(f) と書く。
即ち、T(f)(g)(x) = ∫ f(xy^(-1)g(y) dμ(y) である。

T(f)(g) = αg が g ≠ 0 となる解をもつとき、α ∈ K を T(f) の固有値という。
方程式 T(f)(g) = αg
即ち、
∫ f(xy^(-1)g(y) dμ(y) = αg(x)
を、f(xy^(-1)) を連続核にもつ積分方程式という。

>>524のように f = f^* のときに T(f) の固有値とその固有空間を調べたいが、
その前に、G 上の連続核をもつ積分方程式について調べることにする。

528 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/22(火) 20:07:02
命題
K を実数体または複素数体とする。
G をコンパクト群とする。
μ を G のHaar測度で μ(G) = 1 となるものとする。
G から K への連続写像全体を C(G, K) とする。
k(x, y) を G×G から K への連続関数とする。

f ∈ C(G, K) に対して T(f)(x) = ∫ k(x, y)f(y) dμ(y) とおく。
このとき、T(f) ∈ C(G, K) である。

(f_n), n = 1, 2, ... を C(G, K) の元の列で有界とする。
このとき、(T(f_n)), n = 1, 2, ... は、
C(G, K) のノルム |g|_b = sup{g(x); x ∈ G} に関して
収束する部分列をもつ。

証明
f ∈ C(G, K) のとき、過去スレ010の253(および259)より、
T(f) ∈ C(G, K) である。

(f_n), n = 1, 2, ... を C(G, K) の元の列で有界とする。
|f_n| ≦ M, n = 1, 2, ...とする。
M ≠ 0 と仮定してよい。

(続く)

529 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/22(火) 20:08:33
>>528の続き

k(x, y) は G×G 上で一様連続であるから
任意の ε > 0 に対して単位元 e 近傍 U があり、
任意の y ∈ G と xz^(-1) ∈ U となる x, z ∈ G に対して
|k(x, y) - k(z, y)| < ε となる。

よって、xz^(-1) ∈ U のとき、任意の整数 n ≧ 1 に対して
|T(f_n)(x) - T(f_n)(z)| ≦ ∫ |k(x, y) - k(z, y)||f_n(y)| dμ(y)
≦ εM

よって、(T(f_n)), n = 1, 2, ... は、同程度一様連続(過去スレ009の316)
である。

一方、任意の整数 n ≧ 1 に対して
各 x ∈ G において
|T(f_n)(x)| ≦ ∫ |k(x, y)||f_n(y)| dμ(y) ≦ CM
ここで、 C = sup{|k(x, y)|; (x, y) ∈ G×G}

以上から、Ascoliの定理(過去スレ009の494)より、(T(f_n)), n = 1, 2, ... は
C(G, K) においてノルム |g|_b = sup{g(x); x ∈ G} に関して
相対コンパクトである。
よって、収束する部分列をもつ。
証明終

530 :132人目の素数さん:2009/09/22(火) 21:14:19
スレッド
 固定ハンドルが題名に入っている・固定ハンドルが占用している・
閉鎖的な使用法を目的としている・等は、自己紹介板・最悪板・夢・
独り言板・おいらロビー・なんでもあり板以外では、原則として
全て削除または移動対象にします。


531 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/23(水) 09:16:13
定義
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上のノルム空間(過去スレ006の561)とする。
T: E → F を線型写像とする。

E の任意の有界な点列 (x_n), n = 1, 2, ... に対して
(T(x_n)), n = 1, 2, ... が収束する部分列を含むとき
T をコンパクトまたは完全連続な線型写像という。

532 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/23(水) 10:02:50
命題(Heine-Borel-Lesbesgueの定理の変形)
X を距離空間とする。
X の部分集合 S が相対コンパクトであるためには、S に含まれる任意の点列が
X において収束する部分列を含むことが必要十分である。

証明
必要なことは、Heine-Borel-Lesbesgueの定理(過去スレ009の519)より明らかである。

S に含まれる任意の点列が X において収束する部分列を含むとする。
S~ を S の閉包とする。
(x_n), n = 1, 2, ... を S~ に含まれる点列とする。

S の点列 (y_n), n = 1, 2, ... で d(x_n, y_n) < 1/n, n = 1, 2, ... と
なるものが存在する。
仮定より、(y_n) は収束する部分列 (y_n_m), m = 1, 2, ... を含む。
ここで、 (n_m), m = 1, 2, ... は n_1 < n_2 < ... となる自然数列である。
lim y_n_m = a とする。

任意の ε > 0 に対して 1/n_k < ε となる k がある。
k を十分大きくとれば、m ≧ k のとき、d(y_n_m, a) < ε と仮定してよい。
d(x_n_m, a) ≦ d(y_n_m, a) + d(y_n_m, x_n_m) < ε + 1/n_m < 2ε
よって、(x_n) の部分列 (x_n_m), m = 1, 2, ... は a に収束する。

よって、Heine-Borel-Lesbesgueの定理(過去スレ009の519)より
S~ はコンパクトである。
証明終

533 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/23(水) 11:09:37
命題
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上のノルム空間(過去スレ006の561)とする。
T: E → F を線型写像とする。

T がコンパクト(>>531)であるためには、E の任意の有界な部分集合 M に対して、
T(M) が相対コンパクト(過去スレ009の364)であることが必要十分である。

証明
>>532より、本命題は明らかである。
証明終

534 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/23(水) 11:18:30
命題
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上のノルム空間(過去スレ006の561)とする。
T: E → F を線型写像とする。

T がコンパクト(>>531)なら T は連続である。

証明
M = {x ∈ E; |x| ≦ 1} とおく。
>>533より、T(M) は相対コンパクトである。
従って、T(M) は有界である。
即ち、sup{|T(x)| ; x ∈ E, |x| ≦ 1 } < +∞ である。
よって、過去スレ006の693より、T は連続である。
証明終

535 :猫は珍獣 ◆ghclfYsc82 :2009/09/23(水) 11:18:31
>>530
その注意事項は何処に記述があるのでしょうか?
明確にご説明して戴きます。




536 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/23(水) 11:31:39
定義
K を可換体とする。
E を K 上の線形空間とする。
T: E → E を線型写像とする。

α ∈ K に対して T(x) = αx となる x ≠ 0 が存在するとき、
α を T の固有値といい、x を α の固有ベクトルと言う。
このとき、 W = {x ∈ E; T(x) = αx } を α の固有空間と呼ぶ。

537 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/23(水) 13:32:44
命題
K を可換体とする。
E を K 上の線形空間とする。
T: E → E を線型写像とする。
α_1, ..., α_n を T の相異なる固有値(>>536)とする。
x_1, ..., x_n をそれぞれ α_1, ..., α_n の固有ベクトル(>>536)とする。

このとき、x_1, ..., x_n は K 上、一次独立である。

証明
x_1, ..., x_n が K 上、一次独立でないとする。

x_m = β_1x_1 + ... + β_(m-1)x_(m-1) となる m と
K の元 β_1, ..., β_(m-1) がある。
ここで、x_1, ..., x_(m-1) は K 上、一次独立である。

この等式の両辺に T - α_mI を作用させと、
(T - α_mI)(x_m)
= β_1(α_1 - α_m)x_1 + ... + β_(m-1)(α_(m-1) - α_m)x_(m-1)

この左辺は 0 であるから
0 = β_1(α_1 - α_m)x_1 + ... + β_(m-1)(α_(m-1) - α_m)x_(m-1)

x_1, ..., x_(m-1) は K 上、一次独立であるから、
β_1(α_1 - α_m) = ... = β_(m-1)(α_(m-1) - α_m) = 0

仮定より、α_1, ..., α_n は相異なるから、
β_1 = β_2 = ... = β_(m-1) = 0
よって、x_m = β_1x_1 + ... + β_(m-1)x_(m-1) = 0
これは x_m ≠ 0 に反する。
証明終

538 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/24(木) 11:36:35
補題(Riesz)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のノルム空間(過去スレ006の561)とする。
F を E の閉部分空間で F ≠ E とする。
このとき、任意の実数 0 < α < 1 に対して z ∈ E で、
|z| = 1 かつ任意の y ∈ F に対して |z−y| > α となるものが存在する。

証明
v ∈ E - F を任意にとる。
λ = inf{|v - y|; y ∈ F} とおく。
F は閉だから λ > 0 である。
λ < λ/α であるから
λ ≦ |v - y_0| < λ/α となる y_0 ∈ F がある。

μ = 1/|v - y_0| とおき、z = μ(v - y_0) とおく。
|z| = 1 である。

任意の y ∈ F に対して、
|z - y| = |μ(v - y_0) - y| = μ|v - y_0 - μ^(-1)y|
= μ|v - y_1|
ここで、y_1 = y_0 + μ^(-1)y

y_1 ∈ F であるから、|v - y_1| ≧ λ

|z - y| = μ|v - y_1| ≧ μλ = λ/|v - y_0| > α
証明終

539 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/24(木) 12:49:10
命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のノルム空間(過去スレ006の561)とする。
T: E → E をコンパクト線型写像(>>531)とする。
このとき、T の固有値(>>536)の集合は高々可算(空も含む)である。
しかも、この固有値集合が集積点をもつならそれは 0 である。

証明(Kreyszig: Introductory functional analysis with applications)
任意の実数 k > 0 に対して |λ| ≧ k となる T の固有値 λ の集合が
有限集合であることを証明すればよい。

ある実数 k_0 > 0 に対して、これが成り立たないと仮定する。
T の固有値の可算無限列 (λ_n), n = 1, 2, ... で
n ≠ m なら λ_n ≠ λ_m となるものが存在する。
各 n に対して x_n を λ_n の固有ベクトル(>>536)とする。
>>537より列 (x_n), n = 1, 2, ... は一次独立である。

各 n に対して M_n を x_1, x_2, ..., x_n で生成される E の部分線型空間とする。
任意の x ∈ M_n は x = α_1x_1 + ... + α_nx_n と一意に書ける。
よって、
(T - λ_nI)x = α_1(λ_1 - λ_n)x_1 + ... + α_(n-1)(λ_(n-1) - λ_n)x_(n-1)
よって、(T - λ_nI)(M_n) ⊂ M_(n-1)

過去スレ006の680より、各 M_n は E の閉部分空間である。
よって、Rieszの補題(>>538)より、列 (y_n), n = 1, 2, ... で、
y_n ∈ M_n, |y_n| = 1, 任意の x ∈ M_(n-1) に対して |y_n - x| ≧ 1/2
となるものが存在する。

(続く)

540 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/24(木) 12:50:25
>>539の続き

n > m なら |T(y_n) - T(y_m)| ≧ (1/2)k_0 を示そう。

y = λ_ny_n - T(y_n) + T(y_m) とおく。
y_m ∈ M_m ⊂ M_(n-1)
よって、T(y_m) ∈ T(M_(n-1))
一方、T(x_i) = λ_ix_i, i = 1, 2, ..., n-1 であるから
T(M_(n-1)) ⊂ T(M_(n-1)) である。
よって、T(y_m) ∈ M_(n-1)

一方、>>539 より、λ_ny_n - T(y_n) = -(T - λ_nI)(y_n) ∈ M_(n-1)
よって、 y ∈ M_(n-1)
よって、 x = (λ_n)^(-1)y ∈ M_(n-1)

|T(y_n) - T(y_m)| = |λ_ny_n - y| = |λ_n||y_n - x| ≧ (1/2)k_0
k_0 > 0 であるから列 (T(y_n)), n = 1, 2, ... は収束する部分列を含まない。
これは、T がコンパクトであることに矛盾する。
証明終

541 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/24(木) 14:04:14
命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のノルム空間(過去スレ006の561)とする。
T: E → E をコンパクト線型写像(>>531)とする。
λ ≠ 0 を T の固有値とする。
このとき、λ の固有空間(>>536) W は有限次元である。

証明
B = {x ∈ W; |x| ≦ 1} とおく。
(x_n), n = 1, 2, ... を B の任意の点列とする。
T はコンパクトだから、列 (T(x_n)), n = 1, 2, ... は
収束する部分列 (T(x_n_k)), k = 1, 2, ... を含む。
lim T(x_n_k) = x とする。
T(x_n_k) = λx_n_k であるから x_n_k = λ^(-1)T(x_n_k) である。
よって、lim x_n_k = λ^(-1)x
B は閉集合であるから lim x_n_k ∈ B である。
よって、Heine-Borel-Lesbesgueの定理(過去スレ009の519)より
B はコンパクトである。
よって、過去スレ006の687より、W は有限次元である。
証明終

542 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/24(木) 14:28:57
命題
K を複素数体とする。
E を K 上の分離的な前Hilbert空間(過去スレ010の598)とする。
T: E → E を線型写像とする。
任意の x ∈ E に対して <Tx, x> = <x, Tx> とする。

このとき、T の固有値(>>536)は実数である。

証明
λ を T の固有値(>>536)とし、x ≠ 0 をその固有ベクトル(>>536)とする。

仮定より、<Tx, x> = <x, Tx>
よって、
<λx, x> = <x, λx>
よって、
λ<x, x> = λ~<x, x>
E は分離的であるから <x, x> ≠ 0 である。
よって、λ = λ~
証明終

543 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/24(木) 14:32:56
命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の分離的な前Hilbert空間(過去スレ010の598)とする。
T: E → E を線型写像とする。
任意の x, y ∈ E に対して <Tx, y> = <x, Ty> とする。

λ ≠ μ を T の固有値(>>536)とする。
x と y をそれぞれ λ と μ の固有ベクトル(>>536)とする。

このとき、<x, y> = 0 である。

証明
>>542より λ および μ は実数である。

仮定より、<Tx, y> = <x, Ty>
よって、<λx, y> = <x, μy>
よって、λ<x, y> = μ<x, y>
よって、(λ - μ)<x, y> = 0
λ ≠ μ であるから <x, y> = 0 である。
証明終

544 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/24(木) 14:50:49
定義
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の分離的なHilbert空間(過去スレ010の598)とする。
T: E → E を連続な線型写像とする。
任意の x, y ∈ E に対して <Tx, y> = <x, Ty> となるとき、
T をHermite写像または自己随伴写像という。

この定義は>>512の拡張になっている。

545 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/24(木) 15:16:53
>>544の訂正

定義
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の分離的な前Hilbert空間(過去スレ010の598)とする。
T: E → E を連続な線型写像とする。
任意の x, y ∈ E に対して <Tx, y> = <x, Ty> となるとき、
T をHermite写像または自己随伴写像という。

この定義は>>512の拡張になっている。

546 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/24(木) 17:04:56
命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の分離的な前Hilbert空間(過去スレ010の598)とする。
T: E → E をHermite写像(>>545)とする。

このとき、
|T| = sup{|<Tx, x>|; |x| = 1, x ∈ E}
となる。
ここで、|T| = sup{|Tx|; |x| = 1, x ∈ E} である。

証明(吉田耕作: 積分方程式論(岩波全書))
α = sup{|<Tx, x>|; |x| = 1, x ∈ E} とおく。
Cauchy-Schwarzの不等式(過去スレ010の594)より
|x| = 1 のとき、
|<Tx, x>| ≦ |Tx||x| ≦ |T|
よって、α ≦ |T|

任意の x ∈ E, x ≠ 0 に対して y = x/|x| とおく。
|y| = 1 であるから |<Ty, y>| ≦ α
よって、|<Tx, x>|/|x|^2 ≦ α
よって、|<Tx, x>| ≦ α|x|^2

(続く)

547 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/24(木) 17:05:51
>>546の続き

よって、 |x| = 1, |y| = 1 とすると、
<T(x + y), x + y> = <Tx, x> + <Ty, y> + <Tx, y> + <Ty, x>
= <Tx, x> + <Ty, y> + 2Re(<Tx, y>) ≦ α|x + y|^2

<T(x - y), x - y> = <Tx, x> + <Ty, y> - <Tx, y> - <Ty, x>
= <Tx, x> + <Ty, y> - 2Re(<Tx, y>) ≧ -α|x - y|^2

よって、
4Re(<Tx, y>)
= <Tx, x> + <Ty, y> + 2Re(<Tx, y>) - (<Tx, x> + <Ty, y> - 2Re(<Tx, y>))
≦ α(|x + y|^2 + |x - y|^2) = 2α(|x|^2 + |y|^2) = 4α

よって、
Re(<Tx, y>) ≦ α

Tx ≠ 0 なら y = Tx/|Tx| とすると、
Re(<Tx, Tx/|Tx|>) ≦ α
よって、<Tx, Tx> ≦ α|Tx|
即ち、|Tx| ≦ α

Tx = 0 なら |Tx| ≦ α
よって、|T| ≦ α
証明終

548 :132人目の素数さん:2009/09/24(木) 17:09:15
おいクンマー
おまえ、2ちゃんねるスレ立て規則に違反しているぞ

削除しろ、このスレと過去スレ全部を




549 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/24(木) 17:13:41
>>547の補足
>よって、 |x| = 1, |y| = 1 とすると、
><T(x + y), x + y> = <Tx, x> + <Ty, y> + <Tx, y> + <Ty, x>
>= <Tx, x> + <Ty, y> + 2Re(<Tx, y>) ≦ α|x + y|^2

任意の z ∈ E に対して、<Tz, z> = <z, Tz> = <Tz, z>~
よって、<Tz, z> は実数である。

一方、>>546より、|<T(x + y), x + y>| ≦ α|x + y|^2
よって、<T(x + y), x + y> ≦ α|x + y|^2

550 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/24(木) 17:24:29
>>547の補足
>よって、
>4Re(<Tx, y>)
>= <Tx, x> + <Ty, y> + 2Re(<Tx, y>) - (<Tx, x> + <Ty, y> - 2Re(<Tx, y>))
>≦ α(|x + y|^2 + |x - y|^2) = 2α(|x|^2 + |y|^2) = 4α

過去スレ010の604より、|x + y|^2 + |x - y|^2 = 2(|x|^2 + |y|^2) である。

551 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/24(木) 17:53:38
補題
K を可換体とする。
E を K 上の線型空間とする。
T: E → E を線型写像とする。
λ を T の固有値(>>536)とする。

このとき、任意の α ∈ K に対して、
λ + α は T + αI の固有値である。
ここで、I は E の恒等写像である。

証明
Tx = λx となる x ≠ 0 がある。
よって、(T + αI)x = λx + αx = (λ + α)x
よって、λ + α は T + αI の固有値である。
証明終

552 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/24(木) 18:31:44
命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の分離的な前Hilbert空間(過去スレ010の598)とする。
T: E → E, T ≠ 0 をコンパクト(>>531)なHermite写像(>>545)とする。

このとき、
m = inf {<Tx, x>; |x| = 1, x ∈ E}
及び
M = sup {<Tx, x>; |x| = 1, x ∈ E}
は T の固有値である。

証明
m < 0 の場合には、-m ≦ k となる実数をとると、
inf {<(T + kI)x, x>; |x| = 1, x ∈ E} = m + k ≧ 0
ここで I は E の恒等写像である。
T の固有値を λ とすると、>>551より、λ - k は T - kI の固有値である。
よって、0 ≦ m ≦ M と仮定してよい。

E の点列 (x_n), n = 1, 2, ... を |x_n| = 1, lim <Tx_n, x_n> = M と
なるようにとる。
T はコンパクトだから (Tx_n) の部分列で収束するものが存在する。
記述を簡単にするため lim Tx_n = x と仮定する。

(続く)

553 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/24(木) 18:32:25
>>552の続き

<Tx_n - Mx_n, Tx_n - Mx_n>
= <Tx_n, Tx_n> + <Mx_n, Mx_n> - <Tx_n, Mx_n> - <Mx_n, Tx_n>
= <Tx_n, Tx_n> + <Mx_n, Mx_n> - <Tx_n, Mx_n> - <Tx_n, Mx_n>~
= <Tx_n, Tx_n> + M^2 - 2MRe(<Tx_n, x_n>)
= <Tx_n, Tx_n> + M^2 - 2M<Tx_n, x_n>

最右辺の lim をとると
<x, x> + M^2 - 2M^2 = <x, x> - M^2
よって、<x, x> ≧ M
一方、T ≠ 0 であるから M > 0 である。
よって、 x ≠ 0 である。

一方、>>546より、|T| = sup{<Tx, x>; |x| = 1, x ∈ E} = M
よって、<Tx_n, Tx_n> = |Tx_n|^2 ≦ M^2
よって、
<Tx_n - Mx_n, Tx_n - Mx_n> ≦ M^2 + M^2 - 2M<Tx_n, x_n>
よって、
lim <Tx_n - Mx_n, Tx_n - Mx_n> ≦ 2M^2 - 2M^2 = 0

即ち lim (Tx_n - Mx_n) = 0
T は連続だから
lim (TTx_n - MTx_n) = 0
よって、Tx - Mx = 0
x ≠ 0 であるから M は T の固有値である。

m が T の固有値であることも同様である。
証明終

554 :132人目の素数さん:2009/09/24(木) 21:41:08
>>548

何処が如何違反しているのか、具体的に書け。
そうでない時は、単なるホモの嫉妬と看做して却下。

555 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/24(木) 23:03:09
>>553の訂正
>よって、<x, x> ≧ M

よって、<x, x> ≧ M^2


556 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/24(木) 23:13:50
>>553の補足
>一方、T ≠ 0 であるから M > 0 である。

M = 0 とすると、|x| = 1 のとき <Tx, x> ≦ 0
一方、0 ≦ m より、0 ≦ <Tx, x>
よって、<Tx, x> = 0

>>546より、|T| = sup{|<Tx, x>|; |x| = 1, x ∈ E} = 0
よって、 T = 0 となって矛盾

557 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/24(木) 23:17:02
>>553の補足
>m が T の固有値であることも同様である。

T の代わりに -T を考えればよい。

558 :132人目の素数さん:2009/09/24(木) 23:43:52
        ∬ ∬    ∬ ∬    ∬ ∬  +
   +     人      人      人     +
         (__)    (__)    (__)
  +    (__)   (__)   (__)     +
.   +   ( __ )  ( __ )  ( __ )  +
      ( ´∀`∩ (´∀`∩) ( ´∀`)
 +  (( (つ   ノ (つ  丿 (つ  つ ))  +
       ヽ  ( ノ  ( ヽノ   ) ) )
       (_)し'  し(_)  (_)_)

559 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/25(金) 00:10:12
>>552の証明を少し改良する。

命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の分離的な前Hilbert空間(過去スレ010の598)とする。
T: E → E, T ≠ 0 をコンパクト(>>531)なHermite写像(>>545)とする。

このとき、
m = inf {<Tx, x>; |x| = 1, x ∈ E}
及び
M = sup {<Tx, x>; |x| = 1, x ∈ E}
は T の固有値である。

証明
m < 0 の場合には、-m ≦ k となる実数をとると、
inf {<(T + kI)x, x>; |x| = 1, x ∈ E} = m + k ≧ 0
ここで I は E の恒等写像である。
T の固有値を λ とすると、>>551より、λ - k は T - kI の固有値である。
よって、0 ≦ m ≦ M と仮定してよい。

E の点列 (x_n), n = 1, 2, ... を |x_n| = 1, lim <Tx_n, x_n> = M と
なるようにとる。

(続く)

560 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/25(金) 00:10:53
>>559の続き

>>546より、|T| = sup{<Tx, x>; |x| = 1, x ∈ E} = M
よって、|Tx_n| ≦ |T||x_n| = |T| = M
よって、|Tx_n|^2 ≦ M^2
よって、<Tx_n - Mx_n, Tx_n - Mx_n> ≦ M^2 + M^2 - 2M<Tx_n, x_n>
よって、lim <Tx_n - Mx_n, Tx_n - Mx_n> ≦ 2M^2 - 2M^2 = 0
よって、lim (Tx_n - Mx_n) = 0

T はコンパクトだから (Tx_n) の部分列で収束するものが存在する。
記述を簡単にするため lim Tx_n が存在するとする。
|T| = M だから M ≠ 0 である。
よって、lim (Tx_n - Mx_n) = 0 より、lim x_n = x が存在する。
よって、Tx = lim Tx_n
よって、lim (Tx_n - Mx_n) = 0 より、Tx = Mx である。
|x| = lim |x_n| = 1 であるから x ≠ 0
よって、 M は T の固有値である。

今度は、T の代わりに -T を考える。

-M = inf {<-Tx, x>; |x| = 1, x ∈ E}
-m = sup {<-Tx, x>; |x| = 1, x ∈ E}

よって、上で証明したことより、-m は -T の固有値である。
よって、m は T の固有値である。
証明終

561 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/25(金) 01:07:43
命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の分離的な前Hilbert空間(過去スレ010の598)とする。
T: E → E, T ≠ 0 をコンパクト(>>531)なHermite写像(>>545)とする。

このとき、|T| または -|T| は T の固有値である。

証明
m = inf {<Tx, x>; |x| = 1, x ∈ E}
M = sup {<Tx, x>; |x| = 1, x ∈ E}
とおく。

>>546 より、
|T| = sup{|<Tx, x>|; |x| = 1, x ∈ E}

よって、|T| = sup{|m|, |M|}

一方、>>559より、m 及び M は T の固有値である。
よって、|T| または -|T| は T の固有値である。
証明終

562 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/25(金) 10:02:43
補題
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上のノルム空間(過去スレ006の561)とする。
T: E → F と S: E → F をコンパクト(>>531)な線型写像とする。

このとき、T + S もコンパクトである。

証明
T はコンパクトであるから、
E の任意の有界な点列 (x_n), n = 1, 2, ... に対して
その部分列 (x_n_m), m = 1, 2, ... が存在して
(T(x_n_m)), m = 1, 2, ... は収束する。

S はコンパクトであるから、
(x_n_m), m = 1, 2, ... の部分列 (x_n_m_k), k = 1, 2, ... が存在して
(S(x_n_m_k)), k = 1, 2, ... は収束する。

収束する点列 (T(x_n_m)), m = 1, 2, ... の部分列
(T(x_n_m_k)), k = 1, 2, ... は収束する。

よって、((T + S)(x_n_m_k)) = (T(x_n_m_k) + S(x_n_m_k)), k = 1, 2, ... は
収束する。
よって、T + S はコンパクトである。
証明終

563 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/25(金) 10:11:39
補題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の分離的な前Hilbert空間(過去スレ010の598)とする。
T: E → E, T をコンパクト(>>531)なHermite写像(>>545)とする。

a と b を E の点とする。
x → <T(x), a>b はコンパクトな線型写像である。

証明
x → <T(x), a>b が E から E への線型写像であることは明らかである。

T はコンパクトであるから、
E の任意の有界な点列 (x_n), n = 1, 2, ... に対して
その部分列 (x_n_m), m = 1, 2, ... が存在して
(T(x_n_m)), m = 1, 2, ... は収束する。

一方、Cauchy-Schwarzの不等式(過去スレ010の594)
|<x, a>| ≦ |x||a| より、写像 x → <x, a> は連続である。
よって、<T(x_n_m), a>, m = 1, 2, ... は収束する。
よって、<T(x_n_m), a>b, m = 1, 2, ... も収束する。
証明終

564 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/25(金) 10:41:29
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の分離的な前Hilbert空間(過去スレ010の598)とする。
T: E → E, T ≠ 0 をコンパクト(>>531)なHermite写像(>>545)とする。

T の 0 でない固有値全体の集合を S とする。
>>561より、S は空ではない。
>>539より、S は高々可算である。
さらに、>>539より、
任意の実数 k > 0 に対して |λ| ≧ k となる T の固有値 λ の
集合は有限集合である。
よって、{|λ|; λ ∈ S} は有界である。

S = {λ_1, λ_2, ..., λ_n, ...} とする。
ただし、n ≠ m のとき λ_n ≠ λ_m であり、
|λ_1| ≧ |λ_2| ≧ ... とする。

S が無限集合であれば単調減少数列 (|λ_n|), n = 1, 2, ... は
α = inf {|λ_n|; λ_n ∈ S} に収束する。
α > 0 であれば、|λ| ≧ α となる λ ∈ S が無限にあることになって
矛盾である。
よって、α = 0 即ち lim |λ_n| = 0 である。

