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代数的整数論 016

577 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/01/26(火) 16:56:33
命題(Cauchyの定理の特別な場合)
K を複素数体とする。
U ⊂ K を開集合とし、f: U → K を U 上の微分可能関数とする。
[a, b] と [c, d] を実数体 R の有限閉区間とし、B = [a, b]×[c, d] ⊂ U とする。
B の境界を C とする。
ここで、C は正の向き(反時計回り)にとる。

このとき、
∫[C] f(z) dz = 0

証明
C の長さを L とする。
∫[C] f(z) dz = I(B) とおく。

B を4等分してそれを B_1, . . ., B_4 とする。
各 B_i の正の向きの境界を C_i とする。
∫[C_i] f(z) dz = I(B_i) とおく。

>>576より、
I(B) = ΣI(B_i) である。
|I(B_i)|, i = 1, . . . 4 の最大を |I(B_j)| とする。
|I(B)| ≦ 4 |I(B_j)| である。
B_j を B(1) とおく。

B(1) を4等分して同じ操作を繰り返す。
|I(B)| ≦ 4^n |I(B(n))|, n = 1, 2, . . . となる。

B はコンパクトであるから ∩B(n) は空でない。
z_0 ∈ ∩B(n) とする。
z_0 ∈ B ⊂ U であるから f は z_0 で微分可能である。

(続く)

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