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代数的整数論 016

616 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/01/31(日) 09:36:46
命題(三角形に関するCauchyの定理)
K を複素数体とする。
U ⊂ K を開集合とし、f: U → K を U 上の微分可能関数とする。
Δ を有向閉三角形(>>614)とし、|Δ| (>>614) ⊂ U とする。

このとき、∫[∂Δ] f(z) dz = 0

証明
Δ の頂点を z_1, z_2, z_3 とする。
[z_1, z_2], [z_2, z_3], [z_3, z_1] の中点をそれぞれ w_1, w_2, w_3 とする。

Δを次の4個の合同な三角形に分割する。
Δ_1 = [z_1, w_1, w_3, z_1]
Δ_2 = [w_1, z_2, w_2, w_1]
Δ_3 = [w_2, z_3, w_3, w_2]
Δ_4 = [w_1, w_2, w_3, w_1]

∂Δ の長さを L とすると各∂Δ_iの長さは L/2 である。

∫[∂Δ] f(z) dz = Σ∫[∂Δ_i] f(z) dz

|∫[∂Δ_i] f(z) dz|, 1, 2, 3, 4 が最大となる Δ_i を Δ(1) と書く。
|∫[∂Δ] f(z) dz| ≦ 4|∫[∂Δ(1)] f(z) dz|

Δ(1) を再び4等分して Δ(2) を得ると、
|∫[∂Δ] f(z) dz| ≦ 4^2|∫[∂Δ(2)] f(z) dz|

この操作を続けて
|∫[∂Δ] f(z) dz| ≦ 4^n|∫[∂Δ(n)] f(z) dz|, n = 1, 2, . . .

(続く)

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