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代数的整数論 016

103 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/01/03(日) 15:17:46
命題
K を自明でない絶対値(過去スレ006の414,422)をもつ可換体とする。
E_1, ..., E_n および F を K 上のノルム空間(過去スレ006の561)とする。
E = (E_1)×...×(E_n) とおく。

U を E の開集合とし、f: U → F を C^k 級(>>100) (1 ≦ k < ∞) の写像とする。

このとき、全ての m (1 ≦ m ≦ k) に対して連続な d_(i_1)...d_(i_m)f (>>96) が
存在する。

証明
各 E_i は E の線型部分空間と同一視する。
m を 1 ≦ m ≦ k となる任意の整数とする。

L_m(E, F) (>>91) の元 u の E_(i_1)×...×E_(i_m) への制限を
T(i_1, ..., i_m)(u) と書く。
即ち、T(i_1, ..., i_m)(u) = u|E_(i_1)×...×E_(i_m) である。

T(i_1, ..., i_m): L_m(E, F) → L(E_(i_1),...,E_(i_m); F) は
連続な線型写像である。

f は C^k 級だから >>102より、(d^m)f: U → L_m(E, F) は連続である。
よって、
T(i_1, ..., i_m)(d^m)f: U → L(E_(i_1),...,E_(i_m); F) は連続である。

>>97より d_(i_1)...d_(i_m)f = T(i_1, ..., i_m)(d^m)f であるから
連続な d_(i_1)...d_(i_m)f が存在する。
証明終

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