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代数的整数論 016

597 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/01/27(水) 20:30:25
補題
X, Y を位相空間とし、Z を一様空間(過去スレ006の194)とする。
f: X × Y → Z を連続写像とする。
a を Y の一点とする。
Z の任意の近縁 V と X の任意のコンパクト集合 K に対して
a の近傍 U が存在し、y ∈ U で、x ∈ K のとき、
(f(x, y), f(x, a)) ∈ V となる。

証明
過去スレ012の455で証明されているが改めて証明する。

V を Z の任意の近縁とし、K を X の任意のコンパクト集合とする。
W^2 ⊂ V となる対称近縁(過去スレ006の202) W をとる。
f は連続であるから、K の任意の元 x に対して x の近傍 W_x と a の近傍 U_x が
存在し、z ∈ W_x, y ∈ U_x のとき (f(z, y), f(x, a)) ∈ W となる。
K はコンパクトであるから有限個の W_(x_1), . . ., W_(x_n) で被覆される。
U = ∩U_(x_i) とおく。
y ∈ U で、x ∈ K のとき、x ∈ W_(x_i) となる i がある。
y ∈ U_(x_i) であるから (f(x, y), f(x_i, a)) ∈ W となる。
a ∈ U_(x_i) であるから (f(x, a), f(x_i, a)) ∈ W である。
よって、(f(x, y), f(x, a)) ∈ W^2 ⊂ V
証明終

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