565 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/25(金) 15:49:03
>>564の続き

λ ∈ S のとき >>541より λ の固有空間は有限次元である。
この次元を λ の重複度という。

n ≠ m のとき λ_n ≠ λ_m としたが、この規則をやめて各固有値は重複度だけ
重複して並べることにする。

例えば λ = λ_1 の重複度が3であれば λ = λ_1 = λ_2 = λ_3 とする。

各 λ ∈ S に対して λ の固有空間 W_λ の正規直交基底を
Gram-Schmidtの方法(>>155)により選ぶ。
>>543より、λ ≠ μ なら W_λ と W_μ は直交する。
よって、E の正規直交列 (e_n), n = 1, 2, ... で 各 e_n は λ_n の固有値と
なるものが存在する。

各 n に対して線型写像 T_n: E → E を
T_n(x) = Tx - <Tx, e_1>e_1 - ... - <Tx, e_n>e_n
により定める。

T_n(x) = Tx - <x, Te_1>e_1 - ... - <x, Te_n>e_n
= Tx - <x, λ_1e_1>e_1 - ... - <x, λ_ne_n>e_n
= Tx - λ_1<x, e_1>e_1 - ... - λ_n<x, e_n>e_n
よって、>>562>>563より T_n はコンパクトである。

<T_n(x), y> = <Tx, y> - λ_1<x, e_1><e_1, y> - ... - λ_n<x, e_n><e_n, y>
<x, T_n(y)> = <x, Ty> - λ_1<y, e_1>~<x, e_1> - ... - λ_n<y, e_n>~<x, e_n>
= <x, Ty> - λ_1<x, e_1><e_1, y> - ... - λ_n<x, e_n><e_n, y>

よって、
<T_n(x), y> = <x, T_n(y)>
即ち、T_n はHermite写像である。

566 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/25(金) 16:18:58
>>565の続き

m ≦ n なら、任意の x ∈ E に対して、
<T_n(x), e_m> = <Tx, e_m> - <Tx, e_m> = 0

よって、x が T_n の固有値 λ ≠ 0 に属す固有ベクトルなら
m ≦ nのとき、<T_n(x), e_m> = <λx, e_m> = λ<x, e_m> = 0
よって、<x, e_m> = 0
よって、
T_n(x) = Tx - λ_1<x, e_1>e_1 - ... - λ_n<x, e_n>e_n = Tx = λx
よって、λ は T の固有値であり、x はその固有ベクトルである。

m ≦ nのとき、<x, e_m> = 0 であるから、
λ_n の作り方から |λ| ≦ |λ_n| である。

一方、>>561から T_n ≠ 0 なら |T_n| または -|T_n| は T_n の固有値である。
よって、今述べたことから |T_n| ≦ |λ_n| である。

T の固有値 ≠ 0 が有限個 λ_1, ..., λ_n であれば
T_n = 0 でなければならない。
何故なら、T_n ≠ 0 なら>>561から T_n は固有値 λ ≠ 0 を持ち、
x をその固有ベクトルとすると、上で述べたことより、
m ≦ nのとき、<x, e_m> = 0 となり λ はλ_1, ..., λ_n と異なるからである。

よって、このとき、任意の x ∈ E に対して
T_n(x) = Tx - <Tx, e_1>e_1 - ... - <Tx, e_n>e_n = 0
即ち、Tx = <Tx, e_1>e_1 + ... + <Tx, e_n>e_n

567 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/25(金) 16:30:36
>>566の続き

T の固有値 ≠ 0 が無限にあれば
>>566より、任意の n に対して |T_n| ≦ |λ_n| である。

一方、>>564より、lim |λ_n| = 0 である。
よって、lim |T_n| = 0 である。

任意の x ∈ E に対して |T_n(x)| ≦ |T_n||x| であるから
lim |T_n(x)| = 0 である。

即ち、lim |Tx - <Tx, e_1>e_1 - ... - <Tx, e_n>e_n| = 0 である。
よって、 Tx = Σ<Tx, e_n>e_n

これを Hilbert-Schmidtの展開定理(の抽象版)という。

568 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/25(金) 16:36:33
>>565,>>566,>>567は吉田耕作: 積分方程式論(岩波全書)を参考にした。


569 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/25(金) 18:24:07
K を実数体または複素数体とする。
G をコンパクト群とする。
μ を G のHaar測度で μ(G) = 1 となるものとする。
G から K への連続写像全体を C(G, K) とする。

<f, g> = ∫ f(x)g(x)~ dμ(x) により、C(G, K) を
前Hilbert空間(過去スレ010の598)とする。
<f, f> = ∫ |f(x)|^2 dμ(x) = 0 なら f = 0 であるから
C(G, K) は分離的な前Hilbert空間である。
|f|_h = (<f, f>)^(1/2) と書くことにする。
他方、|f|_b = sup{f(x); x ∈ G} と書く。

(|f|_h)^2 = ∫ |f(x)|^2 dμ(x) ≦ (|f|_b)^2 であるから
|f|_h ≦ |f|_b である。

k(x, y) を G×G から K への連続関数で、
任意の x, y ∈ G に対して
k(x, y) = k(y, x)~ を満たすものとする。

f ∈ C(G, K) に対して T(f)(x) = ∫ k(x, y)f(y) dμ(y) とおく。
過去スレ010の253(および259)より、T(f) ∈ C(G, K) である。

Cauchy-Schwarzの不等式(過去スレ010の594)より
|T(f)(x)| = |∫ k(x, y)f(y) dμ(y)| = |∫ k(x, y)(f(y)~)~ dμ(y)|
≦ (∫ |k(x, y)|^2 dμ(y))^(1/2) (∫ |f(y)|^2 dμ(y))^(1/2)

よって、M = sup{k(x, y); (x, y) ∈ G×G} とおくと、
|T(f)|_b ≦ M|f|_h

|T(f)|_h ≦ |T(f)|_b であるから、
|T(f)|_h ≦ M|f|_h
よって、T: C(G, K) → C(G, K) はノルム ||_h に関して連続である。

570 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/25(金) 20:36:34
>>569の続き

<T(f), g> = ∫ g(x)~ dμ(x)∫ k(x, y)f(y) dμ(y)
= ∫ f(y)dμ(y)∫ k(x, y)g(x)~ dμ(x)
= ∫ f(y)dμ(y)∫ k(y, x)~g(x)~ dμ(x)
= <f, T(g)>

よって、T は C(G, K) におけるHermite写像(>>545)である。

一方、次の命題より、T はコンパクトである。

571 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/25(金) 20:37:38
命題
K を実数体または複素数体とする。
G をコンパクト群とする。
μ を G のHaar測度で μ(G) = 1 となるものとする。
G から K への連続写像全体を C(G, K) とする。
k(x, y) を G×G から K への連続関数とする。

f ∈ C(G, K) に対して T(f)(x) = ∫ k(x, y)f(y) dμ(y) とおく。
このとき、T(f) ∈ C(G, K) である。

(f_n), n = 1, 2, ... を C(G, K) の元の列でノルム |f|_h (>>569)に関して
有界とする。
即ち、任意の n に対して |f_n|_h ≦ M となるような実数 M < +∞ があるとする。
このとき、(T(f_n)), n = 1, 2, ... は、
ノルム |f|_h に関して収束する部分列をもつ。

証明
k(x, y) は G×G 上で一様連続であるから
任意の ε > 0 に対して単位元 e 近傍 U があり、
任意の y ∈ G と xz^(-1) ∈ U となる x, z ∈ G に対して
|k(x, y) - k(z, y)| < ε となる。

よって、Cauchy-Schwarzの不等式(過去スレ010の594)より
xz^(-1) ∈ U のとき、任意の整数 n ≧ 1 に対して
|T(f_n)(x) - T(f_n)(z)| ≦ |∫ (k(x, y) - k(z, y))(f_n(y)~)~ dμ(y)|
≦ (∫ |k(x, y) - k(z, y)|^2 dμ(y))^(1/2) (∫ |f_n(y)|^2 dμ(y))^(1/2)
≦ εM

よって、(T(f_n)), n = 1, 2, ... は、同程度一様連続(過去スレ009の316)
である。

(続く)

572 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/25(金) 20:38:27
>>571の続き

一方、任意の整数 n ≧ 1 に対して
各 x ∈ G において、Cauchy-Schwarzの不等式(過去スレ010の594)より
|T(f_n)(x)| ≦ |∫ k(x, y)(f_n(y)~)~ dμ(y)|
≦ (∫ |k(x, y)|^2 dμ(y))^(1/2) (∫ |f_n(y)|^2 dμ(y))^(1/2)
≦ M(∫ |k(x, y)|^2 dμ(y))^(1/2)

以上から、Ascoliの定理(過去スレ009の494)より、(T(f_n)), n = 1, 2, ... は
C(G, K) においてノルム |f|_b = sup{f(x); x ∈ G} に関して
相対コンパクトである。
よって、(T(f_n)), n = 1, 2, ... はノルム |f|_b に関して収束する部分列をもつ。
>>569より、|f|_h ≦ |f|_b であるから、(T(f_n)), n = 1, 2, ... は
ノルム |f|_h に関して収束する部分列をもつ。
証明終

573 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/25(金) 20:54:37
命題
K を実数体または複素数体とする。
G をコンパクト群とする。
μ を G のHaar測度で μ(G) = 1 となるものとする。
G から K への連続写像全体を C(G, K) とする。
k(x, y) を G×G から K への連続関数とする。

f ∈ C(G, K) に対して T(f)(x) = ∫ k(x, y)f(y) dμ(y) とおく。

このとき、T = 0 であるためには k(x, y) が恒等的に 0 であることが
必要十分である。

証明
k(x, y) が恒等的に 0 であれば、明らかに T = 0 である。

逆に k(x, y) が恒等的に 0 でないとする。
k(x_0, y_0) ≠ 0 となる (x_0, y_0) ∈ G×G がある。

f(y) = k(x_0, y)~ とおく。
f ∈ C(G, K) かつ f ≠ 0 である。

T(f)(x_0) = ∫ k(x_0, y)k(x_0, y)~ dμ(y) = ∫ |k(x_0, y)|^2 dμ(y)
= ∫ |f(y)|^2 dμ(y)

f ≠ 0 であるから、この右辺は ≠ 0 である。
よって、T ≠ 0 である。
証明終

574 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/25(金) 21:12:01
>>565の訂正
>よって、E の正規直交列 (e_n), n = 1, 2, ... で 各 e_n は λ_n の固有値と
>なるものが存在する。

よって、E の正規直交列 (e_n), n = 1, 2, ... で 各 e_n は λ_n の
固有ベクトルとなるものが存在する。


575 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/25(金) 23:12:57
>>570の続き

>>570>>571より、T: C(G, K) → C(G, K) はコンパクト(>>531)な
Hermite写像(>>545)であることがわかった。

ここで、k(x, y) は恒等的に 0 でないと仮定する。
>>573より、T ≠ 0 である。

よって、>>564の前提条件が満たされる。

よって、 >>566>>567より、
任意の f ∈ C(G, K) に対して、T(f) = Σ<T(f), e_n>e_n となる。

ここで、(e_n), n = 1, 2, ... は、C(G, K) の正規直交列で、
各 e_n は T の固有値 λ_n ≠ 0 に属す固有ベクトルである。
即ち、∫ k(x, y)e_n(y) dμ(y) = (λ_n)e_n(x)

576 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/25(金) 23:58:03
>>575の続き

m < n に対して Σ[m, n] は添え字 i を m から n まで変化したときの和を
表すとする。

Besselの不等式(>>162)より、
Σ[m, n] |λ_ie_i(x)|^2 = Σ[m, n] |∫ k(x, y)e_i(y) dμ(y)|^2
= Σ[m, n] |∫ e_i(y)k(y, x)~ dμ(y)|^2 ≦ ∫ |k(x, y)|^2 dμ(y)

一方、a_1, ..., a_n, b_1, ..., b_n を正の実数列とするとき、
Cauchy-Schwarzの不等式(過去スレ010の594)より、
Σ[1, n] a_ib_i ≦ (Σ[1, n] (a_i)^2)^(1/2)(Σ[1, n] (b_i)^2)^(1/2)

よって、
Σ[m, n] |<T(f), e_i>||e_i(x)| = Σ[m, n] |<f, e_i>||λ_ie_i(x)|
≦ (Σ[m, n] |<f, e_i>|^2)^(1/2) (Σ[m, n] |λ_ie_i(x)|^2)^(1/2)
≦ (Σ[m, n] |<f, e_i>|^2)^(1/2) ∫ |k(x, y)|^2 dμ(y)

右辺の (Σ[m, n] |<f, e_i>|^2)^(1/2) は Besselの不等式(>>162)より、
m → +∞ のとき 0 に収束する。
よって、Σ <T(f), e_i>e_i(x) は絶対かつ一様に収束する。

T_n(f) = T(f) - <T(f), e_1>e_1 - ... - <T(f), e_n>e_n とおく。
lim T_n(f)(x) = T(f)(x) - Σ <T(f), e_i>e_i(x) である。

一方、>>567より、lim |T_n(f)|_h = 0 である。
即ち、lim ∫ |T_n(f)(x)|^2 dμ(x) = 0 である。
lim ∫ |T_n(f)(x)|^2 dμ(x) = ∫ lim |T_n(f)(x)|^2 dμ(x) であるから
lim |T_n(f)(x)|^2 ≡ 0 となる。
よって、lim T_n(f)(x) ≡ 0 となる。
即ち、T(f)(x) = Σ <T(f), e_i>e_i(x) である。

577 :132人目の素数さん:2009/09/26(土) 04:03:19
 横から失礼いたします。最近2chの数学板に来た者です。
 当シリーズを本格的に読もうと思い立ったものの、「前スレの>>435より」等の記述が多く散見され判読に困難をきたしたため、
http://yellow.ribbon.to/~mirror/http://mirror.takatyan.info/title_search/title_search.cgi?
を使い、過去ログを総ざらいさせて頂きました。

●代数的整数論1〜16までの全ログと、スレ主の発言がある、関連2スレ
●オイラーの定理の証明(04/07/25 14:24〜2006/12/09(土) 14:24:56;994レス)
 http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1090733094/
●ガロア理論 Part 2(04/07/12 14:57〜2007/02/10(土) 22:05:43;992レス)
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1089611846/695
のログを、今.txtに落し終わりました。これから可読性を高めるため、TeXに起こして\refをつけていこうと思います。

 ざっと眺めてみたところ、IDが「9208 ◆X2Eb5pqWTw」から「Kummer ◆g2BU0D6YN2」に変化した記念碑的なレスがありました。

「代数的整数論 #003 http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1141019088/
145 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2006/04/18(火) 12:10:01
>>124 で予告したように、Kummerの理想数について述べる。
今までの代数的整数論の準備としての可換代数の話も平行して進めるので
混乱しないように名前をKummerとしてIDも別にする。」

 もう3年5か月も経っているのですね。……年月の遠さに思わず目を細めます。
 端々に言及されている参考文献も調べつつ、これからゆっくり拝読させて頂こうと思います。
 分量がなにぶんにも多いですが、これから、私は貴方にしぶとく粘着し続ける覚悟を決めました。
 これ以降のログも全て保管し、余った時間にTeXに起こして、注解を入れる作業を行おうと思います。
 それだけ申し上げて、あいさつ代わりとさせて頂きます。

 お邪魔しました。それでは、どうぞ、お続けください。

578 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/26(土) 08:03:25
>>577
ありがとうございます。
このシリーズを全部.txtに落とすのはお勧めです。
私は落とした.txtを全部同じフォルダーに入れ、
検索はテキストエディター(秀丸)のgrep機能を使っています。
これは非常に便利で検索した箇所に一発で飛べます。

579 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/26(土) 08:54:00
K を実数体または複素数体とする。
G をコンパクト群とする。
μ を G のHaar測度で μ(G) = 1 となるものとする。
G から K への連続写像全体を C(G, K) とする。

f ∈ C(G, K) のとき、x → f(x^(-1))~ を f^* と書いた(>>527)。

h ∈ C(G, K) で h = h^* となるものをとる。
写像 f → h*f を T_h と書く。
ここで、h*f は畳み込み(>>525)である。
即ち、T_h(f)(x) = ∫ h(xy^(-1))f(y) dμ(y) である。

T_h の0でない固有値に属す固有ベクトル全体を E(h) とする。
Δ = ∪{E(h) ; h = h^*, h ∈ C(G, K)} とおく。

Δ が C(G, K) においてノルム |f|_b = sup{f(x); x ∈ G} に関して完全(>>149)
であることを証明しよう。

(続く)

580 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/26(土) 09:00:56
>>579の続き

f ∈ C(G, K) を任意に取る。
f は G 上で一様連続であるから、任意の ε > 0 に対して、G の単位元 e の
近傍 U が存在して、xy^(-1) ∈ U なら |f(x) - f(y)| < ε となる。
U = U^(-1) と仮定してよい。
V を e の閉近傍で、V ⊂ とする。
過去スレ007の706より、連続関数 g : G → [0, 1] で
V の上で 1、G - U で 0 となるものが存在する。
h(x) = α(g(x) + g(x^(-1)) とおく。
ただし、α = 1/(∫ (g(x) + g(x^(-1)) dμ(x)) である。

|T_h(f)(x) - f(x)| = |∫ h(xy^(-1))(f(y) - f(x)) dμ(y)|
≦ ∫h(xy^(-1))|f(y) - f(x)| dμ(y)
≦ ∫h(yx^(-1))ε dμ(y)
= ε

一方、>>576より、T_h(f)(x) = Σ <T_h(f), e_i>e_i(x) (絶対一様収束)である。
即ち、T_h(f) は T_h の 0 でない固有値に属す固有ベクトルの有限和で一様に
近似される。

よって、Δ は C(G, K) においてノルム |f|_b = sup{f(x); x ∈ G} に関して
完全である。

581 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/26(土) 10:13:35
>>580の訂正
>V を e の閉近傍で、V ⊂ とする。

V を e の閉近傍で、V ⊂ U とする。


582 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/26(土) 12:29:24
>>580の続き

h ∈ C(G, K) で h = h^* となるものをとる。
λ を T_h の0でない固有値とする。
>>571より、T_h はコンパクト(>>531)であるから
>>541より、λ の固有空間は有限次元である。
e_1(x), ..., e_n(x) をその正規直交基底とする。

s ∈ G と g ∈ C(G, K) に対して δ(s)g ∈ C(G, K) を
(δ(s)g)(x) = g(xs) により定義する(過去スレ013の552)。

s, t ∈ G のとき、δ(st)g(x) = g(xst) = δ(s)(δ(t)g(x))
よって、δ(st) = δ(s)δ(t) である。

g ∈ C(G, K) を λ に属す T_h の固有ベクトルとする。
即ち、∫ h(xy^(-1))g(y) dμ(y) = λg(x) である。

s を G の任意の元とし、この両辺の x を xs で置き換え、
左辺の y を ys で置き換えると
∫ h(xss^(-1)y^(-1))g(ys) dμ(y) = λg(xs)

よって、
∫ h(xy^(-1))g(ys) dμ(y) = λg(xs)
即ち、T_h(δ(s)g) = λδ(s)g

よって、δ(s)g は λ に属す固有ベクトルである。

(続く)

583 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/26(土) 12:30:17
>>582の続き

よって、δ(s) は λ の固有空間 W_λ に対して線型写像 W_λ → W_λ を
引き起こす。
δ(s) の基底 e_1(x), ..., e_n(x) に関する表現行列を g(s) = (g_(i, j)(s))
とする。
即ち、δ(s)e_j = Σg_(i, j)(s)e_i とする。

s, t ∈ G のとき、
δ(st)e_k = Σg_(i, k)(st)e_i

δ(st)e_k = δ(s)δ(t)e_k = δ(s)(Σg_(j, k)(t)e_j)
= Σg_(j, k)(t)δ(s)e_j = Σg_(j, k)(t)Σg_(i, j)(s)e_i
= ΣΣg_(i, j)(s)g_(j, k)(t)e_i

よって、g_(i, k)(st) = Σg_(i, j)(s)g_(j, k)(t)
即ち、g(st) = g(s)g(t)

δ(s)e_j = Σg_(i, j)(s)e_i の両辺に (e_i)~ を掛けて積分すると、
∫ e_j(xs)e_i(x)~ dμ(x) = g_(i, j)(s)
よって、g_(i, j)(s) は連続である。
即ち、s → g(s) は G の連続な行列表現である。

δ(s)e_j = Σg_(i, j)(s)e_i
即ち、e_j(xs) = Σg_(i, j)(s)e_i(x) において、 x を G の単位元 e とすると、
e_j(s) = Σg_(i, j)(s)e_i(e) となる。

n ≧ 1 を任意の整数とし、g: G → GL(n, K) を連続な準同型写像とする。
g(s) = (g_(i, j)(s)) とする。
n と g を動かしたときの G 上の連続関数 g_(i, j)(s) 全体を Φ とする。
>>580と、今述べたことより、Φ は C(G, K) において
ノルム |f|_b = sup{f(x); x ∈ G} に関して完全である。

584 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/26(土) 13:20:29
>>583の続き

G の K 上有限次元の連続な既約ユニタリ表現(>>255)の同値類(>>71)全体をΩとする。
ω ∈ Ω に対して U を ω に属す既約ユニタリ表現とする。
E を K 上の有限次元のHilbert空間とし、U は E 上の既約ユニタリ表現とする。
E の正規直交基底を e_1, ..., e_n とする。
U(s)e_j = Σa_(i, j)(s)e_i とする。
a(s) = (a_(i, j)(s)) はユニタリ行列である。

このようにして Ω の各元 ω から代表 U をとり、その表現行列 (a_(i, j)(s)) を
選ぶ。この成分に現れる G 上の連続関数 a_(i, j)(s) 全体をΨとする。

>>256より、G の任意の連続な有限次線型表現は、ユニタリ表現と同値である。
>>262より、G の任意の連続な有限次線型表現は、既約表現の直和となる。

n ≧ 1 を任意の整数とし、g: G → GL(n, K) を連続な準同型写像とする。
g(s) = (g_(i, j)(s)) とする。
今述べたことから K 上の n次の正方行列 A があり、Ag(s)A^(-1) が
既約ユニタリ表現行列 h_1(s), ..., h_r(s) を対角線上に並べた行列となる。
よって、各 g_(i, j)(s) は Ψ の元の K 上の一次結合となる。

よって、>>583より、Ψ は は C(G, K) において
ノルム |f|_b = sup{f(x); x ∈ G} に関して完全(>>149)である。

585 :132人目の素数さん:2009/09/26(土) 15:26:34
>>577

勝手なお願いで心苦しいのですが、それPDFにして皆が読めるようにして戴けませんか?
本当はKummer氏がやる事なのでしょうが、彼にはその気がないようなので・・・

586 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/26(土) 15:33:38
定理
K を実数体または複素数体とする。
G をコンパクト群とする。
G の単位元 e と異なる任意の元 s に対して
U(s) ≠ 1 となるような K 上有限次元の連続かつ既約(>>260)な
ユニタリ表現(>>255) U が存在する。

証明
G の単位元 e と異なる元 s で、
K 上有限次元の連続かつ既約(>>260)な
任意のユニタリ表現(>>255) U に対して U(s) = 1 となるようなものが
存在すると仮定する。

過去スレ007の706より、連続関数 f : G → [0, 1] で
f(s) ≠ f(e) となるものが存在する。

>>584より、任意の ε > 0 と任意の x ∈ G に対して
|f(x) - α_1g_1(x) - ... - α_ng_n(x)| < ε
となる、α_1, ..., α_n ∈ K と、
g_1, ..., g_n ∈ Ψ が存在する。

仮定より、g_i(s) = g_i(e), i = 1, 2, ..., n である。
よって、
|f(s) - f(e)| ≦
|f(s) - α_1g_1(s) - ... - α_ng_n(s)| + |f(e) - α_1g_1(e) - ... - α_ng_n(e)|
< ε + ε

よって、f(s) = f(e) となって矛盾である。
証明終

587 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/26(土) 17:45:27
K を複素数体とし、G をコンパクト群とする。
μ を G のHaar測度で μ(G) = 1 となるものとする。
G から K への連続写像全体を C(G, K) とする。
<f, g> = ∫ f(x)g(x)~ dμ(x) により、C(G, K) を
前Hilbert空間(過去スレ010の598)とする。

G の K 上有限次元の連続な既約(>>260)ユニタリ表現(>>255)の同値類(>>71)全体を
Ωとする。
各 α ∈ Ω に対して U_α を α に属す既約ユニタリ表現とする。
U_α のユニタリ行列による表現を R_α(s) = (R_α(i, j)(s)) とする。
U_α の次数を d_α とする。

>>358>>359により、(d_α)^(1/2)R_α(i, j)(s) の全体 Φ は
C(G, K) における正規直交集合(>>147)である。

>>584より、Φ はノルム |f|_b = sup{f(x); x ∈ G} に関して完全(>>149)である。
一方、>>569より、|f|_h ≦ |f|_b であるから、
Φ はノルム |f|_h に関しても完全である。
よって、>>151より、Φ^⊥ = {0} である。

過去スレ008の343より、C(G, K) は L^2(G, K, μ) (過去スレ008の299)において
稠密である。
よって、Φ は L^2(G, K, μ) における完全正規直交集合である。
過去スレ008の306より、L^2(G, K, μ) はHilbert空間である。
よって、>>168より、L^2(G, K, μ) の任意の元 f に対して
(<f, e_i>e_i), e_i ∈ Φ は総和可能であり、f = Σ<f, e_i>e_i となる。

588 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/27(日) 10:44:24
K を複素数体とし、G をコンパクト群とする。
G から K への中心的(>>316)な連続関数全体を Cent(G) とする。
G の既約指標(>>370)全体を X(G) とする。
X(G) ⊂ Cent(G) である。
X(G) が Cent(G) においてノルム |f|_b = sup{f(x); x ∈ G} に関して
完全(>>149)であることを証明しよう。

589 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/27(日) 11:05:32
>>588の補足
>X(G) ⊂ Cent(G) である。

これは、>>315による。


590 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/27(日) 11:17:47
補題
K を複素数体とし、G をコンパクト群とする。
ρ を G の K 上有限次元 r の連続な既約ユニタリ表現とする。
ρ のユニタリ行列による表現を R(s) = (R(i, j)(s)) とする。

a_(j, i) ∈ K, 1 ≦ i, j ≦ r のとき、
f(s) = Σa_(j, i)R(i, j)(s), 1 ≦ i, j ≦ r が中心的(>>316)なら
f(s) = αχ(s) である。

ここで、α ∈ K であり, χ(s) は ρ の指標(>>302)である。

証明
任意の s, t ∈ G に対して、
f(tst^(-1)) = Σa_(j, i)R(i, j)(tst^(-1))
= Σa_(j, i)R(i, k)(t)R(k, l)(s)R(l, j)(t^(-1)) = f(s)

即ち、
Σa_(j, i)R(i, j)(s) = Σa_(j, i)R(i, k)(t)R(k, l)(s)R(l, j)(t^(-1))

>>359より、G 上の関数 R(k, l)(s) は K 上一次独立であるから、
上式の両辺の R(k, l)(s) の係数は一致する。
よって、
a_(l, k) = ΣR(l, j)(t^(-1))a_(j, i)R(i, k)(t)
よって、
A = R(t^(-1))AR(t)
即ち、
AR(t) = R(t)A

t ∈ G は任意だから、Schurの補題の系(>>344)より、A = αI である。
よって、f(s) = Σa_(j, i)R(i, j)(s) = ΣαR(i, i)(s) = αχ(s) である。
証明終

591 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/27(日) 11:20:09
>>316の訂正
>任意の u, v ∈ G に対して f(uv) = f(va) となることと

任意の u, v ∈ G に対して f(uv) = f(vu) となることと

592 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/27(日) 11:23:12
>>590の補足
>A = R(t^(-1))AR(t)

