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代数的整数論 016

233 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/01/11(月) 10:36:13
補題
任意の整数 i ≧ 0 に対して
(Q_p)~ における 1 の p^(2^i) - 1 乗根全体のなす群 Γ_i を考える。
即ち、Γ_i = {x ∈ (Q_p)~; x^(p^(2^i) - 1) = 1}
Γ_i は (Q_p)~ の有限部分群であるから過去スレ013の441より、巡回群である。
ζ_i を Γ_i の生成元とする。

0 = N_0 < N_1 < N_2 < . . . < N_1 を任意の整数列とし、
η_i = ζ_0p^(N_0) + (ζ_1)p^(N_1) + ... + (ζ_i)p^(N_i) とおく。

このとき、[Q_p(η_i) : Q_p] = 2^i である。

証明
R を Q_p(ζ_i) の最大コンパクト部分環(過去スレ013の366)とし、
P をその唯一の極大イデアル(過去スレ013の364)とする。
>>207より、Q_p(ζ_i) は Q_p の不分岐拡大であり、[Q_p(ζ_i) : Q_p] = 2^i であり、
Γ_i は (R/P)^* の完全代表系である。
0 ≦ j < i のとき p^(2^j - 1) は p^(2^i - 1) の約数である。
よって、ζ_j ∈ Γ_i である。
Q_p(ζ_i) は Q_p の不分岐拡大であるから p は Q_p(ζ_i) の素元(過去スレ013の392である。
よって、η_i = ζ_0p^(N_0) + (ζ_1)p^(N_1) + ... + (ζ_i)p^(N_i) は
η_i の Γ_i に関するp-進展開(過去スレ013の413)である。

Q_p(η_i) ≠ Q_p(ζ_i) と仮定する。
Q_p(η_i) ⊂ Q_p(ζ_i) であるから σ ∈ Aut(Q_p(ζ_i)/Q_p(η_i)) で
σ ≠ 1 となるものがある。

(続く)

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