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代数的整数論 016

190 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/01/07(木) 13:18:54
命題
K を必ずしも可換とは限らない体で
自明でないアルキメデス的絶対値(過去スレ006の448)をもつとする。
さらに K の値群 G = {|x|; x ∈ K^*} は (R^*)+ において離散でないとする。
ここで、K^* は K の乗法群であり、(R^*)+ は R の正数のなす乗法群である。

このとき、任意の r > 0 と a ∈ K に対して d(B(a, r)) = r である。
ここで、d(B(a, r)) は閉球 B(a, r) (>>167) の直径(>>189)である。

証明
任意の x, y ∈ B(a, r) に対して |x - y| ≦ r であるから
d(B(a, r)) ≦ r である。
d(B(a, r)) < r と仮定して矛盾を導こう。

R の加法群と (R^*)+ は位相群として同型である。
よって、>>178より G は (R^*)+ において稠密である。

よって、d(B(a, r)) < |x| ≦ r となる x ∈ K^* が存在する。
y = a + x とおく。

d(B(a, r)) < |y - a| = |x| ≦ r であるが、
y, a ∈ B(a, r) であるから |y - a| ≦ d(B(a, r)) である。
よって。|y - a| < |y - a| となって矛盾である。
証明終

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