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代数的整数論 016

107 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/01/03(日) 16:31:32
命題(平均値の定理)(Advanced calculus by Loomis and Sternberg)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のノルム空間(過去スレ006の561)とする。
[a, b] を実数体 R における有限閉区間とする。

f: [a, b] → E を連続写像とし、M > 0 を実定数とする。
(a, b) の各点 t において f’(t) (>>55) が存在し、
全ての t ∈ (a, b) で |f’(t)| ≦ M とする。

このとき、
|f(b) - f(a)| ≦ M(b - a)

証明
任意の実数 ε > 0 を固定する。
A = {x ∈ [a, b]; |f(x) - f(a)| ≦ (M + ε)(x - a) + ε}

a ∈ A であるから A は空でない。
d = sup A とおく。

f は l で連続だから任意の η > 0 と d に十分近い x ∈ A に対して
|f(d) - f(x)| < η となる。

このとき、
|f(d) - f(a)| ≦ |f(d) - f(x)| + |f(x) - f(a)| ≦ η + (M + ε)(x - a) + ε

η > 0 は任意だから
|f(d) - f(a)| ≦ (M + ε)(x - a) + ε

よって、d ∈ A である。
よって、a ≦ d ≦ b である。

(続く)

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