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代数的整数論 017

1 :132人目の素数さん:2010/01/31(日) 12:03:42
代数的整数論 017
Kummer ◆g2BU0D6YN2 が代数的整数論を語るスレです。
現在は代数的整数論の準備をしています。
代数的整数論のみに興味ある方はこのスレは必要になった段階で
参照することをお勧めします。
ただし、このスレが終了すると見れなくなる恐れがあるので、
適時チェックして内容をセーブしたほうが良いでしょう。

内容についてわからないことがあったら遠慮なく
質問してください。
その他、内容についてのご意見は歓迎します。
例えば、誤りの指摘、証明の改良など。
なお、このスレの主題に直接関係のないコメントについては
原則としてレスはしません(たとえそれが励ましの言葉であっても)。

過去スレ
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http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1262085373/

2 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/01/31(日) 12:06:59
命題(三角形に関するCauchyの定理(過去スレ016の616)の拡張)
K を複素数体とする。
U ⊂ K を開集合とする。
c を U の点とし、f: U → K を連続関数で U - {c} 上で微分可能とする。
Δ を有向閉三角形(>>614)とし、|Δ| (過去スレ016の614) ⊂ U とする。

このとき、∫[∂Δ] f(z) dz = 0

証明
Δ = Δ(z_1, z_2, z_3) (過去スレ016の614) とする。

|Δ| ⊂ U - {c} の場合は、過去スレ016の616より ∫[∂Δ] f(z) dz = 0 である。

c が Δ に含まれる場合は、
∫[∂Δ] f(z) dz
= ∫[c, z_1, z_2, c] f(z) dz
+ ∫[c, z_2, z_3, c] f(z) dz
+ ∫[c, z_3, z_1, c] f(z) dz
である。

よって、c が Δ の頂点の一つである場合に
∫[∂Δ] f(z) dz = 0 を証明すればよい。

c = z_1 と仮定して一般性を失わない。
a ∈ |[z_1, z_2]|
b ∈ |[z_1, z_3]|
a ≠ z_1
b ≠ z_1
のとき、
∫[∂Δ] f(z) dz = ∫[z_1, a, b, z_1] f(z) dz + ∫[a, z_2, z_3, b, a] f(z) dz

(続く)

3 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/01/31(日) 12:07:49
>>2の続き

[z_1, z_2] の中点を w とする。

∫[a, z_2, z_3, b, a] f(z) dz
= ∫[a, z_2, w, a] f(z) dz + ∫[b, w, z_3, b] f(z) dz + ∫[a, w, b, a] f(z) dz

この右辺の各項は、過去スレ016の616より 0 である。
よって、∫[∂Δ] f(z) dz = ∫[z_1, a, b, z_1] f(z) dz

任意の ε > 0 に対して、
|a - z_1| < ε
|b - z_1| < ε
a ≠ z_1
b ≠ z_1
となるように a, b をとる。

|a - b| ≦ |a - z_1| + |z_1 - b| < 2ε
よって、[z_1, a, b, z_1] の長さは < 4ε

|∫[∂Δ] f(z) dz|
≦ ∫[z_1, a, b, z_1] |f(z)| ds
≦ 4εM

ε > 0 はいくらでも小さく出来るから、∫[∂Δ] f(z) dz = 0
証明終

4 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/01/31(日) 12:11:46
命題(星型開集合に対するCauchyの定理(過去スレ016の620)の拡張)
K を複素数体とする。
U ⊂ K を星型(過去スレ016の618)の開集合とする。
c を U の点とし、f: U → K を連続関数で U - {c} 上で微分可能とする。

このとき U における任意の区分的に C^1 級の閉曲線(>>495) C に対して、
∫[C] f(z) dz = 0 である。

証明
>>2を使えば過去スレ016の620と同じである。

5 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/01/31(日) 12:18:28
>>4を使えば円に対するCauchyの積分公式(過去スレ016の610)の別証明が得られる。

命題(円に対するCauchyの積分公式)
K を複素数体とする。
a を K の点とし 0 < R < ∞ となる実数 R に対して
f: U(a, R) (過去スレ016の601) → K を微分可能関数とする。
0 < r < R となる任意の r をとる。

このとき、U(a, r) (過去スレ016の601) の任意の点 c に対して、
f(c) = (1/2πi)∫[C] f(z)/(z - c) dz となる。

ここで、C = ∂D(a, r) (過去スレ016の602) である。

証明
U(a, R) は星型であるから、>>4を使えば過去スレ016の610と同じである。

6 :132人目の素数さん:2010/01/31(日) 13:10:45
最近、ウンチの量が多いのだが、

何か考えられるか>クンまー

7 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/01/31(日) 13:33:55
補題
K を複素数体とする。
a ∈ K と r > 0 の対して C = ∂D(a, r) (過去スレ016の602) とおく。

このとき、U(a, r) (過去スレ016の601) の任意の点 c に対して、
∫[C] 1/(ζ - c) dζ = 2πi

証明
過去スレ016の599と過去スレ016の609より明らかであるが別証を与える。

|c - a| < r_1 < r となる r_1 > 0 をとる。

ζ ∈ |C| のとき、|(c - a)/(ζ - a)| < r_1/r < 1
よって、Σ((c - a)/(ζ - a))^n は 1/(1 - (c - a)/(ζ - a)) に収束する。
よって、
1/(ζ - c)
= (1/(ζ - a))(1/(1 - (c - a)/(ζ - a)))
= Σ(c - a)^n/(ζ - a)^(n+1)

ここで、Σ|(c - a)^n/(ζ - a)^(n+1)| ≦ (1/r)Σ(r_1/r )^n < +∞
よって、Σ(c - a)^n/(ζ - a)^(n+1) は |C| で一様収束する。
過去スレ016の563より、
∫[C] 1/(ζ - z) dζ = Σ∫[C] (c - a)^n/(ζ - a)^(n+1) dζ

n = 0 のとき過去スレ016の609より、
∫[C] (c - a)^n/(ζ - a)^(n+1) dζ = ∫[C] 1/(ζ - a) dζ = 2πi

n > 0 のとき (c - a)^n/(ζ - a)^(n+1) は原始関数をもつから
過去スレ016の549より、∫[C] (c - a)^n/(ζ - a)^(n+1) dζ = 0

よって、∫[C] 1/(ζ - a) dζ = 2πi
証明終

8 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/01(月) 08:57:12
過去スレ016の290より、収束べき級数 f(z) はその収束域で微分可能であるから
円に対するCauchyの積分公式(>>5)が成り立つ。
しかし、このことは直接に証明出来る。

9 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/01(月) 08:57:56
命題(収束べき級数に対するCauchyの積分公式)
K を複素数体とする。
f(z) = Σa_nz^n を K 係数の1変数収束べき級数、
即ち K{{X}} (過去スレ016の275) の元とする。
f の収束半径(過去スレ016の281)を R とする。
0 < r < R となる任意の r をとる。

このとき、U(0, r) (過去スレ016の601) の任意の点 c に対して、
f(c) = (1/2πi)∫[C] f(z)/(z - c) dz となる。
ここで、C = ∂D(0, r) (過去スレ016の602) である。

証明
g: U(0, R) - {c} → K を
z ∈ U(0, R) - {c} のとき、g(z) = (f(z) - f(c))/(z - c)
と定義する。

g(z) = Σa_n(z^n - c^n)/(z - c) = Σa_n(z^(n-1) + z^(n-2)c + . . . + c^(n-1))
過去スレ016の272より、Σa_nz^n は |C| 上で一様収束する。
よって、Σa_n(z^n - c^n)/(z - c) も |C| 上で一様収束する。
よって、過去スレ016の563より、
∫[C] g(z) dz = Σ∫[C] a_n(z^(n-1) + z^(n-2)c + . . . + c^(n-1)) dz である。

a_n(z^(n-1) + z^(n-2)c + . . . + c^(n-1)) は z の多項式であるから原始関数を持つ。
よって、過去スレ016の549より、
∫[C] a_n(z^(n-1) + z^(n-2)c + . . . + c^(n-1)) dz = 0 である。
よって、∫[C] g(z) dz = 0
よって、∫[C] f(z)/(z - c) dz = ∫[C] f(c)/(z - c) dz
一方、∫[C] f(c)/(z - c) dz = (2πi)f(c)I(C, c)
>>7より I(C, c) = 1 である。
よって、∫[C] f(c)/(z - c) dz = 2πif(c)
よって、f(c) = (1/2πi)∫[C] f(z)/(z - c) dz となる。
証明終

10 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/01(月) 09:49:23
補題
K を複素数体とする。
U ⊂ K を開集合とし、f: U → K を連続関数とする。
C を U における区分的に C^1 級の閉曲線(過去スレ016の495)とする。
z ∈ K - |C| (過去スレ016の550)のとき、
g(z) = ∫[C] f(ζ)/(ζ - z) dζ とおく。

このとき、g(z) は K - |C| において解析的(過去スレ016の319)である。
さらに、g^(n)(z) = n!∫[C] (f(ζ)/(ζ - z)^(n+1) dζ である。

証明
c を K - |C| の任意の点とする。
R = inf{|ζ - c|; ζ ∈ |C|} とおく。
|C| はコンパクトであるから閉集合である。
よって、R > 0 である。
明らかに U(c, R) (過去スレ016の601) ⊂ K - |C| である。

ζ ∈ |C|, z ∈ U(c, R) のとき、|(z - c)/(ζ - c)| < 1 であるから、
f(ζ)/(ζ - z) = (f(ζ)/(ζ - c))(1 - (z - c)/(ζ - c))^(-1)
= (f(ζ)/(ζ - c))Σ((z - c)/(ζ - c))^n である。

M = sup[|f(ζ)|; ζ ∈ |C|} とおく。

|(f(ζ)/(ζ - c))((z - c)/(ζ - c))^n| ≦ (M/R)(|z - c|/R)^n

よって、
(f(ζ)/(ζ - c))Σ((z - c)/(ζ - c))^n は
|C| 上で一様に f(ζ)/(ζ - z) に収束する。

(続く)

11 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/01(月) 09:50:07
>>10の続き

よって、過去スレ016の563より、
g(z) = ∫[C] f(ζ)/(ζ - z) dζ
= Σ∫[C] (f(ζ)/(ζ - c))((z - c)/(ζ - c))^n dζ
= Σ(z - c)^n ∫[C] (f(ζ)/(ζ - c)^(n+1) dζ

a_n = ∫[C] (f(ζ)/(ζ - c)^(n+1) dζ とおけば、
g(z) = Σa_n(z - c)^n

即ち、g は U(c, R) において収束べき級数 Σa_n(z - c)^n で表される。
c は K - |C| の任意の点であるから g は K - |C| 上で解析的である。
過去スレ016の307より、a_n = g^(n)(c)/n!
よって、g^(n)(c) = n!∫[C] (f(ζ)/(ζ - c)^(n+1) dζ である。
証明終

12 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/01(月) 10:01:04
定理
K を複素数体とする。
U ⊂ K を開集合とし、f: U → K を微分可能関数とする。

このとき f は U で解析的(過去スレ016の319)である。

証明
c を U の任意の点とする。
U は開集合であるから U(c, R) ⊂ U となる R > 0 がある。
0 < r < R となる任意の r をとる。
円に対するCauchyの積分公式(>>5)より、U(c, r) の任意の点 z に対して、
f(z) = (1/2πi)∫[C] f(ζ)/(ζ - z) dζ となる。
ここで、C = ∂D(c, r) (過去スレ016の602) である。

>>10より、f は U(c, r) で解析的である。
c は U の任意の点であるから f は U で解析的(過去スレ016の319)である。
証明終

13 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/01(月) 10:17:43
命題(Moreraの定理)
K を複素数体とする。
U ⊂ K を開集合とし、f: U → K を連続関数とする。
|Δ| ⊂ U となる任意の有向閉三角形(過去スレ016の614) Δ に対して、
∫[∂Δ] f(z) dz = 0 とする。

このとき、f は U 上で解析的(過去スレ016の319)である。

証明
c を U の任意の点とする。
U は開集合であるから U(c, r) ⊂ U となる r > 0 がある。
U(c, r) は星型(過去スレ016の618)であるから過去スレ016の620より、
f は U(c, r) で原始関数 g を持つ。
>>12より g は解析的である。
よって、f は U(c, r) で解析的である。

c は U の任意の点であるから f は U で解析的である。
証明終

14 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/01(月) 11:35:16
補題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のノルム空間(過去スレ006の561)とする。
U ⊂ E を開集合とし、U の境界を B とする。
即ち、U~ を U の閉包とすると、B = U~ - U である。
c を U の点とし、r = inf(|z - c|; z ∈ B} とおく。
ただし、B が空のとき r = +∞ とする。

このとき、U(c, r) (過去スレ016の601) ⊂ U である。
ただし、r = +∞ のとき、U(c, r) = E とする。

証明
B が空のときは U = U~ である。
E は凸だから連結である。
U は空でないから U = E である。
よって、この場合は本補題は成り立つ。

B が空でないとする。
U(c, r) ⊂ U でないとして矛盾を導く。

(続く)

15 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/01(月) 11:36:10
>>14の続き

z ∈ U(c, r) - U となる z がある。
|z - c| < r であるから z は B の元ではない。
よって、z ∈ E - U~ である。

t ∈ [0, 1] のとき、ψ(t) = c + t(z - c) とおく。
c ∈ U であるから 0 ∈ {t ∈ [0. 1]; ψ([0, t]) ⊂ U} である。
t_0 = sup{t ∈ [0. 1]; ψ([0, t]) ⊂ U} とおく。

ψ は連続であるから、任意の ε > 0 に対して δ > 0 があり、
t ∈ [0, 1] かつ |t - t_0| < δ なら |ψ(t) - ψ(t_0)| < ε となる。
一方、t_0 の定義より、t_0 - δ < t ≦ t_0 かつ ψ([0, t]) ⊂ U となる t がある。
|ψ(t) - ψ(t_0)| < ε だから ψ(t_0) ∈ U~ である。

ψ(t_0) ∈ U とすると、ある ε > 0 があり U(ψ(t_0), ε) ⊂ U となる。
ψ は連続であるから、δ > 0 があり
t ∈ [0, 1] かつ|t - t_0| < δ なら ψ(t) ∈ U(ψ(t_0), ε) となる。
よって、t ∈ [0, 1] かつ t_0 ≦ t < t_0 + δ のとき ψ(t) ∈ U
よって、t_1 = inf(1, t_0 + δ/2) とおくと、ψ([0, t_1]) ⊂ U である。
z = ψ(1) は U に含まれないから ψ(t_0) ∈ U より t_0 ≠ 1 である。
よって、t_0 < t_1 である。
これは t_0 = sup{t ∈ [0. 1]; ψ([0, t]) ⊂ U} に矛盾する。
よって、ψ(t_0) ∈ U~ - U = B

一方、|ψ(t_0) - c| = |t_0||z - c| < r
これは r = inf(|z - c|; z ∈ B} に矛盾である。
証明終

16 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/01(月) 11:59:09
補題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の有限次元のノルム空間(過去スレ006の561)とする。
U ⊂ E を開集合とする。
a を U の点とし、0 < r < +∞ となる r に対して
B(a, r) (過去スレ016の601) ⊂ U とする。

このとき、0 < r < r_1 < +∞ となる r_1 があり、
U(a, r_1) ⊂ U となる。

証明
U の境界を B とする。
即ち、U~ を U の閉包とすると、B = U~ - U である

B が空のときは U = U~ である。
E は凸(過去スレ008の424)だから連結である。
U は空でないから U = E である。
よって、この場合は本補題は成り立つ。

B が空でないとする。
d = inf{|x - y|; x ∈ S(a, r), y ∈ B} とおく。
B は閉集合であり、S(a, r) (過去スレ016の601) はコンパクトであるから
d > 0 である。

(続く)

17 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/01(月) 11:59:57
>>16の続き

U(a, r + d) ⊂ U を証明しよう。

x ∈ U(a, r + d) とする。
|x - a| ≦ r のときは x ∈ U であるから
r < |x - a| < r + d と仮定してよい。

t = r/|x - a| とおき、
b = a + t(x - a) とおく。
b ∈ S(a, r) である。
|x - b| = |(x - a) - t(x - a)| = |1 - t||x - a| = |x - a| - r < d

d ≦ inf{|b - y|; y ∈ B} であるから>>14より、x ∈ U である。
証明終

18 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/01(月) 12:08:35
命題(円に対するCauchyの積分公式(>>5の拡張))
K を複素数体とする。
U ⊂ E を開集合とし、f: U → K を微分可能関数とする。
a を U の点とし、0 < r < +∞ となる r に対して
B(a, r) (過去スレ016の601) ⊂ U とする。

このとき、U(a, r) (過去スレ016の601) の任意の点 c に対して、
f(c) = (1/2πi)∫[C] f(z)/(z - c) dz となる。

ここで、C = ∂D(a, r) (過去スレ016の602) である。

証明
>>16より、0 < r < R < +∞ となる R があり、
U(a, R) ⊂ U となる。
>>5より、U(a, r) の任意の点 c に対して、
f(c) = (1/2πi)∫[C] f(z)/(z - c) dz となる。
証明終

19 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/01(月) 12:18:17
命題
K を複素数体とする。
U ⊂ E を開集合とし、f: U → K を微分可能関数とする。
a を U の点とし、0 < r < +∞ となる r に対して
B(a, r) (過去スレ016の601) ⊂ U とする。

このとき、U(a, r) (過去スレ016の601) の任意の点 c に対して、
f^n(c) = (n!/2πi)∫[C] (f(ζ)/(ζ - c)^(n+1) dζ である。

ここで、C = ∂D(a, r) (過去スレ016の602) である。

証明
>>18より、U(a, r) の任意の点 c に対して、
f(c) = (1/2πi)∫[C] f(z)/(z - c) dz となる。

よって、>>10より、
f^n(c) = (n!/2πi)∫[C] (f(ζ)/(ζ - c)^(n+1) dζ である。
証明終

20 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/01(月) 12:21:33
>>19
>f^n(c) = (n!/2πi)∫[C] (f(ζ)/(ζ - c)^(n+1) dζ である。

f^(n)(c) = (n!/2πi)∫[C] (f(ζ)/(ζ - c)^(n+1) dζ である。

21 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/01(月) 12:35:52
命題(Cauchyの評価式)
K を複素数体とする。
U ⊂ E を開集合とし、f: U → K を微分可能関数とする。
a を U の点とし、0 < r < +∞ となる r に対して
B(a, r) (過去スレ016の601) ⊂ U とする。
M = sup{|f(z)|; z ∈ S(a, r) (過去スレ016の601)} とおく。
S(a, r) はコンパクトであるから M < +∞ である。

このとき、
|f^(n)(a)| ≦ n!M/r^n

証明
>>19より、
f^(n)(a) = (n!/2πi)∫[C] (f(ζ)/(ζ - a)^(n+1) dζ である。

|f^(n)(a)|
≦ (n!/2π)∫[C] |(f(ζ)/(ζ - a)^(n+1)| ds
≦ (n!/2π)M/r^(n+1)∫[C] ds
= n!M/r^n
証明終

22 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/01(月) 13:25:02
命題(Cauchyの評価式(>>21の系))
K を複素数体とする。
a を K の点とし、0 < R < +∞ となる R に対して
f: U(a, R) → K を微分可能関数とする。
sup{|f(z)|; z ∈ U(a, R)} ≦ M < +∞ とする。

このとき、
|f^(n)(a)| ≦ n!M/R^n (n = 0, 1, 2, . . .)

