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代数的整数論 016

89 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/01/03(日) 10:02:43
命題
K を自明でない絶対値(過去スレ006の414,422)をもつ可換体とする。
E_i (1 ≦ i ≦ n) と F を K 上のノルム空間(過去スレ006の561)とする。

このとき、L(E_1, . . . , E_n; F) (>>49)と L(E_1, L(E_2, . . . , E_n; F)) は
ノルム空間として標準的に同型である。

証明
T を L(E_1, . . . , E_n; F) の任意の元とする。
x_1 ∈ E_1 のとき、S(x_1) ∈ Hom(E_2, . . . , E_n; F) を
(x_2, . . . , x_n) ∈ E_2×. . .×E_n に対して、
S(x_1)(x_2, . . . , x_n) = T(x_1, . . . , x_n) により定義する。

ここで、Hom(E_2, . . . , E_n; F) は E_2×. . .×E_n から F への
必ずしも連続とは限らない多重線型写像全体のなす線型空間である。

|S(x_1)(x_2, . . . , x_n)| = |T(x_1, . . . , x_n)| ≦ |T||x_1||x_2|. . .|x_n|

よって、|S(x_1)| ≦ |T||x_1|
よって、
S(x_1) ∈ L(E_2, . . . , E_n; F) かつ
S ∈ L(E_1, L(E_2, . . . , E_n; F))
となる。

上の不等式から |S| ≦ |T| である。

(続く)

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