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代数的整数論 016

186 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/01/07(木) 10:46:18
>>185の続き

g(x) = x - f(x) とおく。
任意の x, y ∈ B(p, r) に対して、
|g(x) - g(y)| = |x - y - f(x) + f(y)| = |f(x) - f(y) - (x - y)|
≦ (1/2)|x - y|

y = p として、|g(x) - (p - f(p))| ≦ (1/2)|x - p| ≦ r/2

(続く)

155 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [] 投稿日:2010/01/06(水) 10:33:09
>>154の続き

y ∈ B(f(p), r/2) に対して g_y(x) = y + g(x) とおく。

任意の x, z ∈ B(p, r) に対して、
|g_y(x) - g_y(z)| = |g(x) - g(z)| ≦ (1/2)|x - z|

x ∈ B(p, r) のとき、
|g_y(x) - p| = |y - f(p) + g(x) - (p - f(p))|
≦ |y - f(p)| + |g(x) - (p - f(p))|
≦ r/2 + r/2 = r

よって、g_y(B(p, r)) ⊂ B(p, r)
よって、縮小写像の不動点定理(過去スレ015の41)より、
g_y(x) = x となる x ∈ B(p, r) がある。
即ち、y + g(x) = y + x - f(x) = x
よって、y = f(x)
よって、B(f(p), r/2) ⊂ f(B(p, r)) である。

(続く)

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