証明
>>21より、0 < r < R となる任意の r に対して、
|f^(n)(a)| ≦ n!M/r^n

r → R とすれば
|f^(n)(a)| ≦ n!M/R^n
証明終

23 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/01(月) 13:32:12
定義
K を複素数体とする。
f: K → K を解析関数(過去スレ016の319)とする。

このとき、f を整関数(entire function)と言う。

24 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/01(月) 13:44:39
命題(Liouvilleの定理)
有界な整関数(>>23)は定数である。

証明
sup{|f(z)|; z ∈ K} ≦ M < +∞ とする。
Cauchyの評価式(>>21)より、任意の z ∈ K と任意の R > 0 に対して
|f’(z)| ≦ M/R

R → +∞ とすれば f’(z) = 0
よって、過去スレ016の588より、f は定数である。
証明終

25 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/01(月) 14:11:47
命題(代数学の基本定理)
複素数体は代数的閉体である。

証明
K を複素数体とする。
a_0, a_1, . . ., a_n ∈ K, n ≧ 1 a_n ≠ 0 とする。
f(z) = a_0 + a_1z + . . . + a_nz^n とおく。
このとき、f(c) = 0 となる c ∈ K が存在することを証明すればよい。
このような c が存在しないとして矛盾を導く。

g(z) = 1/f(z) とおく。
仮定から g(z) は整関数である。

h(z) = f(z)/z^n とおく。
h(z) = a_0/z^n + a_1/z^(n-1) + . . . + a_(n-1)/z + a_n である。
|z| → +∞ のとき、h(z) → a_n である。
よって、|z| → +∞ のとき、|f(z)| = |(z^n)h(z)| → +∞ である。

よって、|z| → +∞ のとき、g(z) → 0 である。
よって、0 < R < +∞ となる R があり、|z| > R なら |g(z)| < 1 となる。
g(z) は連続だから |z| ≦ R のとき有界である。
よって、g は K で有界である。
よって、Liouvilleの定理(>>24)より、g は定数である。
f は定数でないから、これは矛盾である。
証明終

26 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/01(月) 15:18:58
命題(平均値の定理)
K を複素数体とする。
U ⊂ E を開集合とし、f: U → K を解析関数(過去スレ016の319)とする。
a を U の点とし、0 < R < +∞ となる R に対して
B(a, R) (過去スレ016の601) ⊂ U とする。

このとき、
f(a) = (1/2π)∫[0, 2π] f(a + Rexp(iθ)) dθ

証明
円に対するCauchyの積分公式(>>18)より、
f(a) = (1/2πi)∫[C] f(ζ)/(ζ - a) dζ となる。

ψ(θ) = a + Rexp(iθ) とおく。
ψ’(θ) = (Ri)exp(iθ) である。
よって、
f(a) = (1/2πi)∫[0, 2π] f(ψ(θ))(ψ’(θ)/(ψ(θ) - a)) dθ
= (1/2π)∫[0, 2π] f(a + Rexp(iθ)) dθ
証明終

27 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/01(月) 16:29:58
命題
K を複素数体とする。
f(z) = Σa_nz^n を K 係数の1変数収束べき級数、
即ち K{{X}} (過去スレ016の275) の元とする。
f の収束半径(過去スレ016の281)を R とする。

このとき、f は U(0, R) (過去スレ016の601) で解析的(過去スレ016の319)である。

証明
過去スレ016の290より f は U(0, R) で微分可能である。
よって、>>12より f は解析的である。
証明終

28 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/01(月) 16:40:50
>>27は自明ではない。
U(0, R) の任意の点 c に対して c_n = f^(n)(c)/n! (n = 0, 1, . . .) とおいたとき、
Σc_n(z - c)^n が収束べき級数であり、c の近傍で f(z) と一致することを
証明しなければならない。

K が実数体の場合には、>>12が使えないので別の証明方法が必要である。
後に K が実数体の場合にも通用する証明を述べる。

29 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/01(月) 16:48:40
>>19
>U ⊂ E を開集合とし、f: U → K を微分可能関数とする。

U ⊂ K を開集合とし、f: U → K を微分可能関数とする。

30 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/01(月) 18:15:07
補題
K を複素数体とする。
U ⊂ K を開集合とし、f: U → K を連続関数とする。
C を U における区分的に C^1 級の閉曲線(過去スレ016の495)とする。
z ∈ K - |C| (過去スレ016の550)のとき、
g(z) = ∫[C] f(ζ)/(ζ - z) dζ とおく。
c を K - |C| の任意の点とする。
R = inf{|ζ - c|; ζ ∈ |C|} とおく。
|C| はコンパクトであるから閉集合である。
よって、R > 0 である。
a_n = ∫[C] (f(ζ)/(ζ - c)^(n+1) dζ, n = 0, 1, 2, . . . とおく。

このとき、Σa_n(z - c)^n は U(c, R) において絶対収束し、
g(z) = Σa_n(z - c)^n となる。

証明
>>10の証明より明らかである。

31 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/01(月) 19:21:43
命題
K を実数体とする。
f(x) = Σa_nx^n を K 係数の1変数収束べき級数、
即ち K{{X}} (過去スレ016の275) の元とする。
f の収束半径(過去スレ016の281)を R とする。

このとき、f(x) = Σa_nx^n は複素数係数の1変数収束べき級数とも見なせ、
その収束半径は R に等しい。

証明
過去スレ016の281より、R = sup J(f) である。
ここで、J(f) = {r ∈ R++; Σ|a_n|r^n < ∞} である。

これより本命題の主張は明らかである。
証明終

32 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/01(月) 19:39:45
>>28
>K が実数体の場合には、>>12が使えないので別の証明方法が必要である。

次のように間接的には使える。

命題
K を実数体とする。
f(x) = Σa_nx^n を K 係数の1変数収束べき級数、
即ち K{{X}} (過去スレ016の275) の元とする。
f の収束半径(過去スレ016の281)を r とする。

このとき、f は U(0, r) = {x ∈ K; |x| < r} で解析的(過去スレ016の319)である。

証明
>>31より、f(x) = Σa_nx^n は複素数係数の1変数収束べき級数とも見なせ、
その収束半径は r に等しい。
>>27より、f(z) は D = {z ∈ C; |z| < r} で解析的である
ここで、C は複素数体を表す。

a を U(0, R) の任意の元とする。
f(z) は D = {z ∈ C; |z| < r} で解析的であるから、
収束べき級数 Σc_n(z - a)^n があり、a の C における近傍で f(z) と一致する。
過去スレ016の307より、c_n = f^(n)(a)/n! である。
a は実数であるから、c_n も実数である。
よって、f は U(0, r) で解析的である。
証明終

33 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/01(月) 20:02:05
命題(一致の定理)
K を実数体または複素数体とする。
U を K^n の連結開集合とし、f: U → K を解析関数(過去スレ016の319)とする。
a を U の点とする。
全ての α ∈ (Z+)^n に対して、 (∂^α)f(a) (過去スレ016の302) = 0 であれば
f は U で 0 である。
特に f が a のある近傍で 0 であれば f は U で 0 である。

証明
V = {x; 全ての α ∈ (Z+)^n に対して、 (∂^α)f(x) = 0} とおく。
過去スレ016の303より、各 α ∈ (Z+)^n に対して、(∂^α)f は U で微分可能である。
よって、(∂^α)f は U で連続であるから V は U の閉集合である。

a を V の任意の元とする。
過去スレ016の319より、
収束べき級数 f_a = Σc_αX^α と、a の近傍 W ⊂ U があり、
W 上の各点 x で x - a ∈ C(f_a) (過去スレ016の274) となり、
f(x) = Σc_α(x - a)^α となる。

過去スレ016の307より、任意の α ∈ (Z+)^n に対して、
c_α = (1/α!)(∂^α)f(a) である。
a ∈ V であるから c_α = 0 である。
よって、f(x) は W 上で 0 である。
よって、W ⊂ V である。
よって、V は開集合である。

U は連結であるから U = V である。
証明終

34 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/01(月) 20:59:22
定義
K を複素数体とする。
f(z) = Σa_nz^n を K 係数の1変数収束べき級数とする。
f の収束半径(過去スレ016の281)を r < +∞ とする。
c を B(0, r) (過去スレ016の601) の点とする。
c のある開近傍 V で定義される解析関数 g があり、
V ∩ U(0, r) において f = g とする。

このとき、c を f の非特異点と言う。
非特異点でない B(0, r) の点を f の特異点と言う。

>>27より、f は U(0, r) において解析的であるから
U(0, r) の各点は f の非特異点である。
よって、f の特異点はそれがあるとすれば S(0, r) (過去スレ016の601)の点である。

f の収束半径が +∞ のときは K の任意の点を f の非特異点と言う。

35 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/01(月) 22:22:34
命題
K を複素数体とする。
U ⊂ K を開集合とし、f: U → K を微分可能関数とする。
a を U の点とし、0 < r < +∞ となる r に対して
U(a, r) ⊂ U とする。

このとき、K の元 c_n, n = 0, 1, 2, . . . があり、
U(a, r) の各点で Σc_n(z - a)^n は絶対収束し、
f(z) = Σc_n(z - a)^n となる。

証明
円に対するCauchyの積分公式(>>18)より、
このとき、U(a, r) の任意の点 z に対して、
f(z) = (1/2πi)∫[C] f(ζ)/(ζ - z) dζ となる。
ここで、C = ∂D(a, r) (過去スレ016の602) である。

c_n = ∫[C] (f(ζ)/(ζ - a)^(n+1) dζ, n = 0, 1, 2, . . . とおく。
>>30より、Σc_n(z - a)^n は U(a, r) の各点 z において絶対収束し、
f(z) = Σc_n(z - a)^n となる。
証明終

36 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/01(月) 22:35:43
命題
K を複素数体とする。
f(z) = Σa_nz^n を K 係数の1変数収束べき級数とする。
f の収束半径(過去スレ016の281)を r < +∞ とする。
r < R < +∞ となる R に対して g: U(a, R) → K を任意の解析関数とする。

このとき g は U(0, r) において f と一致しない。

証明
>>35より、K の元 c_n, n = 0, 1, 2, . . . があり、
U(0, R) の各点で Σc_nz^n は絶対収束し、
g(z) = Σc_nz^n となる。
よって、Σc_nz^n の収束半径 ≧ R である。

過去スレ016の307より、c_n = (1/n!)g^(n)(0), n = 0, 1, 2, . . . である。
よって、U(0, r) において g = f とすると、
c_n = a_n, n = 0, 1, 2, . . . である。
よって、Σa_nz^n の収束半径 r ≧ R となって矛盾である。
証明終

37 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/01(月) 22:46:36
命題
K を複素数体とする。
f(z) = Σa_nz^n を K 係数の1変数収束べき級数とする。
f の収束半径(過去スレ016の281)を r < +∞ とする。

このとき f は特異点(>>34)を持つ。

証明
f が特異点を持たないとして矛盾を導く。

S(0, r) の各点 c は非特異点であるから
c の開近傍 V_c = U(c, δ_c) で定義される解析関数 g_c があり、
V_c ∩ U(0, r) において f = g_c となる。
一致の定理(>>33)より g_c は一意に決まる。

S(0, r) はコンパクトであるから有限個の U(c, (δ_c)/2) で覆われる。
よって、ρ < r < ρ’となる ρ, ρ’を r に十分近くとれば
D = {z ∈ K; ρ < |z| < ρ’} は有限個の U(c, δ_c) で覆われる。

z ∈ D のとき z ∈ U(c, δ_c) となる c がある。
g(z) = g_c(z) と定義する。
z ∈ U(c, δ_c) ∩ U(c’, δ_c’) のとき、
g_c と g_c’は U(0, r) ∩ U(c, δ_c) ∩ U(c’, δ_c’) ≠ φ で f と一致するから
一致の定理(>>33)より g_c(z) = g_c’(z) である。
よって g(z) は c の選び方によらない。
z ∈ U(0, r) のとき g(z) = f(z) と定義する。
z ∈ U(0, r) ∩ D のとき g(z) = f(z) であるからこの定義に矛盾はない。

g は U(0, r) ∪ D = U(0, ρ’) で解析的である。
これは>>36と矛盾する。
証明終

38 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/02(火) 08:36:41
補題
K を複素数体とする。
区間 [0, 2π] から K への連続関数全体を E とする。
f, g ∈ E に対して
<f, g> = ∫[0, 2π] f(θ)g(θ)~ dθ と定義する。
ここで、g(θ)~ は g(θ) の複素共役である。
E は <, > に関して K 上の分離的な前Hilbert空間(過去スレ010の598)になる。

このとき、(exp(niθ)), n ∈ Z は E の正規直交族(過去スレ014の147) である。
ここで、Z は整数全体の集合である。

証明
n ≠ 0 のとき、
∫[0, 2π] exp(niθ) dθ = 0

n = 0 のとき、
∫[0, 2π] exp(niθ) dθ = 1

<exp(niθ), exp(miθ)>
= ∫[0, 2π] exp(niθ)exp(-miθ) dθ
= ∫[0, 2π] exp((n - m)iθ) dθ

よって、
n ≠ m のとき、
<exp(niθ), exp(miθ)> = 0

n = m のとき、
<exp(niθ), exp(miθ)> = 1
証明終

39 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/02(火) 08:48:36
>>38の修正

補題
K を複素数体とする。
区間 [0, 2π] から K への連続関数全体を E とする。
f, g ∈ E に対して
<f, g> = (1/2π)∫[0, 2π] f(θ)g(θ)~ dθ と定義する。
ここで、g(θ)~ は g(θ) の複素共役である。
E は <, > に関して K 上の分離的な前Hilbert空間(過去スレ010の598)になる。

このとき、(exp(niθ)), n ∈ Z は E の正規直交族(過去スレ014の147) である。
ここで、Z は整数全体の集合である。

証明
n ≠ 0 のとき、
∫[0, 2π] exp(niθ) dθ = 0

n = 0 のとき、
∫[0, 2π] exp(niθ) dθ = 2π

<exp(niθ), exp(miθ)>
= ∫[0, 2π] exp(niθ)exp(-miθ) dθ
= ∫[0, 2π] exp((n - m)iθ) dθ

よって、
n ≠ m のとき、
<exp(niθ), exp(miθ)> = 0

n = m のとき、
<exp(niθ), exp(miθ)> = 1
証明終

40 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/02(火) 10:29:39
補題
K を実数体または複素数体とする。
X をコンパクト集合とする。
μ を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730) とする。
C(X, K) を X から K への連続関数全体とする。
f ∈ C(X, K) に対して
|f|_∞ = sup{|f(x)|; x ∈ X}
|f|_2 = (∫[X] |f(x)|^2 dμ(x))^(1/2)
とおく。

このとき、任意の f ∈ C(X, K) に対して、
|f|_2 ≦ (μ(X))^(1/2)|f|_∞

証明
∫[X] |f(x)|^2 dμ(x) ≦ (|f|_∞)^2∫[X] dμ(x) = μ(X)(|f|_∞)^2

両辺の平方根をとって、|f|_2 ≦ (μ(X))^(1/2)|f|_∞
証明終

41 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/02(火) 10:41:13
命題
K を複素数体とする。
a ∈ K, R > 0 に対して、f: U(a, R) → K を解析関数とする。
>>35より、f(z) = Σc_n(z - a)^n と書ける。

このとき、0 < r < R となる任意の r に対して
Σ|c_n|^2 r^(2n) = (1/2π)∫[0, 2π] |f(a + rexp(iθ))|^2 dθ

証明
区間 [0, 2π] から K への連続関数全体を E とする。
<f, g> = (1/2π)∫[0, 2π] f(θ)g(θ)~ dθ と定義する。
ここで、g(θ)~ は g(θ) の複素共役である。
E は <, > に関して K 上の分離的な前Hilbert空間(過去スレ010の598)になる。
f(a + rexp(iθ)) = Σc_n r^n exp(niθ) である。
過去スレ016の272より、|z| = r のとき、Σc_nz^n は一様収束
よって、Σc_n r^n exp(niθ) は [0, 2π] において一様収束する。

よって、
<f(a + rexp(iθ)), exp(niθ)>
= (1/2π)∫[0, 2π] f(a + rexp(iθ))exp(-niθ) dθ
= Σc_m (1/2π)∫[0, 2π] r^m exp((m - n)iθ) dθ
= c_nr^n
よって、
f(a + rexp(iθ))
= Σc_n r^n exp(niθ)
= Σ<f(a + rexp(iθ)), exp(niθ)>exp(niθ)

この右辺は [0, 2π] で一様かつ絶対収束する。
よって、>>40より、ノルム | |_2 に関して総和可能(過去スレ006の147)である。
よって、Parseval の等式(過去スレ014の167)より、
|c_n|^2 r^(2n) = (1/2π)∫[0, 2π] |f(a + rexp(iθ))|^2 dθ
証明終