A は行列 (a_(l, k)), 1 ≦ l, k ≦ r である。

593 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/27(日) 11:39:59
補題
K を可換体とし、G を群とする。
ρ を G の K 上有限次元 r の線型表現(>>65)とする。
ρ の行列による表現を R(s) = (R(i, j)(s)) とする。

a_(j, i) ∈ K, 1 ≦ i, j ≦ r のとき、
f(s) = Σa_(j, i)R(i, j)(s), 1 ≦ i, j ≦ r とおく。

このとき、任意の t ∈ G に対して
f(tst^(-1)) は R(i, j)(s), 1 ≦ i, j ≦ r の K 係数の一次結合となる。

証明
f(tst^(-1)) = Σa_(j, i)R(i, j)(tst^(-1))
= Σa_(j, i)R(i, k)(t)R(k, l)(s)R(l, j)(t^(-1))

これより、明らかである。
証明終

594 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/27(日) 14:42:30
補題
K を複素数体とし、G をコンパクト群とする。
G の K 上有限次元の連続な既約ユニタリ表現の同値類(>>71)全体を
Ωとする。
各 α ∈ Ω に対して U_α を α に属す既約ユニタリ表現とする。
U_α のユニタリ行列による表現を R_α(s) = (R_α(i, j)(s)) とする。
G 上の関数 R_α(i, j)(s) の全体(α および i, j を変化させる)を Ψ とする。

f(s) を K 係数の Ψ の有限個の元の一次結合で中心的(>>316)とする。
このとき、f(s) は G の有限個の既約指標(>>370)の K 係数の一次結合となる。

証明
各 α ∈ Ω に対して U_α の次数を d_α とする。

f(s) = f_1(s) + ... + f_r(s) と書ける。
ここで、各 f_i(s) は R_α_i(k, l)(s), 1 ≦ k, l ≦ d_α_i の
K 係数の一次結合である。
ただし、i ≠ j のとき R_α_i ≠ R_α_j である。

>>593より、任意の t ∈ G と各 i に対して、
f_i(tst^(-1)) は R_α_i(k, l)(s), 1 ≦ k, l ≦ d_α_i の
K 係数の一次結合となる。

f(s) は中心的であるから
Σf_i(tst^(-1)) = Σf_i(s) である。
>>358>>359により、Ψ は K 上一次独立であるから
この等式より、f_i(tst^(-1)) = f_i(s) である。
よって、f_i(s) は中心的である。
よって本補題の主張は>>590より得られる。
証明終

595 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/27(日) 15:07:53
補題
K を複素数体とし、G をコンパクト群とする。
μ を G のHaar測度で μ(G) = 1 となるものとする。

G の K 上有限次元の連続な既約ユニタリ表現の同値類(>>71)全体を
Ωとする。
各 α ∈ Ω に対して U_α を α に属す既約ユニタリ表現とする。
U_α のユニタリ行列による表現を R_α(s) = (R_α(i, j)(s)) とする。
G 上の関数 R_α(i, j)(s) の全体(α および i, j を変化させる)を Ψ とする。

f(s) を K 係数の Ψ の有限個の元の一次結合とする。
このとき、g(s) = ∫ f(tst^(-1)) dμ(t) は中心的(>>316)で、
K 係数の Ψ の有限個の元の一次結合となる。

証明
a ∈ G のとき、
g(asa^(-1)) = ∫ f(tasa^(-1)t^(-1)) dμ(t)
= ∫ f(tas(ta)^(-1)) dμ(t) = ∫ f(tst^(-1)) dμ(t) = g(s)
よって、g(s) は中心的である。

一方、>>593より、各 t ∈ G に対して、f(tst^(-1)) は s の関数として
Ψ の有限個の元の K 係数の一次結合である。
よって、g(s) = ∫ f(tst^(-1)) dμ(t) も Ψ の有限個の元の K 係数の
一次結合となる。
証明終

596 :132人目の素数さん:2009/09/27(日) 15:11:50
れいなw
れいなw
れいなw
れいなw
れいなw
れいなw
れいなw
れいなw
れいなw
れいなw
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れいなw
れいなw
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れいなw
れいなw
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597 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/27(日) 15:21:36
定理
K を複素数体とし、G をコンパクト群とする。
G から K への中心的(>>316)な連続関数全体を Cent(G) とする。
G の既約指標(>>370)全体を X(G) とする。
>>315より、X(G) ⊂ Cent(G) である。
このとき、X(G) は Cent(G) においてノルム |f|_b = sup{f(x); x ∈ G} に関して
完全(>>149)である。

証明
G の K 上有限次元の連続な既約ユニタリ表現の同値類(>>71)全体を
Ωとする。
各 α ∈ Ω に対して U_α を α に属す既約ユニタリ表現とする。
U_α のユニタリ行列による表現を R_α(s) = (R_α(i, j)(s)) とする。
G 上の関数 R_α(i, j)(s) の全体(α および i, j を変化させる)を Ψ とする。

f ∈ Cent(G) と 任意の ε > 0 をとる。

>>584より、Ψ は C(G, K) において、ノルム |f|_b = sup{f(x); x ∈ G} に関して
完全である。
よって、|f(s) - g(s)| < ε となる g(s) が存在する。
ここで、g(s) は Ψ の有限個の元の K 係数の一次結合である。

|∫ f(tst^(-1)) dμ(t) - ∫ g(tst^(-1)) dμ(t)|
≦ ∫ |f(tst^(-1)) - g(tst^(-1))| dμ(t) ≦ ε

f(tst^(-1)) = f(s) であるから |f(s) - ∫ g(tst^(-1)) dμ(t)| ≦ ε

>>595より、h(s) = ∫ g(tst^(-1)) dμ(t) は
Ψ の有限個の元の K 係数の一次結合である。
よって、>>594より、h(s) は G の有限個の既約指標(>>370)の
K 係数の一次結合となる。
証明終

598 :132人目の素数さん:2009/09/27(日) 15:24:49
   ∩___∩
   | ノ      ヽ
  /  ●   ● | 松嶋れいな──!!
  |    ( _●_)  ミ
 彡、   |∪|  、`\
/ __  ヽノ /´>  )
(___)   / (_/
 |       /
 |  /\ \
 | /    )  )
 ∪    (  \
       \_)

599 :132人目の素数さん:2009/09/27(日) 15:26:15
>>596, >>598
同好の士よw

600 :132人目の素数さん:2009/09/27(日) 15:28:44
誤爆に気をつけないとヤバイw

601 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/27(日) 15:51:35
補題
K を複素数体とし、G をコンパクト群とする。
G から K への中心的(>>316)な連続関数全体を Cent(G) とする。

a と b を G の元で互いに共役ではないとする。
このとき、f ∈ Cent(G) で f(a) = 0, f(b) ≠ 0 となるものが
存在する。

証明
a と共役な G の元の全体を A とする。
A は連続写像 s → sas^(-1) による G の像であるからコンパクトである。
b は A に含まれないから Urysohnの補題(過去スレ007の668)より、
連続関数 g: G → [0, 1] で A 上で 0 となり、g(b) = 1 となるものが存在する。
f(s) = ∫ g(tst^(-1)) dμ(t) とおく。

f(s) は>>595の証明で見たように中心的である。
f(a) = ∫ g(tat^(-1)) dμ(t) = 0
f(b) = ∫ g(tbt^(-1)) dμ(t) であるが、
g(tbt^(-1)) ≧ 0 は t = e のとき 0 でないから、f(b) ≠ 0 である。
証明終

602 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/27(日) 16:01:59
命題
G をコンパクト群とする。
a と b を G の元で互いに共役ではないとする。

このとき、G の既約指標(>>370) χ で、χ(a) ≠ χ(b) となるものが存在する。

証明
G の任意の既約指標 χ に対して χ(a) = χ(b) と仮定する。

>>601より、f ∈ Cent(G) で f(a) = 0, f(b) ≠ 0 となるものが
存在する。

>>597より、任意の ε > 0 と任意の s ∈ G に対して
|f(s) - α_1χ_1(x) - ... - α_nχ_n(x)| < ε
となる、複素数 α_1, ..., α_n と、既約指標 χ_1, ..., χ_n が存在する。

仮定より、χ_i(a) = χ_i(b), i = 1, 2, ..., n である。
よって、
|f(a) - f(b)| ≦
|f(a) - α_1χ_1(a) - ... - α_nχ_n(a)|
+ |f(b) - α_1χ_1(b) - ... - α_nχ_n(b)|
< ε + ε

よって、f(a) = f(b) となって矛盾である。
証明終

603 :132人目の素数さん:2009/09/27(日) 16:10:31
x−3x+4<0 わからぬ

604 :132人目の素数さん:2009/09/27(日) 16:18:16
AV女優が好きなのは、決して悪いことではない

605 :132人目の素数さん:2009/09/27(日) 16:28:36
別にAV女優の話だろうがキャバクラの話だろうが(嫌いじゃないんで)
してもいいんだが、スレ違いなんで


606 :132人目の素数さん:2009/09/27(日) 16:30:11
   ∩___∩
   | ノ      ヽ
  /  ●   ● | くま──!!
  |    ( _●_)  ミ
 彡、   |∪|  、`\
/ __  ヽノ /´>  )
(___)   / (_/
 |       /
 |  /\ \
 | /    )  )
 ∪    (  \
       \_)


607 :132人目の素数さん:2009/09/27(日) 16:41:33
スレ違いなんて気にすることないよ
このスレはくんまーが嫌がらせで立てたスレなんだから

608 :132人目の素数さん:2009/09/27(日) 17:18:36
>>607
>このスレはくんまーが嫌がらせで立てたスレなんだから

誰に対する何の嫌がらせ?
統失の被害妄想ですか?

609 :132人目の素数さん:2009/09/27(日) 17:30:36

またファンのつどいか?
俺も入れてくれよな

610 :132人目の素数さん:2009/09/27(日) 17:50:18
ここはね、クマーの隔離スレだよ
誰も読んでいないし、興味もないが、意味のあるスレにクマーが
書き込むと迷惑なのでね
もちろん、特定のコテハン専用のスレはこの板で
立てるのは2ちゃんの規約違反だ
削除も出来るが、上記のように他のスレで基地外書き込みされるのも迷惑なので
放置している

これが歴史だ

611 :GiantLeaves ◆zkraGArAss :2009/09/27(日) 17:52:50
クマーもAV見たりするんだな
人間らしい部分が見られて良かったよ

612 :132人目の素数さん:2009/09/27(日) 17:54:53
>>610
>これが歴史だ

アホかw
隔離なんか出来るわけないだろ

あ、あんたの脳内歴史ね
なっとく
妄想乙です

613 :132人目の素数さん:2009/09/27(日) 17:58:45
>>611
クマを誤解してるな
このシリーズの初めとかガロアすれを見ればクマが短気で喧嘩好きなことがわかる


614 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/27(日) 18:06:55
命題
G と H をコンパクト群とする。
X(G), X(H) をそれぞれ G と H の既約指標(>>367)の全体とする。
Y(G×H) = {χψ; χ ∈ X(G), ψ ∈ X(H)} とおく。
G×H 上の中心的(>>316)な複素数値関数全体を Cent(G×H) とする。
このとき、Y(G×H) は Cent(G×H) において、
ノルム |f|_b = sup{f(x, y); (x, y) ∈ G×H} に関して完全(>>149)である。

証明
>>315より、Y(G×H) ⊂ Cent(G×H) である。
K を複素数体とする。
C(G, K) と C(H, K) をそれぞれ G および H から K への連続写像全体とする。
任意の f ∈ Cent(G×H) と 任意の ε > 0 に対して
過去スレ010の453より、g_1, ..., g_n ∈ C(G, K), h_1, ..., h_n ∈ C(H, K) が
あり、|f(x, y) - g_1(x)h_1(y) - ... - g_n(x)h_n(y)| < ε となる。

μ と ν をそれぞれ G と H のHaar測度で μ(G) = 1, ν(H) = 1 と
なるものとする。
γ_i(x) = ∫ g_i(sxs^(-1)) dμ(s), i = 1, ..., n
δ_i(y) = ∫ h_i(tyt^(-1)) dν(t), i = 1, ..., n
とおく。
>>595の証明で見たように、γ_i(x) ∈ Cent(G), δ_i(x) ∈ Cent(H) である。
∬ f(sxs^(-1), tyt^(-1)) dμ(s)dν(t) = ∬ f(x, y) dμ(s)dν(t) = f(x, y)
∬ g_i(sxs^(-1))h_i(tyt^(-1)) dμ(s)dν(t) = g'_i(x)h'_i(y), i = 1, ..., n

よって、|f(x, y) - g_1(x)h_1(y) - ... - g_n(x)h_n(y)| < ε より、
|f(x, y) - γ_1(x)δ_1(y) - ... - γ_n(x)δ_n(y)| < ε

一方、>>597より、各γ_i(x) と δ_i(x) はそれぞれ X(G), X(H) の有限個の元の
K 係数の一次結合でいくらでも近く近似できる。
よって、本補題の主張が得られる。
証明終

615 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/27(日) 18:22:00
>>614の訂正
>G×H 上の中心的(>>316)な複素数値関数全体を Cent(G×H) とする。

G×H 上の中心的(>>316)な複素数値連続関数全体を Cent(G×H) とする。

616 :132人目の素数さん:2009/09/27(日) 18:25:44
>>615 松嶋れいなのおすすめ教えれ

617 :132人目の素数さん:2009/09/27(日) 18:40:58
>>616
ttp://www.yourfilehost.com/media.php?cat=video&file=rereijedeed21.wmv

618 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/27(日) 18:42:11
命題
G と H をコンパクト群とする。
X(G), X(H), X(G×H) をそれぞれ G, H, G×H の既約指標(>>367)の全体とする。
Y(G×H) = {χψ; χ ∈ X(G), ψ ∈ X(H)} とおく。
このとき、Y(G×H) = X(G×H) である。

証明
>>396より、Y(G×H) ⊂ X(G×H) である。

μ と ν をそれぞれ G と H のHaar測度で μ(G) = 1, ν(H) = 1 と
なるものとする。
G×H 上の中心的(>>316)な複素数値連続関数全体を Cent(G×H) とする。

Cent(G×H) はHermite形式 <f, g> = ∬ f(x, y)g(x, y)~ dμ(x)dν(y)
により前Hilbert空間(過去スレ010の598)になる。
>>315より、Y(G×H) ⊂ Cent(G×H) である。
>>362>>363により、Y(G×H) は Cent(G×H) の正規直交集合(>>147)である。

一方、>>614より、Y(G×H) は Cent(G×H) において、
ノルム |f|_b = sup{f(x, y); (x, y) ∈ G×H} に関して完全(>>149)である。
一方、>>569より、|f|_h ≦ |f|_b であるから、
Y(G×H) は Cent(G×H) において、ノルム |f|_h に関しても完全である。
よって、>>151より、Y(G×H)^⊥ = {0} である。

χ ∈ X(G×H) が Y(G×H) に含まれないとすると、>>362 より χ ∈ Y(G×H)^⊥
となるから χ = 0 となって矛盾である。
よって、Y(G×H) = X(G×H) である。
証明終

619 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/27(日) 19:08:51
定義
X を位相空間とする。
Ω を X の開集合からなる集合とする。
X の任意の開集合が Ω に属す開集合の合併となるとき、
Ω を X の開集合基底という。

X の開集合基底の濃度の最小を X の位相濃度という。

620 :132人目の素数さん:2009/09/27(日) 19:17:52
入会記念に

Kummer:401回:64%
132人目:180回:29%
猫:22回:3%
β:7回:1%
king:1回
その他:8回:1%

621 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/27(日) 21:18:25
命題
K を実数体または複素数体とする。
G をコンパクト群とする。
μ を G のHaar測度で μ(G) = 1 となるものとする。
G から K への連続写像全体を C(G, K) とする。
<f, g> = ∫ f(x)g(x)~ dμ(x) により、C(G, K) を
前Hilbert空間(過去スレ010の598)とする。
S を C(G, K) における正規直交集合(>>147)とする。

このとき S の濃度は X の位相濃度(>>619)を超えない。

証明
G が有限群のときは本命題の主張は明らかである。
よって、G は無限群であるとする。

Ω を G の開集合基底(>>619)とする。
Ω の濃度が有限なら G の開集合全体は有限集合である。
よって G の閉集合全体も有限集合である。
G の各点は閉集合であるから、G は有限群となって仮定に反する。
よって、Ω の濃度は無限である。

f ∈ C(G, K) に対して S(f) = {ψ ∈ S; <f, ψ> ≠ 0} とおく。
Besselの不等式(>>162)より、S(f) は高々可算である。

(続く)

622 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/27(日) 21:19:07
>>621の続き

Ω には空集合は含まれていないとする。
U, V ∈ Ω で V~ ⊂ U とする。ここで、 V~ は V の閉包である。
Urysohnの補題(過去スレ007の668)より、連続関数 f : G → [0, 1] で
V~ の上で 1、G - U の上で 0 となるものが存在する。
このようにして作った連続関数 f の全体を Ψ とする。
|Ω| ≦ |Ψ| ≦ |Ω×Ω| である。
ここで、|Ω| は Ω の濃度を表す。
>>203より、|Ω×Ω| = |Ω| であるから |Ω| = |Ψ| である。

任意の ψ ∈ S をとる。
∫ |ψ(x)|^2 dμ(x) = 1 である。
よって、ψ(a) ≠ 0 となる a ∈ G がある。
よって、Re(ψ(a)) ≠ 0 または Im(ψ(a)) ≠ 0 である。
よって a ∈ U となる十分小さな U ∈ Ω 上で
ψ(x) の実部または虚部は符号が一定(≠ 0)である。

V ∈ Ω で V~ ⊂ U となるものをとる。
Urysohnの補題(過去スレ007の668)より、連続関数 f : G → [0, 1] で
V~ の上で 1、G - U の上で 0 となるものが存在する。
即ち、f ∈ Ψ である。
∫ f(x)ψ(x)~ dμ(x) = ∫[U] f(x)ψ(x)~ dμ(x) ≠ 0 である。
よって、ψ ∈ S(f) である。
よって、S = ∪{S(f); f ∈ Ψ} である。

最初に示したように S(f) は高々可算であるから、
|S| ≦ |N|×|Ψ| ≦ |Ψ×Ψ| である。
ここで、N は自然数の集合である。
一方、>>203より、|Ψ×Ψ| = |Ψ| であるから |S| ≦ |Ψ| = |Ω| である。
証明終

623 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/27(日) 22:10:11
補題
X をコンパクト空間とする。
M を X の空でない有限部分集合とする。
g を M 上の任意の実数値関数とする。
このとき、X 上の実数値連続関数 f で M 上で g と一致するものが存在する。

証明
M = {x_1, ..., x_n } とする。
Urysohnの補題(過去スレ007の668)より、実数値連続関数 f_1, ..., f_n で
f_i(x_j) = δ_(i, j), 1 ≦ i, j ≦ n となるものが存在する。
ここで、δ_(i, j) は Kroneckerのデルタである。
即ち、i = j のとき、δ_(i, j) = 1, i ≠ j のとき、δ_(i, j) = 0

f(x) = g(x_1)f_1(x) + ... + g(x_n)f_n(x) とおけばよい。
証明終

624 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/27(日) 23:50:11
補題
K を実数体または複素数体とする。
M を有限集合とする。
M から K への写像全体を C(K, R) とする。
C(X, R) をノルム |f|_b = sup{f(x); x ∈ M} によりノルム空間と見なす。
Ψ を C(M, R) の部分集合で完全(>>149)とする。

このとき、|Ψ| ≧ |M| である。

証明
|Ψ| < |M| とする。
C(M, R) の K 上の次元は |M| である。
Ψ で生成される C(M, R) の部分線型空間 F の次元は |Ψ| 以下である。
よって、F は C(M, R) において稠密ではあり得ない。
これは、Ψ が完全であることに反する。
証明終

625 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/27(日) 23:57:53
>>623とほとんど同じだが

補題
K を実数体または複素数体とする。
X をコンパクト空間とする。
X から K への連続写像全体を C(X, K) とする。
M を X の空でない有限部分集合とする。
M から K への写像全体を C(M, K) とする。

このとき、任意の g ∈ C(M, K) に対して、
f ∈ C(X, K) で M 上で g と一致するものが存在する。

証明
M = {x_1, ..., x_n } とする。
Urysohnの補題(過去スレ007の668)より、X 上の実数値連続関数 f_1, ..., f_n で
f_i(x_j) = δ_(i, j), 1 ≦ i, j ≦ n となるものが存在する。
ここで、δ_(i, j) は Kroneckerのデルタである。
即ち、i = j のとき、δ_(i, j) = 1, i ≠ j のとき、δ_(i, j) = 0

f(x) = g(x_1)f_1(x) + ... + g(x_n)f_n(x) とおけばよい。
証明終

626 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/28(月) 00:35:18
補題
R を実数体とする。
X を無限集合とする。
X から R への写像全体を F(X, R) とする。
Ψ を F(X, R) の無限部分集合とする。
Ψ の有限個の元の有理数係数の一次結合全体を Φ とする。
このとき、|Φ| = |Ψ| である。

証明
有理数体を Q とする。
Ψ の n 個の元の有理数係数の一次結合全体を Φ_n とする。

(Q^n)×(Ψ^n) の元 (a_1, ..., a_n)×(f_1, ..., f_n) に
a_1f_1 + ... + a_nf_n ∈ Φ_n を対応させる写像は全射である。
よって、|Φ_n| ≦ |(Q^n)×(Ψ^n)| ≦ |Ψ^2n|
一方、>>203より、|Ψ^2n| = |Ψ|
よって、|Φ_n| ≦ |Ψ|
一方、|Ψ| ≦ |Φ_n| であるから >>197より、|Φ_n| = |Ψ| である。

Φ = ∪{Φ_n; n = 1, 2, ...} であるから |Φ| ≦ |Ψ×N| ≦ |Ψ×Ψ|
ここで、 N は自然数の集合である。
>>203より、|Ψ×Ψ| = |Ψ| であるから |Φ| ≦ |Ψ|
|Ψ| ≦ |Φ| であるから >>197より、|Φ| = |Ψ| である。
証明終

627 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/28(月) 00:39:26
>>622の訂正
>>>203より、|Ω×Ω| = |Ω| であるから |Ω| = |Ψ| である。

>>203より、|Ω×Ω| = |Ω| であるから |Ψ| ≦ |Ω| である。
一方、|Ω| ≦ |Ψ| であるから、>>197より、 |Ω| = |Ψ| である。

628 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/28(月) 07:38:28
補題
R を実数体とする。
X をコンパクト空間とする。
X から R への連続写像全体を C(X, R) とする。
C(X, R) をノルム |f|_b = sup{f(x); x ∈ X} によりノルム空間と見なす。
Ψ を C(X, R) の部分集合で完全(>>149)とする。
Ψ の有限個の元の有理数係数の一次結合全体を Φ とする。
f ∈ Φ に対して U_f = {x ∈ X; f(x) > 1/2} とおく。

このとき、{U_f; f ∈ Φ} は X の開集合基底(>>619)である。

証明
V を X の任意の空でない開集合とし、 a ∈ V とする。
Urysohnの補題(過去スレ007の668)より、連続関数 g: X → [0, 1] で
X - V で 0 となり g(a) = 1 となるものが存在する。
Ψ は完全だから、|g(x) - f(x)| < 1/4 となる f ∈ Φ がある。

1 - f(a) = g(a) - f(a) ≦ |g(a) - f(a)| < 1/4
よって、f(a) > 3/4
よって、a ∈ U_f

x ∈ U_f なら f(x) > 1/2
このとき、g(x) = 0 とすると、|g(x) - f(x)| < 1/4 より、
|f(x)| < 1/4 となって矛盾。
よって、g(x) ≠ 0
即ち x ∈ V
よって、U_f ⊂ V である。
以上から {U_f; f ∈ Φ} は X の開集合基底である。
証明終

629 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/28(月) 08:05:05
補題
R を実数体とする。
X をコンパクト空間とする。
X から R への連続写像全体を C(X, R) とする。
C(X, R) をノルム |f|_b = sup{f(x); x ∈ X} によりノルム空間と見なす。
Ψ を C(X, R) の部分集合で完全(>>149)とする。
このとき、X が無限集合であれば Ψ も無限集合である。

証明
M を X の空でない有限部分集合とする。
M から R への写像全体を C(M, R) とする。
f ∈ C(X, R) に対して f の M への制限写像を f|M と書く。
Ψ|M = {f|M ; f ∈ Ψ} と書く。
C(M, R) はノルム |f|_b = sup{f(x); x ∈ M} によりノルム空間と見なす。

>>623より、C(M, R) 任意の元 g に対して、f ∈ C(X, R) があり
g = f|M となる。

Ψ は完全だから、
任意の ε > 0 に対して |f(x) - a_1f_1(x) - ... - a_nf_n(x)| < ε
となる実数 a_1, ..., a_n と Ψ の元 f_1, ..., f_n がある。
この不等式は M 上でも成り立つから、Ψ|M は C(M, R) において完全である。

よって、>>624より、|Ψ|M| ≧ |M| である。
X は無限集合であるから |M| はいくらでも大きくなる。
したがって Ψ は無限集合である。
証明終

630 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/28(月) 08:07:00
命題
R を実数体とする。
X をコンパクト空間とする。
X から R への連続写像全体を C(X, R) とする。
C(X, R) をノルム |f|_b = sup{f(x); x ∈ X} によりノルム空間と見なす。
Ψ を C(X, R) の部分集合で完全(>>149)とする。

このとき Ψ の濃度は X の位相濃度(>>619)より小さくない。

証明
X が有限集合のときは、 X の位相濃度は |X| に等しい。
よって、>>624より本命題は成り立つ。

よって、X は無限集合とする。
>>629より、Ψ も無限集合である。

Ψ の有限個の元の有理数係数の一次結合全体を Φ とする。
>>626より、|Φ| = |Ψ| である。

f ∈ Φ に対して U_f = {x ∈ X; f(x) > 1/2} とおく。
>>628より、Ω = {U_f; f ∈ Φ} は X の開集合基底である。
f ∈ Φ に U_f を対応させる写像は Φ から Ω への全射であるから
|Ω| ≦ |Φ| = |Ψ| である。

よって、Ψ の濃度は X の位相濃度より小さくない。
証明終

631 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/28(月) 09:42:28
補題
K を実数体または複素数体とする。
X をコンパクト空間とする。
X から R への連続写像全体を C(X, K) とする。
C(X, K) をノルム |f|_b = sup{f(x); x ∈ X} によりノルム空間と見なす。
Ψ を C(X, K) の部分集合で完全(>>149)とする。
このとき、X が無限集合であれば Ψ も無限集合である。

証明
M を X の空でない有限部分集合とする。
M から K への写像全体を C(M, K) とする。
f ∈ C(X, K) に対して f の M への制限写像を f|M と書く。
Ψ|M = {f|M ; f ∈ Ψ} と書く。
C(M, K) はノルム |f|_b = sup{f(x); x ∈ M} によりノルム空間と見なす。

>>625より、C(M, K) 任意の元 g に対して、f ∈ C(X, K) があり
g = f|M となる。

Ψ は完全だから、
任意の ε > 0 に対して |f(x) - a_1f_1(x) - ... - a_nf_n(x)| < ε
となる K の元 a_1, ..., a_n と Ψ の元 f_1, ..., f_n がある。
この不等式は M 上でも成り立つから、Ψ|M は C(M, R) において完全である。

よって、>>624より、|Ψ|M| ≧ |M| である。
X は無限集合であるから |M| はいくらでも大きくなる。
したがって Ψ は無限集合である。
証明終

632 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/28(月) 10:07:55
命題
K を実数体または複素数体とする。
X をコンパクト空間とする。
X から K への連続写像全体を C(X, K) とする。
C(X, K) をノルム |f|_b = sup{f(x); x ∈ X} によりノルム空間と見なす。
Ψ を C(X, K) の部分集合で完全(>>149)とする。
このとき Ψ の濃度は X の位相濃度(>>619)より小さくない。

