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代数的整数論 016

225 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/01/11(月) 00:50:37
命題
L を p進体 Q_p の有限次拡大体とする。
このとき Q の有限次拡大体 K で以下の条件を満たすものが存在する。

1) [K : Q] = [L : Q_p]

2) L = KQ_p

3) K は L において稠密である。

証明
n = [L : Q_p] とする。
L は Q_p の分離拡大であるから、L = Q_p(α) となる α ∈ L がある。
f(X) ∈ Q_p[X] をその最小多項式とする。
f(X) の根を α_1, ..., α_n とし、α = α_1 とする。
ε = inf{|α - α_i|, i = 2, ..., n }とする。
f(X) は分離的であるから ε > 0 である。
>>219より、ある δ > 0 があり、
|f(X) - g(X)| < δ となる任意のモニックな n 次多項式 g(X) ∈ Q_p[X] に対して、
|β - α| < ε となる g(X) の根 β がある。

Q は Q_p で稠密であるから、
|g(X) - h(X)| < δ となるモニックな n 次多項式 h(X) ∈ Q[X] がある。
|f(X) - h(X)| = sup{|f(X) - g(X)|, |g(X) - h(X)|} ≦ δ
よって、初めから g(X) ∈ Q[X] と仮定してよい。

Krasnerの補題(>>220)より、Q_p(α) ⊂ Q_p(β) である。
一方、g(X) の次数は n であるから [Q_p(β) : Q_p] ≦ n である。
よって、Q_p(α) = Q_p(β) である。
よって、g(X) は既約である。
K = Q(β) とおけば、L = KQ_p である。
(続く)

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