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代数的整数論 016

606 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/01/30(土) 23:17:23
>>604の 2) の δ → 0 のとき ∫[C_δ] f(z) dz → ∫[C] f(z) dz の証明

>>603の記法で、
C = [u, u + a, u + a + ib, u + ib, u]
C_δ = [u + δi, u + a + δi, u + a + ib, u + ib, u + δi]
である。
C_Δ = [u, u + a, u + a + δi, u + δi, u] とおく。

このとき、
∫[C] f(z) dz = ∫[C_δ] f(z) dz + ∫[C_Δ] f(z) dz である。

∫[C_Δ] f(z) dz
= ∫[u, u + a] f(z) dz - ∫[u + δi, u + a + δi] f(z) dz
+ ∫[u + a, u + a + δi] f(z) dz - ∫[u, u + δi] f(z) dz

I_1 = ∫[u, u + a] f(z) dz
I_2 = ∫[u + δi, u + a + δi] f(z) dz
I_3 = ∫[u + a, u + a + δi] f(z) dz
I_4 = ∫[u, u + δi] f(z) dz
とおく。

∫[C_Δ] f(z) dz = I_1 - I_2 + I_3 - I_4
よって、
|∫[C_Δ] f(z) dz| ≦ |I_1 - I_2| + |I_3| + |I_4|
この右辺の各項を評価する。

(続く)

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