42 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/02(火) 10:51:30
命題(Gutzmerの不等式)
K を複素数体とする。
a ∈ K, R > 0 に対して、f: U(a, R) → K を解析関数とする。
>>35より、f(z) = Σc_n(z - a)^n と書ける。
M = sup{|f(z)|; z ∈ U(a, R)} < +∞ とする。

このとき、
Σ|c_n|^2 R^(2n) ≦ M^2

証明
このとき、0 < r < R となる任意の r に対して
(1/2π)∫[0, 2π] |f(a + rexp(iθ))|^2 dθ ≦ M^2

>>41より、
Σ|c_n|^2 r^(2n) ≦ M^2

Σ|c_n|^2 r^(2n) の k 項までの有限和を S(k, r) とおく。
S(k, r) ≦ Σ|c_n|^2 r^(2n) であるから
S(k, r) ≦ M^2 である。

r → R とすると
S(k, R) ≦ M^2 である。
よって、k → +∞ として Σ|c_n|^2 R^(2n) ≦ M^2
証明終

43 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/02(火) 11:18:15
命題(最大値の原理の特殊な場合)
K を複素数体とする。
a を K の点とし、0 < R < +∞ となる R に対して
f: U(a, R) → K を解析関数とする。
M = sup{|f(z)|; z ∈ U(a, R)} < +∞ とする。
Cauchyの評価式(>>22)または平均値の定理(>>26)より、|f(a)| ≦ M である。

このとき、|f(a)| = M であれば f は定数である。

証明
>>35より、f(z) = Σc_n(z - a)^n と書ける。

Gutzmerの不等式(>>42)より、
Σ|c_n|^2 R^(2n) ≦ M^2

|f(a)| = |c_0| = M であるから
n ≧ 1 のとき c_n = 0 でなければならない。
よって、f は定数 c_0 である。
証明終

44 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/02(火) 14:17:22
命題(最大値の原理)
K を複素数体とする。
D を K の連結開集合とする。
f: D → K を解析関数とする。
a を D の点とし、U(a, r) ⊂ D とする。

このとき、U(a, r) の各点 z で |f(z)| ≦ |f(a)| であれば f は D で定数である。

証明
>>43より、f は U(a, r) で定数である。
よって、一致の定理(>>33)より f は D で定数である。
証明終

45 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/02(火) 17:20:35
命題(>>43の別証(Titchmarsh: the theory of functions))
K を複素数体とする。
a を K の点とし、0 < R < +∞ となる R に対して
f: U(a, R) → K を解析関数とする。
M = sup{|f(z)|; z ∈ U(a, R)} < +∞ とする。
Cauchyの評価式(>>22)または平均値の定理(>>26)より、|f(a)| ≦ M である。

このとき、|f(a)| = M であれば f は定数である。

証明
0 < r < R < +∞ となる r に対して
平均値の定理(>>26)より、
f(a) = (1/2π)∫[0, 2π] f(a + r exp(iθ)) dθ
よって、
M = |f(a)| ≦ (1/2π)∫[0, 2π] |f(a + r exp(iθ))| dθ ≦ M
よって、(1/2π)∫[0, 2π] |f(a + r exp(iθ))| dθ = M

よって、M - |f(a + r exp(iθ))|) ≧ 0 かつ、
(1/2π)∫[0, 2π] (M - |f(a + r exp(iθ))|) dθ = 0

よって、全ての θ ∈ [0, 2π] で |f(a + r exp(iθ))| = M
r は任意だから U(a, R) において |f(z)| = M である。

(続く)

46 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/02(火) 17:21:19
>>45の続き

f(a) = 0 なら M = 0 となり f は定数 0 である。
よって、f(a) ≠ 0 と仮定する。

平均値の定理(>>26)より、
1 = (1/2π)∫[0, 2π] f(a + r exp(iθ))/f(a) dθ

両辺の実部をとって、
1 = (1/2π)∫[0, 2π] Re(f(a + r exp(iθ))/f(a)) dθ

一方、Re(f(a + r exp(iθ))/f(a)) ≦ |f(a + r exp(iθ))/f(a)| = 1
よって、1 - Re(f(a + r exp(iθ))/f(a)) ≧ 0 かつ、
(1/2π)∫[0, 2π] (1 - Re(f(a + r exp(iθ))/f(a))) dθ = 0

よって、全ての θ ∈ [0, 2π] で Re(f(a + r exp(iθ))/f(a)) = 1

一方、|f(a + r exp(iθ))/f(a)| = 1 だから f(a + r exp(iθ))/f(a) = 1
よって、f(a + r exp(iθ)) = f(a)
r は任意だから U(a, R) において f(z) = f(a) である。
証明終

47 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/02(火) 17:43:15
命題(>>43の別証(杉浦:解析入門))
K を複素数体とする。
a を K の点とし、0 < R < +∞ となる R に対して
f: U(a, R) → K を解析関数とする。
M = sup{|f(z)|; z ∈ U(a, R)} < +∞ とする。
Cauchyの評価式(>>22)または平均値の定理(>>26)より、|f(a)| ≦ M である。

このとき、|f(a)| = M であれば f は定数である。

証明
0 < r < R < +∞ となる r に対して
平均値の定理(>>26)より、
f(a) = (1/2π)∫[0, 2π] f(a + r exp(iθ)) dθ
よって、
M = |f(a)| ≦ (1/2π)∫[0, 2π] |f(a + r exp(iθ))| dθ ≦ M
よって、(1/2π)∫[0, 2π] |f(a + r exp(iθ))| dθ = M

よって、M - |f(a + r exp(iθ))|) ≧ 0 かつ、
(1/2π)∫[0, 2π] (M - |f(a + r exp(iθ))|) dθ = 0

よって、全ての θ ∈ [0, 2π] で |f(a + r exp(iθ))| = M
r は任意だから U(a, R) において |f(z)| = M である。

(続く)

48 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/02(火) 17:44:15
>>47の続き

M = 0 なら命題は明らかだから M ≠ 0 とする。

P = Re(f)
Q = Im(f)
とおく。

|f(z)|^2 = P^2 + Q^2 = M^2

両辺を x および y に関して偏微分して、
P(∂P/∂x) + Q(∂Q/∂x) = 0
P(∂P/∂y) + Q(∂Q/∂y) = 0

これを P, Q を未知数とする連立方程式と見る。
M ≠ 0 だから U(a, R) の各点 z で P^2 + Q^2 = |f(z)|^2 = M^2 ≠ 0 である。
よって、U(a, R) の各点で (∂P/∂x)(∂Q/∂y) - (∂P/∂y)(∂Q/∂x) = 0

一方、Cauchy-Riemannの関係式(過去スレ016の482)より、

∂P/∂x = ∂Q/∂y
∂P/∂y = -∂Q/∂x

よって、(∂P/∂x)^2 + (∂P/∂y)^2 = 0
よって、
∂P/∂x = 0
∂P/∂y = 0

よって、f’(z) = ∂P/∂x - ∂P/∂y = 0
よって、過去スレ016の588より、f は定数である。
証明終

49 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/03(水) 08:08:18
命題
K を複素数体とする。
D ⊂ K を連結開集合とし、f: D → K を解析関数(過去スレ016の319)とする。
f は恒等的には 0 でないとする。
a ∈ D において f(a) = 0 とする。

このとき、整数 k ≧ 1 と
D において f(z) = ((z - a)^k)g(z) となる解析関数 g: D → K で
g(a) ≠ 0 となるものが一意に存在する。

証明
f(z) = ((z - a)^k)g(z), g(a) ≠ 0
f(z) = ((z - a)^k)h(z), h(a) ≠ 0
となる D 上の解析関数 g, h があるとする。
z ≠ a のとき g(z) = h(z) = f(z)/(z - a)^k である。
g と h は a で連続であるから g(a) = h(a) である。
よって、D の各点 z で g(z) = h(z) となり一意性が証明された。

次に g の存在を証明する。
f は解析関数であるから a の開近傍 V ⊂ D で f(z) = Σc_n(z - a)^n となる。
f(a) = 0 で f は恒等的には 0 でないから>>33より、
c_0 = . . . = c_(k-1) = 0, c_k ≠ 0 となる整数 k ≧ 1 がある。

V において h(z) = Σ[n ≧ k] c_n(z - a)^(n-k) は解析関数を表し、
f(z) = ((z - a)^k)h(z) かつ h(a) = c_k である。

g: D → K を z ∈ D - {a} のとき f(z)/(z - a)^k
z = a のとき g(z) = c_k と定義する。

V において g = h であるから g は a で微分可能である。
よって、g は命題の条件を満たす。
証明終

50 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/03(水) 08:16:52
定義
K を複素数体とする。
D ⊂ K を連結開集合とし、f: D → K を解析関数(過去スレ016の319)とする。
f は恒等的には 0 でないとする。
a ∈ D において f(a) = 0 とすると、>>49の整数 k が一意に定まる。

このとき、a を f の k 位の零点という。
また a は f の位数 k の零点ともいう。

51 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/03(水) 08:23:04
命題
K を複素数体とする。
D ⊂ K を連結開集合とし、f: D → K を解析関数(過去スレ016の319)とする。
f は恒等的には 0 でないとする。

このとき f の全ての零点 a は孤立している。
即ち、a の近傍 V ⊂ D があり、z ∈ V - {a} のとき f(z) ≠ 0 となる。

証明
>>49より、整数 k ≧ 1 と
D において f(z) = ((z - a)^k)g(z) となる解析関数 g: D → K で
g(a) ≠ 0 となるものが一意に存在する。

g(a) ≠ 0 だから a の近傍 V ⊂ D があり、z ∈ V のとき g(z) ≠ 0 となる。
このとき、z ∈ V - {a} のとき f(z) ≠ 0 となる。
証明終

52 :132人目の素数さん:2010/02/03(水) 08:47:06
過去スレをどこかにアップしてもらえませんか?
せっかくなのに読めないんですよ

53 :132人目の素数さん:2010/02/03(水) 08:48:22
>>51の証明でgの一意性は不要ですね

54 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/03(水) 11:41:46
定義
K を複素数体とする。
C_1, . . ., C_n を K における C^1 級の曲線(過去スレ016の492)とする。
ψ_i: [a_i, b_i] → K を C_i の代表とする。
f : |C_1|×. . .×|C_n| → K を連続関数とする。

I_i = [a_i, b_i], i = 1, ..., n
t = (t_1, ..., t_n) ∈ (I_1)×...×(I_n) のとき
ψ(t) = (ψ_1(t_1), ..., ψ_n(t_n))
とおく。

このとき、∫ [C_1×...×C_n] f(z_1, ..., z_n) dz_1...dz_n を
∫[C_1×...×C_n] f(z_1, ..., z_n) dz_1. . .dz_n
= ∫[(I_1)×...×(I_n)] f(ψ(t))(ψ_1)’(t_1)...(ψ_n)’(t_n) dt_1...dt_n
で定義する。

t → f(ψ(t))(ψ_1)’(t_1)...(ψ_n)’(t_n) は連続であるから右辺は通常の重積分である。
これが各 ψ_i の取り方によらないことは、過去スレ016の501と同様にして証明される。

55 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/03(水) 11:53:47
>>53
当然不要です。>>49をそのまま引用したわけです。


56 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/03(水) 12:36:32
命題(多変数のCauchyの積分公式)
K を複素数体とする。
U ⊂ K^n を開集合とし、f: U → K を微分可能(過去スレ016の35)とする。
a = (a_1, ..., a_n) ∈ U とし、
B(a_1, r_1)×...×B(a_n, r_n) (過去スレ016の601) ⊂ U とする。
各 B(a_i, r_i) の境界(円周)に正の向きを付けた曲線を C_i とする。
Γ = C_1×...×C_n とおく。

このとき、任意の z ∈ U(a_1, r_1)×...×U(a_n, r_n) (過去スレ016の601) に対して
f(z) =
(1/2πi)^n∫[Γ]f(ζ_1, ..., ζ_n)/(ζ_1 - z_1)...(ζ_n - z_n)dζ_1. . .dζ_n

証明
記述を簡単にするため n = 2 として証明する。

過去スレ016の57より、f は連続である。
さらに過去スレ016の83より、∂f/∂z_1, ∂f/∂z_2 が存在する。
1変数のCauchyの積分公式(>>18)より、

(z_1, z_2) ∈ U(a_1, r_1)×U(a_2, r_1) のとき、
f(z_1, z_2) = (1/2πi)∫[C_1]f(ζ_1, z_2)/(ζ_1 - z_1) dζ_1

ζ_1 ∈ |C_2|, z_2 ∈ U(a_2, r_1) のとき、>>18より、
f(ζ_1, z_2) = (1/2πi)∫[C_2]f(ζ_1, ζ_2)/(ζ_2 - z_2) dζ_2

よって、
f(z_1, z_2) =
(1/2πi)^2∫[C_1] dζ_1∫[C_2]f(ζ_1, ζ_2)/(ζ_1 - z_1)(ζ_2 - z_2) dζ_2

f は連続であるからこの右辺は
(1/2πi)^2∫[Γ] f(ζ_1, ζ_2)/(ζ_1 - z_1)(ζ_2 - z_2) dζ_1dζ_2
証明終

57 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/03(水) 12:38:11
>>56
>ζ_1 ∈ |C_2|, z_2 ∈ U(a_2, r_1) のとき、>>18より、

ζ_1 ∈ |C_1|, z_2 ∈ U(a_2, r_2) のとき、>>18より、

58 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/03(水) 13:07:31
>>10の補足
>C を U における区分的に C^1 級の閉曲線(過去スレ016の495)とする。

>>10の証明からわかるように C は閉曲線でなくとも良い。

59 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/03(水) 13:36:02
ζ = (ζ_1, ..., ζ_n)
z = (z_1, ..., z_n)
α = (a_1, ..., a_n) ∈ (Z+)^n
のとき多重指数の記法(過去スレ016の294)で
(ζ - z)^α = (ζ_1 - z_1)^(a_1)...(ζ_n - z_n)^(a_n) である。

特に、ι = (1, ..., 1) ∈ (Z+)^n のとき、
(ζ - z)^ι = (ζ_1 - z_1)...(ζ_n - z_n)

dζ = dζ_1. . .dζ_n とおく。

このとき、多変数のCauchyの積分公式(>>56)は、
f(z) = (1/2πi)^n∫[Γ] f(ζ)/(ζ - z)^ι dζ
と書ける。

60 :132人目の素数さん:2010/02/03(水) 13:37:46
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61 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/03(水) 17:06:06
定義
K を複素数体とする。
C_1, . . ., C_n を K における C^1 級の曲線(過去スレ016の492)とする。
ψ_i: [a_i, b_i] → K を C_i の代表とする。
f : |C_1|×. . .×|C_n| → K を連続関数とする。

I_i = [a_i, b_i], i = 1, ..., n
t = (t_1, ..., t_n) ∈ (I_1)×...×(I_n) のとき
ψ(t) = (ψ_1(t_1), ..., ψ_n(t_n))
とおく。

このとき、∫ [C_1×...×C_n] f(z_1, ..., z_n) |dz_1|...|dz_n| を
∫[C_1×...×C_n] f(z_1, ..., z_n) |dz_1|...|dz_n|
= ∫[(I_1)×...×(I_n)] f(ψ(t)) |(ψ_1)’(t_1)...(ψ_n)’(t_n)| dt_1...dt_n
で定義する。

t → f(ψ(t))|(ψ_1)’(t_1)...(ψ_n)’(t_n)| は連続であるから右辺は通常の重積分である。
これが各 ψ_i の取り方によらないことは、過去スレ016の569と同様にして証明される。

62 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/03(水) 17:20:36
命題
K を複素数体とする。
C_1, . . ., C_n を K における C^1 級の曲線(過去スレ016の492)とする。
f : |C_1|×. . .×|C_n| → K を連続関数とする。

C = C_1×...×C_n
dz = dz_1...dz_n
|dz| = |dz_1|...|dz_n|
とおく。

このとき、
|∫ [C] f(z) dz| ≦ ∫[C] |f(z)||dz|

ここで、∫ [C] f(z) dz は>>54で定義され、
∫[C] |f(z)||dz| は>>61で定義されたものである。

証明
定義(>>54>>61)と積分の性質(過去スレ008の359)より明らかである。

63 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/03(水) 17:28:52
命題
K を複素数体とする。
C_1, . . ., C_n を K における C^1 級の曲線(過去スレ016の492)とする。

f_n: |C_1|×. . .×|C_n| → K, n = 1, 2, . . . を連続関数の列とし、
lim f_n = f (一様収束) とする。

このとき、
∫ [C] f(z) dz = lim ∫ [C] f_n(z) dz

ここで、
C = C_1×...×C_n
dz = dz_1...dz_n

証明
過去スレ016の552より f は連続である。
よって、命題は>>62より明らかである。

64 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/03(水) 18:22:57
>>63
>過去スレ016の552より f は連続である。

過去スレ016の552を持ち出すまでもなく f が連続になるのは周知である。


65 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/03(水) 18:43:05
>>64
周知であるが証明しておく。

命題
X を位相空間とし Y を一様空間(過去スレ006の194)とする。
(f_n), n = 1, 2, . . . を X から Y への連続写像の列とする。
f を X から Y への写像で lim f_n = f (一様収束) とする。

このとき f は連続である。

証明
x_0 を X の点とする。

Y の任意の近縁 V に対して W^3 ⊂ V となる対称近縁(過去スレ006の202) W をとる。
このとき整数 n_0 ≧ 1 があり、
n ≧ n_0 なら (f(x), f_n(x)) ∈ W が任意の x ∈ X で成り立つ。

n ≧ n_0 となる n を固定する。
f_n は x_0 で連続であるから x_0 の近傍 U があり、x ∈ U なら
(f_n(x), f_n(x_0)) ∈ W となる。

よって、x ∈ U のとき
(f(x), f_n(x)) ∈ W
(f_n(x), f_n(x_0)) ∈ W
(f_n(x_0), f(x_0)) ∈ W
となる。
よって、
(f(x), f(x_0)) ∈ W^3 ⊂ V

よって、fは x_0 で連続である。
証明終

66 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/04(木) 02:11:16
補題(>>10の多変数版)
K を複素数体とする。
C_1, . . ., C_n を K における C^1 級の曲線(過去スレ016の492)とする。
C = C_1×...×C_n, |C| = |C_1|×...×|C_n| とおく。
f : |C| → K を連続関数とする。

c ∈ K^n - |C| に対して、
>>59の記法で
g(z) = ∫[C] f(ζ)/(ζ - z)^ι dζ とおく。
ここで、ι = (1, ..., 1) ∈ (Z+)^n

