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代数的整数論 016

197 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/01/08(金) 04:41:02
命題
K を可換な非アルキメデス的局所体(過去スレ013の363)とする。
L を必ずしも可換とは限らない体で K 上の有限次代数となっているものとする。
K は L の中心の部分体と同一視する。

このとき、K の絶対値は L の絶対値に一意に拡張される。

証明
K は局所コンパクトだから過去スレ006の412より完備である。
よって、一意性は>>195で証明されている。

過去スレ013の398より、L は K 上の有限次線型空間としての標準位相で
非アルキメデス的局所体(過去スレ013の363)となる。

mod_L を L の mod 関数(過去スレ013の37) とする。
過去スレ013の97より、実数 s > 0 があり、(mod_L)^s は L の絶対値となる。

過去スレ013の249より、x ∈ L のとき、mod_L(x) = mod_K(N(x)) である。
ここで、mod_K は K の mod 関数であり、
N(x) は x の左ノルム(過去スレ013の258)である。
特に x ∈ K のとき、mod_L(x) = mod_K(x^n) = (mod_K(x))^n である。
ここで n は L の K 上の次元である。

(続く)

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