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代数的整数論 016

580 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/01/26(火) 21:34:34
命題(開円板に対するCauchyの定理)
K を複素数体とする。
c を K の元とする。
0 < r ≦ ∞ となる実数 r に対して U(c, r) = {z ∈ K; |z - c| < r} とおく。
f: U(c, r) → K を U 上の微分可能関数とする。

このとき U(c, r) における任意の区分的に C^1 級の閉曲線(>>495) C に対して、
∫[C] f(z) dz = 0 である。

証明
>>549より、f(z) が原始関数をもつことを示せばよい。

z を U(c, r) の点とする。
z ≠ c のとき c と z を対角点とする長方形 B を考える。
B は境界も含めて U(c, r) に含まれる。
c を始点とし z を終点とする U(c, r) 上の区分的に C^1 級の曲線で
B の辺を2個連結したものが2個ある。
これを C_1, C_2 とする。
>>577より
∫[C_1(C_2)^(-1)] f(z) dz = 0

一方、
∫[C_1(C_2)^(-1)] f(z) dz
= ∫[C_1] f(z) dz + ∫[(C_2)^(-1)] f(z) dz ← >>504
= ∫[C_1] f(z) dz - ∫[C_2] f(z) dz ← >>506

よって、
∫[C_1] f(z) dz = ∫[C_2] f(z) dz である。
この共通の値を g(z) とおく。
z = c のときは g(c) = 0 とする。

(続く)

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