このとき、g(z) は K^n - |C| において解析的(過去スレ016の319)である。
さらに、任意の α ∈ (Z+)^n に対して、
(∂^α)g(z) = α!∫[C] f(ζ)/(ζ - z)^(α + ι) dζ

ここで、∂^α の記法については過去スレ016の302を参照。

証明
c = (c_1, ..., c_n) を K^n - |C| の任意の点とする。
R_i = inf{|ζ - c_i|; ζ ∈ |C_i|} とおく。
明らかに U(c_i, R_i) (過去スレ016の601) ⊂ K - |C_i| である。
U = U(c_1, R_1)×...×U(c_n, R_n) とおく。

ζ ∈ |C|, z ∈ U のとき、|(z_i - c_i)/(ζ_i - c_i)| < 1, i = 1, . . ., n
よって、
f(ζ)/(ζ - z)^ι
= (f(ζ)/Π(ζ_i - c_i))Π(1 - (z_i - c_i)/(ζ_i - c_i))^(-1)
= (f(ζ)/Π(ζ_i - c_i))ΠΣ((z_i - c_i)/(ζ_i - c_i))^(α_i) である。
= Σ(f(ζ)/(ζ - c)^(α + 1))(z - c)^α

(続く)

67 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/04(木) 02:11:59
>>66の続き

M = sup[|f(ζ)|; ζ ∈ |C|} とおく。

|(f(ζ)/(ζ - c)^(α + 1))(z - c)^α| ≦ (M/ΠR_i)Π(|z_i - c_i|/R_i)^(α_i)

よって、
Σ(f(ζ)/(ζ - c)^(α + 1))(z - c)^α は
|C| 上で一様に f(ζ)/(ζ - z)^ι に収束する。

>>63より、
g(z) = ∫[C] f(ζ)/(ζ - z)^ι dζ
= Σ∫[C] (f(ζ)/(ζ - c)^(α + 1))(z - c)^α dζ
= Σ(z - c)^α∫[C] (f(ζ)/(ζ - c)^(α+1) dζ

c_α = ∫[C] (f(ζ)/(ζ - c)^(α+1) dζ とおけば、
g(z) = Σc_α(z - c)^α

即ち、g は U において収束べき級数 Σc_α(z - c)^α で表される。
c は K^n - |C| の任意の点であるから g は K^n - |C| 上で解析的である。
過去スレ016の307より、c_α = (∂^α)g(c)/α!
よって、(∂^α)g(c) = α!∫[C] (f(ζ)/(ζ - c)^(α+1) dζ である。
証明終

68 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/04(木) 02:15:09
>>67
α+1 は α+ι の間違いである。


69 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/04(木) 02:27:24
定理(>>12の多変数版)
K を複素数体とする。
U ⊂ K^n を開集合とし、f: U → K を微分可能(過去スレ016の35)とする。

このとき f は U で解析的(過去スレ016の319)である。

証明
c を U の任意の点とする。
U は開集合であるから U(c_1, R_1)×...×U(c_n, R_n) ⊂ U となる
R_i > 0, i = 1, . . ., n がある。
0 < r_i < R_i となる任意の r_i, i = 1, . . ., n をとる。
多変数のCauchyの積分公式(>>56)より、U(c_1, r_1)×...×U(c_n, r_n) の
任意の点 z に対して、
f(z) = (1/2πi)^n∫[C] f(ζ)/(ζ - z)^ι dζ となる。
ここで、各 B(a_i, r_i) の境界(円周)に正の向きを付けた曲線を C_i としたとき、
C = C_1×...×C_n である。

>>66より、f は U(c_1, R_1)×...×U(c_n, R_n) で解析的である。
c は U の任意の点であるから f は U で解析的である。
証明終

70 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/04(木) 02:54:46
K を複素数体とする。
U ⊂ K を開集合とし、z = x + iy を U の座標関数とする。
dz = dx + idy
dz~ = dx - idy
と定義する。
ここで、z~ は z の共役である。

dz + dz~ = 2dx
dz - dz~ = 2idy

dx = (dz + dz~)/2
dy = (dz - dz~)/2i

f を U 上の C^1 級の複素数値関数とする。
df = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy と定義する。

df = (∂f/∂x)(dz + dz~)/2 + (∂f/∂y)(dz - dz~)/2i
= ((∂f/∂x - i∂f/∂y)/2)dz + ((∂f/∂x + i∂f/∂y)/2)dz~

よって、
∂f/∂z = (∂f/∂x - i∂f/∂y)/2
∂f/∂z~ = (∂f/∂x + i∂f/∂y)/2
と定義する。

このとき、
df = (∂f/∂z)dz + (∂f/∂z~)dz~
である。

f が C^1 級でなくても ∂f/∂x と ∂f/∂y が存在するとき
∂f/∂z = (∂f/∂x - i∂f/∂y)/2
∂f/∂z~ = (∂f/∂x + i∂f/∂y)/2
と定義する。

71 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/04(木) 04:54:41
命題
K を複素数体とする。
U ⊂ K を開集合とし、f: U → K を U 上の複素数値関数とする。
f(z) = P(x, y) + Q(x, y)i とする。
ここで、z = x + iy で P, Q は U 上の実数値関数である。

f が c ∈ U で微分可能(過去スレ016の35)であるためには
P と Q がそれぞれ c で微分可能で
Cauchy-Riemannの関係式(過去スレ016の482)
(∂P/∂x)(c) = (∂Q/∂y)(c)
(∂P/∂y)(c) = -(∂Q/∂x)(c)
を満たすことが必要十分である。

証明
必要性は過去スレ016の482で証明されている。

P と Q がそれぞれ c で微分可能で
Cauchy-Riemannの関係式を満たすとする。

(∂P/∂x)(c) = α、(∂Q/∂x)(c) = β とおく。
Cauchy-Riemannの関係式より、
(∂P/∂y)(c) = -β
(∂Q/∂y)(c) = α
である。

(続く)

72 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/04(木) 04:55:44
>>71の続き

u = h + ki を |u| が十分小さい複素数とする。
P と Q がそれぞれ c で微分可能であるから、
u ≠ 0, u → 0 のとき
lim |P(c + u) - P(c) - (αh - βk)|/|u| = 0
lim |Q(c + u) - Q(c) - (βh + αk)|/|u| = 0
である。

(α + iβ)u = αh - βk + i(βh + αk)
よって、
f(c + u) - f(c) - (α + iβ)u
= P(c + u) - P(c) - (αh - βk) + i(Q(c + u) - Q(c) - (βh + αk))

よって、u ≠ 0 のとき
|f(c + u) - f(c) - (α + iβ)u|/|u|
≦ |P(c + u) - P(c) - (αh - βk)|/|u| + |Q(c + u) - Q(c) - (βh + αk)|/|u|

よって、
u ≠ 0, u → 0 のとき
lim |f(c + u) - f(c) - (α + iβ)u|/|u| = 0

よって、f(z) は z = c で微分可能である。
証明終

73 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/04(木) 05:18:32
多変数のCauchyの積分公式(>>56)はその証明から
f が連続で各 ∂f/∂z_i が存在すれば成り立つ。
よって、>>69はこの場合にも成り立つ。

74 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/04(木) 05:20:21
命題
K を複素数体とする。
U ⊂ K を開集合とし、f: U → K を U 上の複素数値関数とする。

f が c ∈ U で微分可能(過去スレ016の35)であるためには
P と Q がそれぞれ c で微分可能で
(∂f/∂z~)(c) = 0 となることが必要十分である。

証明
>>71と次の等式から明らかである。

∂f/∂z~ = (∂f/∂x + i∂f/∂y)/2
= ∂P/∂x - ∂Q/∂y +i(∂Q/∂x - ∂P/∂y)
証明終

75 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/04(木) 08:05:23
定義
K を複素数体とする。
U ⊂ K^n を開集合とし、z = (z_1, .., z_n) を U の座標関数とする。
z_i = x_i + y_i√(-1) とする。
dz_i = dx_i + dy_i√(-1)
d(z_i)~ = dx_i - dy_i√(-1)
と定義する。
ここで、(z_i)~ は z_i の共役である。

dz_i + d(z_i)~ = 2dx_i
dz_i - d(z_i)~ = 2dy_i√(-1)
よって、
dx_i = (dz_i + d(z_i)~)/2
dy_i = (dz_i - d(z_i)~)/2√(-1)

f を U 上の複素数値関数で、∂f/∂x_i, ∂f/∂y_i が存在し連続であるとする。
df = Σ(∂f/∂x_i)dx_i + Σ(∂f/∂y_i)dy_i と定義する。
df = Σ(∂f/∂x_i)(dz_i + d(z_i)~)/2 + Σ(∂f/∂y_i)(dz_i - d(z_i)~)/2√(-1)
= (1/2)Σ(∂f/∂x_i - √(-1)∂f/∂y_i)dz_i
+ (1/2)Σ(∂f/∂x_i + √(-1)∂f/∂y_i)d(z_i)~

よって、
∂f/∂z_i = (∂f/∂x_i - √(-1)∂f/∂y_i)/2
∂f/∂(z_i)~ = (∂f/∂x_i + √(-1)∂f/∂y_i)/2
と定義する。

このとき、df = Σ(∂f/∂z_i)dz_i + Σ(∂f/∂(z_i)~)d(z_i)~ である。

∂f/∂x_i, ∂f/∂y_i が連続でなくても ∂f/∂x_i と ∂f/∂y_i が存在するとき
∂f/∂z_i = (∂f/∂x_i - √(-1)∂f/∂y_i)/2
∂f/∂(z_i)~ = (∂f/∂x_i + √(-1)∂f/∂y_i)/2
と定義する。

76 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/04(木) 08:55:14
命題
K を複素数体とする。
U ⊂ K^n を開集合とし、f: U → K を関数とする。
f(z) = P(z) + iQ(z) とする。

f が c ∈ U で微分可能であるためには
P と Q が c で微分可能で各 i に対して
(∂P/∂x_i)(c) = (∂Q/∂y_i)(c)
(∂P/∂y_i)(c) = -(∂Q/∂x_i)(c)
となることが必要十分である。

証明
必要性:
f が微分可能であるとする。
df(c): K^n → K は線型写像である。
df(c)(z_1, . . ., z_n) = γ_1z_1 + . . . + γ_nz_n とする。
γ_i = α_i + √(-1)β_i, i = 1, ..., n とおく。
u = (u_1, ..., u_n) ∈ K^n を |u| が十分小さい元とし、
u_i = h_i + k_i√(-1) とおく。

df(c)(u) = Σγ_iu_i = Σ(α_i + √(-1)β_i)(h_i + √(-1)k_i)
= Σ(α_ih_i - β_ik_i) + √(-1)Σ(β_ih_i + α_ik_i)

f(c + u) - f(c) - df(c)u
= P(c + u) - P(c) - Σ(α_ih_i - β_ik_i)
+ √(-1)(Q(c + u) - Q(c) - Σ(β_ih_i + α_ik_i))

(続く)

77 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/04(木) 08:56:12
>>76の続き

よって、u ≠ 0 のとき、
|P(c + u) - P(c) - Σ(α_ih_i - β_ik_i)|/|u|
≦ |f(c + u) - f(c) - df(c)u|/|u|

|Q(c + u) - Q(c) - Σ(β_ih_i + α_ik_i)|/|u|
≦ |f(c + u) - f(c) - df(c)u|/|u|

よって、u → 0 のとき
lim |P(c + u) - P(c) - Σ(α_ih_i - β_ik_i)|/|u| = 0
lim |Q(c + u) - Q(c) - Σ(β_ih_i + α_ik_i)|/|u| = 0

よって、P と Q は c で微分可能である。
z_i = x_i + y_i√(-1) とおく。
(∂P/∂x_i)(c) = α_i
(∂P/∂y_i)(c) = -β_i
(∂Q/∂x_i)(c) = β_i
(∂Q/∂y_i)(c) = α_i
よって、
(∂P/∂x_i)(c) = (∂Q/∂y_i)(c)
(∂P/∂y_i)(c) = -(∂Q/∂x_i)(c)

(続く)

78 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/04(木) 08:57:17
>>77の続き

十分性:
P と Q が c で微分可能で各 i に対して
(∂P/∂x_i)(c) = (∂Q/∂y_i)(c)
(∂P/∂y_i)(c) = -(∂Q/∂x_i)(c)
となるとする。

(∂P/∂x_i)(c) = α_i、(∂Q/∂x_i)(c) = β_i とおく。
このとき
(∂P/∂y_i)(c) = -β_i
(∂Q/∂y_i)(c) = α_i
である。

u = (u_1, ..., u_n) ∈ K^n を |u| が十分小さい元とし、
u_i = h_i + k_i√(-1) とおく。

P と Q がそれぞれ c で微分可能であるから、
u ≠ 0, u → 0 のとき
lim |P(c + u) - P(c) - Σ(α_ih_i - β_ik_i)|/|u| = 0
lim |Q(c + u) - Q(c) - Σ(β_ih_i + α_ik_i)|/|u| = 0
である。

(続く)

79 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/04(木) 08:58:01
>>78の続き

(α_i + β_i√(-1))u_i = α_ih_i - β_ik_i + √(-1)(β_ih_i + α_ik_i)

よって、
f(c + u) - f(c) - Σ(α_i + β_i√(-1))u_i
= P(c + u) - P(c) - Σ(α_ih_i - β_ik_i)
+ √(-1)(Q(c + u) - Q(c) - Σ(β_ih_i + α_ik_i))

よって、u ≠ 0 のとき
|f(c + u) - f(c) - Σ(α_i + β_i√(-1))u_i|/|u|
≦ |P(c + u) - P(c) - Σ(α_ih_i - β_ik_i)|/|u|
+ |Q(c + u) - Q(c) - Σ(β_ih_i + α_ik_i)|/|u|

よって、
u ≠ 0, u → 0 のとき
lim |f(c + u) - f(c) - Σ(α_i + β_i√(-1))u_i|/|u| = 0

よって、f(z) は z = c で微分可能である。
証明終

80 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/04(木) 09:06:20
命題
K を複素数体とする。
U ⊂ K^n を開集合とし、f: U → K を関数とする。
f(z) = P(z) + iQ(z) とする。

f が c ∈ U で微分可能であるためには
P と Q が c で微分可能で各 i に対して
(∂f/∂(z_i)~)(c) = 0 となることが必要十分である。

ここで、∂f/∂(z_i)~ は>>75で定義したものである。

証明
∂f/∂(z_i)~ = (∂f/∂x_i + √(-1)∂f/∂y_i)/2
= ∂P/∂x_i + √(-1)∂Q/∂x_i + √(-1)∂P/∂y_i - ∂Q/∂y_i
= (∂P/∂x_i - ∂Q/∂y_i) + √(-1)(∂P/∂y_i + ∂Q/∂x_i)

よって、
(∂f/∂(z_i)~)(c) = 0 は
(∂P/∂x_i)(c) = (∂Q/∂y_i)(c)
(∂P/∂y_i)(c) = -(∂Q/∂x_i)(c)
と同値である。

よって、本命題は>>76より直ちに得られる。
証明終

81 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/04(木) 09:24:50
命題
K を複素数体とする。
D ⊂ K^n を連結開集合とし、f: D → K を微分可能とする。

D 上で Im(f(z)) = 0 であれば f は定数である。

証明
>>80より、各 i に対して ∂f/∂(z_i)~ = 0 である。
即ち、∂f/∂x_i = -√(-1)∂f/∂y_i である。
仮定より f は実数値関数であるから
∂f/∂x_i = ∂f/∂y_i = 0

よって、D 上で df = 0 である。
過去スレ016の534より f は定数である。
証明終

82 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/04(木) 10:13:20
命題
K を複素数体とする。
D ⊂ K^n を連結開集合とし、f: D → K を微分可能とする。

D 上で |f(z)| が定数であれば f(z) は定数である。

証明
D 上で |f(z)| = c とする。
c = 0 なら f = 0 となって命題が舞代が成り立つ。
よって、c ≠ 0 と仮定する。

f(z)f(z)~ = c^2 である。
両辺に ∂/∂(z_i)~ を作用させると、>>80より ∂f/∂(z_i)~ = 0 だから
f(z)(∂f~/∂(z_i)~) = 0

c ≠ 0 より、任意の z ∈ D に対して f(z) ≠ 0
よって、∂f~/∂(z_i)~ = (∂f/∂x_i - √(-1)∂f/∂y_i)/2 = 0 である。
一方、∂f/∂(z_i)~ = (∂f/∂x_i + √(-1)∂f/∂y_i)/2 = 0 であるから、
∂f/∂x_i = ∂f/∂y_i = 0 である。

よって、f(z) = P(z) + iQ(z) のとき、
D 上で、dP = 0 かつ dQ = 0 である。

過去スレ016の534より P と Q は定数である。
よって、f は定数である。
証明終

83 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/04(木) 10:15:46
>>82を使うと>>47の別証が得られる。

84 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/04(木) 11:15:13
命題(Weierstrassの2重級数定理の多変数版)
U ⊂ K^n を開集合とし、(f_k), k = 1, 2, . . . を
U 上の複素解析関数の列とする。
f: U → K を関数とする。
f = lim f_k (コンパクト一様収束(過去スレ016の551))とする。

このとき、f は U で解析的であり、
任意の α ∈ (Z+)^n に対して、U 上で
(∂^α)f = lim (∂^α)f_k (コンパクト一様収束) となる。

ここで、∂^α の記法については過去スレ016の302を参照。

証明
c を U の任意の点とする。
U は開集合であるから U(c_1, R_1)×...×U(c_n, R_n) ⊂ U となる
R_i > 0, i = 1, . . ., n がある。
0 < r_i < R_i となる任意の r_i, i = 1, . . ., n をとる。
多変数のCauchyの積分公式(>>56)より、U(c_1, r_1)×...×U(c_n, r_n) の
任意の点 z と各 k に対して、
f_k(z) = (1/2πi)^n∫[C] f_k(ζ)/(ζ - z)^ι dζ となる。
ここで、各 B(a_i, r_i) (過去スレ016の601) の境界(円周)に
正の向きを付けた曲線を C_i としたとき、C = C_1×...×C_n である。

|C| = |C_1|×...×|C_n| はコンパクトであるから
(f_k) は |C| 上で一様収束する。
よって、>>65より f = lim f_k は連続であり、
>>63より、
(1/2πi)^n∫[C] f_(ζ)/(ζ - z)^ι dζ
= lim (1/2πi)^n∫[C] f_k(ζ)/(ζ - z)^ι dζ

