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代数的整数論 016

255 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/01/12(火) 10:02:23
>>235の修正

命題
p進体 Q_p の代数的閉包を (Q_p)~ とする。
>>199より、Q_p の絶対値 mod は (Q_p)~ の絶対値 | | に一意に拡張される。

このとき、(Q_p)~ はこの絶対値に関して完備ではない。

証明
次のような整数列 (N_i) と、
(Q_p)~ の元の列 (η_i) を帰納的に構成する。

1) 0 = N_0 < N_1 < . . .
2) η_(i+1) ≡ η_i (mod p^(N_(i+1))
3) [Q_p(η_i) : Q_p] = 2^i
4) 2^i > n > 0 となる任意の整数 n と、
全てが ≡ 0 (mod p) とはならない Z_p の元の任意有限列
a_0, ..., a_n ∈ Z_p に対して
a_n(η_i)^n + ... + a_1(η_i) + a_0 ≡ 0 (mod p^(N_(i+1)) とならない。

任意の整数 i ≧ 0 に対して
Γ_i = {x ∈ (Q_p)~; x^(p^(2^i) - 1) = 1} とおく。
ζ_i を Γ_i の生成元とする。
N_0 < N_1 < . . . < N_i が決定されたとき、
η_i = ζ_0p^(N_0) + (ζ_1)p^(N_1) + ... + (ζ_i)p^(N_i) とおく。
>>233より、[Q_p(η_i) : Q_p] = 2^i である。
>>253 より、4) を満たす N_(i+1) で N_i < N_(i+1) となるものがある。

以上から 1), 2), 3), 4) を満たす (N_i) と (Q_p)~ の元の列 (η_i) が
構成された。

(続く)

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