証明
X が有限集合のときは、 X の位相濃度は |X| に等しい。
よって、>>624より本命題は成り立つ。
よって、X は無限集合とする。
>>631より、Ψ も無限集合である。
Φ_1 = {Re(f) ; f ∈ Ψ}
Φ_2 = {Im(f) ; f ∈ Ψ}
Φ = Φ_1 ∪ Φ_2 とおく。
f = Re(f) + iIm(f) であるから Φ は C(X, K) において完全である。
f を C(X, R) の任意の元とする。
Φ は C(X, K) において完全であるから、
任意の ε > 0 に対して |f(x) - a_1f_1(x) - ... - a_nf_n(x)| < ε
となる K の元 a_1, ..., a_n と Φ の元 f_1, ..., f_n がある。
Re(f(x) - a_1f_1(x) - ... - a_nf_n(x))
= f(x) - Re(a_1)f_1(x) - ... - Re(a_n)f_n(x)
よって、
|f(x) - Re(a_1)f_1(x) - ... - Re(a_n)f_n(x)|
= |Re(f(x) - a_1f_1(x) - ... - a_nf_n(x))|
≦ |f(x) - a_1f_1(x) - ... - a_nf_n(x)| < ε
よって、Φ は C(X, R) において完全である。
よって、>>630より、Φ の濃度は X の位相濃度より小さくない。
Ψ は無限集合であるから Φ の濃度はΨ の濃度と同じである.
よって、Ψ の濃度は X の位相濃度(>>619)より小さくない。
証明終

633 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/28(月) 10:09:56
命題
K を複素数体とし、G をコンパクト群とする。
G の K 上有限次元の連続な既約ユニタリ表現の同値類(>>71)全体を
Ωとする。
G が無限群であれば |Ω| は G の位相濃度(>>619)に等しい。

証明
G の位相濃度を γ とする。

各 α ∈ Ω に対して U_α を α に属す既約ユニタリ表現とする。
U_α のユニタリ行列による表現を R_α(s) = (R_α(i, j)(s)) とする。
U_α の次数を d_α とする。

>>358>>359により、(d_α)^(1/2)R_α(i, j)(s) の全体 Φ は
C(G, K) における正規直交集合(>>147)である。
>>584より、Φ はノルム |f|_b = sup{f(x); x ∈ G} に関して完全(>>149)である。

明らかに |Ω| = |Φ| である。
>>621より、|Ω| ≦ γ である。
他方、>>632より、|Ω| ≧ γ である。
よって、>>197より、|Ω| = γ である。
証明終

634 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/28(月) 10:18:21
>>579以降>>633までは、Pontryaginの連続群論(岩波)による。
この本は集合論と微積分、線型代数の初歩の予備知識で読める優れた本である。
ところどころロシア学派独特のクセがあって少し違和感があるが。

635 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/28(月) 10:26:23
>>619の補足

濃度の集合は整列集合である(現代数学概説I(岩波)または集合論の本を
参照されたい)。
よって、X の開集合基底の濃度には最小のものが存在する。


636 :猫は珍獣 ◆ghclfYsc82 :2009/09/28(月) 10:28:31
いや、とても名著やと思いますね。それに加えて
彼の微分方程式の教科書もなかなかのモンでしたよ、
全部は読んでませんが。

そもそも「ロシアの数学」ってのは世界に冠たる
超高品質じゃないですか! フランスの数学と共に
全世界をリードしてますわな。

私はこの両国の数学には最高の敬意を払っています。




637 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/28(月) 10:35:15
>>630, >>632
>X が有限集合のときは、 X の位相濃度は |X| に等しい。

念のためにこれを証明する。

X はHausdroffだから X の各点は閉集合である。
X は有限集合だから X の各点は開集合でもある。

Ω を X の任意の開集合基底(>>619)とする。
X の各点は開集合だから、Ω に属す。
よって、|Ω| ≧ |X|

一方、X の各点全体は明らかに X の開集合基底である。
よって、X の位相濃度は |X| に等しい。
証明終

638 :132人目の素数さん:2009/09/28(月) 10:54:11
>>636
>そもそも「ロシアの数学」ってのは世界に冠たる超高品質じゃないですか!
>フランスの数学と共に全世界をリードしてますわな。

昔は確かにそうでしたな。
今はロシアのユダヤ人たちは旧西側に逃げてしまったのが多いし
フランスは、エコルなんとかという根拠のないエリート意識の人間を量産する学校群の欠点ばかり
目立つようになってしまいましたな。
何処が間違ったんでしょうか?

639 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/28(月) 11:03:08
>>636
私も常々ロシア語を勉強せなあかん(移ってもうたw)と思うております。


640 :猫は珍獣 ◆ghclfYsc82 :2009/09/28(月) 11:04:05
そうですねぇ・・・
でも未だに凄い底力が残ってるんじゃないですかね、
フランスの数学とロシア人・・・
そのロシア人ってのはあちこちに散らばってしまい
ましたけどね。




641 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/28(月) 13:00:18
命題
K を複素数体とし、G をコンパクトアーベル群とする。
G の K 上の有限次元の連続な既約線型表現はすべて次数1である。

証明
ρ を K 上の有限次元 r の連続な既約線型表現とする。
V をその表現空間(>>83)とする。
G はアーベル群だから,任意の s, t ∈ G に対して
ρ(s)ρ(t) = ρ(t)ρ(s)
よって、Schurの補題の系(>>344)より、任意の s ∈ G に対して
ρ(s) = α(s)(1_V) となる。ここで、α(s) ∈ K である。
このとき、r = 1 でなければ ρ は既約ではない。
よって、 r = 1 である。
証明終

642 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/28(月) 13:26:28
補題
K を実数体または複素数体とし、G を局所コンパクト群とする。
G から K への連続写像全体を C(G, K) とする。
G から K への中心的(>>316)な連続関数全体を Cent(G) とする。
このとき、C(G, K) = Cent(G) なら G はアーベル群である。

証明
ab ≠ ba となる G の元 a, b があるとする。
a ≠ bab^(-1) である。
過去スレ007の706より、
連続関数 f: G → [0, 1] で f(a) = 1, f(bab^(-1)) = 0 となるものが存在する。
ところが、仮定より、f は中心的であるから f(a) = f(bab^(-1)) となって
矛盾である。
証明終

643 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/28(月) 13:30:29
命題
K を複素数体とし、G をコンパクト群とする。
G の K 上の有限次元の連続な既約線型表現がすべて次数1なら
G はアーベル群である。

証明
G から K への連続写像全体を C(G, K) とする。
G から K への中心的(>>316)な連続関数全体を Cent(G) とする。
G の既約指標(>>370)全体を X(G) とする。

G の K 上有限次元の連続な既約(>>260)ユニタリ表現(>>255)の同値類(>>71)全体を
Ωとする。
各 α ∈ Ω に対して U_α を α に属す既約ユニタリ表現とする。
U_α のユニタリ行列による表現を R_α(s) = (R_α(i, j)(s)) とする。
U_α の次数を d_α とする。

仮定より、すべての d_α = 1 であり、R_α(s) は G の既約指標である。
よって、>>587より、X(G) は C(G, K) における正規直交集合で、
ノルム |f|_b = sup{f(x); x ∈ G} に関して完全(>>149)である。

X(G) ⊂ Cent(G) であるから、
任意の f ∈ C(G, K) に対して f_n ∈ Cent(G), n = 1, 2, ... で
ノルム |f|_b に関して lim f_n = f となるものがある。

任意の n と任意の s, t ∈ G に対して f_n(sts^(-1)) = f_n(t) である。
両辺の lim をとって、f(sts^(-1)) = f(t)
即ち、f ∈ Cent(G) である。
よって、C(G, K) = Cent(G) である。
よって、>>642より G はアーベル群である。
証明終

644 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/28(月) 16:05:33
>>316への補足

中心的関数(central function)のことを類関数(class function)ともいう。
この方が一般的である。
中心的関数は Serre の "Representations lineaires des groupes finis" における
fonction centrale の訳である。

645 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/28(月) 16:20:23
中心的関数の由来は次の命題が成り立つことから来ている。

命題
K を実数体または複素数体とする。
G を群とし K[G] を K 上の群代数(>>521)とする。
(群代数は G が無限群でもまったく同じに定義される)。
f = Σf(s)s, s ∈ G を K[G] の元とする。
f が K[G] の中心に含まれるためには f(s) が中心的であることが必要十分である。

証明
f が K[G] の中心に含まれるとする。
任意の t ∈ G に対して、
(Σf(s)s)t^(-1) = t^(-1)(Σf(s)s)

よって、
Σf(s)st^(-1) = Σf(s)t^(-1)s

st^(-1) = u
t^(-1)s = w
とおくと
Σf(ut)u = Σf(tw)w
よって、
任意の u ∈ G に対して
f(ut) = f(tu)
よって、 f は中心的である。

逆も同様である。
証明終

646 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/28(月) 16:25:20
>>645の訂正
>G を群とし K[G] を K 上の群代数(>>521)とする。
>(群代数は G が無限群でもまったく同じに定義される)。

G を有限群とし K[G] を K 上の群代数(>>521)とする。


647 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/28(月) 16:27:37
>>646の説明

G が有限群でないと f(s) は G の有限個の元を除いて 0 となる関数で
なければならない。


648 :132人目の素数さん:2009/09/29(火) 23:02:54
44 名前: 萌える名無し画像 Mail: sage 投稿日: 2009/08/05(水) 20:52:48 ID: pj4SGQWo0
   _____
  (\  ∞  ノ
   ヽ、ヽ   /⌒ヽ
     `ヽ)__(    .) )) クンクン
        と、  ゙i
45 名前: 萌える名無し画像 Mail: sage 投稿日: 2009/08/05(水) 20:54:30 ID: lO+FEDNI0

   _____
  (\  ∞  ノ
   ヽ、ヽ   _  _
     `ヽ)__( ゚д゚ )  <れいなの匂いがする!
        と、  ゙i

649 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/30(水) 00:12:36
コンパクト群の表現の一般論だけでは面白くないので
具体例として SU(2) の既約表現を求めよう。
山内、杉浦の連続群論入門(培風館)を参考にする。

n ≧ 1 を整数としたとき、U(n) = {U^(-1) = U^*; U ∈ GL(n, C)} とおく。
ここで、GL(n, C) は複素数体上の n 次の可逆行列全体の集合であり、
U ∈ GL(n, C) で U^t を U の転置行列としたとき、U^* = (U^t)~ である。
即ち、U(n) は n 次のユニタリ行列全体の集合である。
SU(n) = {U ∈ U(n); det(U) = 1} である。

U = (a_(i, j)) ∈ U(n) とする。
UU^* = I であるから Σ[k] a_(i, k)a_(i, k)~ = δ_(i, j) である。
よって、U(n) は M(n, C) の閉集合である。
ここで、M(n, C) は複素数体上の n 次の正方行列全体の集合である。

Σ[j] a_(i, j)a_(i, j)~ = Σ[j] |a_(i, j)|^2 = 1 であるから、
|a_(i, j)| ≦ 1 である。
よって、U(n) はコンパクトである。
U → det(U) は U(n) から C への連続写像であるから SU(n) は U(n) の
閉集合である。
よって、SU(n) はコンパクトである。

650 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/30(水) 01:00:07
>>649の続き

1行目が a, b で、2行目が c, d の2次の正方行列を (a, b)/(c, d) と
書くことにする。
U = (a, b)/(c, d) ∈ SL(2, C) とする。
U の逆行列は (d, -b)/(-c, a) である。
よって、U ∈ SU(2) であるためには
(d, -b)/(-c, a) = (a~, c~)/(b~, d~) が必要十分である。

よって、U = (a, b)/(c, d) ∈ M(2, C) が U ∈ SU(2) であるためには
d = a~, c = -b~ かつ |a|^2 + |b|^2 = 1 が必要十分である。

即ち、SU(2) = {(a, b)/(-b~, a~) ∈ M(2, C); |a|^2 + |b|^2 = 1}

よって、SU(2) は {(a, b) ∈ C^2; |a|^2 + |b|^2 = 1} と同相になる。
即ち、SU(2) は S^3 = {(x_1, x_2, x_3, x_4) ∈ R^4; Σ|x_i|^2 = 1} と
同相である。
(x_1, x_2, x_3, x_4) ∈ S^3 には
(x_1 + ix_2, x_3 + ix_4)/(-x_3 + ix_4, x_1 - ix_2) が対応する。

S^3 はコンパクトであるから、これからも SU(2) がコンパクトであることが分かる。

651 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/30(水) 01:26:51
補題
n ≧ 1 を整数としたとき、
S^n = {(x_1, ..., x_(n+1)) ∈ R^(n+1); Σ|x_i|^2 = 1} は連結である。

証明
E_1 = {(x_1, ..., x_(n+1)) ∈ S^n; x_(n+1) ≧ 0} とおく。
B = {(x_1, ..., x_n) ∈ R^n; Σ|x_i|^2 ≦ 1} とおく。

(x_1, ..., x_(n+1)) → (x_1, ..., x_n) は E_1 から B への同相写像である。
B は連結だから E_1 も連結である。

同様に E_2 = {(x_1, ..., x_(n+1)) ∈ S^n; x_(n+1) ≦ 0} も連結である。

E_1 ∩ E_2 は空でないから S^n = E_1 ∪ E_2 は連結である。
証明終

652 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/30(水) 09:13:38
>>650の続き

SU(2) は S^3 と同相であるから、>>651より、SU(2) は連結である。

a, s ∈ SU(2) のとき、
a = (a_1 + ia_2, a_3 + ia_4)/(-a_3 + ia_4, a_1 - ia_2)
s = (x_1 + ix_2, x_3 + ix_4)/(-x_3 + ix_4, x_1 - ix_2)
as = (y_1 + iy_2, y_3 + it_4)/(-y_3 + iy_4, y_1 - iy_2)
とおく。

簡単な計算により、
y_1 = a_1x_1 - a_2x_2 - a_3x_3 - a_4x_4
y_2 = a_2x_1 + a_1x_2 - a_4x_3 + a_3x_4
y_3 = a_3x_1 + a_4x_2 + a_1x_3 - a_2x_4
y_4 = a_4x_1 - a_3x_2 + a_2x_3 + a_1x_4

det(a) = det(as) = 1
だから
(y_1)^2 + (y_2)^2 + (y_3)^2 + (y_4)^2 = (x_1)^2 + (x_2)^2 + (x_3)^2 + (x_4)^2

よって、写像 s → as を T_a とおくと T_a は直交群 O(4) の元を S^3 に制限した
ものと同一視できる。
O(4) の元は S^3 への制限で決まるから T_a ∈ O(4) と見なせる。
よって、det(T_a) = ±1 である。
a → det(T_a) は連続であり、SU(2) は連結であるから det(T_a) の符号は
SU(2) 上で一定である。
e を SU(2) の単位元としたとき、det(T_e) = 1 であるから、
任意の a ∈ SU(2) に対して det(T_a) = 1 である。
即ち、T_a は回転群 SO(4) の元と見なせる。

T_ab = T_aT_b であるから a → T_a は SU(2) から SO(4) への連続な準同型、
即ち、連続な実線型表現である。

653 :猫は珍獣 ◆ghclfYsc82 :2009/09/30(水) 09:20:05
コンパクトはもうエエさかい非コンパクトを
やってくれへん?

ワシはそっちを勉強したいし。




654 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/30(水) 10:04:30
>>653
非可換な非コンパクト群の表現は使わなくても当面やる予定の代数的整数論には
支障ないので、やらない方向で考えています。
私としては早く代数的整数論に戻りたいんです。


655 :猫は珍獣 ◆ghclfYsc82 :2009/09/30(水) 10:14:55
なるほど。でも新谷先生やゴッドマンとかを視野に入れると
非コンパクトは重要なんですけどねぇ

また色々と教えて下さい。




656 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/30(水) 14:54:34
>>652の続き

S^3 の開集合および閉集合の表面積は S^3 の回転により不変である。
よって、SU(2) のHaar測度は S^3 のBorel集合(過去スレ007の212)の表面積により
与えられると考えられる。
S^3 のHaar測度を具体的に求めるため S^3 の極座標を導入する。

657 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/30(水) 15:22:04
命題
n ≧ 2 を整数としたとき、
I = [0, +∞)×[0, π]×...×[0, π]×[0, 2π] から R^n への写像
(x_1, ..., x_n) = ψ_n(r, θ_1, θ_2, .., θ_(n-1)) を

x_1 = r cos(θ_1)
x_2 = r sin(θ_1)cos(θ_2)
.
.
.
x_(n-1) = r sin(θ_1)...sin(θ_(n-2))cos(θ_(n-1))
x_n = r sin(θ_1)...sin(θ_(n-2))sin(θ_(n-1))
で定義する。

このとき、ψ_n は I から R^n への全射で I の内部 int(I) で単射である。

証明
n による帰納法による。
n = 2 のとき本命題は成り立つ。
n のとき本命題が成り立つと仮定する。

(続く)

658 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/09/30(水) 15:23:15
>>657の続き

x ∈ R^(n+1) として r = |x| = ((x_1)^2 + ... + (x_(n+1))^2)^(1/2) とする。
x_1 = r cos(θ_1) となる θ_1 ∈ [0, π] が存在する。
r > 0 なら θ_1 は一意に決まる。

(x_1)^2 + ... + (x_(n+1))^2 = r^2 であるから
r^2 cos^2(θ_1) + (x_2)^2 + ... + (x_(n+1))^2 = r^2
よって、
(x_2)^2 + ... + (x_(n+1))^2 = r^2 - r^2 cos^2(θ_1) = r^2 sin^2(θ_1)
よって、
((x_2)^2 + ... + (x_(n+1))^2)^(1/2) = r sin(θ_1)

よって、帰納法の仮定より、
x_2 = r sin(θ_1)cos(θ_2)
x_3 = r sin(θ_1)sin(θ_2)cos(θ_3)
.
.
.
x_n = r sin(θ_1)sin(θ_2)...sin(θ_(n-1))cos(θ_n)
x_(n+1) = r sin(θ_1)sin(θ_2)...sin(θ_(n-1))sin(θ_n)

となる (θ_2, ..., θ_n) ∈ [0, π]×...×[0, π]×[0, 2π] = J が存在し、
int(J) において (θ_2, ..., θ_n) → (x_2, ..., x_(n+1)) は単射である。
よって、n + 1 のとき本命題が成り立つ。
証明終

659 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/01(木) 14:04:55
ここでは微分可能多様体についての初歩の知識を仮定する。
ここで扱う多様体および可微分写像はすべてC^∞級とする。

N, M を多様体とする。
ψ: N → M を可微分写像で N の各点 p で
(dψ)_p: T_p(N) → T_ψ(p)(M) が単射のとき ψ をはめ込み(immersion)という。
ここで、T_p(N) と T_ψ(p)(M) はそれぞれ N と M の p および ψ(p) における
接空間であり、dψ は ψ の微分である。

ψ が N から ψ(M) への同相のとき ψ を埋め込み(embedding)という。

N ⊂ M で、包含写像 ι: N → M がはめ込みのとき N を M の部分多様体という。
包含写像 ι: N → M が埋め込みのとき、N を M の正規部分多様体
(regular submanifold)という。

S^n は R^(n+1) の正規部分多様体(regular submanifold)である。

>>657より、ψ_(n+1)(1, θ_1, ..., θ_n) は
U = (0, π)×...×(0, π)×(0, 2π) から S^n への埋め込みである。

660 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/01(木) 14:50:50
M を多様体(>>659)とする。
M の各点 p に対して接空間 T_p(M) 上に分離的(過去スレ010の592)な
正値Hermite形式(過去スレ010の593) g_p が与えられているとする。
U を p の座標近傍で (x_1, ..., x_n) を U における局所座標系とする。
U の各点 q において g_(i, j)(q) = g_q((∂/∂x_i)_q, (∂/∂x_j)_q) とおく。

M は実多様体であるから T_p(M) は実数体上の線型空間である。
よって、(g_(i, j)(q)) は正定値対称行列である。

M の各点 p の座標近傍 U で g_(i, j)(q) がC^∞級のとき
g: p → g_p を M のリーマン計量という。

g_(i, j) を g の (x_1, ..., x_n) に関する成分という。

リーマン計量を備えた多様体をリーマン多様体と呼ぶ。

661 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/01(木) 15:00:29
(M, g) をリーマン多様体とし、N を M の部分多様体(>>659)とする。
ι: N → M を包含写像 とする。
u, v ∈ T_p(N) のとき、h_p(u, v) = g_ι(p)((dι)u, (dι)v) により、
h_p は T_p(N) 上の分離的な正値Hermite形式となる。

(x_1, ..., x_n) を p のまわりの N の局所座標系とし、
(y_1, ..., y_m) を p のまわりの M の局所座標系とする。

(y_i)ι = f_i(x_1, ..., x_n), i = 1, ..., m とする。

(dι)(∂/∂x_a) = Σ∂f_i/∂x_a(∂/∂y_i)
(dι)(∂/∂x_b) = Σ∂f_j/∂x_b(∂/∂y_j)
よって、
h_(a, b) = h(∂/∂x_a, ∂x_b)
= g(Σ∂f_i/∂x_a(∂/∂y_i), Σ∂f_j/∂x_b(∂/∂y_j))
= Σ(∂f_i/∂x_a)(∂f_j/∂x_b) g(∂/∂y_i, ∂/∂y_j)
= Σ(∂f_i/∂x_a)(∂f_j/∂x_b) g_(i, j)

よって、h_(a, b) はC^∞級であり、h はリーマン計量である。
h を M のリーマン計量 g から定まる N のリーマン計量と呼ぶ。

662 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/01(木) 15:11:19
(x_1, ..., x_n) を R^n の標準座標系とする。
g(∂/∂x_i, ∂x_j) = δ_(i, j) と定義することにより、
g は R^n のリーマン計量(>>660)になる。
(R^n, g) を n 次元ユークリッド空間と呼び E^n と書く。

M を E^m の部分多様体(>>659)とし、ι: M_→ E^m を包含写像 とする。
h を E^m のリーマン計量 g から定まる M のリーマン計量とする(>>661)。

(x_1, ..., x_n) を p のまわりの M の局所座標系とし、
(y_1, ..., y_m) を E^m の標準座標系とする。
(y_i)ι = f_i(x_1, ..., x_n), i = 1, ..., m とする。

>>661より、h_(a, b) = Σ(∂f_i/∂x_a)(∂f_j/∂x_b) g_(i, j)

一方、g_(i, j) = δ_(i, j) であるから
h_(a, b) = Σ(∂f_i/∂x_a)(∂f_i/∂x_b)
である。

663 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/01(木) 15:22:06
>>661の訂正
>h_(a, b) = h(∂/∂x_a, ∂x_b)

h_(a, b) = h(∂/∂x_a, ∂/∂x_b)


664 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/01(木) 15:22:47
>>662の訂正
>g(∂/∂x_i, ∂x_j) = δ_(i, j) と定義することにより、

g(∂/∂x_i, ∂/∂x_j) = δ_(i, j) と定義することにより、


665 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/01(木) 17:30:42
命題
A を複素数体上の n 次のHermite行列とする。
即ち、A は n 次の複素正方行列で A = (A^t)~ とする。
ここで、A^t は A の転置行列であり、(A^t)~ は A^t の複素共役行列である。

このとき A の固有値はすべて実数である。

証明
C^n を複素数体上の n 次の縦ベクトル全体とする。
x = (x_1, ..., x_n)^t と y = (y_1, ..., y_n)^t を C^n の元としたとき
<x, y> = x_1(y_1)~ + ... x_n(y_n)~ と書く。
即ち、<x, y> = (x^t)y~ である。
よって、<Ax, y> = (x^t(A^t))y~ = x^tA~y~ = <x, Ay> である。

α を A の固有値とする。
Ax = αx となる x ∈ C^n で x ≠ 0 となるものがある。

<Ax, x> = <αx, x> = α<x, x>
<x, Ax> = <x, αx> = α~<x, x>

<Ax, x> = <x, Ax> であるから、α<x, x> = α~<x, x>

一方、<x, x> = |x_1|^2 + ... + |x_n|^2 ≠ 0 だから α = α~ である。
よって、α は実数である。
証明終

666 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/01(木) 18:58:36
命題
K を実数体または複素数体とする。
n ≧ 1 を整数とし、V を K 上の n 次元のHilbert空間(過去スレ010の600)とする。
W を V の部分線型空間とする。

このとき、V = W + W^⊥ (直和) となる。

証明
Gram-Schmidt(>>155) より W の正規直交基底 e_1, . . . , e_r が存在する。
x ∈ V のとき y = <x, e_1>e_1 + . . . + <x, e_r>e_r とおく。
各 i に対して <y, e_i> = <x, e_i> である。
よって <x - y, e_i> = 0 である。
よって x - y ∈ W⊥ である。
y ∈ W だから x = y + (x - y) ∈ W + W^⊥ である。

z ∈ W ∩ W^⊥ なら <z, z> = 0 となり z = 0
よって V = W + W^⊥ (直和) である。
証明終

667 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/01(木) 19:10:32
命題
K を実数体または複素数体とする。
n ≧ 1 を整数とし、V を K 上の n 次のHilbert空間(過去スレ010の600)とする。
f: V → V をHermite写像(>>545)とする。
f の相異なる固有値を α_1, ..., α_r とし、
W_1, ..., W_r を対応する固有空間とする。

このとき、V = W_1 + ... + W_r (直和) となる。

証明
n に関する帰納法。
n = 1 のときは明らかである。
e_1, ..., e_n を V の正規直交基底(>>147)とする。

f(e_j) = Σa_(i, j)e_i とする。

<f(e_i), e_j> = a_(j, i)
<e_i, f(e_j)> = a_(i, j)~
よって、A = (A^t)~
よって、 >>665より、A の固有値はすべて実数である。

(続く)

668 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/01(木) 19:11:27
>>667の続き

よって、f は少なくとも一つの固有値α_1をもつ。
W_1 をα_1の固有空間とする。

>>666より、V = W_1 + (W_1)^⊥ である。
y ∈ (W_1)^⊥ とする。

f はHermiteだから、x ∈ W_1 のとき、
<f(x), y> = <x, f(y)>
この左辺は
<α_1x, y> = α_1<x, y> = 0

よって、f(y) ∈ (W_1)^⊥
f の (W_1)^⊥ への制限はHermiteである。
よって、帰納法の仮定より本命題が成り立つ。
証明終

669 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/01(木) 19:43:55
命題
K を実数体または複素数体とする。
n ≧ 1 を整数とし、V を K 上の n 次元のHilbert空間(過去スレ010の600)とする。
f: V → V をHermite写像(>>545)とする。
(x, y) → <f(x), y> はHermite形式である。

このHermite形式が分離(過去スレ010の592)かつ正値(過去スレ010の593)で
あるためには f の固有値が全て正であることが必要十分である。

証明
<f(y), x> = <x, f(y)>~ = <f(x), y>~
よって、(x, y) → <f(x), y> はHermite形式である。

このHermite形式が分離かつ正値であるとする。
α を f の固有値とし、 x ≠ 0 をその固有ベクトルとる。
<f(x), x> = <αx, x> = α<x, x> > 0
よって、α > 0 である。

逆に、f の固有値が全て正であるとする。
>>667より、f の固有ベクトルからなる V の正規直交基底 e_1, ..., e_n が
存在する。
対応する f の固有値を α_1, ..., α_n とする。

x ≠ 0 を V の元とし、x = x_1e_1 + ... + x_ne_n とする。
<f(x), x> = <α_1x_1e_1 + ... + α_nx_ne_n, x_1e_1 + ... + x_ne_n>
= α_1|x_1|^2 + ... + α_n|x_n|^2 > 0
よって、f は分離かつ正値である。
証明終

670 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/02(金) 06:31:46
命題
R を実数体とする。
n ≧ 1 を整数とし、V を R 上の n 次元のHilbert空間(過去スレ010の600)とする。
v_1, ..., v_n を V の R 上の基底とする。
g_(i, j) = <v_i, v_j> とし、G = (g_(i, j)) とする。

