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代数的整数論 016

253 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/01/12(火) 09:49:31
>>236の推論は間違いである。
次の補題が必要である。

補題
K を p進体 Q_p の有限次拡大とする。
R を K の最大コンパクト部分環(過去スレ013の366)とする。
ξ を R の元とし、n = [Q_p(ξ) : Q_p] とする。
R の元 x, y に対して x ≡ y (mod p^m) とは
x - y ∈ (p^m)R を意味するものとする。

このとき、整数 N ≧ 1 があり、
全てが ≡ 0 (mod p) とはならない Z_p の元の任意の列
a_(n-1), ..., a_0 に対して、
a_(n-1)ξ^(n-1) + ... + a_1ξ + a_0 ≡ 0 (mod p^N) とならない。

証明
このような整数 N が存在しないと仮定して矛盾を導く。
各整数 m ≧ 1 に対して
a_(n-1, m)ξ^(n-1) + ... + a_(1, m)ξ + a_(0, m) ≡ 0 (mod p^m) となる
Z_p の元の列 a_(n-1, m), ..., a_(0, m) で
全てが ≡ 0 (mod p) とはならないものがある。

(続く)

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