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代数的整数論 016

199 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/01/08(金) 05:23:15
命題
K を可換な非アルキメデス的局所体(過去スレ013の363)とする。
K~ を K の代数的閉包とする。

このとき、K の絶対値 mod_K は K~ の絶対値に一意に拡張される。
ここで、mod_K は K の mod 関数(過去スレ013の37)である。

証明
x を K~ の任意の元とする。
K(x) を K と x で生成される K~ の部分体とする。
>>197より、mod_K は K(x) のある絶対値 | |_K(x) に一意に拡張される。

|x|_K(x) を単に |x| と書くことにする。

x, y ∈ K~ のとき x, y ∈ L ⊂ K~ となる K の有限次拡大体 L がある。
>>197より、mod_K は L のある絶対値 | |_L に一意に拡張される。
| |_L の K(x) への制限は、mod_K の拡張の一意性より | |_K(x) と一致する。
よって、|x| = |x|_L である。
同様に、|y| = |y|_L である。

よって、
|xy| = |xy|_L = (|x|_L)(|y|_L) = |x||y|
|x + y| = |x + y|_L ≦ sup(|x|_L, |y|_L) = sup(|x|, |y|)

よって、x → |x| は K~ の非アルキメデス的絶対値である。
よって、mod_K は K~ の絶対値 | | に拡張されることが分かった。

(続く)

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