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数論における未解決問題集

1 :暇人:2009/08/24(月) 19:36:36
アマチュアでも挑戦のしがいがある未解決問題や余り有名でない未解決問題、論文ネタなどを教えてください。↓

2 :132人目の素数さん:2009/08/24(月) 19:43:20
>>1
原書買えよ

3 :132人目の素数さん:2009/08/24(月) 19:45:27
手作業でコラッツ予想でもチマチマ確認してろ

4 :132人目の素数さん:2009/08/24(月) 19:54:56
コラーッ!

5 :132人目の素数さん:2009/08/24(月) 20:22:01
frac((3/2)^n)は一様分布するか?
とっかかりもつかん。

6 :132人目の素数さん:2009/08/24(月) 20:27:10
lim_{n→無限大}||a^n||=0ならば、aはPisot数であるか?

7 :132人目の素数さん:2009/08/24(月) 20:31:23
一様というのは0≦a<b<1に対し f(n,a,b) = #{ k<n| f rac((3/2)^k)∈[a,b) } とおけば
f(n,a,b)/n → b-a になるということかね

8 :132人目の素数さん:2009/08/24(月) 20:58:07
2ちゃんねる数学板・数学未解決問題解決部
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1238037615/
の話題から分離したスレですか?

9 :132人目の素数さん:2009/08/24(月) 21:05:20
別にこのスレでは解決をめざしはしません。

10 :132人目の素数さん:2009/08/24(月) 21:41:24
>>9
じゃあなんだ
問題晒してはいおわりってか

11 :132人目の素数さん:2009/08/25(火) 04:53:03
>>7
[0,1]^d の一様分布列 x1, x2, x3, ...
任意の区間 J ⊂ [0,1]^d について
lim_{n→∞} | (#{x∈J: n<N} )/N - |J| | = 0
ここで、|J| はJのルベーグ測度

12 :132人目の素数さん:2009/08/25(火) 06:25:53
さて、有名どころでウェアリングの問題について述べておく。付随する問題に興味深い問題もあるが、
「任意のN∈Z^+がg(k)個のk乗数の和に分けられるがg(k)-1個のk乗数の和に分けられないようなNが存在する。」
g(k)=2^k+[(3/2)^k]-2
であろうと予想されている。

つづく

13 :132人目の素数さん:2009/08/25(火) 09:13:02
1936年、DicksonとPillaiは独立に
3^k-2^k*[(3/2)^k]≦2^k-[(3/2)^k]-2
が成り立てばg(k)の式が成り立つことを示した。

つづく

14 :132人目の素数さん:2009/08/25(火) 09:44:39
さて、もうすでに息切れ気味だが、
《(3/2)^k》< (3/4)^k
が成り立てば、上記も成り立つらしい。
またこれは、Mahlerの定理により高々有限個しか例外を持たない。
また、このことはabc予想からも従う。

15 :132人目の素数さん:2009/08/25(火) 18:29:30
ここで、>>3 のようなキチガイが大好きなCollatzの問題を簡略化した場合を考える。
奇数より初めて m回奇数が続いて偶数になり2^kで割ると元に戻ると言うループがあるとする。
これは既解決問題らしいが良く知らない。
m回奇数が続いて偶数になるためには最初は
2^m(2n-1)-1であり、m回奇数が続いた後は、3^m*n-(3^m-1)/2になる。
これが、2^(k-1)*(2^m(2n-1)-1) に等しいとすると、
2n-1=(2^k-1)/(2^(m+k)-3^m)
となる。これを変形すれば、
(3/2)^m<2^k<(3^m-1)/(2^m-1)
となる。ここで、power fractional part 予想を用いれば、このループは高々有限個しかないことがわかる。
これ以上のことは私の手に余ることであるが、
Waring, power fractional part, abc-conjecture, Collatz
がどのように関係しているか考察してみることもまた面白いかもしれない。
なにぶん昔考えたことなので、間違いがあるかもしれないが、
御指摘、御叱責のほどよろしくお願いします。

16 :132人目の素数さん:2009/08/25(火) 19:17:34
Erdos-Strauss (Egyptian fraction) conjecture なるものがある。
ある n>2 に対して、自然数a,b,c があって
4/n=1/a+1/b+1/c
となる。a,b,c に条件を付ける場合もあるが、ここでは特に条件はつけない。
たとえば、
p=3m-1 → 1/m+1/(3m-1)+1/m(3m-1)=4/(3m-1)
p=4m-1 → 1/m+1/2m(4m-1)+1/2m(4m-1)=4/(4m-1)
p=n(4d-1)-1 → 1/nd+1/dp+1/ndp=4/p
p=4e(qf-1)-f → 1/ne+1/qep+1/nqep=4/p (n=qf-1)
p=4ae(qf-a)-f → 1/ane+1/aqep+1/nqep (n=qf-a)
p=m(4bd-1) → 1/mbd+1/bpd+1/mpd=4/p
等々が得られるが、このような方針では解けそうもなさそうだ。

17 :132人目の素数さん:2009/08/29(土) 02:51:45
1 名前: 132人目の素数さん 投稿日: 01/11/04 01:22

フェルマー予想、ゴールドバッハ予想のスレがあるのになんでabc予想のスレがないんじゃー。
という訳でabc予想スレ。一般の場合のフェルマー予想やモーデル予想を系として持つこの予想、フェルマー予想を
初等的に示したい人から予想の一般化を語りたい人までどうぞ。
abc予想
任意の互いに素な整数a,b,cと、正数e>0に対しあるC>0が存在し
a + b = cならば
max{|a|,|b|,|c|} <= C \Pi p^{1+e}
ここで、積はabcを割り切る素数すべてを渡る。

18 :132人目の素数さん:2009/09/01(火) 05:31:07
s が 8 で割って 5,6,7 のいずれかが余る無平方の整数なら、
3 辺の長さが有理数で面積が s である直角三角形が少なくともひとつ存在する。

19 :132人目の素数さん:2009/09/01(火) 10:15:40
||(3/2)^k||>0.5803^k for k>K (2007Zudilin)
らしい

すげえ

20 :132人目の素数さん:2009/09/06(日) 08:16:49
あ,あぁ?
フェルマー素数

21 :132人目の素数さん:2009/10/11(日) 01:50:37
Unsolved Problems in Number Theory 3rd ed.
ttp://www.springer.com/math/numbers/book/978-0-387-20860-2
ちなみに数論における未解決問題集は初版の訳ですよ。

22 :132人目の素数さん:2010/01/09(土) 20:54:01
[19]  arXiv:1001.1100 [ps, pdf, other]
    Title: On the Erdos-Straus conjecture
    Authors: Eugen J. Ionascu, Andrew Wilson
    Comments: 9 pages, no figures
    Subjects: Number Theory (math.NT)


23 :132人目の素数さん:2010/03/10(水) 05:38:40
828

24 :132人目の素数さん:2010/05/07(金) 17:26:15
928

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