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代数的整数論 016

223 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/01/10(日) 23:36:00
補題
K を自明でない非アルキメデス的絶対値(過去スレ006の448)をもつ可換体とする。
K の完備化を L とする。

このとき |K^*| = {|x|; x ∈ K^*} は |L^*| = {|x|; x ∈ L^*} に等しい。

証明
x を L^* の任意の元とする。
|x| > 0 だから、|x - y| < |x| となる y ∈ K がある。
>>127より、
|y| = |-y| = |x - y - x| = sup{|x - y|, |x|} = |x|

よって、|x| ∈ |K^*|
よって、|L^*| ⊂ |K^*|
逆の包含関係は明らかである。
証明終

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