このとき、det(G) > 0 である。

証明
G = G^t であるから G はHermite行列である。

v = Σx_iv_i と w = Σy_iv_i を V の元とする。
<v, w> = <Σx_iv_i, Σy_jv_j> = Σg_(i, j)x_iy_j

一方、x = (x_1, ..., x_n)^t と y = (y_1, ..., y_n)^t を縦ベクトルとすると、
x^tGy = Σg_(i, j)x_iy_j
よって、<v, w> = x^tGy

R^n における標準的な正値Hermite形式を <x, y> = Σx_iy_i とする。
x^tGy = <x, Gy> = <Gx, y> である。
よって、<v, w> = <Gx, y> である。
よって、(x, y) → <Gx, y> は分離的な正値Hermite形式である。

G の固有値を重複度を含めて α_1, ..., α_n とする。
>>669より、α_1 > 0, ..., α_n > 0 である。
よって、det(G) = α_1...α_n > 0 である。
証明終

671 :132人目の素数さん:2009/10/02(金) 08:22:38

糞スレあげるな カス



672 :132人目の素数さん:2009/10/02(金) 08:23:22
ではやはりあげておくべきですね。


673 :132人目の素数さん:2009/10/02(金) 08:24:42
ではやはりあげておくべきですね。


674 :132人目の素数さん:2009/10/02(金) 08:26:09
ではやはりあげておくべきですね。


675 :132人目の素数さん:2009/10/02(金) 08:36:28
糞スレあげるな カス


676 :132人目の素数さん:2009/10/02(金) 09:01:12
ではやはりあげておくべきですね。




677 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/02(金) 14:00:55
予定していなかったがリーマン幾何学の初歩に踏み込んでしまった。
後に必要になるかもしれない(保型関数のからみで)ので、このまま行くことにする。
関心ない人は、必要になるまで無視してください。


678 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/02(金) 14:04:16
K を標数 0 の可換体とする。
M を K 上の線型空間とする。

整数 p ≧ 2 に対して M^p から K への K-多重線型写像全体を T_p(M^*) と書く。
T_0(M^*) = K
T_1(M^*) = M とする。

整数 p ≧ 2 に対して M^p から K への交代的な K-多重線型写像(過去スレ001の849)
全体を Λ^p(M^*) と書く。
Λ^0(M^*) = K
Λ^1(M^*) = M とする。

p ≧ 2 で、f ∈ T_p(M^*) のとき、Af ∈ T_p(M^*) を
Af(x_1, ..., x_p) = (1/p!)Σsign(σ)f(σ(x_1), ..., σ(x_p))
で定義する。
ここで、Σ は、{1, ..., p} の置換 σ 全体に渡る。

A(T_p(M^*)) ⊂ Λ^p(M^*) で、f ∈ Λ^p(M^*) のとき Af = f となることは
容易にわかる。
よって、A(T_p(M^*)) = Λ^p(M^*) であり、A^2 = A である。

n = 0, 1 のときは A = 1 (恒等写像) と定義する。

f ∈ Λ^p(M^*), g ∈ Λ^q(M^*) のとき Λ^(p+q)(M^*) の元 fΛg を
fΛg = ((p+q)!/p!q!)A(f※g) と定義する。
ここで、f※g は T_(p+q)(M^*) の元で、
f※g(x_1, ..., x_p, y_1, ..., y_q) = f(x_1, ..., x_p)g(y_1, ..., y_q)
により定義される。

679 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/02(金) 14:13:38
>>678の訂正
>Af(x_1, ..., x_p) = (1/p!)Σsign(σ)f(σ(x_1), ..., σ(x_p))

Af(x_1, ..., x_p) = (1/p!)Σsign(σ)f(x_σ(1), ..., x_σ(p))


680 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/02(金) 14:49:33
>>678の続き

整数 p ≧ 1 に対して、S_p を {1, ..., p} の置換全体の群とする。
f ∈ T_p(M^*)、σ ∈ S_p のとき、σf ∈ T_p(M^*) を
σf(x_1, ..., x_p) = f(x_σ(1), ..., x_σ(p))
で定義する。

A(σf)(x_1, ..., x_p) = (1/p!)Σsign(τ)σf(x_τ(1), ..., x_τ(p))
= (1/p!)Σsign(τ)f(x_σ(τ(1)), ..., x_σ(τ(p)))
= (1/p!)Σsign(σ)sign(στ)f(x_σ(τ(1)), ..., x_σ(τ(p)))
= sign(σ)(1/p!)Σsign(στ)f(x_σ(τ(1)), ..., x_σ(τ(p)))
= sign(σ)A(f)

よって、A(σf) = sign(σ)A(f) である。

681 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/02(金) 14:51:57
>>678の補足

f ∈ T^p(M^*), g ∈ T^q(M^*) のときも Λ^(p+q)(M^*) の元 fΛg を
fΛg = ((p+q)!/p!q!)A(f※g) で定義する。


682 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/02(金) 15:04:57
補題
K を標数 0 の可換体とする。
M を K 上の線型空間とする。

f ∈ T^p(M^*), g ∈ T^q(M^*) のとき
A(f)Λg = fΛg である、

証明
A(A(f)※g) = A((1/p!)Σsign(σ)(σf)※g)
= (1/p!)Σsign(σ)A(σf)※g)
= (1/p!)Σsign(σ)Aσ'(f※g)

ここで、σ' は {1, ..., p+q} の置換で、{1, ..., p} 上で σ
{p+1, ..., p+q} 上で恒等写像となるものである。

sign(σ') = sign(σ) であるから、
>>680より、
(1/p!)Σsign(σ)Aσ'(f※g) = (1/p!)Σsign(σ)sign(σ)A(f※g)
= A(f※g)

よって、A(A(f)※g) = A(f※g)
よって、A(f)Λg = fΛg である、
証明終

683 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/02(金) 15:17:45
命題
K を標数 0 の可換体とする。
M を K 上の線型空間とする。

f ∈ T^p(M^*), g ∈ T^q(M^*), h ∈ T^r(M^*)のとき
fΛ(gΛh) = (fΛg)Λh = ((p+q+r)!/p!q!r!)A(f※g※h)である、

証明
fΛ(gΛh) = ((p+q+r)!/p!(q+r)!)A(f※(gΛh))
= ((p+q+r)!/p!(q+r)!)((q+r)!/q!r!)A(f※A(g※h))
= ((p+q+r)!/p!q!r!)A(f※A(g※h))

一方、>>682より、A(f※A(g※h)) = A(f※g※h)

よって、
fΛ(gΛh) = ((p+q+r)!/p!q!r!)A(f※g※h)

同様に、
(fΛg)Λh = ((p+q+r)!/p!q!r!)A(f※g※h)
証明終

684 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/02(金) 15:27:18
命題
K を標数 0 の可換体とする。
M を K 上の線型空間とする。

f ∈ T^p(M^*), g ∈ T^q(M^*) のとき
fΛg = (-1)^(pq)gΛf

証明
τ を{1, ..., p+q} の置換で、τ(1, ..., p+q) = (p+1, ..., p+q, 1, ..., p}
となるものとする。

f※g(x_1, ..., x_(p+q)) = g※f(x_τ(1), ..., x_τ(p+q))

>>680より、A(f※g) = sign(τ)A(g※f)
sign(τ) = (-1)^(pq)
よって、
fΛg = (-1)^(pq)gΛf
証明終

685 :132人目の素数さん:2009/10/02(金) 16:41:00
ぜんぜん分かっていないね。

686 :132人目の素数さん:2009/10/02(金) 16:45:18
同感

687 :β:2009/10/02(金) 17:05:32
馬鹿に数学は無理

688 :猫は珍獣 ◆ghclfYsc82 :2009/10/02(金) 17:49:11
という事は:
「アンタに数学は無理」
という結論が導けますなァ


689 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/02(金) 18:14:08
K を可換環とする。
M を K-加群とする。
整数 p ≧ 1 に対して M^p から K への K-多重線型写像全体を T_p(M^*) と書く。
T_0(M^*) = K とする。

f ∈ T_p(M^*), g ∈ T_q(M^*) のとき T_(p+q)(M^*) の元 f※g を
f※g(x_1, ..., x_p, y_1, ..., y_q) = f(x_1, ..., x_p)g(y_1, ..., y_q)
で定義する。

f ∈ T_p(M^*), g ∈ T_q(M^*), h ∈ T_r(M^*) のとき、
f※(g※h) = (f※g)※h である。

よって、f※(g※h) を f※g※h と書く。

690 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/02(金) 18:20:49
命題
K を可換環とする。
M を階数 n の自由 K-加群とする。
e_1, ..., e_n を M の基底とする。
f_1, ..., f_n をその双対基底とする。
即ち、f_1, ..., f_n ∈ M^* で f_i(e_j) = δ_(i, j), i, j = 1, ..., n である。

このとき、T_p(M^*) は階数 n^p の自由 K-加群であり、
その基底は f_i_1※...※f_i_p, 1 ≦ i_1, ..., i_p ≦ n である。

証明
g = Σf(e_i_1, ..., e_i_p)f_i_1※...※f_i_p, 1 ≦ i_1, ..., i_p ≦ n とおく。

g(e_k_1, ..., e_k_p) = f(e_k_1, ..., e_k_p)
よって、 f = g である。
よって、T_p(M^*) は n^p 個の元 f_i_1※...※f_i_p, 1 ≦ i_1, ..., i_p ≦ n で
生成される。

Σa_(i_1, ..., i_p)f_i_1※...※f_i_p = 0 とする。
Σa_(i_1, ..., i_p)f_i_1※...※f_i_p(e_k_1, ..., e_k_p) = 0 である。
よって、a_(k_1, ..., k_p) = 0
よって、f_i_1※...※f_i_p, 1 ≦ i_1, ..., i_p ≦ n は T_p(M^*) の基底である。
証明終

691 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/02(金) 19:08:41
命題
K を標数 0 の可換体とする。
M を K 上の線型空間とする。
f_1, ..., f_p を M の双対空間 M^* の元とし、
x_1, ..., x_p を M の元とする。

このとき、
f_1Λ...Λf_p(x_1, ..., x_p) = det(f_i(x_j))
である。

証明
>>683より、
f_1Λ...Λf_p(x_1, ..., x_p) = p!A(f_1※...※f_p)(x_1, ..., x_p)
= Σsign(σ)f_1(σ(1))...f_p(σ(p))
= det(f_i(x_j))
証明終

692 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/02(金) 21:56:20
命題
K を標数 0 の可換体とする。
M を K 上の線型空間とする。
f_1, ..., f_p を M の双対空間 M^* の元とする。

このとき、
f_1Λ...Λf_p = Σsign(σ)f_σ(1)※...※f_σ(p)
である。

証明
x_1, ..., x_p を M の元とする。

Σsign(σ)f_σ(1)※...※f_σ(p)(x_1, ..., x_p)
= Σsign(σ)f_σ(1)(x_1)...f_σ(p)(x_p)
= det(f_i(x_j))

よって、>>691より、

f_1Λ...Λf_p(x_1, ..., x_p) = Σsign(σ)f_σ(1)※...※f_σ(p)(x_1, ..., x_p)

よって、
f_1Λ...Λf_p = Σsign(σ)f_σ(1)※...※f_σ(p)
証明終

693 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/02(金) 23:18:33
命題
K を標数 0 の可換体とする。
M を K 上の有限次元の線型空間とし、n = dim M とする。
e_1, ..., e_n を M の基底とする。
f_1, ..., f_n をその双対基底とする。
即ち、f_1, ..., f_n ∈ M^* で f_i(e_j) = δ_(i, j), i, j = 1, ..., n である。

p > n のとき Λ^p(M^*) = 0 である。
1 ≦ p ≦ n のとき、Λ^p(M^*) は次元 nCp = n!/(n-p)!p! であり、
その基底は f_i_1Λ...Λf_i_p, 1 ≦ i_1 < i_2 <...< i_p ≦ n である。

証明
>>690より、f ∈ Λ^p(M^*) のとき、
f = Σf(e_i_1, ..., e_i_p)f_i_1※...※f_i_p, 1 ≦ i_1, ..., i_p ≦ n
である。

p > n のとき、f(e_i_1, ..., e_i_p) = 0 であるから、f = 0 である。
よって、Λ^p(M^*) = 0 である。

(続く)

694 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/02(金) 23:19:48
>>693の続き

1 ≦ p ≦ n とする。

f = ΣΣf(e_i_σ(1), ..., e_i_σ(p))f_i_σ(1)※...※f_i_σ(p)
となる。
ここで、最初のΣは、i_1 <...<i_p となる組全体を動き、
2番目のΣは {1, ..., p} の置換σ全体を動く。

f(e_i_σ(1), ..., e_i_σ(p)) = sign(σ)f(e_i_1, ..., e_i_p) であるから
>>692より、
Σf(e_i_σ(1), ..., e_i_σ(p))f_i_σ(1)※...※f_i_σ(p)
= f(e_i_1, ..., e_i_p)f_i_1Λ...Λf_i_p

よって、
f = Σf(e_i_1, ..., e_i_p)f_i_1Λ...Λf_i_p, 1 ≦ i_1 < i_2 <...< i_p ≦ n
である。

次に、f_i_1Λ...Λf_i_p, 1 ≦ i_1 < i_2 <...< i_p ≦ n が一次独立で
あることを示す。

Σα_(i_1, ..., i_p)f_i_1Λ...Λf_i_p = 0 とする。
>>692より、ΣΣα_(i_1, ..., i_p)sign(σ)f_i_σ(1)※...※f_i_σ(p) = 0

f_i_σ(1)※...※f_i_σ(p), 1 ≦ i_1, ..., i_p ≦ n は一次独立だから、
α_(i_1, ..., i_p) = 0 である。
証明終

695 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/03(土) 08:33:49
>>694の補足

f_i_1Λ...Λf_i_p, 1 ≦ i_1 < i_2 <...< i_p ≦ n が一次独立で
あることは次のようにしてもわかる。

Σα_(i_1, ..., i_p)f_i_1Λ...Λf_i_p = 0 とする。

j_1 < j_2 <...< j_p の補集合を k_(p+1) < k_(p+2) <...< k_n とする。

f_k_(p+1)Λ...Λf_k_n を両辺に掛けて
α_(j_1, ..., j_p)f_j_1Λ...Λf_j_pΛf_k_(p+1)Λ...Λf_k_n = 0

>>691より、f_1Λ...Λf_n(e_1Λ...Λe_n) = det(f_i(e_j)) = 1 だから
f_1Λ...Λf_n ≠ 0
よって、f_j_1Λ...Λf_j_pΛf_k_(p+1)Λ...Λf_k_n ≠ 0 である。
よって、α_(j_1, ..., j_p) = 0 である。

696 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/03(土) 14:25:26
命題
K を標数 0 の可換体とする。
M を K 上の有限次元の線型空間とし、n = dim M とする。
M^* をその双対空間とする。

このとき、g_1, ..., g_p ∈ M^* が一次独立であるためには
g_1Λ...Λg_p ≠ 0 が必要十分である。

証明
g_1, ..., g_p が一次独立でないとする。
g_1 = α_2g_2 + ... + α_pg_p と仮定してよい。
g_iΛg_i = 0 であるから、g_1Λ...Λg_p = 0 となる。

逆に g_1, ..., g_p ∈ M^* が一次独立であるとする。
g_1, ..., g_p, g_(p+1), ..., g_n が M の基底となるような
g_(p+1), ..., g_n が存在する。
>>693より、g_1Λ...Λg_n ≠ 0 である。
よって、g_1Λ...Λg_p ≠ 0 である。
証明終

697 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/03(土) 15:52:16
>>678の訂正
>整数 p ≧ 2 に対して M^p から K への K-多重線型写像全体を T_p(M^*) と書く。
>T_0(M^*) = K
>T_1(M^*) = M とする。

整数 p ≧ 2 に対して M^p から K への K-多重線型写像全体を T^p(M^*) と書く。
T^0(M^*) = K
T^1(M^*) = M とする。


698 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/03(土) 15:54:41
>>689の訂正
>K を可換環とする。
>M を K-加群とする。
>整数 p ≧ 1 に対して M^p から K への K-多重線型写像全体を T_p(M^*) と書く。
>T_0(M^*) = K とする。

K を可換環とする。
M を K-加群とする。
整数 p ≧ 1 に対して M^p から K への K-多重線型写像全体を T^p(M^*) と書く。
T^0(M^*) = K とする。


699 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/03(土) 16:29:17
>>689への補足

K を可換環とする。
M を K-加群とする。
p個の M の K 上のテンソル積 M※...※M を考える。
Hom(M※...※M, K) は T^p(M^*) (>>698)と標準的に同型である。

M が K 上有限生成の自由加群(または射影加群)であれば、
Hom(M※...※M, K) はp個の M^* の K 上のテンソル積と標準的に同型である。

よって、M が K 上有限生成の射影加群でないとき、T^p(M^*) の記法は
あまり好ましくない。
しかし、ここで扱うのはもっぱら K 上有限生成の自由加群であるので
この記法で行くことにする。


700 :132人目の素数さん:2009/10/03(土) 23:13:56
         ,. -‐'''''""¨¨¨ヽ
         (.___,,,... -ァァフ|          あ…ありのまま 今 起こった事を話すぜ!
          |i i|    }! }} //|
         |l、{   j} /,,ィ//|       『代数的整数論スレッドかと
        i|:!ヾ、_ノ/ u {:}//ヘ        思ったらいつのまにかAV女優板にいた』
        |リ u' }  ,ノ _,!V,ハ |
       /´fト、_{ル{,ィ'eラ , タ人        な… 何を言ってるのか わからねーと思うが
     /'   ヾ|宀| {´,)⌒`/ |<ヽトiゝ        おれも何をされたのかわからなかった…
    ,゙  / )ヽ iLレ  u' | | ヾlトハ〉
     |/_/  ハ !ニ⊇ '/:}  V:::::ヽ        頭がどうにかなりそうだった…
    // 二二二7'T'' /u' __ /:::::::/`ヽ
   /'´r -—一ァ‐゙T´ '"´ /::::/-‐  \    催眠術だとか超スピードだとか
   / //   广¨´  /'   /:::::/´ ̄`ヽ ⌒ヽ    そんなチャチなもんじゃあ 断じてねえ
  ノ ' /  ノ:::::`ー-、___/::::://       ヽ  }
_/`丶 /:::::::::::::::::::::::::: ̄`ー-{:::...       イ  もっと恐ろしいものの片鱗を味わったぜ…

701 :132人目の素数さん:2009/10/03(土) 23:33:32
そんなに不思議でもないだろw


702 :132人目の素数さん:2009/10/04(日) 01:22:36
age

703 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/04(日) 11:52:42
Λ^p(M^*) (>>678) は K が可換環でも定義できる。

定義
K を可換環とする。
M を K-加群とする。
整数 p ≧ 2 に対して M^p から K への交代的な K-多重線型写像(過去スレ001の849)
全体を Λ^p(M^*) と書く。
Λ^0(M^*) = K
Λ^1(M^*) = M とする。


704 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/04(日) 11:55:36
定義
K を可換環とする。
M と N を K-加群とする。
ψ: M → N を K-加群の射とする。

p ≧ 1 のとき、f ∈ T^p(N^*) (>>698)に対して ψ^*f ∈ T^p(M^*) を
ψ^*f(x_1, ..., x_p) = f(ψ(x_1), ..., ψ(x_p)) により定義する。

f ∈ Λ^p(N^*) (>>703)のとき、ψ^*f ∈ Λ^p(M^*) である。

ψ^*f を f の ψ による引き戻し(pull-back)という。


705 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/04(日) 12:15:42
命題
K を可換環とする。
M と N を K-加群とする。
ψ: M → N を K-加群の射とする。

f ∈ T^p(N^*), g ∈ T^q(N^*) のとき、
ψ^*(f※g) = (ψ^*f)※(ψ^*g) である。

証明
x_1, ..., x_p, y_1, ..., y_q を M の元とする。

ψ^*(f※g)(x_1, ..., x_p, y_1, ..., y_q)
= f※g(ψ(x_1), ..., ψ(x_p), ψ(y_1), ..., ψ(y_p))
= f(ψ(x_1), ..., ψ(x_p))g(ψ(y_1), ..., ψ(y_p))
= (ψ^*f)※(ψ^*g)(x_1, ..., x_p, y_1, ..., y_q)

よって、
ψ^*(f※g) = (ψ^*f)※(ψ^*g) である。
証明終

706 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/04(日) 12:31:28
命題
K を標数 0 の可換体とする。
M と N を有限次元の K-加群とする。
ψ: M → N を K-加群の射とする。

f ∈ Λ^p(N^*), g ∈ Λ^q(N^*) のとき、
ψ^*(fΛg) = (ψ^*f)Λ(ψ^*g) である。

証明
h_1, ..., h_p を M の双対空間 M^* の元とする。
>>692より、h_1Λ...Λh_p = Σsign(σ)h_σ(1)※...※h_σ(p)
である。

>>705より、
ψ^*(h_1Λ...Λh_p) = Σsign(σ)ψ^*(h_σ(1)※...※h_σ(p))
= Σsign(σ)ψ^*(h_σ(1))※...※ψ^*(h_σ(p))
= ψ^*(h_1)Λ...Λψ^*(h_p)

よって、f_1, ..., f_p, g_1, ..., g_q を M^* の元とし、
f = f_1Λ...Λf_p
g = g_1Λ...Λg_q
のときは
ψ^*(fΛg) = (ψ^*f)Λ(ψ^*g) である。

よって、>>693より、本命題が成り立つ。
証明終

707 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/04(日) 12:36:06
>>704への補足

p = 0 で、f ∈ T^p(N^*) のとき、
即ち、f ∈ K のとき、ψ^*f = f と定義する。


708 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/04(日) 20:00:58
補題
p ≧ 1, q ≧ 1 を整数とし、G を {1, ..., p+q} の置換全体のなす群とする。
σ ∈ G で σ(1) < ... < σ(p) かつ σ(p+1) < ... < σ(p+q)
となるもの全体を H とする。

σ ∈ H のとき、
τ ∈ G で
τ{σ(1), ..., σ(p)} = {σ(1), ..., σ(p)}
τ{σ(p+1), ..., σ(p+q)} = {σ(p+1), ..., σ(p+q)}
となるもの全体を G(σ) とする。

G = ∪G(σ)σ, σ ∈ H であり、
σ, ρ ∈ H で σ ≠ ρ のとき G(σ)σ ∩ G(ρ)ρ = φ である。

証明
σ(1), ..., σ(p) に対して τσ(1) < ... < τσ(p)
となる τ ∈ S({σ(1), ..., σ(p)}) がある。
ここで、S({σ(1), ..., σ(p)}) は集合 {σ(1), ..., σ(p)} の
置換全体のなす群である。

同様に、σ(p+1), ..., σ(p+q) に対して ρσ(p+1) < ... < ρσ(p+q)
となる ρ ∈ S({σ(p+1), ..., σ(p+q)}) がある。

i ∈ {1, ..., p+q} - {σ(1), ..., σ(p)} のとき τ(i) = i と定義して
τ ∈ G と見なす。
同様に、ρ ∈ G と見なす。
μ = τρ とおく。
μ(σ(1), ..., σ(p)) = (τσ(1), ..., τσ(p))
μ(σ(p+1), ..., σ(p+q)) = (ρσ(p+1), ..., ρσ(p+q))
よって、μσ ∈ H である。
(続く)

709 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/04(日) 20:03:32
>>708の続き

μ^(-1)(μσ(1), ..., μσ(p)) = (σ(1), ..., σ(p))
μ^(-1)(τρ(p+1), ..., τρ(p+q)) = (ρ(p+1), ..., ρ(p+q))

よって、μ^(-1) ∈ G(μσ) である。
よって、σ = μ^(-1)μσ ∈ G(μσ)H である。
よって、G = ∪G(σ)σ, σ ∈ H である。

|H| = (p+q)!/p!q!
σ ∈ H のとき、|G(σ)σ| = |G(σ)| = p!q!
|G| = (p+q)! = |G(σ)σ| |H|
よって、σ, ρ ∈ H で σ ≠ ρ のとき G(σ)σ ∩ G(ρ)ρ = φ である。
証明終

710 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/04(日) 20:09:23
>>709の訂正
>よって、σ = μ^(-1)μσ ∈ G(μσ)H である。

よって、σ = μ^(-1)μσ ∈ G(μσ)μσ である。

711 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/04(日) 20:47:14
命題
K を標数 0 の可換体とする。
M を K-加群とする。
p ≧ 1, q ≧ 1 を整数とし、f ∈ Λ^p(M^*), g ∈ ^q(M^*)
x_1, ..., x_(p+q) ∈ M とする。

このとき、
(fΛg)(x_1, ..., x_(p+q))
= Σsign(σ)f(x_σ(1), ..., x_σ(p))g(x_σ(p+1), ..., x_σ(p+q))

ここで、σ は {1, ..., p+q} の置換で
σ(1) < ... < σ(p) かつ σ(p+1) < ... < σ(p+q)
となるもの全体を動く。

証明
G を {1, ..., p+q} の置換全体のなす群とする。
σ ∈ G で σ(1) < ... < σ(p) かつ σ(p+1) < ... < σ(p+q)
となるもの全体を H とする。

σ ∈ H のとき、S({σ(1), ..., σ(p)}) を集合 {σ(1), ..., σ(p)} の
置換全体のなす群とする。
τ ∈ S({σ(1), ..., σ(p)}) に対して、
f(x_τσ(1), ..., x_τσ(p)) = sign(τ)f(x_σ(1), ..., x_σ(p))
よって、
sign(τ)f(x_τσ(1), ..., x_τσ(p)) = f(x_σ(1), ..., x_σ(p))

同様に
ρ ∈ S({σ(p+1), ..., σ(p+q)}) に対して、
sign(ρ)g(x_ρσ(p+1), ..., x_ρσ(p+q)) = g(x_σ(p+1), ..., x_σ(p+q))

(続く)

712 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/04(日) 20:51:05
>>711の続き

よって、
Σsign(σ)f(x_σ(1), ..., x_σ(p))g(x_σ(p+1), ..., x_σ(p+q))
= (1/p!q!)Σsign(στ)Σf(x_τσ(1), ..., x_τσ(p))g(x_τσ(p+1), ..., x_τσ(p+q))

ここで、左辺のΣは σ ∈ H となる σ 全体の和であり、
右辺の内側のΣは、τ ∈ G で
τ{σ(1), ..., σ(p)} = {σ(1), ..., σ(p)}
τ{σ(p+1), ..., σ(p+q)} = {σ(p+1), ..., σ(p+q)}
となるもの全体の和である。

>>708より、この右辺は、
(1/p!q!)Σsign(σ)f(x_σ(1), ..., x_σ(p))g(x_σ(p+1), ..., x_σ(p+q))
に等しい。
ここで、Σは σ ∈ G となる σ 全体の和である。

他方、>>678より、
fΛg = ((p+q)!/p!q!)A(f※g)
= ((p+q)!/p!q!)(1/(p+q)!)Σsign(σ)(f※g)(x_σ(1), ..., x_σ(p+q))
= (1/p!q!)Σsign(σ)f(x_σ(1), ..., x_σ(p))g(x_σ(p+1), ..., x_σ(p+q))

よって、本命題が得られる。
証明終

713 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/04(日) 21:54:33
>>706において M と N は K 上有限次元でなくともよい。
即ち、

命題
K を標数 0 の可換体とする。
M と N を K-加群とする。
ψ: M → N を K-加群の射とする。

f ∈ Λ^p(N^*), g ∈ Λ^q(N^*) のとき、
ψ^*(fΛg) = (ψ^*f)Λ(ψ^*g) である。

証明
p ≧ 1, q ≧ 1 と仮定してよい。
x_1, ..., x_(p+q) ∈ M とする。

>>711より、
ψ^*(fΛg)(x_1, ..., x_(p+q)) = (fΛg)(ψ(x_1), ..., ψ(x_(p+q)))
= Σsign(σ)f(ψ(x_σ(1)), ..., ψ(x_σ(p)))g(ψ(x_σ(p+1)), ..., ψ(x_σ(p+q)))= (ψ^*f)Λ(ψ^*g)(x_1, ..., x_(p+q))