(続く)

85 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/04(木) 11:16:27
>>84の続き

一方、f_k(z) = (1/2πi)^n∫[C] f_k(ζ)/(ζ - z)^ι dζ であるから、
f(z) = lim f_k(z) = lim (1/2πi)^n∫[C] f_k(ζ)/(ζ - z)^ι dζ

よって、
f(z) = (1/2πi)^n∫[C] f_(ζ)/(ζ - z)^ι dζ

よって、>>66より、 f(z) は U(c_1, r_1)×...×U(c_n, r_n) で解析的である。
c は U の任意の点であるから f は U で解析的である。

次に U 上で (∂^α)f = lim (∂^α)f_k (コンパクト一様収束) を証明する。
>>66より、z ∈ U(c_1, r_1)×...×U(c_n, r_n) のとき、
(∂^α)f(z) = α!(1/2πi)^n∫[C] f(ζ)/(ζ - z)^(α + ι) dζ
(∂^α)f_k(z) = α!(1/2πi)^n∫[C] f_k(ζ)/(ζ - z)^(α + ι) dζ

よって、
|(∂^α)f(z) - (∂^α)f_k(z)|
= |α!(1/2πi)^n∫[C] (f(ζ) - f_k(ζ))/(ζ - z)^(α + ι) dζ|

(続く)

86 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/04(木) 11:18:09
>>85の続き

z ∈ U(c_1, r_1/2)×...×U(c_n, r_n/2)
ζ ∈ |C| = |C_1|×...×|C_n|
のとき、|ζ_i - z_i| > r_i/2 である。

よって、z ∈ U(c_1, r_1/2)×...×U(c_n, r_n/2) のとき、

|(∂^α)f(z) - (∂^α)f_k(z)|
= |α!(1/2πi)^n∫[C] (f(ζ) - f_k(ζ))/(ζ - z)^(α + ι) dζ|
≦ α!(1/2π)^n(Π(2/r_i)^(α_i + 1))|f - f_k|∫[C] |dζ|
= α!(1/2π)^n(Π(2/r_i)^(α_i + 1))(Π(2πr_i))|f - f_k|
= α!(Π2^(α_i + 1)/(r_i)^(α_i))|f - f_k|

ここで、|f - f_k| = sup{|f(ζ) - f_k(ζ)|; ζ ∈ |C|}

よって、U(c_1, r_1/2)×...×U(c_n, r_n/2) 上で
(∂^α)f = lim (∂^α)f_k (一様収束)

c は U の任意の点だから
U 上で f = lim (∂^α)f_k (コンパクト一様収束) である。
証明終

87 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/05(金) 08:29:23
命題
K を複素数体とする。
a = (a_1, ..., a_n) ∈ K^n とし、
U = U(a_1, R_1)×...×U(a_n, R_n) (過去スレ016の601) とおく。
f: U → K を微分可能(過去スレ016の35)とする。

このとき、収束べき級数 g(z) = Σc_αz^α があり、
U 上の各点 z で z - a ∈ C(g) (過去スレ016の274) となり、
f(z) = g(z - a) となる。

証明
各 i に対して 0 < r_i < R_i となる任意の r_i をとる。
>>56より、任意の z ∈ U(a_1, r_1)×...×U(a_n, r_n) に対して
>>59の記法で f(z) = (1/2πi)^n∫[C] f(ζ)/(ζ - z)^ι dζ となる。
ここで、各 B(a_i, r_i) の境界(円周)に正の向きを付けた曲線を C_i としたとき、
C = C_1×...×C_n である。

>>66より、
c_α = ∫[C] (f(ζ)/(ζ - a)^(α+ι) dζ とおけば、
Σc_α(z - a)^α は任意の z ∈ U(a_1, r_1)×...×U(a_n, r_n) で絶対収束し、
f(z) = Σc_α(z - c)^α となる。
U(a_1, r_1)×...×U(a_n, r_n) は開集合であるから z に十分近い点 w に対して
Σc_α(w - a)^α は絶対収束する。
よって、z - a は Σc_αz^α の収束域(過去スレ016の274) に含まれる。

任意の z ∈ U に対して各 i で、|z_i - a_i| < r_i < R_i となる r_i がある。
上で示したように Σc_α(z - a)^α は絶対収束し、
f(z) = Σc_α(z - c)^α となる。
U は開集合であるから、 z に十分近い点 w に対して
Σc_α(w - a)^α は絶対収束する。
よって、z - a は Σc_αz^α の収束域に含まれる。
証明終

88 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/05(金) 08:50:27
命題(>>84の系(本来のWeierstrassの2重級数定理))
K を複素数体とする。
(f_k(z)), k = 0, 1, 2, . . . を
収束べき級数環 K{{X_1, ..., X_n}} (過去スレ016の275) の元の列とする。
f_k(z) = Σc_(α, k)z^α とし、
各 α ∈ (Z+)^n に対して c_α = Σ[k = 0, ∞] c_(α, k) とおく。

U = U(0, r_1)×...×U(0, r_n) は各 f_k の収束域(過去スレ016の274)に
含まれるとする。
f: U → K を関数とし、U 上で f(z) = Σ f_k(z) (コンパクト一様収束)とする。

このとき、Σc_αz^α は収束べき級数であり、Σc_αz^α の収束域は U を含み
U の各点 z で f(z) = Σc_αz^α となる。

証明
>>84より、f は U 上で解析的である。
>>87より、収束べき級数 Σc_αz^α があり、
U は Σc_αz^α の収束域に含まれ
U の各点 z で f(z) = Σc_αz^α となる。

過去スレ016の307より、各 α ∈ (Z+)^n に対して
c_α = (1/α!)(∂^α)f(0) である。
同様に、過去スレ016の307より、各 α ∈ (Z+)^n と 各 k ∈ Z+ に対して
c_(α, k) = (1/α!)(∂^α)f_k(0) である。

一方、>>84より、
(∂^α)f(0) = Σ(∂^α)f_k(0) である。

よって、
c_α = Σ[k = 0, ∞] c_(α, k) である。
証明終

89 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/05(金) 10:30:20
記法
K を複素数体とする。
a = (a_1, . . ., a_n) を K^n の点とし、
r = (r_1, . . ., r_n) ∈ (R++)^n とする。
ここで R を実数体としたとき、R++ = {x ∈ R; x > 0} である。

このとき、
U(a, r) = U(a_1, r_1)×...×U(a_n, r_n) と書く。
ここで各 U(a_i, r_i) は過去スレ016の601で定義したように
U(a_i, r_i) = {x ∈ K; |x - a_i| < r_i} である。

同様に
B(a, r) = B(a_1, r_1)×...×B(a_n, r_n)
S(a, r) = S(a_1, r_1)×...×S(a_n, r_n)
と書く。

ここで過去スレ016の601で定義したように
B(a_i, r_i) = {x ∈ K; |x - a_i| ≦ r_i}
S(a_i, r_i) = {x ∈ K; |x - a_i| = r_i}
である。

U(a, r) を a を中心とする半径 r の多重開円板という。
B(a, r) を a を中心とする半径 r の多重閉円板という。
S(a, r) を a を中心とする半径 r の多重円という。

90 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/05(金) 11:03:12
命題
K を複素数体とする。
U ⊂ K^n を開集合とし、f: U → K を微分可能関数とする。
a を U の点とし、r = (r_1, . . ., r_n) ∈ (R++)^n とする。
B(a, r) (>>89) ⊂ U とする。
M = sup{|f(z)|; z ∈ S(a, r) (>>891)} とおく。
S(a, r) はコンパクトであるから M < +∞ である。

このとき、任意の α ∈ (Z+)^n に対して、
|(∂^α)f(a)| ≦ α!M/r^α
ここで、∂^α の記法については過去スレ016の302を参照。
α! および r^α の記法については過去スレ016の294を参照。

証明
>>56より、任意の z ∈ U(a, r) に対して、
f(z) = (1/2πi)^n∫[C]f(ζ)/(ζ - z)^ι dζ (>>59)

ここで、各 B(a_i, r_i) の境界(円周)に正の向きを付けた曲線を C_i としたとき、
C = C_1×...×C_n である。

>>66より、任意の z ∈ U(a, r) に対して、
(∂^α)f(z) = α!(1/2πi)^n∫[C] f(ζ)/(ζ - z)^(α + ι) dζ

よって、
|(∂^α)f(a)| = |α!(1/2πi)^n∫[C] f(ζ)/(ζ - a)^(α + ι) dζ|
≦ α!(1/2π)^n∫[C] |f(ζ)/(ζ - a)^(α + ι)| |dζ|
≦ α!(1/2π)^nM(1/r^(α+ι)∫[C] |dζ|
= α!(1/2π)^nM(1/r^(α+ι)(2π)^nΠr_i
= α!M/r^α
証明終

91 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/05(金) 11:13:14
命題(多変数のCauchyの評価式(>>22参照))
K を複素数体とする。
a を K^n の点とし、R_1 > 0, . . ., R_n > 0 とする。
R = (R_1, . . ., R_n) とおく。
f: U(a, R) (>>89) → K を微分可能関数とする。
sup{|f(z)|; z ∈ U(a, R)} ≦ M < +∞ とする。

このとき、任意の α ∈ (Z+)^n に対して、
|(∂^α)f(a)| ≦ α!M/R^α
ここで、∂^α の記法については過去スレ016の302を参照。
α! および R^α の記法については過去スレ016の294を参照。

証明
各 i で 0 < r_i < R_i となる任意の r_i をとる。
r = (r_1, . . ., r_n) とおく。
このとき、>>90より任意の α ∈ (Z+)^n に対して、
|(∂^α)f(a)| ≦ α!M/r^α

r → R とすれば
|(∂^α)f(a)| ≦ α!M/R^α
証明終

92 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/05(金) 11:15:07
定義
K を複素数体とする。
f: K^n → K を微分可能関数とする。

このとき、f を整関数(entire function)と言う。

93 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/05(金) 11:26:28
命題(多変数のLiouvilleの定理(>>24参照))
有界な多変数の整関数(>>92)は定数である。

証明
f: K^n → K を整関数とし、
sup{|f(z)|; z ∈ K^n} ≦ M < +∞ とする。
Cauchyの評価式(>>91)より、
任意の a ∈ K^n と任意の R_1 > 0, . . ., R_n > 0 に対して、
|(∂f/∂z_i(a)| ≦ M/R_i (i = 1, ... , n)

R_i → +∞ とすれば ∂f/∂z_i(a) = 0 である。

よって df(z) = 0 である。
よって、過去スレ016の536より f は定数である。
証明終

94 :132人目の素数さん:2010/02/06(土) 02:50:37
texの練習がてらこの講義のLectureNoteをtexで打って
pdfにしてgoogleアップしてもいい?恐らく見れない人が大半だろうから。

95 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/06(土) 08:49:13
>>94
2chの規約がどうなってるかわからないのでなんとも言えないです。

以下は2chの規約上問題ないと仮定した場合の私の個人的な意見です。

申し訳ないですがpdfには反対です。
pdfにした場合、それが正確に内容を反映してない可能性かあります。
というか絶対に正確というのはまずあり得ないでしょう。
勿論、私の書いたものにも誤りがありますがそれは私が気付けば直します。
pdfの場合はそうはいかない、というか私は直す気はないです。

textとしてそのままアップするのはいいです。
ただし、以下の条件があります。

(1) 改変しないこと。
たとえ内容に間違いがあっても、誤字、脱字があっても直さないこと。
「あらし」も削除しないこと。
要するに各スレッドをそのままコピーすること。

(2) ソースをはっきりさせること。
つまり、2chの過去スレッドのコピーであることがはっきり分かるようにすること。
次のような各スレのリンクアドレスを載せること。
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1262085373/


繰り返しますが、以上は2chの規約上問題ないと仮定した場合です。
問題ある場合はアップしないでください。

96 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/06(土) 09:20:22
年間数千円を払えば過去スレを見れますよ。
勿論、個人で経済状態や価値観はそれぞれ違うので高いと思う人もいるでしょう。
その人の価値観に反対するつもりはないです。
因みに私は2chのまわし者ではないです。

97 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/06(土) 10:32:53
命題(多変数の最大値の原理)
K を複素数体とする。
D を K^n の連結開集合とする。
f: D → K を微分可能(従って>>69より解析的)とする。
a を D の点とし、U(a, r) (>>89) ⊂ D とする。

このとき、U(a, r) の各点 z で |f(z)| ≦ |f(a)| であれば f は D で定数である。

証明
r = (r_1, . . ., r_n) としたとき、ρ = inf{r_1, . . ., r_n} とおく。
K^n の元 z = (z_1, . . ., z_n) のノルム |z| = sup{|z_1, . . ., |z_n|} とする。
U = {z ∈ K^n; |z - a| < ρ} とおく。
U ⊂ U(a, r) である。

b を U の任意の点とする。
t ∈ K のとき、ψ(t) = a + (b - a)t とおく。
|t| ≦ 1 のとき、|ψ(t) - a| = |(b - a)t| < ρ
よって、ψ(t) ∈ U である。
よって、|t| ≦ 1 のとき f(ψ(t)) が定義される。

合成写像の微分(過去スレ016の58)より、
|t| < 1 のとき f(ψ(t)) は微分可能(従って>>12より解析的)である。
命題の仮定より、|t| < 1 のとき|f(ψ(t))| ≦ |f(a)| = |f(ψ(0))| である。
よって1変数の最大値の原理(>>44)より、f(ψ(t)) は |t| < 1 で定数である。

f(ψ(t)) は |t| ≦ 1 のとき連続であるから
|t| < 1、t → 1 のとき f(ψ(t)) → f(ψ(1)) = f(b) である。
よって、f(b) = f(0) である。
b は U の任意の点であるから f は U で定数である。
よって、一致の定理(>>33)より f は D で定数である。
証明終

98 :132人目の素数さん:2010/02/06(土) 11:35:30
じゃあ、まんまコピペしてpdfじゃなくてdviかps形式で上げればいいのか。
pdfはgoogle documentでアップできるけど、dvi形式とかはどこでアップ
したらいいのかわからん。2chの利用規約についてはまた調べてみる。

99 :132人目の素数さん:2010/02/06(土) 11:39:28
dviは互換性が悪いから使わないほうがいい。
論文のファイルを送るときもdviは避けるべきだ。


100 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/06(土) 11:41:20
命題
K を複素数体とする。
f(z) = Σc_αz^α を K 係数の n 変数収束べき級数、
即ち K{{X_1, ... , X_n}} (過去スレ016の275) の元とする。
過去スレ016の292より、C(f) (過去スレ016の274) は連結開集合である。

このとき、f は C(f) で解析的(過去スレ016の319)である。

証明
過去スレ016の318より、f は C(f) 上で C^∞ 級である。
よって、>>69より f は C(f) 上で解析的である。
証明終

101 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/06(土) 11:47:43
>>98
pdfが問題というよりTexに変えるというな内容を改変することが問題なわけです。
だから、pdfでもそのままコピーならいいです(2chの規約上問題ないという前提で)。
どうも誤解されような書き方をしてすいません。


102 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/06(土) 11:48:29
>Texに変えるというな

Texに変えるというような


103 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/06(土) 12:50:14
命題
R を実数体とする。
f(x) = Σc_αx^α を R 係数の n 変数収束べき級数、
即ち R{{X_1, ... , X_n}} (過去スレ016の275) の元とする。
過去スレ016の292より、C(f) (過去スレ016の274) は連結開集合である。

このとき、f は C(f) で解析的(過去スレ016の319)である。

証明
C を複素数体とする。
D = {z ∈ C^n; z のある近傍 U があり U の全ての点 w で Σ|c_αw^α| < ∞}
とおく。
明らかに C(f) ⊂ D である。
よって、Σc_αz^α は複素数係数の n 変数収束べき級数である。
>>100より、f(z) = Σc_αz^α は D で解析的である
よって、a を C(f) の任意の元とすると、
収束べき級数 Σb_αz^α ∈ C{{X_1, ... , X_n}} があり、
a の D におけるある開近傍 U の各点 z で f(z) = Σb_α(z - a)^α となる。

過去スレ016の307より、b_α = (1/α!)(∂^α)f(a) である。
a ∈ R^n であるから、b_α は実数である。
よって、Σb_αz^α ∈ R{{X_1, ... , X_n}} である。
C(f) は開集合であるから C(f) ∩ U は a の D(f) における開近傍である。
C(f) ∩ U の各点 x で f(x) = Σb_α(x - a)^α であるから
f は C(f) で解析的である。
証明終

104 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/06(土) 15:02:09
解析関数の概念を拡張しよう。
まず形式的べき級数の概念の拡張から始める。


105 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/06(土) 15:11:57
定義
K を可換体とする。
K 上の多項環環 K[X_1, ... , X_n] の m 次の同次多項式全体のなす部分集合を
H_m とする。H_m は K 上の線型空間である。
H_m の任意の元は Σc_αX^α と一意に書ける、
ここで、α = (a_1, ..., a_n) ∈ (Z+)^n、c_α ∈ K、X = (X_1, ..., X_n) であり、
Σ は |α| = m となる α 全体に渡る。
(X^α や |α| などの記法については過去スレ016の265参照)。

E を K 上の線型空間とする。
E と H_m の K 上のテンソル積を E※H_m とする。
E※H_m の任意の元は Σv_α※X^α と一意に書ける、
ここで、α = (a_1, ..., a_n) ∈ (Z+)^n、v_α ∈ E、X = (X_1, ..., X_n) であり、
Σ は |α| = m となる α 全体にわたる
Σv_α※X^α を Σv_αX^α と書く。

