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代数的整数論 016

610 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/01/31(日) 08:32:30
命題(円に対するCauchyの積分公式)
K を複素数体とする。
a を K の点とし 0 < R < ∞ となる実数 R に対して
f: U(a, R) (>>601) → K を微分可能関数とする。
0 < r < R となる任意の r をとる。

このとき、U(a, r) (>>601) の任意の点 c に対して、
f(c) = (1/2πi)∫[C] f(z)/(z - c) dz となる。

ここで、C = ∂D(a, r) (>>602) である。

証明
g: U(a, R) → K を
z ∈ U(a, R) - {c} のとき、g(z) = (f(z) - f(c))/(z - c)
z = c のとき g(c) = f’(c)
と定義する。

z → c のとき g(z) → g(c) であるから g は c で連続である。
よって、g は U(a, R) で連続である。
g は U(a, R) - {c} 上で微分可能であるから >>608 より、
∫[C] g(z) dz = 0 である。

∫[C] g(z) dz
= ∫[C] (f(z) - f(c))/(z - c) dz
= ∫[C] f(z)/(z - c) dz - ∫[C] f(c)/(z - c) dz

よって、
∫[C] f(z)/(z - c) dz = ∫[C] f(c)/(z - c) dz

(続く)

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