よって、
ψ^*(fΛg) = (ψ^*f)Λ(ψ^*g) である。
証明終

714 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/05(月) 08:26:40
R を実数体とする。
M を R 上の有限次元の線型空間とし、n = dim M, n ≧ 1 とする。

M の基底 (e_1, ..., e_n) 全体の集合をΨとする。
M の基底 (e_1, ..., e_n) の順番を変えたものはΨの異なる元とする。
(e_1, ..., e_n), (f_1, ..., f_n) ∈ Ψ のとき
f_j = Σa_(i, j)e_i と書ける。
det(a_(i, j)) > 0 のとき (e_1, ..., e_n) と (f_1, ..., f_n) は同値という。
これは、同値関係であることが容易にわかる。

(e_1, ..., e_n) と (f_1, ..., f_n) が同値でなく、
(e_1, ..., e_n) と (g_1, ..., g_n) が同値でないとする。
f_j = Σa_(i, j)e_i
e_i = Σb_(k, i)g_k
f_j = Σc_(k, j)g_k
とする。

A = (a_(i, j))
B = (b_(i, j))
C = (c_(i, j))
とおく。

det A < 0, det B < 0 である。

f_j = Σa_(i, j)e_i = Σa_(i, j)b_(k, i)g_k
であるから
C = BA である。
よって、det C = (det A)(det B) > 0 である。
よって、(f_1, ..., f_n) と (g_1, ..., g_n) は同値である。
よって、Ψ の同値類の個数は2である。
(続く)

715 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/05(月) 08:35:06
Ψの同値類のことを M の向きという。
Ψの一つの同値類を指定して M の正の向きという。
他方の同値類を M の負の向きという。

正の向きが指定された M を向き付けられた線型空間と呼ぶ。
正の向きに属す基底を正の基底と呼ぶ。
負の向きに属す基底を負の基底と呼ぶ。

716 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/05(月) 08:55:57
R を実数体とする。
M を R 上の有限次元の線型空間とし、n = dim M, n ≧ 1 とする。
>>693より、dim Λ^n(M^*) = 1 である。

Λ^n(M^*) の 0 でない元を M の体積要素と呼ぶ。
ω, θ を Λ^n(M^*) の 0 でない元とする。
dim Λ^n(M^*) = 1 であるから θ = cω となる実数 c ≠ 0 が定まる。
c > 0 のとき ω と θ は同値という。
このとき、{Λ^n(M^*) - 0} は二つの同値類に分割される。

M の基底 (e_1, ..., e_n) 全体の集合をΨとする。
(e_1, ..., e_n), (f_1, ..., f_n) ∈ Ψ のとき
f_j = Σa_(i, j)e_i と書ける。

ω を Λ^n(M^*) の 0 でない元とする。

ω(f_1, ..., f_n) = ω(Σa_(i_1, 1)e_i_1, ..., Σa_(i_n, n)e_i_n)
= Σa_(i_1, 1)...a_(i_n, n)ω(e_i_1, ..., e_i_n)
= Σsign(σ)a_(σ(1), 1)...a_(σ(n), n)ω(e_1, ..., e_n)
= det(a_(i, j))ω(e_1, ..., e_n)

よって、(e_1, ..., e_n) と (f_1, ..., f_n) が同値(>>714)であるためには
ω(e_1, ..., e_n) と ω(f_1, ..., f_n) が同符号となることが必要十分である。

逆に、ω, θ を Λ^n(M^*) の 0 でない元とし、(e_1, ..., e_n) ∈ Ψ とする。
このとき、最初に述べたように θ = cω となる実数 c ≠ 0 が定まるから、
θ(e_1, ..., e_n) = cω(f_1, ..., f_n) となる。
よって、ω と θ が同値であるためには
θ(e_1, ..., e_n) と ω(e_1, ..., e_n) が同符号となることが必要十分である。

717 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/06(火) 13:21:16
>>716の訂正
>θ(e_1, ..., e_n) = cω(f_1, ..., f_n) となる。

θ(e_1, ..., e_n) = cω(e_1, ..., e_n) となる。


718 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/06(火) 13:35:58
>>716の続き

(e_1, ..., e_n) を M の正の基底とする。
S_1 = {ω ∈ Λ^n(M^*); ω(e_1, ..., e_n) > 0}
S_2 = {ω ∈ Λ^n(M^*); ω(e_1, ..., e_n) < 0}
とおく。

>>716より、S_1 と S_2 は>>716で定義した {Λ^n(M^*) - 0}の同値分割である。

S_1 に属す ω ∈ Λ^n(M^*) を正のn次交代形式と呼び、
S_2 に属す ω ∈ Λ^n(M^*) を負のn次交代形式と呼ぶ。

上記の定義は>>716より、正の基底 (e_1, ..., e_n) の選び方によらない。

ω ∈ Λ^n(M^*) を正のn次交代形式とする。
ω(f_1, ..., f_n) > 0 となる M の基底 (f_1, ..., f_n) は正の基底である。

以上から、>>716で定義した {Λ^n(M^*) - 0}の同値類を一つ選ぶことは
M の向きを選ぶことと同じである。


719 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/06(火) 21:55:57
補題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の有限次元の線型空間とし、n = dim M, n ≧ 1 とする。
f を E 上のHermite形式(過去スレ010の591)とする。

(a_1, ..., a_n) と (b_1, ..., b_n) をそれぞれ E の基底とする。
b_j = Στ_(i, j)a_i とする。

このとき、
det(f(b_i, b_j)) = det(τ_(i, j))^2 det(f(a_i, a_j))

証明
f(b_i, b_j)
= f(Σa_(k, i)a_k, Σa_(l, j)a_l)
= Στ_(k, i)f(a_k, a_l)τ_(l, j)~

よって、
B = (T^t)AT~
ここで、
A = (f(a_i, a_j))
B = (f(b_i, b_j))
T = (τ_(i, j))
である。

よって、
det B = (det T)^2 det A
証明終

720 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/06(火) 22:01:07
>>719の訂正
>E を K 上の有限次元の線型空間とし、n = dim M, n ≧ 1 とする。

E を K 上の有限次元の線型空間とし、n = dim E, n ≧ 1 とする。


721 :132人目の素数さん:2009/10/06(火) 22:09:25
丁度リーマン幾何勉強し始めたのでこの流れはありがたい。
今接続のところがわからないので、解説してくれるとさらにありがたいんですけど...流れ的にそこまでは無理なのかな

722 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/06(火) 22:09:40
>>719の修正
>det(f(b_i, b_j)) = det(τ_(i, j))^2 det(f(a_i, a_j))

det(f(b_i, b_j)) = |det(τ_(i, j))|^2 det(f(a_i, a_j))

>det B = (det T)^2 det A

det(B) = |det(T)|^2 det(A)

723 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/06(火) 22:15:48
後の引用のために>>719を改めて述べる。

補題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の有限次元の線型空間とし、n = dim E, n ≧ 1 とする。
f を E 上のHermite形式(過去スレ010の591)とする。

(a_1, ..., a_n) と (b_1, ..., b_n) をそれぞれ E の基底とする。
b_j = Στ_(i, j)a_i とする。

このとき、
det(f(b_i, b_j)) = |det(τ_(i, j))|^2 det(f(a_i, a_j))

証明
f(b_i, b_j)
= f(Σa_(k, i)a_k, Σa_(l, j)a_l)
= Στ_(k, i)f(a_k, a_l)τ_(l, j)~

よって、
B = (T^t)AT~
ここで、
A = (f(a_i, a_j))
B = (f(b_i, b_j))
T = (τ_(i, j))
である。

よって、
det(B) = |det(T)|^2 det(A)
証明終

724 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/06(火) 22:19:41
>>721
残念ですが今のところ接続の概念は必要ないのでここでは述べません。


725 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/06(火) 22:22:05
命題(>>670の一般化)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の有限次元のHilbert空間とし、n = dim E, n ≧ 1 とする。
v_1, ..., v_n を E の K 上の基底とする。
g_(i, j) = <v_i, v_j> とし、G = (g_(i, j)) とする。

このとき、det(G) > 0 である。

証明
Gram-Schmidt(>>155) より E の正規直交基底 e_1, . . . , e_n が存在する。
v_j = Στ_(i, j)e_i とする。

>>719より、
det(G) = |det(τ_(i, j))|^2 det(<e_i, e_j>)
= |det(τ_(i, j))|^2 > 0 である。
証明終

726 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/06(火) 22:24:09
>>725の訂正

>>>719より、

>>720より、


727 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/06(火) 22:33:44
>>726
>>725の訂正

>>>719より、

>>723より、


728 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/06(火) 22:49:35
命題
R を実数体とする。
M を向き付けられた(>>715) R 上の有限次元のHilbert空間(過去スレ010の600)とし、
n = dim M, n ≧ 1 とする。

Λ^n(M^*) の元 ω で M の任意の正(>>715)の正規直交基底 (e_1, ..., e_n) に
対して ω(e_1, ..., e_n) = 1 となるものが一意に存在する。

(e^1, ..., e^n) を (e_1, ..., e_n) の双対基底とするとき、
ω = e^1Λ...Λe^nである。

(v_1, ..., v_n) を正の基底とし、(v^1, ..., v^n) をその双対基底とするとき、
ω = det(<v_i, v_j>)^(1/2)v^1Λ...Λv^nである。

証明
(e_1, ..., e_n) を M の正の正規直交基底とする。
多重線型性により ω(e_1, ..., e_n) = 1 となる ω ∈ Λ^n(M^*) が一意に
存在する。

(f_1, ..., f_n) を M の別の正の正規直交基底とする。
f_j = Σa_(i, j)e_i とする。
>>716より、
ω(f_1, ..., f_n) = det(a_(i, j))ω(e_1, ..., e_n) = det(a_(i, j))

一方、>>723より、
det(<f_i, f_j>) = |det(a_(i, j))|^2 det(<e_i, e_j>)
よって、|det(a_(i, j))|^2 = 1
det(a_(i, j)) > 0 だから det(a_(i, j)) = 1 である。

よって、
ω(f_1, ..., f_n) = 1
(続く)

729 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/06(火) 22:51:51
>>716より、
ω(v_1, ..., v_n) = det(g_(i, j))ω(e_1, ..., e_n) = det(g_(i, j))

一方、>>723より、
det(<v_i, v_j>) = |det(g_(i, j))|^2 det(<e_i, e_j>) = |det(g_(i, j))|^2
det(g_(i, j)) > 0 だから det(g_(i, j)) = det(<v_i, v_j>)^(1/2) である。
よって、
ω(v_1, ..., v_n) = det(<v_i, v_j>)^(1/2)
よって、
ω = det(<v_i, v_j>)^(1/2)v^1Λ...Λv^nである。
証明終

730 :721:2009/10/07(水) 04:29:13
>>724
(´・ω・`)ショボーン

731 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/07(水) 13:48:50
定義
M を多様体(>>659)とし、n = dim M とする。
整数 k, 0 ≦ k ≦ n が与えられたとき、M の各点 p に Λ^k(M^*) (>>678)の元
ω_p を対応させる写像 ω を考える。

U を M の座標近傍で x^1, ..., x^n をその局所座標系とする。
p ∈ U のとき、(∂/∂x^1)_p, ..., (∂/∂x^n)_p は T_p(M) の基底である。
ここで、T_p(M) は p における接空間である。

(dx^1)_p, ..., (dx^n)_p は T_p(M^*) (>>689) における
(∂/∂x^1)_p, ..., (∂/∂x^n)_p の双対基底である。
ここで、T_p(M^*) は p における余接空間、即ち、Hom(T_p(M), R) である。

>>693より、U 上で ω = Σα_(i_1, ..., i_k)dx^(i_1)Λ...Λdx^(i_k) と
一意に書ける。
ここで、Σは 1 ≦ i_1 < ... < i_k ≦ n となる組 (i_1, ..., i_k) 全体を
わたる。
α_(i_1, ..., i_k) は U 上の実数値関数である。

任意の座標近傍で各 α_(i_1, ..., i_k) が C^r 級 (0 ≦ r ≦ ∞)のとき
ω を C^r 級という。
このとき、ω を C^r 級の k 次の微分形式と呼ぶ。
C^0 級の微分形式は連続な微分形式とも呼ぶ。
この定義は U の局所座標系 x^1, ..., x^n のとり方によらない。

特に断らない限り、微分形式は C^∞ 級とする。

732 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/07(水) 13:55:38
定義
n 次元多様体(>>659) M 上に連続な n 次微分形式(>>731) ω で
M の各点 p で ω_p ≠ 0 となるものが存在するとき M を向き付け可能
(orientable)という。


733 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/07(水) 14:11:54
定義
M を連結な n 次元多様体(>>659) で向き付け可能(>>732)とする。
M の各点 p で ω_p ≠ 0 となる連続な n 次微分形式 ω 全体の集合を
Φ とする。

>>716より、ω, θ ∈ Φ のとき、ω = fθ となる M 上の連続関数が定まる。
M は連結で f は M の各点で 0 にならないから f > 0 または f < 0 である。
f > 0 のとき、ω と θ は同値であるという。
Φ の同値類は2個である。
Φ の同値類を M の向き(orientation)という。

Φの一つの同値類を指定して M の正の向きという。
他方の同値類を M の負の向きという。

正の向きが指定された M を向き付けられた多様体(oriented manifold)と呼ぶ。
正の向きに属す n 次微分形式を正の n 次微分形式または体積要素(volume element)
と呼ぶ。
特に断らない限り、体積要素はC^∞級とする。

734 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/07(水) 14:22:15
定義
M を n 次元多様体(>>659) で向き付け可能(>>732)とする。
仮定より、M の各点 p で ω_p ≠ 0 となる連続な n 次微分形式 ω が存在する。
M_α. α ∈ A を M の連結成分とする。
各 M_α は連結である。
ω を M_α に制限したものを ω_α とする。
ω_α は M_α の各点で 0 にならないから M_α は向き付け可能である。

各 M_α で正の向きを(>>733)指定したとき、M を向き付けられた多様体と呼ぶ。

M の各点 p で ω_p ≠ 0 となる連続な n 次微分形式 ω で各 ω_α が正のとき
ω を正の n 次微分形式または体積要素(volume element)と呼ぶ。
特に断らない限り、体積要素はC^∞級とする。

735 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/07(水) 14:26:53
>>734への補足

M が連結でないとき M の向きは 2^μ 個ある。
ここで、μ は M の連結成分の個数(または濃度)である。


736 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/07(水) 15:03:49
M を向き付けられた n 次元多様体(>>734)とし、ω を M の連続な体積要素(>>734)
とする。
M の各点 p で ω_p を T_p(M) の正の n 次交代形式(>>718)と定義することにより、
T_p(M) の正の向き(>>715)が定まる。

U を M の開集合で (x^1, ..., x^n) をその局所座標系とする。
U の各点 p で (∂/∂x^1)_p, ..., (∂/∂x^n)_p が T_p(M) の正の基底(>>715)で
あるとき、(x^1, ..., x^n) を正の局所座標系と呼ぶ。
U の各点 p で (∂/∂x^1)_p, ..., (∂/∂x^n)_p が T_p(M) の負の基底(>>715)で
あるとき、(x^1, ..., x^n) を負の局所座標系と呼ぶ。

U 上で ω = f(x^1, ..., x^n)dx^1Λ...Λdx^n と書ける。
(x^1, ..., x^n) が正の局所座標系なら f(x^1, ..., x^n) > 0 である。
(x^1, ..., x^n) が負の局所座標系なら f(x^1, ..., x^n) > 0 である。

逆に、U を M の連結な開集合で x^1, ..., x^n をその局所座標系とする。
U 上で ω = f(x^1, ..., x^n)dx^1Λ...Λdx^n と書ける。
f(x^1, ..., x^n) は U 上の連続関数であるから f > 0 または f < 0 である。
f > 0 なら (x^1, ..., x^n) は正であり、
f < 0 なら (x^1, ..., x^n) は負である。

737 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/07(水) 15:22:09
命題
M を向き付け可能(>>732)な n 次元多様体とする。
このとき、M の座標近傍系 (U_α, ψ_α), α ∈ A で次の条件を満たすものが
存在する。

((x_α)^1, ..., (x_α)^n) を U_α の局所座標系とする。
U_α ∩ U_β ≠ φ なら U_α ∩ U_β 上で det(∂(x_α)^i/∂(x_β)^j) > 0

証明
M は連結な座標近傍 U_α, α ∈ A で覆うことが出来る。
((x_α)^1, ..., (x_α)^n) を U_α の局所座標系とする。
>>736より、((x_α)^1, ..., (x_α)^n) は正としてよい。
このとき、本命題の主張は>>715より明らかである。
証明終

738 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/07(水) 15:54:06
可算な開集合基をもつ多様体においては>>737の逆が成り立つ。
このことを証明するため1の分割(partition of unity)について述べる。
そのためにいくつか補題を用意する。

739 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/07(水) 15:56:31
>>738
1の分割は多様体論でしばしば使われる重要なテクニックである。


740 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/07(水) 16:09:35
多様体上の1の分割にはUrysohnの補題(過去スレ007の668)のC^∞関数版が必要になる。
そのためには、指数関数 exp(x) を利用する。

補題
任意の整数 n ≧ 0 に対して、
x → +∞ のとき、exp(x)/x^n → +∞

証明
exp(x) = Σx^n/n! であるから
x > 0, n ≧ 0 のとき
exp(x) > 1 + x/1! + ... + x^(n+1)/(n+1)!

よって、
exp(x) > x^(n+1)/(n+1)!

よって、
exp(x)/x^n > x/(n+1)!

よって、
x → +∞ のとき、exp(x)/x^n → +∞
証明終

741 :132人目の素数さん:2009/10/07(水) 19:17:30
ばかじゃねえの

742 :β:2009/10/07(水) 19:32:13
胴衣

743 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/07(水) 20:56:34
補題
f(x) = exp(1/x) とおく。
f(x) の n 次導関数を f^(n)(x) とする。

f^(n)(x) = (p_n(x)/x^(2n))exp(1/x) と書ける。
ここで、p_n(x) は n - 1 次以下のの多項式である。

証明
n に関する帰納法。
n = 0 のときは p_0(x) = 1 として成り立つ。

n のとき、f^(n)(x) = (p_n(x)/x^(2n))exp(1/x) と仮定する。
f^(n+1)(x)
= (((p_n)'(x)x^(2n) - 2np_n(x))/x^(2n + 1))exp(1/x) - (p_n(x)/x^(2n+2))exp(1/x)
= (((p_n)'(x)x^2 - 2np_n(x)x - p_n(x))/x^(2n+2))exp(1/x)

(p_n)'(x)x^2 - 2np_n(x)x - p_n(x) は x の多項式でその次数は n 以下である。
証明終

744 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/07(水) 21:14:39
補題
-∞ ≦ a < c < b ≦ +∞ を実数とする。
f(x) を区間 (a, b) で連続な実数値関数とする。
f(x) は c 以外で微分可能で、x → c のとき f'(x) → s とする。
ここで、s は有限な実数である。

このとき、f(x) は c で微分可能で f'(c) = s である。

証明
平均値の定理より x ∈ (a, b) で x ≠ c のとき
(f(x) - f(c))/(x - c) = f'(θ) となる θ で、
c < θ < x または x < θ < c となるものがある。

x → c のとき θ → c だから、仮定より f'(θ) → s である。
よって、f(x) は c で微分可能で f'(c) = s である。
証明終

745 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/07(水) 21:28:00
>>743の修正

補題
f(x) = exp(-1/x) とおく。
f(x) の n 次導関数を f^(n)(x) とする。

f^(n)(x) = (p_n(x)/x^(2n))exp(-1/x) と書ける。
ここで、p_n(x) は n - 1 次以下のの多項式である。

証明
n に関する帰納法。
n = 0 のときは p_0(x) = 1 として成り立つ。

n のとき、f^(n)(x) = (p_n(x)/x^(2n))exp(-1/x) と仮定する。
f^(n+1)(x)
= (((p_n)'(x)x^(2n) - 2np_n(x))/x^(2n+1))exp(-1/x) - (p_n(x)/x^(2n+2))exp(-1/x)
= (((p_n)'(x)x^2 - 2np_n(x)x - p_n(x))/x^(2n+2))exp(-1/x)

(p_n)'(x)x^2 - 2np_n(x)x - p_n(x) は x の多項式でその次数は n 以下である。
証明終

746 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/07(水) 21:34:56
命題
x > 0 のとき f(x) = exp(-1/x)
x ≦ 0 のとき f(x) = 0
とする。

このとき、f(x) は C^∞級であり、
任意の整数 n ≧ 0 に対して f^(n)(0) = 0 である。

証明
x < 0 のとき f^(n)(x) = 0 である。

x > 0 のとき>>745より、
f^(n)(x) = (p_n(x)/x^(2n))exp(-1/x) と書ける。
ここで、p_n(x) は n - 1 次以下の多項式である。

t = 1/x とおく。
x > 0 で、x → 0 のとき t → +∞ であるから
>>740より、x > 0 で、x → 0 のとき
f^(n)(x) = (p_n(1/t)t^(2n))exp(-t) → 0

>>744より、本命題の主張が得られる。
証明終

747 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/07(水) 22:04:21
命題
a, b を 0 < b < a < +∞ となる実数とする。

このとき、(-∞, +∞) で定義された C^∞級関数 h(x) で、
|x| ≦ b のとき h(x) = 1
b < |x| < a のとき、0 < h(x) < 1
|x| ≧ a のとき h(x) = 0
となるものが存在する。

証明
x > 0 のとき f(x) = exp(-1/x)
x ≦ 0 のとき f(x) = 0
とする。

x と 1 - x は同時に負にはならないから
f(x) + f(1 - x) は 0 にならない。

g(x) = f(x)/(f(x) + f(1 - x)) とおく。
>>746より、g(x) はC^∞級である。

x ≦ 0 のとき g(x) = 0
0 < x < 1 のとき、0 < g(x) < 1
x ≧ 1 のとき、g(x) = 1

h(x) = g((x + a)/(a - b))g((-x + a)/(a - b)) とおけばよい。
証明終

748 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/07(水) 22:45:19
命題
多様体 M の点 p の任意の開近傍 U に対して
p の開近傍 V で V~ ⊂ U となるものと、M 上のC^∞級関数 f で
以下の条件を満たすものが存在する。

0 ≦ f ≦ 1
V~ 上で f = 1
M - U で f = 0

証明
p の座標近傍 U_1 で U_1 ⊂ U となるものが存在する。
(x^1, ..., x^n) をその局所座標系で、x^1(p) = ... = x^n(p) = 0 とする。
実数 c, 0 < c <+∞ で
W_1 = {q; |x^i(q)| < c, i = 1, ..., n} ⊂ U_1
となるものが存在する。
実数 a, b を 0 < b < a < c となるようにとる。
W = {q; |x^i(q)| < a, i = 1, ..., n}
V = {q; |x^i(q)| < b, i = 1, ..., n} とおく。
V~ ⊂ W ⊂ W~ ⊂ W_1 ⊂ U である。
>>747より、(-∞, +∞) で定義された C^∞級関数 h(x) で、
|x| ≦ b のとき h(x) = 1
b < |x| < a のとき、0 < h(x) < 1
|x| ≧ a のとき h(x) = 0 となるものが存在する。

M 上の関数 f を
q ∈ W のとき f(q) = h(x^1(q))...h(x^n(q))
q ∈ M - W のとき f(q) = 0
により定義する。

f は W_1 で C^∞級であり、W の外で 0 であるから M 上で C^∞級 である。
よって、f が求めるものである。
証明終

749 :132人目の素数さん:2009/10/07(水) 22:53:39
>>741
どこが?


750 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/08(木) 00:33:39
命題
K を多様体 M のコンパクト部分集合とする。
K ⊂ U となる任意の開集合 U に対して M 上のC^∞級関数 f で
以下の条件を満たすものが存在する。

0 ≦ f ≦ 1
K 上で f > 1
M - U で f = 0

証明
>>748より、K の各点 p に対してC^∞級関数 f_p と p の開近傍 V_p で (V_p)~ ⊂ U
となるものが存在し、
0 ≦ f_p ≦ 1
(V_p)~ 上で f_p = 1
M - U で f_p = 0
となる。

K はコンパクトだから K の有限個の点 p_1, ..., p_r を選び、
K ⊂ V_p_1 ∪ ... ∪ V_p_r と出来る。

f = (f_p_1 + ... + f_p_r)/r とおけばよい。
証明終

751 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/08(木) 08:26:14
定義
X を位相空間とし、(S_α), α ∈ A を X の被覆とする。
X の各点 p に対して p の近傍 V_p で V_p ∩ S_α ≠ φ となる α ∈ A の個数が
有限であるものが存在するとき、(S_α), α ∈ A を局所有限な被覆という。


752 :132人目の素数さん:2009/10/08(木) 08:29:01
>>750
このUって存在するの?
常に

753 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/08(木) 08:34:49
定義
X を集合とし、(S_α), α ∈ A, (T_β), β ∈ B を X の被覆とする。
任意のβ ∈ B に対して T_β ⊂ S_α となる α ∈ A が存在するとき
(T_β), β ∈ B は (S_α), α ∈ A の細分(refinement)という。


754 :β:2009/10/08(木) 08:36:09
βと書かれたら黙っちゃいられんw超爆笑

755 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/08(木) 08:39:42
>>752
例えば U として M がとれます。


756 :132人目の素数さん:2009/10/08(木) 08:44:08
それだと自明な主張になるけど?

757 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/08(木) 08:46:17
定義
X をHausdorff空間とする。
X の任意の開被覆に対して、これの細分(>>753)で局所有限(>>751)な開被覆が
存在するとき X をパラコンパクト(paracompact)な位相空間という。


758 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/08(木) 08:51:13
>>756
その場合は自明ですが、常に U = M とは限らないので、>>750は自明ではないです。


759 :132人目の素数さん:2009/10/08(木) 08:52:15
了解

760 :132人目の素数さん:2009/10/08(木) 09:08:53
波線が肩についているのは閉包ですか?

