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代数的整数論 016

359 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/01/18(月) 08:32:15
R を実数体とする。
(x_1, . . ., x_n) を R^n の標準座標系とする。
即ち、各 x_i は R^n から R への第 i 番目の射影である。

U ⊂ R^n を開集合とし、f: U → R を C^1 級の関数とする。
p ∈ U に対して、df(p) を f の p における微分、
即ち、過去スレ014の791で定義したものとする。

過去スレ015の4より、
p ∈ U、v = (v_1, . . ., v_n) ∈ K^n のとき
df(p)(v) = (∂f/∂x_1)(p)v_1 + . . ., + (∂f/∂x_n)(p)v_n

一方、v を多様体 U の p における接ベクトル
v_1(∂/∂x_1)(p) + . . ., + v_n(∂/∂x_n)(p) と同一視すると、
df(p)(v) = v(f) である。

よって、df(p) は p における余接ベクトル、即ち p における接空間 T_p(U) の
双対空間 T_p(U)^* の元である。

よって、df を U 上の1次微分形式(過去スレ014の731)とみなせる。
このとき、df = (∂f/∂x_1)dx_1 + . . ., + (∂f/∂x_n)dx_n である。

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