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代数的整数論 016

102 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/01/03(日) 14:07:30
命題
K を自明でない絶対値(過去スレ006の414,422)をもつ可換体とする。
E および F を K 上のノルム空間(過去スレ006の561)とする。
U を E の開集合とし、f: U → F を C^k 級(>>100)の写像とする。

このとき、任意の整数 r (0 ≦ r ≦ k) に対して f は
U の各点で r 回微分可能(>>94)であり、(d^r)f は C^(k-r) 級である。

証明
k に関する帰納法による。
k = 1 のときは定義から明らかである。
k ≧ 2 とする。

df は C^(k-1) 級であるから、帰納法の仮定から
任意の整数 s (0 ≦ s ≦ k - 1) に対して df は
U の各点で s 回微分可能であり、(d^s)df = (d^(s+1))f は C^(k-s-1) 級である。

よって、f は U の各点で r = s+1 回微分可能であり、
(d^r)f は C^(k-r) 級である。
証明終

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