5ちゃんねる ★スマホ版★ ■掲示板に戻る■ 全部 1- 最新50  

■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています

代数的整数論 016

345 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/01/17(日) 10:52:42
命題
K を実数体または複素数体とする。
F を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
[a, b] を実数体の有限閉区間とし、f: [a, b] → F を連続写像とする。

Δ: a = t_0 < t_1 < . . . < t_n = b を [a, b] の分割(>>330)とする。
m(Δ) = sup{t_i - t_(i-1); i = 1, . . ., n} とおく。
各 i に対して、ξ_i ∈ [t_(i-1), t_i] をとる。
このとき列 (ξ_i), i = 1, . . ., n は Δ に属すという。

S(Δ, (ξ_i)) = Σf(ξ_i)(t_i - t_(i-1)) とおく。

このとき、任意の ε > 0 に対して δ > 0 があり、
m(Δ) < δ となる任意の Δ と Δ に属す (ξ_i) に対して
|∫[a, b] f(x) dx - S(Δ, (ξ_i))| < ε となる。

証明
[a, b] はコンパクトだから f は一様連続である。
よって、任意の ε > 0 に対して δ > 0 があり、
t, s ∈ [a, b] かつ |t - s| < δ なら |f(t) - f(s)| < ε/(b - a) となる。

このとき、m(Δ) < δ となる任意の Δ と Δ に属す (ξ_i) に対して

|∫[a, b] f(x) dx - S(Δ, (ξ_i))|
= |Σ∫[t_(i-1), t_i] f(x) dx - Σf(ξ_i)(t_i - t_(i-1))|
= |Σ∫[t_(i-1), t_i] (f(x) - f(ξ_i)) dx|
≦ Σ∫[t_(i-1), t_i] |f(x) - f(ξ_i)| dx
≦ (ε/(b - a))Σ(t_i - t_(i-1)) = ε
証明終

501 KB
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています

★スマホ版★ 掲示板に戻る 全部 前100 次100 最新50

read.cgi ver 05.04.00 2017/10/04 Walang Kapalit ★
FOX ★ DSO(Dynamic Shared Object)