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代数的整数論 016

139 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/01/05(火) 12:02:20
>>123の修正

命題
K を自明でない絶対値(過去スレ006の414)をもつ可換体とする。
E と F を K 上のノルム空間(過去スレ006の561)とする。
U を E の開集合とし、f: U → F を写像とする。
f が U の各点で強微分可能(>>43)とする。

このとき、f は C^1 級(>>100)である。

証明
p を U の任意の点とする。
>>121より、f は U の各点で微分可能である。

x ∈ U に対して G(x) = f(x) - df(p)(x) とおく。
dG(x) = df(x) - df(p) である。

x, y ∈ U に対して
G(x) - G(y) = f(x) - df(p)(x) - f(y) + df(p)(y)
= f(x) - f(y) - df(p)(x - y)
となることに注意する。

f は p で強微分可能であるから、
任意の実数 ε > 0 に対して p の開近傍 V_ε ⊂ U が存在し、
任意の x, y ∈ V_εに対して |f(x) - f(y) - df(p)(x - y)| ≦ ε|x - y|
即ち、|G(x) - G(y)| ≦ ε|x - y|

(続く)

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