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代数的整数論 016

471 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/01/21(木) 20:05:28
補題
R を実数体とする。
U を R^n の連結開集合とする。
ω を M 上の連続な1次微分形式(過去スレ014の731)とする。
U 上の区分的に C^1 級の任意の閉曲線(>>455) C に対して
∫[C] ω = 0 となるとする。

このとき ω は完全(>>468)である。

証明
U の任意の点 p を固定する。
U の任意の点 x に対して f(x) = ∫[C] ω とおく。
ここで、C は p を始点とし、x を終点とする区分的に C^1 級の曲線である。
M は連結だから>>420よりこのような曲線は必ず存在する。
しかも>>470より、f(x) は C の選び方によらず p のみで定まる。

df = ω を証明すれば良い。

x_0 を U の任意の点とする。
r > 0 を V = {x ∈ R^n; |x - x_0| < r} ⊂ U となるようにとる。
|h| < r となる h ∈ R^n と t ∈ [0, 1] に対して
ψ(t) = x_0 + th とおく。
ψ: [0, 1] → V は x_0 と x_0 + h を結ぶ
C^1 級のパラメータ付き曲線(>>433)である。
ψ が定めるC^1 級の曲線(>>433)を L とおく。

p と x_0 を結ぶ区分的に C^1 級の曲線のひとつを C_0 とする。
f(x_0 + h) = ∫[C_0L] ω = ∫[C_0] ω + ∫[L] ω = f(x_0) + ∫[L] ω
よって、
f(x_0 + h) - f(x_0) = ∫[L] ω である。

(続く)

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