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代数的整数論 016

355 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/01/17(日) 14:24:01
命題(>>345の拡張)
K を実数体または複素数体とする。
F を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
U ⊂ F を開集合とし、f: U → K を連続写像とする。
[a, b] を実数体の有限閉区間とする。
ψ: [a, b] → U を C^1 級の曲線(>>325)とする。

Δ: a = t_0 < t_1 < . . . < t_n = b を [a, b] の分割(>>330)とする。
m(Δ) = sup{t_i - t_(i-1); i = 1, . . ., n} とおく。
各 i に対して、ξ_i ∈ [t_(i-1), t_i] をとる。
このとき列 (ξ_i), i = 1, . . ., n は Δ に属すという。
S(Δ, (ξ_i)) = Σf(ψ(ξ_i))(ψ(t_i) - ψ(t_(i-1))) とおく。

このとき、任意の ε > 0 に対して δ > 0 があり、
m(Δ) < δ となる任意の Δ と Δ に属す (ξ_i) に対して
|∫[ψ] f(x) dx - S(Δ, (ξ_i))| < ε となる。

証明
>>338より、ψ は長さ(>>329) L をもつ。
[a, b] はコンパクトだから f は一様連続である。
よって、任意の ε > 0 に対して δ > 0 があり、
t, s ∈ [a, b] かつ |t - s| < δ なら |f(t) - f(s)| < ε/L となる。

このとき、m(Δ) < δ となる任意の Δ と Δ に属す (ξ_i) に対して
|∫[ψ] f(x) dx - S(Δ, (ξ_i))|
= |Σ∫[t_(i-1), t_i] f(ψ(t))ψ’(t) dt - Σf(ψ(ξ_i))(ψ(t_i) - ψ(t_(i-1)))|
= |Σ∫[t_(i-1), t_i] (f(ψ(t)) - f(ψ(ξ_i)))ψ’(t) dt| ← >>337
≦ Σ∫[t_(i-1), t_i] |f(ψ(t)) - f(ψ(ξ_i))||ψ’(t)| dt
≦ (ε/L)L = ε ← >>333>>338
証明終

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