E[[X_1, ..., X_n]] = ΠE※H_m と書く。
ここで、ΠE※H_m は H_m, m = 0, 1, 2, . . . の
K 上の線型空間としての直積である。
E[[X_1, ..., X_n]] は K[[X_1, ..., X_n]] (過去スレ016の266)上の加群である。
E[[X_1, ..., X_n]] の元を E 係数の n 変数形式的べき級数という。
E[[X_1, ..., X_n]] を E 係数の n 変数形式的べき級数加群という。
E[[X_1, ..., X_n]] の任意の元は、Σv_αX^α と一意に書ける。
ここで、α = (a_1, ..., a_n) ∈ (Z+)^n、v_α ∈ E、X = (X_1, ..., X_n) であり、
Σ は α ∈ (Z+)^n 全体に渡る。

106 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/06(土) 15:35:30
定義
K を自明でない絶対値(過去スレ006の414,422)をもつ完備な可換体とする。
E を K 上の完備なノルム空間とする。
R を実数体とし、R++ = {x ∈ R; x > 0} とする。
r = (r_1, ..., r_n) ∈ (R++)^n と
f = Σc_αX^α ∈ E[[X_1, ..., X_n]] (>>105) に対して、
|f|_r = Σ|c_α|r^α とおく。

A_r(K^n, E) = {f ∈ E[[X_1, ..., X_n]]; |f|_r < ∞} とおく。
E{{X_1, ..., X_n}} = ∪{A_r(K^n, E); r ∈ (R++)^n} とおく。
E[[X_1, ..., X_n]] の元を E 係数の n 変数収束べき級数という。
E{{X_1, ..., X_n}} を E 係数の n 変数収束べき級数加群という。

107 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/06(土) 22:39:31
定義
G を位相アーベル群とする。
X を集合とする。
F(X, G) を X から G への写像全体とする。
F(X, G) は一様収束の一様構造(過去スレ007の149)により一様空間となる。

I を(可算とは限らない)任意の集合とする。
(f_i), i ∈ I を F(X, G) の元の I を添字集合とする族とする。
I の有限部分集合全体の集合を Φ(I) とする。
J ∈ Φ(I) に対して S(J) = Σf_i とおく。
ここで右辺の和の i は J の元全体を動く。
J が空でないとき、S(J) ∈ F(X, G) である。
J が空集合のときは S(J) = 0 (恒等的に 0 である写像)とする。

J ∈ Φ(I) に対して Ψ(J) = {S(K): J ⊂ K, K ∈ Φ(I)} とおく。
Ψ_0 = {Ψ(J); J ∈ Φ(I)} とおく。
明らかに Ψ_0 は F(X, G) におけるフィルター基底(過去スレ006の77)である。
Ψ_0 が一様収束の位相(過去スレ007の149)で
f ∈ F(X, G) に収束(過去スレ006の131)するとき
族 (f_i) は X において一様に総和可能といい、f = Σf_i と書く。

108 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/06(土) 22:56:28
命題
G を分離的(過去スレ006の73)かつ完備(過去スレ006の249)な位相アーベル群とする。
X を集合とする。
F(X, G) を X から G への写像全体とする。
I を(可算とは限らない)任意の集合とする。
(f_i), i ∈ I を F(X, G) の元の I を添字集合とする族とする。
I の有限部分集合全体の集合を Φ(I) とする。
J ∈ Φ(I) に対して S(J) = Σf_i とおく。
ここで右辺の和の i は J の元全体を動く。
J が空でないとき、S(J) ∈ F(X, G) である。
J が空集合のときは S(J) = 0 (恒等的に 0 である写像)とする。

G の単位元の任意の近傍 V に対して J_0 ∈ Φ(I) があり、
K ∈ Φ(I) で J_0 ∩ K が空集合なら
任意の x ∈ X に対して S(K)(x) ∈ V となるとする。

このとき、族 (f_i) は X において一様に総和可能(>>107)である。

証明
G の単位元 0 の任意の近傍 V に対して W + W ⊂ V となる
0 の対称近傍 W をとる。

本命題の仮定より、J_0 ∈ Φ(I) があり、
K ∈ Φ(I) で J_0 ∩ K が空集合なら
任意の x ∈ X に対して S(K)(x) ∈ W となる。

よって、J_0 ⊂ J なら K = J - J_0 とおくと
任意の x ∈ X に対して S(K)(x) = S(J)(x) - S(J_0)(x) ∈ W となる。

(続く)

109 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/06(土) 22:57:13
>>108の続き

同様に
J_0 ⊂ J_1 なら K_1 = J_1 - J_0 とおくと
任意の x ∈ X に対して S(K_1)(x) = S(J_1)(x) - S(J_0)(x) ∈ W となる。

よって任意の x ∈ X に対して
S(J_1)(x) - S(J)(x) = S(J_1)(x) - S(J_0)(x) + S(J_0)(x) - S(J)(x) ∈ W + W ⊂ V
よって
J ∈ Φ(I) に対して Ψ(J) = {S(K): J ⊂ K, K ∈ Φ(I)} とおき、
Ψ_0 = {Ψ(J); J ∈ Φ(I)} とおくと、
F(X, G) の一様収束の一様構造(過去スレ007の149)に関して
Ψ_0 は Cauchy フィルター基底である。
過去スレ007の163より、F(X, G) は完備であるから Ψ_0 は収束する。
よって、族 (f_i) は X において一様に総和可能(>>107)である。
証明終

110 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/06(土) 23:07:46
定義
K を可換とは限らない体とする。
| | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414,422)とする。
E を K 上のノルム空間(過去スレ006の561)とする。
X を集合とする。
F(X, E) を X から E への写像全体とする。
R を実数体とし、F(X, R) を X から R への写像全体とする。

I を(可算とは限らない)任意の集合とする。
(f_i), i ∈ I を F(X, E) の元の I を添字集合とする族とする。
(|f_i|), i ∈ I が F(X, R) の元の列として X 上で一様に総和可能(>>107)のとき、
(f_i), i ∈ I は X 上で一様に絶対総和可能であると言う。

111 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/06(土) 23:29:53
補題
G を位相アーベル群とする。
X を集合とする。
F(X, G) を X から G への写像全体とする。
I を(可算とは限らない)任意の集合とする。
(f_i), i ∈ I を F(X, G) の元の I を添字集合とする族とする。
(f_i) は一様に総和可能(>>107)とする。
I の有限部分集合全体の集合を Φ(I) とする。

このとき、G の単位元の任意の近傍 V に対して J_0 ∈ Φ(I) があり、
K ∈ Φ(I) で J_0 ∩ K が空集合なら
任意の x ∈ X に対して S(K)(x) ∈ V となる。

証明
f = Σf_i (>>107)とする。

J ∈ Φ(I) に対して S(J) = Σf_i とおく。
ここで右辺の和の i は J の元全体を動く。

G の単位元の任意の近傍 V に対して W + W ⊂ V となる 0 の対称近傍 W がある。
(f_i) は f に一様に総和可能であるから、J_0 ∈ Φ(I) があり、
J_0 ⊂ J となる任意の J ∈ Φ(I) と任意の x ∈ X に対して
f(x) - S(J)(x) ∈ W となる。

K ∈ Φ(I) で J_0 ∩ K が空集合とする。
J = J_0 ∪ K とおく。
任意の x ∈ X に対して、S(J)(x) = S(J_0)(x) + S(K)(x) である。
よって、
S(K)(x) = S(J)(x) - S(J_0)(x) = S(J)(x) - f(x) + f(x) - S(J_0) ∈ W + W ⊂ V
証明終

112 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/06(土) 23:44:38
命題
K を可換とは限らない体とする。
| | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414,422)とする。
E を K 上の完備(過去スレ006の249)なノルム空間(過去スレ006の561)とする。
X を集合とする。
F(X, E) を X から E への写像全体とする。
I を(可算とは限らない)任意の集合とする。
(f_i), i ∈ I を F(X, E) の元の I を添字集合とする族とする。
(f_i), i ∈ I は X 上で一様に絶対総和可能(>>110)とする。

このとき、(f_i), i ∈ I は X 上で一様に総和可能(>>107)である。

証明
I の有限部分集合全体の集合を Φ(I) とする。
J ∈ Φ(I) に対して S(J) = Σf_i, T(J) = Σ|f_i| とおく。
ここで i は J の元全体を動く。
任意の x ∈ X に対して、|S(J)(x)| ≦ T(J)(x) である。

>>111 より 任意の ε > 0 に対して J_0 ∈ Φ(I) があり、
K ∈ Φ(I) で J_0 ∩ K が空集合なら
任意の x ∈ X に対して T(K)(x) < ε となる。

|S(K)(x)| ≦ T(K)(x) だから
任意の ε > 0 に対して J_0 ∈ Φ(I) があり、
K ∈ Φ(I) で J_0 ∩ K が空集合なら
任意の x ∈ X に対して |S(K)(x)| < ε となる。

E は完備だから、>>108より (f_i) は X において一様に総和可能である。
証明終

113 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/07(日) 00:43:49
命題(Weierstrassの優級数定理)
K を自明でない絶対値(過去スレ006の414,422)をもつ
必ずしも可換とは限らない体とする。
E を K 上のノルム空間(過去スレ006の561)とする。
X を集合とする。
F(X, E) を X から E への写像全体とする。
I を(可算とは限らない)任意の集合とする。
(f_i), i ∈ I を F(X, E) の元からなる I を添字集合とする族とする。

R を実数体とし、R+ = {x ∈ R; x ≧ 0} とおく。
(M_i), i ∈ I を R+ の元からなる I を添字集合とする族とする。
任意の i ∈ I と任意の x ∈ X に対して、|f_i(x)| ≦ M_i とする。
(M_i), i ∈ I は総和可能(過去スレ006の147)とする。

このとき、(f_i), i ∈ I は X 上で一様に絶対総和可能(>>110)である。
よって、E が完備であれば、>>112より
(f_i), i ∈ I は X 上で一様に総和可能(>>107)である。

証明
I の有限部分集合全体の集合を Φ(I) とする。
J ∈ Φ(I) に対して S(J) = Σ|f_i|, T(J) = ΣM_i とおく。
ここで i は J の元全体を動く。
本命題の仮定より、任意の x ∈ X に対して、S(J)(x) ≦ T(J) である。

過去スレ006の152 より 任意の ε > 0 に対して J_0 ∈ Φ(I) があり、
L ∈ Φ(I) で J_0 ∩ L が空集合なら T(L) < ε となる。
任意の x ∈ X に対して、S(L)(x) ≦ T(L) だから
S(L)(x) < ε となる。
>>108より |f_i| は X において一様に総和可能である。
よって、(f_i), i ∈ I は X 上で一様に絶対総和可能である。
証明終

114 :132人目の素数さん:2010/02/07(日) 04:12:54
把握しました。もともと自分はtexの練習がしたかったので、
今回は見送らせていただきます。見たい方はモリタポをつかえば
1000円で過去ログを見ることができます。ちなみに、
Kummerさんがそこまで直にコピペをすることにこだわるのはなぜですか?

115 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/07(日) 08:16:00
>>114
このスレを修正してアップすると複数バージョン出来ることになり混乱の元になるからです。

116 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/07(日) 08:49:33
補題(Abelの補題(過去スレ006の271)の拡張)
K を自明でない絶対値(過去スレ006の414,422)をもつ完備な可換体とする。
E を K 上の完備なノルム空間とする。
f = Σc_αX^α ∈ E[[X_1, ..., X_n]] (>>105)とし、
ある r = (r_1, ... , r_n) ∈ (R++)^n に対して、
M = sup{|c_α|r^α; α ∈ (Z++)^n} < ∞ とする。

このとき、ρ_i < r_i となる任意の ρ = (ρ_1, ... , ρ_n) ∈ (R++)^n に対して
f(x) = Σc_αx^α は B(0, ρ) (>>89) 上で一様に絶対総和可能(>>110)かつ
一様に総和可能(>>107)である。

証明
x ∈ B(0, ρ) に対して |c_αx^α| ≦ |c_α|ρ^α ≦ M(ρ/r)^α
ここで、ρ/r = (ρ_1/r_1, ... , ρ_n/r_n) である。

過去スレ006の269より、ΣM(ρ/r)^α の任意の有限和は有界である。
よって、過去スレ006の52より、ΣM(ρ/r)^α は総和可能(過去スレ006の147)である。
E は完備であるから、Weierstrassの優級数定理(>>113)より、
f(x) = Σc_αx^α は B(0, ρ) 上で一様に絶対総和可能かつ
一様に総和可能である。
証明終

117 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/07(日) 09:05:33
記法(>>89の拡張)
K を自明でない絶対値(過去スレ006の414,422)をもつ可換体とする。
E を K 上のノルム空間とする。
a = (a_1, . . ., a_n) を K^n の点とし、
r = (r_1, . . ., r_n) ∈ (R++)^n とする。
ここで R を実数体としたとき、R++ = {x ∈ R; x > 0} である。

このとき、
U(a, r) = U(a_1, r_1)×...×U(a_n, r_n) と書く。
ここで各 U(a_i, r_i) = {x ∈ K; |x - a_i| < r_i} である。

同様に
B(a, r) = B(a_1, r_1)×...×B(a_n, r_n)
S(a, r) = S(a_1, r_1)×...×S(a_n, r_n)
と書く。

ここで
B(a_i, r_i) = {x ∈ K; |x - a_i| ≦ r_i}
S(a_i, r_i) = {x ∈ K; |x - a_i| = r_i}
である。

U(a, r) を a を中心とする半径 r の多重開円板という。
B(a, r) を a を中心とする半径 r の多重閉円板という。
S(a, r) を a を中心とする半径 r の多重円という。

118 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/07(日) 09:08:00
>>117
>E を K 上のノルム空間とする。

この行は不要である。


119 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/07(日) 09:08:44
>>116
>f(x) = Σc_αx^α は B(0, ρ) (>>89) 上で一様に絶対総和可能(>>110)かつ
>一様に総和可能(>>107)である。

f(x) = Σc_αx^α は B(0, ρ) (>>117) 上で一様に絶対総和可能(>>110)かつ
一様に総和可能(>>107)である。

120 :132人目の素数さん:2010/02/07(日) 09:09:46
 財団法人「日本数学検定協会」の副理事長が、2200万円の年俸とは別に毎月約40万円の報酬を受け取っていたことが明らかになった。
同協会は、理事長や副理事長への高額報酬が問題視されている。副理事長は理事長の長男。

 高田忍副理事長(36)は27日、文科省を訪れ、改善経過を報告した。報告書では、外部から弁護士や公認会計士ら3人を新たに理事に迎え、
内部統制を強めるとしているが、8人の理事は留任するという。

 また、高田副理事長は、アメリカに駐在した約3年間、2200万円の年俸を受け取っていたと説明していたが、これとは別に毎月約40万円の
報酬を得ていたことを明らかにした。アメリカ事務所は閉鎖し、高田副理事長はすでに340万円を自主返納したという。しかし、
改善は不十分と指摘される可能性がある。



121 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/07(日) 09:16:33
命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の完備なノルム空間とする。
Σc_αX^α ∈ A_r(K^n, E) (>>106)とする。

このとき、Σc_αx^α は U(0, r) (>>89) に含まれる任意のコンパクト集合上で
一様に絶対総和可能(>>110)かつ一様に総和可能(>>107)である。

証明
Σc_αX^α ∈ A_r(K^n, E) であるから Σ|c_α|r^α < ∞ である。
よって、sup{|c_α|r^α; α ∈ (Z++)^n} < ∞ である。

F を U(0, r) に含まれる任意のコンパクト集合とする。
過去スレ016の273より、ρ < r となる ρ ∈ (R++)^n があり、
F ⊂ B(0, ρ) となる。
>>116より Σc_αx^α は B(0, ρ) 上で一様に絶対総和可能かつ
一様に総和可能である。
よって、Σc_αx^α は F 上で一様に絶対総和可能かつ一様に総和可能である。
証明終

122 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/07(日) 10:20:03
>>106の修正

定義
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の完備なノルム空間とする。
R を実数体とし、R++ = {x ∈ R; x > 0} とする。
r = (r_1, ..., r_n) ∈ (R++)^n と
f = Σc_αX^α ∈ E[[X_1, ..., X_n]] (>>105) に対して、
|f|_r = Σ|c_α|r^α とおく。

A_r(K^n, E) = {f ∈ E[[X_1, ..., X_n]]; |f|_r < ∞} とおく。
E{{X_1, ..., X_n}} = ∪{A_r(K^n, E); r ∈ (R++)^n} とおく。
E[[X_1, ..., X_n]] の元を E 係数の n 変数収束べき級数という。
E{{X_1, ..., X_n}} を E 係数の n 変数収束べき級数加群という。

123 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/07(日) 10:32:42
定義(過去スレ016の274の拡張)
K を実数体または複素数体とする。
f = Σc_αX^α ∈ E{{X_1, ..., X_n}} (>>122) に対して
C(f) = {x ∈ K^n; x のある近傍 U があり U の全ての点 y で Σ|c_αy^α| < ∞}
を f の収束域(domain of convergence)と呼ぶ。

124 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/07(日) 10:38:23
>>123の修正

定義(過去スレ016の274の拡張)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
f = Σc_αX^α ∈ E{{X_1, ..., X_n}} (>>122) に対して
C(f) = {x ∈ K^n; x のある近傍 U があり U の全ての点 y で Σ|c_αy^α| < ∞}
を f の収束域(domain of convergence)と呼ぶ。

125 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/07(日) 10:40:49
定義(過去スレ016の277の拡張)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
f = Σc_αX^α ∈ E{{X_1, ..., X_n}} (>>122) に対して
J(f) = {r ∈ (R++)^n; f ∈ A_r(K^n, E)} とおく。
即ち、J(f) = {r ∈ (R++)^n; Σ|c_α|r^α < ∞} である。
位相空間 (R++)^n の部分空間としての J(f) の内部を I(f) と書く。

126 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/07(日) 12:14:40
命題(過去スレ016の283の拡張)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
f = Σc_αX^α ∈ E{{X_1, ..., X_n}} (>>122) に対して
C(f) = {x ∈ K^n; x ∈ U(0, r) (>>89) となる r ∈ I(f) が存在する} である。
ここで、C(f) は f の収束域(>>124)であり、I(f) は>>125で定義したものである。

