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代数的整数論 016

113 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/01/03(日) 21:27:10
命題(過去スレ014の836の改良)
K を実数体または複素数体とする。
E_1, E_2, F を K 上のノルム空間とする。
E = (E_1)×(E_2) とおく。

U を E の開集合とし、f: U → F を写像とする。
偏微分 (d_1)f と (d_2)f が U の各点で存在し、U 上で連続なら
f は C^1級である。

証明
(a, b) を U の任意の点とする。
d_1)f と (d_2)f は (a, b) で連続であるから、
任意の ε > 0 に対して δ > 0 があり、|(x, y) - (a, b)| < δ なら
|(d_1)f(x, y) - (d_1)f(a, b)| < ε
かつ
|(d_2)f(x, y) - (d_2)f(a, b)| < ε
となる。

ψ(h) = f(a + h, b + k) - (d_1)f(a, b)(h) とおく。
|(h, k)| < δ なら
|dψ(h)| = |(d_1)f(a + h, b + k) - (d_1)f(a, b)| < ε
よって、>>111より、
|ψ(h) - ψ(0)| = |f(a + h, b + k) - f(a, b + k) - (d_1)f(a, b)(h)| ≦ ε|h|

同様に
φ(k) = f(a, b + k) - (d_2)f(a, b)(k) とおく。
|(0, k)| < δ なら
|dφ(k)| = |(d_2)f(a, b + k) - (d_2)f(a, b)| < ε
よって、>>111より、
|φ(k) - φ(0)| = |f(a, b + k) - f(a, b) - (d_2)f(a, b)(k)| ≦ ε|k|

(続く)

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