761 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/08(木) 09:39:06
定義
M を多様体とし、(U_α), α ∈ A を X の局所有限(>>751)な開被覆とする。
M 上のC^∞級関数の族 (f_α), α ∈ A が以下の条件を満たすとする。

1) 各αに対して 0 ≦ f_α ≦ 1
2) 各αに対して Supp(f_α) ⊂ U_α
3) M の各点 p で Σf_α(p) = 1

ここで、Supp(f_α) は f_α の台(過去スレ007の671)である。
p ∈ U_α となるα ∈ A は有限だから 3) のΣf_α(p)は有限和である。

このとき、(f_α), α ∈ A を開被覆 (U_α) に従属(subordinate)する
1の分割(partition of unity)という。

762 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/08(木) 09:41:41
>>760
そうです(>>622参照)。


763 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/08(木) 09:49:27
>>731以降は主に松島の多様体入門(裳華房)による。


764 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/08(木) 12:15:16
命題
M をコンパクトな多様体とし、(U_i), i = 1, ..., n を M の開被覆とする。
このとき、(U_i) に従属する1の分割(>>761)が存在する。

証明
M はコンパクトだから正規空間である。
よって、過去スレ010の95より、
M の開被覆 (W_i), i = 1, ..., n で各 i で (W_i)~ ⊂ U_i となるものが
存在する。
同様に、M の開被覆 (V_i), i = 1, ..., n で各 i で (V_i)~ ⊂ W_i となるものが
存在する。

>>750より、M 上のC^∞級関数 (f_i), i = 1, ..., n で
各 i に対して次の条件を満たすものが存在尾する。

1) 0 ≦ f_i ≦ 1
2) (V_i)~ 上で f_i > 0
3) M - W_i で f_i = 0

各 i に対して g_i = f_i/(f_1 + ... f_n) とおけば
(g_i), i = 1, ..., n は (U_i) に従属する1の分割である。
証明終

765 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/09(金) 09:16:59
補題
X を位相空間とし、(F_α), α ∈ A を X の局所有限(>>751)な閉被覆とする。
このとき、F = ∪F_α, α ∈ A は閉集合である。

証明
任意の p ∈ X - F に対して p の近傍 V で V ∩ F_α ≠ φ となる
α ∈ A の集合 B が有限集合であるものが存在する。

G = ∪F_α, α ∈ B とおく。
G は閉集合である。

U = V ∩ (X - G) とおく。
X - G は開集合であり、x ∈ X - G である。
よって、U は x の近傍である。

y を U の任意の元とする。
y ∈ F なら y ∈ F_α となる α ∈ A がある。
y ∈ V だから α ∈ B である。
よって、y ∈ G となって y ∈ X - G に矛盾。
よって、U ∩ F = φ である。

以上から X - F は開集合である。
証明終

766 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/09(金) 09:24:10
定義
X を位相空間とし、(S_α), α ∈ A を X の部分集合からなる族とする。
X の各点 p に対して p の近傍 V_p で V_p ∩ S_α ≠ φ となる α ∈ A の個数が
有限であるものが存在するとき、(S_α), α ∈ A を局所有限という。


767 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/09(金) 09:25:03
>>765の訂正

補題
X を位相空間とし、(F_α), α ∈ A を X の閉集合からなる局所有限(>>766)な
族とする。
このとき、F = ∪F_α, α ∈ A は閉集合である。

証明
任意の p ∈ X - F に対して p の近傍 V で V ∩ F_α ≠ φ となる
α ∈ A の集合 B が有限集合であるものが存在する。

G = ∪F_α, α ∈ B とおく。
G は閉集合である。

U = V ∩ (X - G) とおく。
X - G は開集合であり、x ∈ X - G である。
よって、U は x の近傍である。

y を U の任意の元とする。
y ∈ F なら y ∈ F_α となる α ∈ A がある。
y ∈ V だから α ∈ B である。
よって、y ∈ G となって y ∈ X - G に矛盾。
よって、U ∩ F = φ である。

以上から X - F は開集合である。
証明終

768 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/09(金) 10:09:05
命題
局所コンパクト空間 X がパラコンパクト(>>757)であるとする。
(U_α), α ∈ A を X の開被覆とする。
このとき、X の開被覆 (V_α), α ∈ A で、各 α ∈ A に対して (V_α)~ ⊂ U_α
となるものが存在する。

証明
X の各点 x に対して x ∈ U_α となる α ∈ A が存在する。
X は局所コンパクトだから x の開近傍 W_x で (W_x)~ ⊂ U_α となるものがある。
X はパラコンパクトだから (W_x), x ∈ X の局所有限な細分 (V_i), i ∈ I で
X の開被覆になっているものが存在する。

各 α ∈ A に対して (V_i)~ ⊂ U_α となる i ∈ I 全体を I_α とおく。
V_α = ∪V_i, i ∈ I_α とおく。

X の任意の点 x に対して x ∈ V_i となる i ∈ I が存在する。
(V_i), i ∈ I は (W_x), x ∈ X の細分だから V_i ⊂ W_y となる y ∈ X がある。
(W_y)~ ⊂ U_α となる α ∈ A が存在する。
(V_i)~ ⊂ U_α だから i ∈ I_α である。
よって、x ∈ V_α である。
よって、(V_α), α ∈ A は X の開被覆である。

>>767より、各α ∈ A に対して、∪(V_i)~, i ∈ I_α は X の閉集合である。
よって、(V_α)~ = ∪(V_i)~, i ∈ I_α である。
よって、(V_α)~ ⊂ U_α である。
証明終

769 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/09(金) 10:16:17
>>751への補足

(S_α) の局所有限性と (S_α) が X の被覆であることは互いに独立した性質で
あるので、>>766のように定義したほうがよかった。


770 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/09(金) 10:46:31
命題
M をパラコンパクト(>>757)な多様体とする。
(U_α), α ∈ A を X の局所有限(>>766)な開被覆で各 (U_α)~ はコンパクトとする。

このとき、(U_α), α ∈ A に従属する1の分割(>>761)が存在する。

証明
>>768より、X の開被覆 (W_α), α ∈ A で各 α ∈ A に対して (W_α)~ ⊂ U_α
となるものが存在する。
(W_α), α ∈ A は局所有限であるから >>768より、
X の開被覆 (V_α), α ∈ A で各 α ∈ A に対して (V_α)~ ⊂ W_α
となるものが存在する。

>>750より、
各 α ∈ A に対して M 上のC^∞級関数 f_α で以下の条件を満たすものが存在する。

1) 0 ≦ f_α ≦ 1
2) (V_α)~ 上で f_α > 1
3) M - W_α で f_α = 0

Supp(f_α) ⊂ (W_α)~ ⊂ U_α である。

f = Σf_α とおく。
(U_α), α ∈ A は局所有限だから、これは有限和である。
1) と 2) より、f > 0 である。

g_α = f_α/f とおけば、(g_α), α ∈ A は (U_α), α ∈ A に従属する
1の分割である。
証明終

771 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/09(金) 12:50:56
局所コンパクト空間が可算な開集合基をもてばパラコンパクトであることを
証明しよう。


772 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/09(金) 13:11:34
命題
局所コンパクト空間 X が可算な開集合基をもてばσ-コンパクト(過去スレ008の100)
である。

証明
(U_i), i = 1, 2, ... を X の開集合基とする。

X の各点 p に対して p の開近傍 V_p で (V_p)~ がコンパクトとなるようなものが
存在する。

N = {1, 2, ...} とおく。
I = {i ∈ N ; U_i ⊂ V_p となる p ∈ X が存在する} とおく。

各 i ∈ I に対して U_i ⊂ V_(p_i) となる p_i ∈ X を選択する。

任意の p ∈ X に対して p ∈ U_i ⊂ V_p となる i ∈ I がある。
p ∈ U_i ⊂ V_(p_i) であるから (V_(p_i)), i ∈ I は X の被覆である。
よって、X はσ-コンパクトである。
証明終

773 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/09(金) 13:17:25
補題
X を局所コンパクト空間とし、K をそのコンパクト集合とする。
このとき、K ⊂ U となる開集合 U で U~ がコンパクトとなるものが存在する。

証明
K の各点 p に対して p の開近傍 V_p で (V_p)~ がコンパクトとなるようなものが
存在する。
K はコンパクトだから K の有限個の点 p_1, ..., p_n で
K ⊂ V_p_1 ∪ ... ∪ V_p_n となるものが存在する。
U = V_p_1 ∪ ... ∪ V_p_n とおけばよい。
証明終

774 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/09(金) 15:29:09
命題
X を局所コンパクト空間でσ-コンパクト(過去スレ008の100)とする。
このとき、X の開集合の列 (U_n). n = 1, 2, ... で以下の条件を満たすものが
存在する。

1) 各 n に対して、(U_n)~ はコンパクトである。
2) (U_n). i = 1, 2, ... は X の被覆である。
3) (U_n)~ ⊂ U_(n+1), i = 1, 2, ...

証明
X をコンパクト集合の列 (K_n), n = 1, 2, ... の合併とする。
>>773より、K_n ∪ (U_n)~ ⊂ U_(n+1) となる開集合の列 (U_n), n = 1, 2, ...で
各 (U_n)~ がコンパクトとなるものが存在する。
(U_n). n = 1, 2, ... が求めるものである。
証明終

775 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/09(金) 16:19:55
命題
X を局所コンパクト空間でσ-コンパクト(過去スレ008の100)とする。
このとき、X はパラコンパクト(>>757)である。

証明
(O_α), α ∈ A を X の開被覆とする。

>>774より、X の開集合の列 (U_n). n = 1, 2, ... で以下の条件を満たすものが
存在する。
1) 各 n に対して、(U_n)~ はコンパクトである。
2) (U_n). i = 1, 2, ... は X の被覆である。
3) (U_n)~ ⊂ U_(n+1), i = 1, 2, ...

K_n = (U_n)~ - U_(n-1) とおけば、K_n はコンパクトで
K_n ⊂ U_(n+1) - (U_(n-2))~ である。
ただし、U_0, U_(-1) は空集合とする。

K_n の各点 x に対して x ∈ O_α となる α ∈ A を選んでおく。
x の開近傍 W_x で W_x ∈ O_α ∩ (U_(n+1) - (U_(n-2))~) となるものがある。
K_n はコンパクトであるから K_n はこのような W_x の有限個で覆われる。
このような W_x 全体を W_n_i, i = 1, 2, ..., n_k とする。
(W_n_i), n ≧ 1, 1 ≦ i ≦ n_k は X の開被覆で (O_α), α ∈ A の細分である。

V_n = U_(n+1) - (U_(n-2))~ とおく。
任意の n ≧ 1 に対して k ≧ 3 なら V_n ∩ V_(n+k) = φ である。

任意の x ∈ X に対して x ∈ U_n となる最小の n をとる。
x は (U_(n-2))~ に含まれないから x の近傍 T で V_n = U_n - (U_(n-2))~ に
含まれるものがある。
T は n - 2 ≦ m ≦ n + 2 となる W_m_i としか交わらない。
よって、(W_n_i) は局所有限である。
証明終

776 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/09(金) 16:23:52
命題
M を可算な開集合基をもつ多様体とする。
(U_α), α ∈ A を X の局所有限(>>766)な開被覆で各 (U_α)~ はコンパクトとする。

このとき、(U_α), α ∈ A に従属する1の分割(>>761)が存在する。

証明
>>772より、M はσ-コンパクトである。
よって、>>775より、M はパラコンパクトである。
よって、>>770より、(U_α), α ∈ A に従属する1の分割(>>761)が存在する。
証明終

777 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/09(金) 16:28:34
命題
可算な開集合基をもつ多様体はパラコンパクト(>>757)である。

証明
>>772より、M はσ-コンパクトである。
よって、>>775より、M はパラコンパクトである。
証明終


778 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/09(金) 16:42:45
可算な開集合基をもつ多様体の正規部分多様体(>>659)が可算な開集合基をもつことは
明らかである。
しかし、可算な開集合基をもつ多様体の非正規部分多様体でも連結であれば
可算な開集合基をもつことが知られている(ChevalleyのTheory of Lie groups)。
この証明は松島の多様体入門(裳華房)に紹介されている。

R^n は可算な開集合基をもつから R^n の正規部分多様体も可算な開集合基をもつ。
よって、>>777より、R^n の正規部分多様体(>>659)はパラコンパクトである。

779 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/09(金) 16:51:44
1の分割(>>761)が多様体論で重要なことと、>>778で述べた事実などから
微分可能多様体論では多様体は可算な開集合基をもつと仮定することが多い。


780 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/09(金) 18:19:37
命題
M をパラコンパクト((>>757)な n 次元多様体とする。
M の座標近傍系 (U_α, ψ_α), α ∈ A で次の条件を満たすものが
存在するとする。
((x_α)^1, ..., (x_α)^n) を U_α の局所座標系とする。
U_α ∩ U_β ≠ φ なら U_α ∩ U_β 上で det(∂(x_α)^i/∂(x_β)^j) > 0

ことき、M は向き付け可能(>>732)であり、
各 ((x_α)^1, ..., (x_α)^n) は正の座標系になるように
M の向きを定めることが出来る。
さらに、M 上には C^∞ 級の正の n 次微分形式が存在する。

証明
各(U_α)~ はコンパクトであると仮定してよい。
さらに M はパラコンパクトであるから (U_α), α ∈ A は局所有限であると
仮定してよい。
>>770より、(U_α) に従属する1の分割 (f_α), α ∈ A が存在する。
ω = Σf_αd(x_α)^1Λ...Λd(x_α)^n とおく。
p を M の任意の点とする。
f_α(p) ≠ 0 となる α ∈ A 全体を B とすれば、B は有限集合である。
β を B の元とすれば、α ∈ B のとき、
d(x_α)^1Λ...Λd(x_α)^n = det(∂(x_α)^i/∂(x_β)^j)(x_β)^1Λ...Λd(x_β)^n

よって、
ω_p = Σf_α(p)det(∂(x_α)^i/∂(x_β)^j)_p (d(x_β)^1Λ...Λd(x_β)^n)_p
ここで、Σ は α ∈ B 全体に渡る。
f_α(p)det(∂(x_α)^i/∂(x_β)^j)_p > 0 だから ω_p ≠ 0 である。
よって、ω は M の各点 p で ω_p ≠ 0 となる C^∞ 級の n 次微分形式である。
よって、M は向き付け可能(>>732)である。
ω を正の n 次微分形式に選べば、各 ((x_α)^1, ..., (x_α)^n) は
正の座標系(>>736)である。
証明終

781 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/09(金) 21:24:00
命題
M を多様体(>>659)とし、dim M ≧ 2 とする。
V_1 と V_2 を M の座標近傍で次の条件を満たすとする。

1) M = V_1 ∪ V_2

2) V_1 ∩ V_2 は連結

このとき、 M は向き付け可能(>>732)である。

証明
M は明らかに可算な開集合基をもつから>>777よりパラコンパクト(>>757)である。

((x_i)^1, ..., (x_i)^n) を V_i (i = 1, 2)の局所座標系とする。
V_1 ∩ V_2 上で det(∂(x_2)^i/∂(x_1)^j) ≠ 0 である。
V_1 ∩ V_2 は連結だから det(∂(x_2)^i/∂(x_1)^j) は V_1 ∩ V_2 上で
符号を変えない。
det(∂(x_2)^i/∂(x_1)^j) < 0 のときは例えば ((x_1)^1, (x_1)^2..., (x_1)^n) の
(x_1)^1, (x_1)^2 を交換すれば det(∂(x_2)^i/∂(x_1)^j) > 0 となる。

>>780より、M は向き付け可能(>>732)である。
証明終

782 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/09(金) 22:49:08
>>780と対照的に次ぎの命題が成り立つ。

命題
M をパラコンパクト(>>757)な n 次元多様体とする。
M の座標近傍系 (U_α, ψ_α), α ∈ A で次の条件を満たすものが
存在するとする。
((x_α)^1, ..., (x_α)^n) を U_α の局所座標系とする。
U_α ∩ U_β ≠ φ なら U_α ∩ U_β 上で det(∂(x_α)^i/∂(x_β)^j) < 0

ことき、M は向き付け可能(>>732)である。

証明
各(U_α)~ はコンパクトであると仮定してよい。
さらに M はパラコンパクトであるから (U_α), α ∈ A は局所有限であると
仮定してよい。
>>770より、(U_α) に従属する1の分割 (f_α), α ∈ A が存在する。
ω = Σf_αd(x_α)^1Λ...Λd(x_α)^n とおく。
p を M の任意の点とする。
f_α(p) ≠ 0 となる α ∈ A 全体を B とすれば、B は有限集合である。
β を B の元とすれば、α ∈ B のとき、
d(x_α)^1Λ...Λd(x_α)^n = det(∂(x_α)^i/∂(x_β)^j)(x_β)^1Λ...Λd(x_β)^n

よって、
ω_p = Σf_α(p)det(∂(x_α)^i/∂(x_β)^j)_p (d(x_β)^1Λ...Λd(x_β)^n)_p
ここで、Σ は α ∈ B 全体に渡る。
f_α(p)det(∂(x_α)^i/∂(x_β)^j)_p < 0 だから ω_p ≠ 0 である。
よって、ω は M の各点 p で ω_p ≠ 0 となる C^∞ 級の n 次微分形式である。
よって、M は向き付け可能(>>732)である。
証明終

783 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/09(金) 22:52:35
>>782を使えば>>781において dim M ≧ 2 の仮定をはずすことが出来る。

命題
M を多様体(>>659)とする。
V_1 と V_2 を M の座標近傍で次の条件を満たすとする。

1) M = V_1 ∪ V_2

2) V_1 ∩ V_2 は連結

このとき、 M は向き付け可能(>>732)である。

証明
M は明らかに可算な開集合基をもつから>>777よりパラコンパクト(>>757)である。

((x_i)^1, ..., (x_i)^n) を V_i (i = 1, 2)の局所座標系とする。
V_1 ∩ V_2 上で det(∂(x_2)^i/∂(x_1)^j) ≠ 0 である。
V_1 ∩ V_2 は連結だから det(∂(x_2)^i/∂(x_1)^j) は V_1 ∩ V_2 上で
符号を変えない。
よって、>>780および>>782より、M は向き付け可能(>>732)である。
証明終

784 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/09(金) 22:59:09
命題
n ≧ 1 のとき n 次元球面
S^n = {(x_1, ..., x_(n+1)) ∈ R^n; (x_1)^2 + ... + (x_(n+1))^2 = 1}
は向き付け可能である。

証明
S^n の北極と南極を
N = (0, ..., 0, 1)
S = (0, ..., 0, -1)
とする。

p ∈ S^n - {N} に N と p を結ぶ直線が超平面 x^(n+1) = 0 と交わる点を
対応させる写像を π_1: S^n - {N} → R^n とする。
N と p を結ぶ直線上の点は t をパラメータとして
N + t(p - N) = (0, ..., 0, 1) + t(x_1, ..., x_n, x_(n+1) - 1)
= (t(x_1), ..., t(x_n), 1 + t(x_(n+1) - 1))
この直線が超平面 x^(n+1) = 0 と交わるときの t は
1 + t(x_(n+1) - 1) = 0 を満たす。
よって、t = 1/(1 - x_(n+1)) である。
よって、
π_1(x_1, ..., x_(n+1)) = (x_1/(1 - x_(n+1)), ..., x_n/(1 - x_(n+1)))
である。

p ∈ S^n - {S} に S と p を結ぶ直線が超平面 x^(n+1) = 0 と交わる点を
対応させる写像を π_2: S^n - {S} → R^n とする。
S と p を結ぶ直線上の点は t をパラメータとして
S + t(p - S) = (0, ..., 0, -1) + t(x_1, ..., x_n, x_(n+1) + 1)
= (t(x_1), ..., t(x_n), -1 + t(x_(n+1) + 1))

(続く)

785 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/09(金) 22:59:50
この直線が超平面 x^(n+1) = 0 と交わるときの t は
-1 + t(x_(n+1) + 1) = 0 を満たす。
よって、t = 1/(1 + x_(n+1)) である。
よって、
π_2(x_1, ..., x_(n+1)) = (x_1/(1 + x_(n+1)), ..., x_n/(1 + x_(n+1)))
である。

y_i = x_i/(1 - x_(n+1))
z_i = x_i/(1 + x_(n+1))
とおく。

(y_1)^2 + ... + (y_n)^2 = ((x_1)^2 + ... + (x_n)^2)/(1 - x_(n+1))^2
= (1 - (x_(n+1))^2)/(1 - x_(n+1))^2

y_i/((y_1)^2 + ... + (y_n)^2) = x_i(1 - x_(n+1))/(1 - (x_(n+1))^2)
= x_i/(1 + x_(n+1))

よって、S^n - {N, S} において
z_i = y_i/((y_1)^2 + ... + (y_n)^2), i = 1, ..., n

よって、S^n は微分可能多様体である。
n ≧ 2 のとき (S^n - {N}) ∩ (S^n - {S}) = S^n - {N, S} は連結である。
よって、>>781より S^n は向き付け可能である。

n = 1 のときは S^1 - {N, S} において
z_1 = 1/y_1
であるから
dz_1/dy_1 = -1/(y_1)^2 < 0 である。
よって、>>782より S^1 は向き付け可能である。
証明終

786 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/10(土) 02:28:43
M を向き付け可能な多様体とし、 n = dim M とする。
θ を M 上の連続な n 次微分形式とする。
{ p ∈ M; θ_p ≠ 0} の閉包を θ の台と呼び Supp(θ) と書く。

コンパクトな台をもつ θ の積分 ∫[M] θ を定義したい。
そのためには R^n における積分の変数変換の公式が必要である。

積分の変数変換の公式を厳密に証明するのは骨が折れる。
これを遂行している解析学の教科書は少ない。
積分の変数変換の公式は代数的整数論でも使われるので、この機会に証明しよう。

787 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/11(日) 12:24:59
積分の変数変換の公式には陰関数定理も必要なのでこの際に証明することにする。
先ず、多変数関数の微分の定義をノルム空間に拡張する。
この方が形式的にすっきりする。


788 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/11(日) 12:38:36
定義
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上のノルム空間とする。
U を E の開集合とし、f: U → F を写像とする。
a ∈ U とし、T: E → F を連続線型写像とする。

x → a のとき、lim |f(x) - f(a) - T(x - a)|/|x - a| = 0
となるとき、f は a で微分可能という。


789 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/11(日) 13:10:16
補題
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上のノルム空間とする。
T: E → F, S: E → F を線型写像とする。
δ > 0 を実数とする。

0 < |x| < δ のとき T(x) = S(x) なら T = S である。

証明
y ≠ 0 を E の任意の元とする。
x = (1/2)(δ/|y|)y とおく。

0 < |x| = (1/2)δ < δ

よって、
T(x) = S(x)
よって、
(1/2)(δ/|y|)T(y) = (1/2)(δ/|y|)S(y)

よって、
T(y) = S(y)

T(0) = S(0) = 0 であるから
T = S である。
証明終

790 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/11(日) 13:14:02
命題
>>788において T は一意に定まる。

証明
S: E → F を連続線型写像とし、
x → a のとき、lim |f(x) - f(a) - S(x - a)|/|x - a| = 0
とする。
lim |T(x - a) - S(x - a)|/|x - a|
≦ lim |T(x - a) - (f(x) - f(a)) + (f(x) - f(a)) - S(x - a) |/|x - a|
≦ lim |T(x - a) - (f(x) - f(a))|/|x - a| + |(f(x) - f(a)) - S(x - a)| |/|x - a|= 0

即ち lim |T(x - a) - S(x - a)|/|x - a| = 0 である。

x ≠ a となる x ∈ U を固定する。
t ∈ K で、 t → 0 のとき |t(x - a)| → 0
よって、
t → 0 のとき
lim |T(t(x - a)) - S(t(x - a))|/|t(x - a)| = 0

|T(t(x - a)) - S(t(x - a))|/|t(x - a)| = |T(x - a) - S(x - a)|/|x - a|
よって、
|T(x - a) - S(x - a)|/|x - a| = 0
よって、
T(x - a) = S(x - a)
>>789より、
T = S
証明終

791 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/11(日) 13:22:02
定義
>>788の T を f の a における微分と呼び (df)_a または df(a) と書く。
>>790より、(df)_a は f により一意に決まる。


792 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/11(日) 13:37:29
定義
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上のノルム空間とする。
U を E の開集合とし、f: U → F を写像とする。
U の各点 p で df(p) (>>791)が存在するとき、
写像 df: U → L(E, F), p → df(p) を
f の微分と呼ぶ。
ここで、L(E, F) は E から F への連続線型写像である。

T ∈ L(E, F) のとき |T| = {|Tx|; |x| ≦ 1} と定義することにより、
L(E, F)はノルム空間(過去スレ007の131)である。

df が連続なとき f を C^1級という。

793 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/11(日) 13:38:38
>>792の訂正
>ここで、L(E, F) は E から F への連続線型写像である。

ここで、L(E, F) は E から F への連続線型写像全体である。


794 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/11(日) 15:19:35
K を実数体または複素数体とする。
E_i (1 ≦ i ≦ n) と F を K 上のノルム空間とする。
ΠE_i から F への連続な K-多重線形写像の全体を
L(E_1, . . . , E_n; F) または略して L((E_i); F) と書いた(過去スレ007の136)。

任意の T ∈ L(E_1, . . . , E_n; F) に対して
|T| = inf{α > 0; |f(x_1, . . . , x_n)| ≦ α|x_1|...|x_n| }
とおけば、過去スレ007の139より、L(E_1, . . . , E_n; F) はノルム空間になる。

過去スレ007の138より、任意の T ∈ L(E_1, . . . , E_n; F) に対して
|T| = sup {|f(x_1, . . . , x_n)|/|x_1|. . . |x_n|; x_i ≠ 0 (1 ≦ i ≦ n)}
である。

よって、
|T| = sup {|f(x_1, . . . , x_n)|; |x_1| ≦ 1, ,,,, |x_n| ≦ 1}
= sup {|f(x_1, . . . , x_n)|; |x_1| = ... = |x_n| = 1}

795 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/11(日) 15:25:52
>>794の訂正

K を実数体または複素数体とする。
E_i (1 ≦ i ≦ n) と F を K 上のノルム空間とする。
ΠE_i から F への連続な K-多重線形写像の全体を
L(E_1, . . . , E_n; F) または略して L((E_i); F) と書いた(過去スレ007の136)。

任意の T ∈ L(E_1, . . . , E_n; F) に対して
|T| = inf{α > 0; |T(x_1, . . . , x_n)| ≦ α|x_1|...|x_n| }
とおけば、過去スレ007の139より、L(E_1, . . . , E_n; F) はノルム空間になる。

過去スレ007の138より、任意の T ∈ L(E_1, . . . , E_n; F) に対して
|T| = sup {|T(x_1, . . . , x_n)|/|x_1|. . . |x_n|; x_i ≠ 0 (1 ≦ i ≦ n)}
である。

よって、
|T| = sup {|T(x_1, . . . , x_n)|; |x_1| ≦ 1, ,,,, |x_n| ≦ 1}
= sup {|T(x_1, . . . , x_n)|; |x_1| = ... = |x_n| = 1}

796 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/11(日) 15:44:54
命題
K を実数体または複素数体とする。
E_i (1 ≦ i ≦ n) と F を K 上のノルム空間とする。

L(E_1, . . . , E_n; F) と L(E_1, L(E_2, . . . , E_n; F)) はノルム空間として
標準的に同型である。

証明
T ∈ L(E_1, . . . , E_n; F) のとき、
|T(x_1, . . . , x_n)| ≦ |T||x_1|. . .|x_n|

よって、x_1 ∈ E_1 のとき、S(x_1) ∈ L(E_2, . . . , E_n; F) を
S(x_1)(x_2, . . . , x_n) = T(x_1, . . . , x_n) により定義できる。

S ∈ L(E_1, L(E_2, . . . , E_n; F)) であるが、明らかに |T| = |S| である。

明らかに T に S を対応させる写像 ψ は線型で全単射である。
よって、ψ はノルム空間としての同型である。
証明終

797 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/11(日) 15:50:05
定義
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上のノルム空間とする。
E^n から F への連続な K-多重線形写像の全体を L^n(E, F) と書く。

798 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/11(日) 16:06:36
定義
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上のノルム空間とする。
U を E の開集合とし、f: U → F を写像とする。
k ≧ 2 のとき写像 (d^k)f: U → L^k(E, F) を帰納的に
(d^k)f = d(d^(k-1)f) により定義する。

ただし、(d^1)f = df (>>792) であり、
L^k(E, F) と L(E, L^(k-1)(E, F)) を>>796により同一視する。

(d^k)f が存在し連続なとき f を C^k 級という。

799 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/11(日) 18:04:26
定義(Landauの記号)
実数 k > 0 が与えられたとき、o(|x|^k) でノルム空間 E の 0 の近傍で定義された
ノルム空間 F に値をとる関数で
x → 0 のとき、lim o(|x|^k)/|x|^k = 0 となるものを表す。


800 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/11(日) 18:08:00
>>788>>799より、
f が a ∈ U で微分可能であるためには、
f(a + x) = f(a) + T(x) + o(|x|) となる T ∈ L(E, F) が存在することが
必要十分である。

これから f が a ∈ U で微分可能なら f は a で連続であることがわかる。


801 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/11(日) 18:15:04
命題
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上のノルム空間とする。
U を E の開集合とし、f, g: U → F を写像とする。

f と g が a ∈ U で微分可能なら
d(f+g)(a) = df(a) + dg(a) である。

α ∈ K のとき
d(αf)(a) = αdf(a) である。

証明
>>800を使えば容易であるので読者にまかす。

802 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/11(日) 18:37:03
>>799の拡張
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上のノルム空間とする。
U を E の開集合とし、a ∈ U とする。

