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代数的整数論 016

111 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/01/03(日) 20:33:50
命題(平均値の不等式)(過去スレ015の72の改良)
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上のノルム空間(過去スレ006の561)とする。
U を E の凸開集合とし、f: U → F を微分可能写像とする。
M > 0 があり、全ての x ∈ U で |df(x)| ≦ M とする。
ここで、|df(x)| は L(E, F) における df(x) のノルムである。

このとき、任意の x, y ∈ U に対して、
|f(y) - f(x)| ≦ M|y - x|

証明
U は凸だから、区間 [0, 1] 上の関数 ψ(t) = f(x + t(y - x)) が定義される。
t ∈ (0, 1) のとき、ψ’(t) = df(x + t(y - x))(y - x) である。
|ψ’(t)| ≦ M|y - x| であるから、>>107より、
|ψ(1) - ψ(0)| = |f(y) - f(x)| ≦ M|y - x|
証明終

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