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代数的整数論 016

604 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/01/30(土) 23:07:24
命題(>>577の拡張(Elementary theory of analytic functions by Cartan))
K を複素数体とする。
U ⊂ K を開集合とする。
c を U の点とし、f: U → K を連続関数で U - {c} 上で微分可能とする。

このとき、U に含まれる任意の長方形の境界 C に対して
∫[C] f(z) dz = 0 である。

証明
B を U に含まれる長方形とし、C をその境界に正の向きを与えた曲線とする。
B の4個の頂点を u, u + a, u + ib, u + a + ib とする。
ここで、a, b は実数で a > 0 かつ b > 0 である。

1) c ∈ U - B の場合:
>>577より∫[C] f(z) dz = 0 である。

2) c が線分 [u, u + a] にふくまれている場合:
δ > 0 を十分小さい実数とし、
u + δi, u + a + δi, u + ib, u + a + ib を4個の頂点とする長方形を B_δ とする。
B_δ の境界を C_δ とする。

後で示すように δ → 0 のとき ∫[C_δ] f(z) dz → ∫[C] f(z) dz である。
∫[C_δ] f(z) dz = 0 であるから ∫[C] f(z) dz = 0 である。

3) c が線分 [u + ib, u + a + ib] にふくまれている場合:2) と同様である。

(続く)

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