証明
B(f) = {x ∈ K^n; x ∈ U(0, r) となる r ∈ I(f) が存在する} とおく。

まず、任意の x ∈ C(f) に対して x ∈ B(f) を証明する。
C(f) の定義より、
x のある開近傍 U があり U の全ての点 y で Σ|c_αy^α| < ∞} となる。
U は開集合だから、|x_i| < |y_i|, i = 1, ..., n となる
y = (y_1, ..., y_n) ∈ U がある。
よって、s > 0 があり、σ = (s, ... , s) ∈ (R++)^n に対して、
U(y, σ) ⊂ U となる。
0 < t < s となる t をとる。
各 i に対して |y_i| ≠ 0 であるから z_i = ((|y_i| + t)/|y_i|)y_i が定義出来る。
|z_i - y_i| = |(|y_i| + t)/|y_i| - 1)|y_i| = t
よって、z = (z_1, ..., z_n) ∈ U(y, σ) である。
よって、r = (|z_1|, ..., |z_n|) とおけば r ∈ J(f) (>>125)である。
|z_i| = |y_i| + t であるから (|y_1|, ..., |y_n|) ∈ I(f) である。
|x_i| < |y_i|, i = 1, ..., n であるから x ∈ B(f) である。

逆に x ∈ B(f) とする。
x ∈ U(0, r) となる r ∈ I(f) が存在する。
よって、r_i < s_i, i = 1, ..., n となる s = (s_1, ..., s_n) ∈ J(f) (>>125)
がある。
>>121より、f は U(0, s) の各点で絶対収束する。
よって、x ∈ C(f) となる。
証明終

127 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/07(日) 12:26:25
定義(過去スレ016の281の拡張)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
f ∈ E{{X}} (>>122) とする。
このとき、sup J(f) (>>125) を f の収束半径と呼ぶ。

128 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/07(日) 12:31:49
命題(過去スレ016の284の拡張)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
f ∈ E{{X}} (>>122) とする。
f の収束半径(>>127)を r とする。

このとき C(f) = {x ∈ K; |x| < r} である。
ここで、C(f) は f の収束域(>>124)である。

証明
まず、0 < r ≦ +∞ に注意する。

B(f) = {x ∈ K; |x| < s となる s ∈ I(f) (>>125) が存在する} とおく。
>>126より、C(f) = B(f) である。
よって、B(f) = {x ∈ K; |x| < r} を証明すればよい。

x ∈ B(f) とする。
|x| < s となる s ∈ I(f) が存在する。
よって、s < t となる t ∈ J(f) (>>125) が存在する。
t ≦ r であるから s < r である。
よって、|x| < r である。

逆に |x| < r とする。
|x| < s < r となる s をとる。
s < t となる t ∈ J(f) がある。
よって、s ∈ I(f) である。
よって、x ∈ B(f) である。
証明終

129 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/07(日) 12:35:30
命題(過去スレ016の285の拡張)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
f = Σc_nX^n ∈ E{{X}} (>>122) とする。
f の収束半径(>>127)を r とする。

このとき x ∈ K, |x| > r であれば Σ|c_nx^n| = +∞ である。

証明
Σ|c_nx^n| < +∞ と仮定する。
|x| ∈ J(f) (>>125) となる。
よって、|x| ≦ r となって仮定に反する。
証明終

130 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/07(日) 12:43:42
命題(過去スレ016の289の拡張)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
f = Σc_nX^n ∈ E{{X}} (>>122) とする。
f の収束半径(>>127)を r とする。
g = Σnc_nX^(n-1), n ≧ 1 とおく。

このとき、g ∈ E{{X}} であり、g の収束半径は r である。

証明
|x| < r となる任意の x ∈ K をとる。
|x| < t < r となる t をとる。
|x|/t = ρ とおく。

Σc_nt^(n-1) < +∞ であるから
|c_nt^(n-1)| ≦ M, n = 1, 2, ... となる M がある。

よって、
|nc_nx^(n-1)| = n|c_nt^(n-1)|ρ^(n-1) ≦ Mnρ^(n-1)

ρ < 1 であるから 過去スレ016の287より、ΣMnρ^(n-1) < +∞ である。
よって、Σ|nc_nx^(n-1)| < +∞ である。
よって、g ∈ E{{X}} であり、g の収束半径 s ≧ r である。

|x| < s のとき Σn|c_nx^(n-1)| < +∞ である。
一方、|c_nx^n| ≦ n|c_nx^n| = n|x||c_nx^(n-1)|, n = 1, 2, ...
よって、|x| < s のとき Σ|c_nx^n| < +∞ である。
よって、s ≦ r である。
以上から s = r である。
証明終

131 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/07(日) 12:56:20
命題(過去スレ016の290の拡張)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
f = Σc_nX^n ∈ E{{X}} (>>122) とする。
f の収束半径(>>127)を r とする。
g = Σnc_nX^(n-1), n ≧ 1 とおく。
>>130より、g ∈ E{{X}} であり、g の収束半径は r である。

このとき、f(x) は収束域 C(f) = {x ∈ K; |x| < r} (>>128) で微分可能であり、
C(f) の各点 x で f’(x) = g(x) である。

証明
|x| < r となる x ∈ K を固定する。
|x| < s < r となる s をとる。
U = {y ∈ K; |y| < s - |x|} とおく。

h ∈ U - {0} に対して
(f(x + h) - f(x))/h - g(x) を計算する。

(x + h)^n - x^n = h((x + h)^(n-1) + x(x+h)^(n-2) + ... + x^(n-1))
よって、
(f(x + h) - f(x))/h - g(x) = Σu_n(x, h), n = 1, 2, ...
ここで、
u_n(x, h) = c_n((x + h)^(n-1) + x(x+h)^(n-2) + ... + x^(n-1) - nx^(n-1))
とおいた。

(続く)

132 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/07(日) 12:57:31
>>131の続き

|x| < s かつ |x + h| ≦ |x| + |h| < s
よって、|u_n(x, h)| ≦ |c_n|(ns^(n-1) + ns^(n-1)) = 2n|c_n|s^(n-1)
g の収束半径は r であり、s < r だから Σn|c_n|s^(n-1) < +∞
よって、任意の ε > 0 に対して、整数 n_0 があり
Σ[n ≧ n_0] 2n|c_n|s^(n-1) < ε/2
よって、Σ[n ≧ n_0] |u_n(x, h)| < ε/2 となる。

h → 0 のとき u_1(x, h) + ... + u_(n_0)(x, h) → 0 である。
よって δ > 0 があり、|h| < δ のとき
|u_1(x, h) + ... + u_(n_0)(x, h)| < ε/2 となる。

以上から h ∈ U - {0} かつ |h| < δ のとき
|(f(x + h) - f(x))/h - g(x)| ≦ Σ|u_n(x, h)|
= |u_1(x, h) + ... + u_(n_0)(x, h)| + Σ[n ≧ n_0] |u_n(x, h)|
< ε/2 + ε/2 = ε
よって、f’(x) = g(x) である。
証明終

133 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/07(日) 13:08:35
命題(過去スレ016の292の拡張)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
任意の f = Σc_αX^α ∈ E{{X_1, ..., X_n}} (>>122) の
収束域 C(f) (>>124) は連結開集合である。

証明
C(f) の定義(>>124)より、任意の x ∈ C(f) に対して、
x のある近傍 U があり U の全ての点 y で Σ|c_αy^α| < ∞ となる。
x ∈ V ⊂ U となる開集合 V がある。
任意の z ∈ V に対して V は z の近傍であり、
V の全ての点 y で Σ|c_αy^α| < ∞ となる。
よって、z ∈ C(f) である。
よって、V ⊂ C(f) である。
よって、C(f) は開集合である。

次に C(f) が連結なことを証明する。
>>126より、
C(f) = {x ∈ K^n; x ∈ U(0, r) (>>89) となる r ∈ I(f) が存在する} である。
r ∈ I(f) のとき U(0, r) ⊂ C(f) であるから
C(f) = ∪{U(0, r); r ∈ I(f)} である。
r = (r_1, ..., r_n) ∈ (R++)^n のとき
U(0, r) は {x ∈ K; |x| < r_i}, i = 1, ..., n の直積である。
各 {x ∈ K; |x| < r_i} は連結であるから U(0, r) も連結である。
U(0, r) は原点 0 を含む。
よって、C(f) は 0 を共通点にもつ連結集合 U(0, r) の合併であるから連結である。
証明終

134 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/07(日) 13:13:39
定義(過去スレ016の293の拡張)
K を可換体とする。
E を K 上の線型空間とする。
f = Σc_αX^α = Σc_(a_1, ..., a_n)(X_1)^(a_1)...(X_n)^(a_n) を
E[[X_1, ..., X_n]] (>>105)の元とする。

このとき、∂f/∂X_i ∈ E[[X_1, ..., X_n]], i = 1, ..., n を
∂f/∂X_i = Σa_i c_(a_1, ..., a_n)(X_1)^(a_1)...(X_i)^(a_i - 1)...(X_n)^(a_n)
により定義する。

135 :132人目の素数さん:2010/02/07(日) 14:36:45
110 名前:ソヤシ猫 ◆ghclfYsc82 :2010/02/07(日) 14:11:41
日本の検察は大恥をかいた訳ですな。責任者は当然全員が辞任するでしょう
けどね、此処まで検察は小沢先生に対して無礼な事をしたのであるから:
★★★「日本の検察は小沢先生に対して謝罪し、責任者は即刻全員辞任するべき」★★★
★★★「日本の検察は小沢先生に対して謝罪し、責任者は即刻全員辞任するべき」★★★
★★★「日本の検察は小沢先生に対して謝罪し、責任者は即刻全員辞任するべき」★★★
★★★「日本の検察は小沢先生に対して謝罪し、責任者は即刻全員辞任するべき」★★★
★★★「日本の検察は小沢先生に対して謝罪し、責任者は即刻全員辞任するべき」★★★
★★★「日本の検察は小沢先生に対して謝罪し、責任者は即刻全員辞任するべき」★★★
★★★「日本の検察は小沢先生に対して謝罪し、責任者は即刻全員辞任するべき」★★★
★★★「日本の検察は小沢先生に対して謝罪し、責任者は即刻全員辞任するべき」★★★
★★★「日本の検察は小沢先生に対して謝罪し、責任者は即刻全員辞任するべき」★★★
★★★「日本の検察は小沢先生に対して謝罪し、責任者は即刻全員辞任するべき」★★★
★★★「日本の検察は小沢先生に対して謝罪し、責任者は即刻全員辞任するべき」★★★
★★★「日本の検察は小沢先生に対して謝罪し、責任者は即刻全員辞任するべき」★★★
★★★「日本の検察は小沢先生に対して謝罪し、責任者は即刻全員辞任するべき」★★★
★★★「日本の検察は小沢先生に対して謝罪し、責任者は即刻全員辞任するべき」★★★
(省略されました・・全てを読むにはここを押してください)


136 :132人目の素数さん:2010/02/07(日) 14:37:48
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
任意の f = Σc_αX^α ∈ E{{X_1, ..., X_n}} (>>122) の
収束域 C(fC(f) の定義(>>124)より、任意の x ∈ C(f) に対して、
x のある近傍 U があり U の全ての点 y で Σ|c_αy^α| < ∞ となる。
x ∈ V ⊂ U となる開集合 V がある。
任意の z ∈ V に対して V は z の近傍であり、
V の全ての点 y で Σ|c_αy^α| < ∞ となる。
よって、z ∈ C(f) である。
よって、V ⊂ C(f) である。
よって、C(f) は開集合である。

次に C(f) が連結なことを証明する。
>>126より、
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
任意の f = Σc_αX^α ∈ E{{X_1, ..., X_n}} (>>122) の
収束域 C(f) (>>124) は連結開集合である。

証明
C(f) の定義(>>124)より、任意の x ∈ C(f) に対して、
x のある近傍 U があり U の全ての点 y で Σ|c_αy^α| < ∞ となる。
x ∈ V ⊂ U となる開集合 V がある。
任意の z ∈ V に対して V は z の近傍であり、
V の全ての点 y で Σ|c_αy^α| < ∞ となる。
よって、z ∈ C(f) である。
よって、V ⊂ C(f) である。
よって、C(f) は開集合である。

次に C(f) が連結なことを証明する。
>>126より、


137 :132人目の素数さん:2010/02/07(日) 14:38:38
163 名前:ソヤシ猫 ◆ghclfYsc82 :2010/02/06(土) 12:25:13
>>158
但し警察や検察などの国家権力に対して監督官庁という考え方は
非常に難しい概念で、例えば現状で民主主義国家と認識されてい
る多くの事例であっても、所謂「まともな国家」である保障とし
て良く皆が議論の対象にする:
1.Free press
2.Independent court
は確保が(どの国であっても)非常に難しいのが現状だと思いま
すね。だから多くの人達は、たとえソレ等の条件を満たさなくて
も、まあ「お金目当て」という事でアメリカに集中するという妥
協をするケースが多い様に見えますけどね。




138 :132人目の素数さん:2010/02/07(日) 14:39:57
MR0882039 Hatoyama, Yukio; Fukuoka, Hiroshi; Suzuki, Kazuyuki
Application of Markovian decision theory to the problem of highway maintenance.
Stochastic models in reliability theory (Nagoya, 1984), 198--212,
Lecture Notes in Econom. and Math. Systems, 235, Springer, Berlin, 1984.

MR0594356 (81k:90043) Hatoyama, Yukio A replacement problem with trade-in.
J. Oper. Res. Soc. Japan 23 (1980), no. 3, 224--242. (Reviewer: K. D. Glazebrook)
90B25 (90C39) PDF Doc Del Clipboard Journal Article

MR0537953 (80h:90073) Hatoyama, Yukio On optimal policies for multi-repair-type
Markov maintenance models. J. Oper. Res. Soc. Japan 22 (1979), no. 2, 106--122. (Reviewer: S. M. Pandit)

MR0469234 (57 #9028) Hatoyama, Yukio Markov maintenance models with control
of queue. J. Operations Res. Soc. Japan 20 (1977), no. 3, 164--181. (Reviewer: Andor Dobo)

Hatoyama, Yukio
MR Author ID: 82430
Earliest Indexed Publication: 1977
Total Publications: 4
Total Author/Related Publications: 5


139 :132人目の素数さん:2010/02/07(日) 21:12:27
>>115 この春休みを利用してこのスレで代数を勉強しようと思います。
専攻は解析ですが、このあたりもやって損はないと判断したので。
何か修正点があればその都度報告するので。あと、
自分の知っている本でいいreferenceがあればその都度紹介します。

140 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/08(月) 05:04:25
>>139
>何か修正点があればその都度報告するので。あと、
>自分の知っている本でいいreferenceがあればその都度紹介します。

よろしく。


141 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/08(月) 05:05:34
命題(過去スレ016の297の拡張)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
任意の f = Σc_αX^α ∈ E{{X_1, ..., X_n}} (>>122) に対して、
各 ∂f/∂X_i (>>134) は E{{X_1, ..., X_n}} に属し
∂f/∂X_i の収束域(>>124) C(∂f/∂X_i) は f の収束域 C(f) (>>124) と一致する。

証明
記述を簡単にするため n = 2 と i = 1 の場合に証明する。
一般の場合もまったく同様である。

任意の x ∈ C(f) をとる。
>>126より、x ∈ U(0, ρ) となる ρ = (ρ_1, ρ_2) ∈ I(f) がある。
よって、ρ_i < s_i, i = 1, 2 となる s = (s_1, s_2) ∈ J(f) (>>125)
がある。
ρ_i < r_i < s_i, i = 1, 2 となる r = (r_1, r_2) ∈ (R++)^2
を任意にとる。
t_i = r_i/s_i, i = 1, 2 とおき、t = (t_1, t_2) とおく。

Σ|c_αs^α| < +∞ であるから
全ての α ∈ (Z+)^2 に対して |c_αs^α| ≦ M となる M がある。

よって、
|n c_(n, m)(r_1)^(n-1)(r_2)^m|
= n |c_(n, m)(s_1)^(n-1)(s_2)^m||(t_1)^(n-1)(t_2)^m|
≦ n(M/s_1)(t_1)^(n-1)(t_2)^m

よって、
Σ|n c_(n, m)(r_1)^(n-1)(r_2)^m| ≦ Σn(M/s_1)(t_1)^(n-1)(t_2)^m
≦ (M/s_1)(Σn(t_1)^(n-1))(Σ(t_2)^m)

(続く)

142 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/08(月) 05:06:16
>>141の続き

t_1 < 1 であるから過去スレ016の287より、Σn(t_1)^(n-1) < ∞
t_2 < 1 であるから Σ(t_2)^m < ∞
よって、Σ|n c_(n, m)(r_1)^(n-1)(r_2)^m| < ∞
よって、r ∈ J(∂f/∂X_1)
よって、ρ ∈ I(∂f/∂X_1)
よって、x ∈ C(∂f/∂X_1)
よって、C(f) ⊂ C(∂f/∂X_1)

逆に x ∈ C(∂f/∂X_1) とする。
>>126より、x ∈ U(0, r) となる r ∈ I(∂f/∂X_1) がある。
よって、r_i < s_i, i = 1, 2 となる s = (s_1, s_2) ∈ J(∂f/∂X_1) がある。
即ち、Σ|n c_(n, m)(s_1)^(n-1)(s_2)^m| < +∞ である。

一方、
|c_(n, m)(s_1)^n(s_2)^m| = |x_1||c_(n, m)(s_1)^(n-1)(s_2)^m|
≦ n|s_1||c_(n, m)(s_1)^(n-1)(s_2)^m|

よって、
Σ|c_(n, m)(s_1)^n(s_2)^m| ≦ Σ|n c_(n, m)(s_1)^(n-1)(s_2)^m| < +∞ である。

よって、s ∈ J(f) である。
よって、r ∈ I(f) である。
よって、x ∈ C(f) である。
よって、C(∂f/∂X_1) ⊂ C(f)
証明終

143 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/08(月) 05:20:23
命題(過去スレ016の299の拡張)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
f ∈ E{{X_1, ..., X_n}} (>>122) とする。
C(f) (>>124) から E への写像 f~ を f~(x) = f(x) により定義する。

このとき、C(f) の各点 p で (∂f~/∂x_i)(p) (過去スレ016の85), i = 1, ..., n
が存在し、各 i に対して (∂f~/∂x_i)(p) = (∂f/∂X_i)(p) である。

