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代数的整数論 016

97 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/01/03(日) 12:51:47
命題
K を自明でない絶対値(過去スレ006の414,422)をもつ可換体とする。
E_1, ..., E_n および F を K 上のノルム空間(過去スレ006の561)とする。
E = (E_1)×...×(E_n) とおく。
各 E_i は E の線型部分空間と同一視する。

f を E の点 p の近傍で定義された F に値をとる写像とする。
f は p において m 回微分可能(>>94)とする。

このとき、1 ≦ i_1, ..., i_m ≦ n となる任意の整数 i_1, ..., i_m に対して
(d^m)f(p)|E_(i_1)×...×E_(i_m) = d_(i_1)...d_(i_m)f(p)
である。

ここで、(d^m)f(p)|E_(i_1)×...×E_(i_m) は (d^m)f(p) の定義域を
E_(i_1)×...×E_(i_m) に制限した写像である。

証明
m に関する帰納法による。
m = 1 のときは>>83で証明されている。
m ≧ 2 とし、m - 1 のときは命題が成り立つと仮定する。

L_(m-1)(E, F) (>>91)の元 u の E_(i_2)×...×E_(i_m) への制限を
T(i_2, ..., i_m)(u) と書く。
即ち、T(i_2, ..., i_m)(u) = u|E_(i_2)×...×E_(i_m) である。

T(i_2, ..., i_m): L(E^(m-1); F) → L(E_(i_2),...,E_(i_m); F) は
連続な線型写像である。

(続く)

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