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代数的整数論 016

582 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/01/27(水) 06:44:35
補題
K を複素数体とする。
U ⊂ K を開集合とし、f: U → K を U 上の微分可能関数とする。
0 < r_1 < r_2 < ∞ となる実数 r_1, r_2 が与えられ
{z ∈ K; |z - c| ≦ r_2} ⊂ U とする。

円 {z ∈ K; |z - c| = r_1} と {z ∈ K; |z - c| = r_2} に
それぞれ正の向きを与えた曲線を C_1, C_2 とする。

このとき、∫[C_1] f(z) dz = ∫[C_2] f(z) dz である。

証明
C_1 と C_2 に囲まれた領域 D を考える。
即ち、D = {z ∈ K; r_1 < |z - c| < r_2} ⊂ U とする。
D は x 軸で切断することにより上下2個の領域 D_1, D_2 に分割される。
D_1, D_2 のそれぞれの境界に正の向きを与えた閉曲線を Γ_1, Γ_2 とする。

∫[Γ_1] f(z) dz + ∫[Γ_2] f(z) dz = ∫[C_1] f(z) dz - ∫[C_2] f(z) dz
である。

>>580より、
∫[Γ_1] f(z) dz = 0
∫[Γ_2] f(z) dz = 0

よって、
∫[C_1] f(z) dz = ∫[C_2] f(z) dz である。
証明終

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