δ > 0 を十分小さな実数とし、
U(a; δ) = {x ∈ E; |x - a| < δ} ⊂ U とする。

f と g を U(a; δ) - {a} で定義された F に値をとる関数とする。

x → a のとき、lim |f(x)|/|g(x)| = 0 となるとき、
f(x) = o(g(x)) (x → a)
または
f = o(g) (x → a)
と書く。

x → a が明らかなときは
f(x) = o(g(x))
または
f = o(g)
と書く。

803 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/11(日) 19:10:39
命題(合成関数の微分)
K を実数体または複素数体とする。
E, F, G を K 上のノルム空間とする。
U を E の開集合とし、a ∈ U とする。
V を F の開集合とする。

f: U → V
g: V → G
を写像とし、
df(a) および dg(f(a)) が存在するとする。

このとき、d(gf)(a) が存在し、
d(gf)(a) = dg(f(a))df(a) となる。

証明
df(a) = T
dg(f(a)) = S とおく。

>>800, >>802より、
f(a + x) = f(a) + T(x) + o(x)
g(f(a) + y) = gf(a) + S(y) + o(y)

よって、
gf(a + x) = g(f(a) + T(x) + o(x))
= g(f(a)) + S(T(x) + o(x)) + o(T(x) + o(x))
= g(f(a)) + S(T(x)) + S(o(x)) + o(T(x) + o(x))

|S(o(x)) + o(T(x) + o(x))|/|x| を評価しよう。

(続く)

804 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/11(日) 19:11:25
|S(o(x)) + o(T(x) + o(x))|/|x| ≦ |S(o(x))|/|x| + |o(T(x) + o(x))|/|x|

ここで、|S(o(x))|/|x| と |o(T(x) + o(x))|/|x| を別々に評価する。

|S(o(x))| ≦ |S||o(x)| だから、
|S(o(x))|/|x| ≦ |S||o(x)|/|x|

|o(T(x) + o(x))|/|x|
= (|o(T(x) + o(x))|/|T(x) + o(x)|)(|T(x) + o(x)|/|x|)

|T(x) + o(x)|/|x| ≦ |T(x)|/|x| + |o(x)|/|x| ≦ |T| + |o(x)|/|x| ≦ M
となる M > 0 がある。

|o(T(x) + o(x))|/|x| ≦ M(|o(T(x) + o(x))|/|T(x) + o(x)|)

以上から、
|o(T(x) + o(x))|/|x| ≦ |S||o(x)|/|x| + M(|o(T(x) + o(x))|/|T(x) + o(x)|)
この右辺は x → 0 のとき 0 に近づく。
よって、
gf(a + x) = g(f(a)) + S(T(x)) + o(x) である。
即ち、d(gf)(a) = dg(f(a))df(a) である。
証明終

805 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/11(日) 19:27:30
命題
K を実数体または複素数体とする。
E, F, G を K 上のノルム空間とする。
U を E の開集合とし、a ∈ U とする。
f : U → F
g : U → G
が a で微分可能とする。

f×g: U → F×G を (f×g)(x) = (f(x), g(x)) で定義する。

このとき、f×g は a で微分可能で
d(f×g)(a) = df(a)×dg(a)

証明
T = df(a)
S = dg(a)
とおく。

(f×g)(a + x) = (f(a + x), g(a + x))
= (f(a) + T(x) + o(x), g(a) + S(x) + o(x))
= (f(a), g(a)) + (T(x), S(x)) + (o(x), o(x))
= (f×g)(a) + (T×S)(x) + o(x)

よって、
d(f×g)(a) = df(a)×dg(a)
証明終

806 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/11(日) 19:49:16
命題
K を実数体または複素数体とする。
E, F を K 上のノルム空間とする。
f: E → F を連続な型写像とする。

f は C^∞級であり、
df(x) = f

証明
a を E の任意の点とする。
f(a + x) = f(a) + f(x)

よって、f は a で微分可能で、
df(a) = f

df は定数関数 f ∈ L(E, F) であるから
C^∞級である。
よって、f もC^∞級である。
証明終

807 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/11(日) 19:53:37
命題
K を実数体または複素数体とする。
E, F, G を K 上のノルム空間とする。

f: E×F → G を連続な双線型写像とする。

f は C^∞級であり、
df(a, b)(x, y) = f(a, y) + f(x, b)

証明
(a, b) を E×F の任意の点とする。

f((a, b) + (x, y)) = f(a + x, b + y)
= f(a, b) + f(a, y) + f(x, b) + f(x, y)

>>795より、
|f(x, y)| ≦ |f||x||y|

|x| ≦ (|x|^2 + |y|^2)^(1/2) であるから、
|f||x||y|/(|x|^2 + |y|^2)^(1/2) ≦ |f||y|

よって、f(x, y) = o(x, y)
よって、
df(a, b)(x, y) = f(a, y) + f(x, b)

>>806より、f は C^∞級である。
証明終

808 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/11(日) 20:10:37
命題(Leibnizの法則)
K を実数体または複素数体とする。
E, F, G, H を K 上のノルム空間とする。
U を E の開集合とし、a ∈ U とする。
f : U → F
g : U → G
が a で微分可能とする。

B: F×G → H を連続な双線型写像とする。

このとき、B(f×g): U → H は a で微分可能であり、
d(B(f×g))(a)(x) = B(f(a), dg(a)(x)) + B(df(a)(x), g(a))

証明
合成関数の微分法(>>803)と>>805

d(B(f×g))(a) = dB((f×g))(a))d(f×g)(a)
= dB((f×g))(a))(df(a)×dg(a))

よって>>807より、
d(B(f×g))(a)(x) = dB((f×g))(a))(df(a)×dg(a))(x)
= dB(f(a), g(a))(df(a)(x), dg(a)(x))
= B(df(a)(x), g(a)) + B(f(a), dg(a)(x))
証明終

809 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/11(日) 20:12:52
>>808の訂正
>合成関数の微分法(>>803)と>>805

合成関数の微分法(>>803)と>>805より、


810 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/11(日) 20:18:05
E = F = G = H = R(実数体)で B が R の積のときは
>>808は通常の微分法における関数の積の微分規則である。


811 :猫は珍獣 ◆1.3Goh9Jkw :2009/10/11(日) 20:20:34
              _.。ャぁ大将軍フ7ゎ。._
           ,.ィ炙ヲi≠┴⇒弍j込ス>。
.        ,ィ升ヲナ'´           `゙'<弖心、
.        ;夕フア´                \ホi心.
       んfiУ                ▽ij∧
       从j'Y                   ∨iハ
.       斤W                      kい バカにはできないコピペです
     |友カ                    }ソ川 できるもんならやってみろ
.       い叭                   仄ガ
.     Wi从                  从ノリ
.      ∀t△                 ∧fリ/
       ゙マじへ、             /リiУ
        \夊id、_             ,.イ!刋/
         `マ才i「≧ェ。。.__。っ夭テ少'゚
           `゚'' ミうんもり祭 =‐'´
あんたはえらい!

812 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/11(日) 21:13:16
>>808
>命題(Leibnizの法則)

命題(Leibnizの規則)


813 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/11(日) 21:53:00
>>798への補足
f が連続なとき f を C^0 級という。
df が存在し連続なとき f を C^1 級という。

f が任意の整数 k ≧ 0 に対して C^k 級のとき
f を C^∞級という。


814 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/11(日) 21:55:46
命題
K を実数体または複素数体とする。
E, F, G を K 上のノルム空間とする。
U を E の開集合とし、
V を F の開集合とする。
f: U → V と g: V → G をC^k級(k ≧ 0) (>>798, >>813)とする。

このとき、gf はC^k級である。

証明
k = 0 のときは自明であるから k ≧ 1 とする。

ψ: L(F, G)×L(E, F) → L(E, G) を ψ(S, T) = ST により定義する。
ψ は双線型である。

任意の x ∈ E に対して、|ST(x)| ≦ |S||T(x)| ≦ |S||T||x|
よって、|ST| ≦ |S||T|
よって、|ψ| ≦ 1 となり、ψ は連続である。

写像 Φ: U → L(F, G)×L(E, F) を Φ(x) = (dg(f(x)), df(x)) で定義する。
>>803より、ψΦ(x) = dg(f(x))df(x) = d(gf)(x) である。
即ち、ψΦ = d(gf) である。

f と g がC^1級なら Φ は連続である。
よって、ψΦ = d(gf) も連続である。
よって、gf はC^1級である。

ψ は C^∞級であるから、
帰納法により、f と g がC^k級なら gf はC^k級である。
証明終

815 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/11(日) 22:04:17
>>814への補足
>帰納法により、f と g がC^k級なら gf はC^k級である。

f と g がC^k級なら df と dg はC^(k-1)級である。
帰納法の仮定より、(dg)f はC^(k-1)級である。
>>805より、Φ = (dg)f×df はC^(k-1)級である。
ψ は C^∞級であるから帰納法の仮定より、
d(fg) = ψ((dg)f×df) はC^(k-1)級である。
よって、fg はC^k級である。

816 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/11(日) 22:20:06
>>788への補足

f が U の各点 a で微分可能のとき、f は U で微分可能という。


817 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/11(日) 22:41:28
命題
U を R^n の開集合とし、f: U → R^m を微分可能とする。
f(x) = (f_1(x), ..., f_m(x)) とする。

このとき、(∂f_i/∂x_j), 1 ≦ i ≦ m, 1 ≦ j ≦ m が
各点 x ∈ U で存在し、
R^n と R^m の標準基底に関する df の行列は (f_i/∂x_j) になる。

証明
R^n と R^m の標準基底をそれぞれ (e_i), (g_j) とする。
df(x)(e_i) = Σa_(j, i)g_j とする。

h ≠ 0 を実数として、y = x + he_i とおく。
h → 0 のとき
lim |f(y) - f(x) - df(x)(y - x)|/|y - x|
= lim |f(y) - f(x) - hdf(x)(e_i)|/|h|
= 0

よって、
lim |f_j(y) - f_j(x) - ha_(j, i))|/|h| = 0

よって、a_(j, i) = (∂f_j/∂x_i)
証明終

818 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/12(月) 00:33:35
R を実数体とする。
F を R 上のノルム空間とする。
T ∈ L(R, F), x ∈ R のとき T(x) = xT(1) である。
よって、|T| = |T(1)| である。
よって、T ∈ L(R, F) に T(1) に対応させる写像は L(R, F) から F への
ノルム空間としての同型である。

U を R の開集合とし、f : U → F を微分可能(>>816)とする。
t ∈ U のとき、df(t) ∈ L(R, F) である。

df(t)(1) を f’(t) または df/dt と書く。

h → 0 のとき、
lim |f(t + h) - f(t) - df(t)h|/|h| = 0

df(t)h = f’(t)h である。

よって、
f’(t) = lim (f(t + h) - f(t))/h である。

819 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/12(月) 00:59:42
命題(微積分の基本定理)
R を実数体とする。
F を R 上のBanach空間とする。

f: [a, b] → F を連続写像とする。

t ∈ (a, b) のとき g(t) = ∫[a, t] f(x) dx とおく。

ここで、dx は R のLebesgue測度(過去スレ009の710)であり、
∫[a, t] f(x) dx は過去スレ008の356で定義されたものである。

このとき、g’(t) = f(t) である。

証明
t ∈ (a, b) のとき
|g(t + h) - g(t) - f(t)h| = |∫[t, t + h] (f(x) - f(t))dx|
≦ M(h)|h|

ここで、M(h) = sup {|f(x) - f(t)| ; x ∈ [t, t + h]}

h → 0 のとき、M(h) → 0 であるから、
g’(t) = f(t) である。
証明終

820 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/12(月) 01:30:45
補題
R を実数体とする。
F を R 上のノルム空間とする。

f: [a, b] → F を連続写像とする。
f が (a, b) で微分可能で (a, b) 上で f’(t) = 0 とする。

このとき f は [a, b] 上で定数である。

証明
ある t ∈ [a, b] に対して f(t) ≠ f(a) とする。
Hahn-Banachの定理の系(過去スレ006の755)より、
連続線形写像 g: F → R で、g(f(t)) ≠ g(f(a)) となるものが存在する。

一方、gf は [a, b] で連続で (a, b) で微分可能であり、
その導関数は (a, b) で 0 である。
よって、平均値の定理より、gf は [a, b] で定数である。
これは、g(f(t)) ≠ g(f(a)) に矛盾である。

よって、f は [a, b] 上で定数である。
証明終

821 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/12(月) 01:44:47
命題
R を実数体とする。
F を R 上のノルム空間とする。
U を R の開集合とし、f: U → R を微分可能とする。
[a, b] ⊂ U のとき

f(b) - f(a) = ∫[a, b] f’(x) dx

証明
g(t) = ∫[a, t] f’(x) dx - f(t) とおく。

>>819より、g’(t) = 0 である。
よって、>>820より、g(t) は [a, b] 上で定数である。
特に、g(b) = g(a) である。
即ち、
f(b) - f(a) = ∫[a, b] f’(x) dx
証明終

822 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/12(月) 02:06:44
このあたり、Manifolds, tensor analysis, and applications(by Marsden, Ratiu)を
参考にしている。


823 :132人目の素数さん:2009/10/12(月) 11:39:51
何でもあり状態で、何だかDieudonne, Treatise on Analysisみたいになって来ましたな。

824 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/12(月) 13:59:11
補題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
K を実数体または複素数体とする。
F を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
f: X → K を L^1(X, K, μ) (過去スレ010の304)の元とする。
a を F の元とする。

このとき、関数 x → f(x)a は L^1(X, F, μ) (過去スレ010の304)の元であり、
∫ f(x)a dμ(x) = (∫ f(x) dμ(x))a である。

証明
f ∈ L^1(X, K, μ) のとき、
|∫ f(x)a dμ(x)| ≦ ∫ |f(x)a| dμ(x) ≦ |a|∫ |f(x)| dμ(x)
よって、関数 x → f(x)a は L^1(X, F, μ) の元であり、
f ∈ L^1(X, K, μ) に ∫ f(x)a dμ(x) ∈ F を対応させる写像 ψ_1 は
連続である。

他方、
|(∫ f(x) dμ(x))a| = |∫ f(x) dμ(x)||a| ≦ |a|∫ |f(x)| dμ(x)
よって、f ∈ L^1(X, K, μ) に (∫ f(x) dμ(x))a ∈ F を対応させる写像 ψ_2 は
連続である。

ψ_1 = ψ_2 を証明すればよい。

(続く)

825 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/12(月) 13:59:52
X における μ-可測な集合全体を Φ とする。
Ψ = { A ∈ Φ | A ⊂ K となるコンパクト集合 K がある }
とおく。
K に値をとる Ψ上の単関数全体を E(Ψ, K) と書いた(過去スレ008の332)。
E(Ψ, K) は L^1(X, K, μ) で稠密である(過去スレ008の352)。
K はHausdorffだから ψ_1 と ψ_2 が E(Ψ, K) 上で一致することを
証明すればよい。

任意の g ∈ E(Ψ, K) は、
M_1, . . . , M_n を互いに交わらない Ψ に属す集合とし、
g = Σ(α_i)χ_(M_i) (1 ≦ i ≦ n) と一意に書ける(過去スレ008の344)。
ここで、α_i ∈ K, α_i ≠ 0 で、i ≠ j なら α_i ≠ α_j である。

任意の x ∈ X に対して、
g(x)a = Σ(α_i)aχ_(M_i)(x)

i ≠ j なら (α_i)a ≠ a(α_j)a である。

よって、関数 x → g(x)a は E(Ψ, F) に属す。

∫ g(x)a dμ(x) = Σ(α_i)μ(M_i)a = (Σ(α_i)μ(M_i))a である。
よって、
∫ g(x)a dμ(x) = (∫ g(x) dμ(x))a

よって、ψ_1(g) = ψ_2(g)
よって、ψ_1 と ψ_2 は E(Ψ, K) 上で一致する。
証明終

826 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/12(月) 14:11:06
>>823
解析学の舞台を必ずしも有限次元に限らないほうが見通しが良くなると思っています。
それに無限次元の解析学もいろいろ応用があるみたいです。

827 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/12(月) 15:22:23
>>821の訂正
>U を R の開集合とし、f: U → R を微分可能とする。

U を R の開集合とし、f: U → F をC^1級とする。


828 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/12(月) 15:24:53
命題
R を実数体とする。
E を R 上のノルム空間とし、F を R 上のBanach空間とする。
U を E の開集合とし、f: U → F をC^1級写像とする。

V を R の開集合で [0, 1] ⊂ V とする。
ψ: V → U をC^1級写像とする。
x = ψ(0), y = ψ(1) とする。

このとき
f(y) - f(x) = ∫[0, 1] df(ψ(t))(ψ’(t)) dt

証明
g(t) = f(ψ(t)) とおく。

>>803より、
dg(t) = df(ψ(t))dψ(t)

dg(t)(1) = df(ψ(t))dψ(t)(1)

>>818より、
g’(t) = df(ψ(t))(ψ’(t))

>>821より、
f(y) - f(x) = ∫[0, 1] g’(t) dt = ∫[0, 1] df(ψ(t))(ψ’(t)) dt
証明終

829 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/12(月) 16:12:49
命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のノルム空間とする。
F を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。

このとき、L(E, F) はBanach空間である。
ここで、L(E, F) は E から F への連続な線型写像全体であり、
L(E, F) の元 T のノルムは |T| = sup{T(x); |x| ≦ 1} である。

証明
(T_n), n = 1, 2, ... を L(E, F) のCauchy列とする。
x ≠ 0 を E の元とする。
任意の ε > 0 に対して整数 n(ε) > 0 があり、
n, m ≧ n(ε) なら |T_n - T_m| < ε/|x| となる。
|(T_n - T_m)x| ≦ |T_n - T_m||x| < ε

よって、((T_n)x), n = 1, 2, ... は F のCauchy列である。
F は完備だから lim (T_n)x が存在する。
T(x) = lim (T_n)x とおく。
T(0) = 0 と定義すれば、T は明らかに線型である。

任意の ε > 0 に対して整数 m(ε) > 0 があり、
n, m ≧ m(ε) なら |T_n - T_m| < ε となる。
|x| ≦ 1 のとき、
|(T_n - T_m)x| ≦ |T_n - T_m||x| ≦ ε

この式の左辺で m → +∞ とすれば、
n ≧ m(ε) かつ |x| ≦ 1 のとき、|(T_n - T)(x)| ≦ ε
よって、T_n - T ∈ L(E, F)
よって、T ∈ L(E, F)
n ≧ m(ε) のとき、|T_n - T| ≦ ε だから lim T_n = T である。
証明終

830 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/12(月) 17:31:50
補題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のノルム空間とする。
F を K 上のBanach空間とする。
>>829より、L(E, F) は Banach空間である。

f を L^1(X, L(E, F), μ) (過去スレ010の304)の元とする。
a を F の元とする。

このとき、関数 x → f(x)a は L^1(X, F, μ) の元であり、
∫ f(x)a dμ(x) = (∫ f(x) dμ(x))a である。

証明
T ∈ L(E, F) に T(a) ∈ F を対応させる写像を π とする。
|ψ(T)| = |T(a)| ≦ |T||a|
よって、π ∈ L(L(E, F), F) である。
よって、f ∈ L^1(X, L(E, F), μ) のとき、
x → π(f(x)) = f(x)a はμ可測である(過去スレ008の241)。

|∫ f(x)a dμ(x)| ≦ ∫ |f(x)a| dμ(x) ≦ |a|∫ |f(x)| dμ(x)
よって、関数 x → f(x)a は L^1(X, F, μ) の元であり、
f ∈ L^1(X, L(E, F), μ) に ∫ f(x)a dμ(x) ∈ F を対応させる写像 ψ_1 は
連続である。

他方、
|(∫ f(x) dμ(x))a| ≦ |∫ f(x) dμ(x)||a| ≦ |a|∫ |f(x)| dμ(x)
よって、f ∈ L^1(X, L(E, F), μ) に (∫ f(x) dμ(x))a ∈ F を
対応させる写像 ψ_2 は連続である。

ψ_1 = ψ_2 を証明すればよい。
(続く)

831 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/12(月) 17:32:31
X における μ-可測な集合全体を Φ とする。
Ψ = { A ∈ Φ | A ⊂ K となるコンパクト集合 K がある }
とおく。
L(E, F) に値をとる Ψ上の単関数全体を E(Ψ, L(E, F)) と書いた
(過去スレ008の332)。
E(Ψ, L(E, F)) は L^1(X, L(E, F), μ) で稠密である(過去スレ008の352)。
F はHausdorffだから ψ_1 と ψ_2 が E(Ψ, K) 上で一致することを
証明すればよい。

任意の g ∈ E(Ψ, L(E, F)) は、
M_1, . . . , M_n を互いに交わらない Ψ に属す集合とし、
g = Σ(T_i)χ_(M_i) (1 ≦ i ≦ n) と一意に書ける(過去スレ008の344)。
ここで、T_i ∈ L(E, F), T_i ≠ 0 で、i ≠ j なら T_i ≠ T_j である。

任意の x ∈ X に対して、
g(x)a = Σ((T_i)a)χ_(M_i)(x)

よって、関数 x → g(x)a は E(Ψ, F) に属す。

∫ g(x)a dμ(x) = Σ((T_i)a)μ(M_i) = (Σ(T_i)μ(M_i))a である。
よって、
∫ g(x)a dμ(x) = (∫ g(x) dμ(x))a

よって、ψ_1(g) = ψ_2(g)
よって、ψ_1 と ψ_2 は E(Ψ, L(E, F)) 上で一致する。
証明終

832 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/12(月) 17:41:30
命題
R を実数体とする。
E を R 上のノルム空間とし、F を R 上のBanach空間とする。
U を E の開集合とし、f: U → F をC^1級写像とする。

x, y ∈ U とする。
任意の t ∈ [0, 1] に対して ψ(t) = (1 - t)x + ty ∈ U とする。

このとき、
f(y) - f(x) = (∫[0, 1] df(ψ(t)) dt) (y - x)

証明
>>828より、
f(y) - f(x) = ∫[0, 1] df(ψ(t))(y - x) dt

>>830より、この右辺は (∫[0, 1] df(ψ(t)) dt) (y - x)
証明終

833 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/12(月) 17:59:26
定義
K を実数体または複素数体とする。
E_1, E_2, F を K 上のノルム空間とする。
E = (E_1)×(E_2) とおく。

U を E の開集合とし、f: U → F を写像とする。
(a, b) ∈ U のとき、E_1 上の関数 x → f(x, b) が a で微分可能とする。
この関数の a における微分を f の第1変数に関する偏微分と呼び、
(d_1)f(a, b) と書く。

同様に、E_2 上の関数 y → f(a, y) が b で微分可能とのとき、
この関数の b における微分を f の第2変数に関する偏微分と呼び、
(d_2)f(a, b) と書く。

(d_1)f(a, b) ∈ L(E_1, F)
(d_2)f(a, b) ∈ L(E_2, F)
である。

834 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/12(月) 18:43:57
命題
K を実数体または複素数体とする。
E_1, E_2, F を K 上のノルム空間とする。
E = (E_1)×(E_2) とおく。

U を E の開集合とし、f: U → F を写像とする。
(a, b) ∈ U のとき、f が (a, b) で微分可能(>>788)とする。

このとき、偏微分(>>833)が存在し、
(d_1)f(a, b)(x) = df(a, b)(x, 0)
(d_2)f(a, b)(y) = df(a, b)(0, y)
となる。

証明
g : E_1 → (E_1)×(E_2) を g(x) = (x, b) により定義する。
g(a + x) - g(a) = (a + x, b) - (a, b) = (x, 0)
よって、
dg(a, b)(x) = (x, 0)

V = g^(-1)(U) とおけば、V は E_1 の開集合であり、a ∈ V である。
g を V に制限した関数を記法を簡単にするため同じ g で表す。

fg は V から F への写像であり、d(fg)(a) = (d_1)f(a, b) である。

合成関数の微分規則(>>803)より、(d_1)f(a, b) が存在し、
(d_1)f(a, b) = d(fg(a))(x) = df(g(a))dg(a)(x) = df(a, b)(x, 0)

(d_2)f(a, b)(y) = df(a, b)(0, y) も同様である。
証明終

835 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/12(月) 18:53:13
命題
K を実数体または複素数体とする。
E_1, E_2, F を K 上のノルム空間とする。
E = (E_1)×(E_2) とおく。

U を E の開集合とし、f: U → F を写像とする。
(a, b) ∈ U のとき、f が (a, b) で微分可能(>>788)とする。

このとき、
df(a, b)(x, y) = (d_1)f(a, b)(x) + (d_2)f(a, b)(y)

証明
>>834より (d_1)f(a, b), (d_2)f(a, b)(y) が存在して、
(d_1)f(a, b)(x) = df(a, b)(x, 0)
(d_2)f(a, b)(y) = df(a, b)(0, y)
である。

よって、
df(a, b)(x, y) = df(a, b)((x, 0) + (0, y))
= df(a, b)(x, 0) + df(a, b)(0, y)
= (d_1)f(a, b)(x) + (d_2)f(a, b)(y)
証明終

836 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/12(月) 20:44:54
命題
R を実数体とする。
E_1, E_2, F を R 上のノルム空間とする。
E = (E_1)×(E_2) とおく。

U を E の開集合とし、f: U → F を写像とする。
偏微分 (d_1)f と (d_2)f が U の各点で存在し、U 上で連続なら
f は C^1級である。

証明
(a, b) を U の任意の点とする。
>>832より、
f(a + x, b + y) - f(a, b) - (d_1)f(a, b)x - (d_2)f(a, b)y
= f(a + x, b + y) - f(a, b + y) - (d_1)f(a, b)x
+ f(a, b + y) - f(a, b) - (d_2)f(a, b)y

= (∫[0, 1] d_1f(a + tx, b + y) dt)x - (d_1)f(a, b)x
+ (∫[0, 1] d_2f(a, b + ty) dt)y - (d_2)f(a, b)y

= (∫[0, 1] (d_1f(a + tx, b + y) - (d_1)f(a, b)) dt)x
+ (∫[0, 1] (d_2f(a, b + ty) - (d_2)f(a, b)) dt)y

ここで、
M_1(x, y) = sup {|d_1f(a + tx, b + y) - (d_1)f(a, b)| ; 0 ≦ t ≦ 1}
M_2(x, y) = sup {|d_2f(a, b + ty) - (d_2)f(a, b)| ; 0 ≦ t ≦ 1}
とおく。

|f(a + x, b + y) - f(a, b) - (d_1)f(a, b)x - (d_2)f(a, b)y|
≦ M_1(x, y)|x| + M_2(x, y)|y|
≦ (M_1(x, y) + M_2(x, y))(|x| + |y|)

(続く)

837 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/12(月) 20:46:23
(x, y) → (a, b) のとき、M_1(x, y) → 0 かつ M_2(x, y) → 0
よって、
df(a, b)(x, y) = (d_1)f(a, b)x + (d_2)f(a, b)y
(a, b) は U の任意の点だから df が U の各点で存在する。

次に、df が U 上で連続なことを示す。

p_i: E → E_i を射影とする。

ψ_i ∈ L(L(Ei,F), L(E, F)) を ψ_i(T) = T(p_i) で定義すると、
df = ψ_1?(d_1)f + ψ_2?(d_2)f
である。

(d_1)f と (d_2)f は連続であるから、df は連続である。
証明終

838 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/12(月) 21:01:36
>>836の訂正
>E_1, E_2, F を R 上のノルム空間とする。

E_1, E_2 を R 上のノルム空間とし、F を R 上のBanach空間とする。


839 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/10/13(火) 04:22:06
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840 :132人目の素数さん:2009/10/13(火) 04:25:46
五十日十二時間。


841 :132人目の素数さん:2009/10/13(火) 05:25:46
五十日十三時間。


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