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代数的整数論 016

132 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/01/04(月) 18:24:00
命題
K を自明でない絶対値(過去スレ006の414)をもつ可換体とする。
E を K 上の超ノルム空間(>>65)とする。
r > 0 を実数とする。

U(a, r) = {x ∈ E; |x - a| < r}
と書く。

このとき、U(a, r) は開かつ閉である。

証明
U(a, r) は明らかに開集合である。
|x - y| < r のとき x ≡ y と書く。
>>129より、これは同値関係であり、U(a, r) は a の同値類である。

E をこの同値関係で類別すれば U(a, r) の補集合は
U(b, r) の形の合併集合であるから開集合である。
よって、U(a, r) は閉集合である。
証明終

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