ここで、∂f/∂X_i は、>>134で定義されたものである。

証明
p ∈ C(f) であるから>>126より、p ∈ U(0, s) となる s = (s_1, ..., s_n) ∈ I(f)
が存在する。
よって、s_i < r_i となる r = (r_1, ..., r_n) ∈ J(f) (>>125) が存在する。
Abelの補題(>>116)より、f は U(0, r) の各点で絶対総和可能である。

よって、x_i のベキ級数 f(p_1, ..., x_i, ..., p_n) は
|x_i| < r_i のとき絶対収束する。

>>131より、このベキ級数は p_i で微分可能であり、
(∂f~/∂x_i)(p) = (∂f/∂X_i)(p) である。
証明終

144 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/08(月) 05:23:42
定義(過去スレ016の300の拡張)
K を可換体とする。
E を K 上の線型空間とする。
f を E[[X_1, ..., X_n]] (>>105)の元とする。

∂f/∂X_i (>>134) を (∂_i)f とも書く。
任意の i, j ∈ {1, ..., n} に対して (∂_i)(∂_j)f = (∂_j)(∂_i)f である。

∂_i を f に m 回作用させた (∂_i)...(∂_i)f を (∂_i)^mf とも書く。

Z+ = {0, 1, 2, . . .} とおく。
α = (a_1, ..., a_n) ∈ (Z+)^n のとき、
(∂_1)^(a_1). . . (∂_n)^(a_n)f を以下の3通りにも書く。

1) (∂^α)f
2) ∂^|α|f/(∂X_1)^(a_1)...(∂X_n)^(a_n)
3) ∂^|α|f/(∂X)^α

145 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/08(月) 05:28:58
命題(過去スレ016の301の拡張)
K を可換体とする。
E を K 上の線型空間とする。
f = Σc_αX^α を E[[X_1, ..., X_n]] (>>105)の元とする。
α = (a_1, ..., a_n) ∈ (Z+)^n とする。

このとき、任意の α ∈ (Z+)^n に対して (∂^α)f(0) = α!c_α である。
ここで、記法 α! については過去スレ016の294を参照し、
(∂^α)f については>>144を参照。

証明
(∂^α)(c_αX^α) = α!c_α である。

α ≠ β かつ β ≦ α であれば (∂^α)(c_βX^β) = 0 である。

α ≠ β かつ α ≦ β であれば (∂^α)(c_βX^β) は定数ではないから
(∂^α)(c_βX^β)(0) = 0 である。

以上から (∂^α)f(0) = α!c_α である。
証明終

146 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/08(月) 05:33:18
定義(過去スレ016の302の拡張)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のノルム空間(過去スレ006の561)とする。
U を K^n の開集合とし、f(x_1, ..., x_n): U → E を写像とする。
p を U の点とする。

Z+ = {0, 1, 2, . . .} とおく。
α = (a_1, ..., a_n) ∈ (Z+)^n に対して、
(∂^|α|f/(∂x_1)^(a_1)...(∂x_n)^(a_n))(p) が存在するとき
これを以下のようにも書く。

1) (∂_1)^(a_1). . . (∂_n)^(a_n)f(p)
2) (∂^α)f(p)
3) (∂^|α|f/(∂x)^α)(p)

147 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/08(月) 05:37:55
命題(過去スレ016の303の拡張)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
f ∈ E{{X_1, ..., X_n}} (>>122) とする。

このとき、任意の α ∈ (Z+)^n に対して、
(∂^α)f (>>144) は E{{X_1, ..., X_n}} の元であり、C(f) = C((∂^α)f) である。

証明
m = |α| に関する帰納法による。

m = 0 のときは (∂^α)f = f であるから C(f) = C((∂^α)f) である。

m ≧ 0 に対して、|β| = m + 1 となる任意の β ∈ (Z+)^n をとる。
β = (b_1, ..., b_n) とする。
|β| ≧ 1 であるから b_i ≧ 1 となる i がある。
α = (b_1, ..., b_i - 1, ..., b_n) とおけば α ∈ (Z+)^n であり、
|α| = m である。

帰納法の仮定から (∂^α)f は収束べき級数であり、C(f) = C((∂^α)f) である。
>>141より、(∂^β)f = (∂_i)(∂^α)f は収束べき級数であり、
C((∂^α)f) = C((∂^β)f) である。
よって、C(f) = C((∂^β)f) である。
証明終

148 :132人目の素数さん:2010/02/08(月) 06:05:49
任意の f = Σc_αX^α ∈ E{{X_1, ..., X_n}} (>>122) に対して、
各 ∂f/∂X_i (>>134) は E{{X_1, ..., X_n}} に属し
∂f/∂X_i の収束域(>>124) C(∂f/∂X_i) は f の収束域 C(f) (>>124) と一致する。

証明
記述を簡単にするため n = 2 と i = 1 の場合に証明する。
一般の場合もまったく同様である。

任意の x ∈ C(f) をとる。
>>126より、x ∈ U(0, ρ) となる ρ = (ρ_1, ρ_2) ∈ I(f) がある。
よって、ρ_i < s_i, i = 1, 2 となる s = (s_1, s_2) ∈ J(f) (>>125)
がある。
ρ_i < r_i < s_i, i =

149 :132人目の素数さん:2010/02/08(月) 06:16:18
ちょっと補足。

>>87

>「有限部分集合全体」ということは、たとえば、1〜nまでの有限な部分集合
>から考えたとき、その要素の個数は2^n個で有限になる。

ってのは正しい。だけどだからといってNの有限部分集合全体が有限個しかないこと
にはならない。Nの有限部分集合を作るときに、1〜nから要素を選ぶって決まってる
わけじゃないんだから。

この路線で考えるなら、Nの要素のうち1〜nまでから任意個選んでできるNの有限部
分集合は2^n個、空集合をのぞくと2^n-1個。するとNの有限部分集合の総数は空集合


150 :132人目の素数さん:2010/02/08(月) 06:17:55
※(A')
x∈R、y∈Rとし、x>0とする。そのとき、
     nx>y
を満たすn∈Z+が存在する。

[(B)の証明]
いま、x、yを2つの実数とし、x<yとする。このときy-x>0であるから、アルキメデス性を仮定すれば、
(A')によって
     n(y-x)>1 >>129>>110
となる正の整数nがある。またm[1]<nx<m[2]を満たす整数m[1], m[2]が存在するから、
     m-1≦nx<m
となるような整数mがある。(すなわち、m[2]>nxを満たす整数m[2]の最小のものをmとするのである。)


151 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/08(月) 06:19:31
命題(過去スレ016の304の拡張)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
f = Σc_αX^α ∈ E{{X_1, ..., X_n}} (>>122) とする。
C(f) (>>124) から E への写像 f~ を f~(x) = f(x) により定義する。

任意の i, j ∈ {1, ..., n} と任意の p ∈ C(f) に対して
(∂_i)(∂_j)f~(p) と (∂_j)(∂_i)f~(p) が存在し、
(∂_i)(∂_j)f~(p) = (∂_j)(∂_i)f~(p) となる。

証明
>>143より、任意の i ∈ {1, ..., n} に対して (∂_i)f~(p) = (∂_i)f(p) である。
>>147より、(∂_i)f は E{{X_1, ..., X_n}} の元である。
よって、任意の j ∈ {1, ..., n} に対して (∂_j)(∂_i)f~(p) が存在し、
(∂_j)(∂_i)f~(p) = (∂_j)(∂_i)f(p) となる。

一方、>>144より、(∂_i)(∂_j)f = (∂_j)(∂_i)f である。
よって、(∂_i)(∂_j)f~(p) = (∂_j)(∂_i)f~(p) となる。
証明終

152 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/08(月) 06:21:07
命題(過去スレ016の305の拡張)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
f = Σc_αX^α ∈ E{{X_1, ..., X_n}} (>>122) とする。
C(f) (>>124) から E への写像 f~ を f~(x) = f(x) により定義する。

i_1, ..., i_m を {1, ..., n} の元の任意の有限列とする。
任意の p ∈ C(f) に対して、∂_(i_1). . . ∂_(i_m)f~(p) が存在し、
∂_(i_1). . . ∂_(i_m)f(p) と一致する。
従って、∂_(i_1). . . ∂_(i_m)f~(p) は i_1, ..., i_m の順番によらない。

証明
>>151より明らかである。

153 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/08(月) 06:23:05
命題(過去スレ016の306の拡張)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
f = Σc_αX^α ∈ E{{X_1, ..., X_n}} (>>122) とする。
C(f) (>>124) から E への写像 f~ を f~(x) = f(x) により定義する。

このとき、任意の α ∈ (Z+)^n に対して、
C(f) の各点 p で (∂^α)f~(p) (>>146)が存在し、
(∂^α)f~(p) = (∂^α)f(p) となる。

証明
>>152より明らかである。

154 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/08(月) 06:25:04
命題(過去スレ016の307の拡張)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
f = Σc_αX^α ∈ E{{X_1, ..., X_n}} (>>122) とする。
C(f) (>>124) から E への写像 f~ を f~(x) = f(x) により定義する。

このとき、任意の α ∈ (Z+)^n に対して、
c_α = (1/α!)(∂^α)f~(0) である。

証明
>>153より、(∂^α)f~(0) = (∂^α)f(0) である。
>>145より、c_α = (1/α!)(∂^α)f(0) である。
よって、c_α = (1/α!)(∂^α)f~(0) である。
証明終

155 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/08(月) 06:26:42
命題(過去スレ016の308の拡張)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
f, g ∈ E{{X_1, ..., X_n}} (>>122) とする。
U を K^n の開集合で、0 ∈ U ⊂ C(f) ∩ C(g) とし、
U の各点 x で f(x) = g(x) とする。

このとき、f = g である。

証明
>>154より明らかである。

156 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/08(月) 06:30:02
過去スレ016の317の拡張
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
f = Σc_αX^α ∈ E{{X_1, ..., X_n}} (>>122) とする。
C(f) (>>124) から E への写像 f~ を f~(x) = f(x) により定義する。

>>155より、f は関数 f~ により一意に決まる。
よって、今後、関数 f~ を考えるときはこれを f と同一視することにする。

157 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/08(月) 06:36:37
命題(過去スレ016の318の拡張)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
任意の f ∈ E{{X_1, ..., X_n}} (>>122) は C(f) (>>124) 上で C^∞ 級である。

証明
i_1, ..., i_m を {1, ..., n} の元の任意の有限列とする。
>>152より、C(f) 上で ∂_(i_1). . . ∂_(i_m)f が存在し、
∂_(i_1). . . ∂_(i_m)f ∈ K{{X_1, ..., X_n}} である。

一方、>>121>>65より、任意の f ∈ E{{X_1, ..., X_n}} は
C(f) 上で連続である。
よって、∂_(i_1). . . ∂_(i_m)f は C(f) 上で連続である。
よって、過去スレ016の316より f は C^∞ 級である。
証明終

158 :132人目の素数さん:2010/02/08(月) 06:40:23
= Σc_αX^α ∈ E{{X_1, ..., X_n}} (>>122) とする。
C(f) (>>124) から E への写像 f~ を f~(x) = f(x) により定義する。

任意の i, j ∈ {1, ..., n} と任意の p ∈ C(f) に対して
(∂_i)(∂_j)f~(p) と (∂_j)(∂_i)f~(p) が存在し、
(∂_i)(∂_j)f~(p) = (∂_j)(∂_i)f~(p) となる。

証明
>>143より、任意の i ∈ {1, ..., n} に対して (∂_i)f~(p) = (∂_i)f(p) である。
>>147より、(∂_i)f は E{{X_1, ..., X_n}} の元である。
よって、任意の j ∈ {1, ..., n

159 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/08(月) 06:42:51
定義(過去スレ016の319の拡張)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
U を K^n の開集合とし、f: U → E を写像とする。

U の任意の点 a に対して f_a ∈ E{{X_1, ..., X_n}} (>>122) と、
a の近傍 V_a ⊂ U があり、V_a 上の各点 x で x - a ∈ C(f_a) (>>124) となり、
f(x) = f_a(x - a) となるとする。

このとき、f を C^ω級である、または解析的(analytic)または K-解析的であるという。
K が実数体のとき f を実解析的という。
K が複素数体のとき f を複素解析的または正則(holomorphic)であるという。

解析的写像のことを略して解析写像ともいう。

160 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/08(月) 08:04:44
命題
K を実数体または複素数体とする。
任意の r ∈ (R++)^n に対して、A_r(K^n, K) (>>122) は
K 上のノルム環(過去スレ006の694)である。

証明
f = Σa_αX^α と g = Σb_βX^β を A_r(K^n, K) の元とする。

|f + g|_r
= Σ|a_α + b_α|r^α
≦ Σ(|a_α| + |b_α|)r^α
= |f|_r + |g|_r

|fg|_r
= Σ|a_α||b_β|r^(α+β)
= (Σ|a_α|r^α)(Σ|b_β|r^β)
= (|f|_r)(|g|_r)

明らかに、K の任意の元 a に対して |a|_r = |a|

以上から A_r(K^n, K) は K 上のノルム環である。
証明終

161 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/08(月) 08:06:54
>>160
A_r(K^n, K) はノルム環として完備であるが、この事実は今は必要ない。

162 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/08(月) 08:22:35
命題
K を実数体または複素数体とする。
K{{X_1, ..., X_n}} (過去スレ016の275) は
K[[X_1, ..., X_n]] (過去スレ016の266)の部分環である。
従って K{{X_1, ..., X_n}} は整域である。

証明
f と g を K{{X_1, ..., X_n}} の元とする。
f ∈ A_r(K^n, K), g ∈ A_s(K^n, K) となる r, s ∈ (R++)^n がある。
r = (r_1, ..., r_n)
s = (s_1, ..., s_n)
とする。

t_i = inf(r_i, s_i), i = 1, ..., n
t = (t_1, ..., t_n)
とおく。

f ∈ A_t(K^n, K), g ∈ A_t(K^n, K) である。
>>160より、 f + g ∈ A_t(K^n, K), fg ∈ A_t(K^n, K)
よって、K{{X_1, ..., X_n}} は K[[X_1, ..., X_n]] の部分環である。

K[[X_1, ..., X_n]] は整域であるからその部分環 K{{X_1, ..., X_n}} も整域である。
証明終

163 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/08(月) 09:21:30
命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
任意の r ∈ (R++)^n に対して、A_r(K^n, E) (>>122) は
| |_r に関して K 上のノルム空間(過去スレ006の561)である。

証明
f = Σa_αX^α と g = Σb_βX^β を A_r(K^n, E) の元とする。

|f + g|_r
= Σ|a_α + b_α|r^α
≦ Σ(|a_α| + |b_α|)r^α
= |f|_r + |g|_r

任意の c ∈ K, f ∈ A_r(K^n, E) に対して |cf|_r = Σ|ca_α|r^α = |c||f|_r

|f|_r = Σ|a_α|r^α = 0 なら全ての |a_α| = 0 である。
よって、f = 0 である。

以上から A_r(K^n, E) は K 上のノルム空間である。
証明終

164 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/08(月) 09:35:18
命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。

f = Σa_αX^α ∈ A_r(K^n, K) (>>122) と
g = Σb_βX^β ∈ A_r(K^n, E) (>>122) の積 fg ∈ A_r(K^n, E) が
fg = Σa_αb_βX^(α+β) により定義される。
このとき、|fg|_r = (|f|_r)(|g|_r) である。
この積より A_r(K^n, E) は環 A_r(K^n, K) 上の加群になる。

証明
f = Σa_αX^α ∈ A_r(K^n, K) と
g = Σb_βX^β ∈ A_r(K^n, E) の元とする。

|fg|_r
= Σ|a_α||b_β|r^(α+β)
= (Σ|a_α|r^α)(Σ|b_β|r^β)
= (|f|_r)(|g|_r) < +∞

よって、fg ∈ A_r(K^n, E) である。

>>160より、A_r(K^n, K) は環であるから
A_r(K^n, E) は A_r(K^n, K) 上の加群になる。
証明終

165 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/08(月) 09:41:48
命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
E{{X_1, ..., X_n}} (>>122) は
K{{X_1, ..., X_n}} (過去スレ016の275)上の加群である。

証明
f = Σa_αX^α ∈ K{{X_1, ..., X_n}}
g = Σb_βX^β ∈ E{{X_1, ..., X_n}}
とする。

f ∈ A_r(K^n, K), g ∈ A_s(K^n, E) となる r, s ∈ (R++)^n がある。
r = (r_1, ..., r_n)
s = (s_1, ..., s_n)
とする。

t_i = inf(r_i, s_i), i = 1, ..., n
t = (t_1, ..., t_n)
とおく。

f ∈ A_t(K^n, K), g ∈ A_t(K^n, E) である。
>>164より、 fg ∈ A_t(K^n, K)
よって、E{{X_1, ..., X_n}} は K[[X_1, ..., X_n]] 上の加群である。
証明終

166 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/08(月) 12:23:11
>>161の事実を使う場合があるので証明する。

命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。

このとき、任意の r ∈ (R++)^n に対して、A_r(K^n, E) (>>122) は
| |_r に関して K 上の Banach空間である。

証明
>>163より、A_r(K^n, E) は | |_r に関して
K 上のノルム空間(過去スレ006の561)である。
よって、A_r(K^n, E) が | |_r に関して完備であることを証明すればよい。

(f_n), n = 1, 2, ... を A_r(K^n, E) の Cauchy列とする。
f_n = Σc_(n, α)X^α とする。
任意の ε > 0 に対して m ≧ 1 があり、i, j ≧ m なら
|f_i - f_j|_r < ε である。

各 α ∈ (Z+)^n に対して
|c_(i, α) - c_(j, α)|r^α
≦ Σ|c_(i, α) - c_(j, α)|r^α
= |f_i - f_j|_r < ε

よって、
|c_(i, α) - c_(j, α)| < ε/r^α

よって、(c_(n, α)), n = 1, 2, ... は E におけるCauchy列である。
E は完備だから c_α = lim c_(n, α) が存在する。
f = Σc_αX^α とおく。

(続く)

167 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/08(月) 12:23:56
>>166の続き

n → +∞ のとき、|f - f_n|_r → 0 を示そう。


任意の ε > 0 に対して m ≧ 1 があり、i ≧ j ≧ m なら
|f_i - f_j|_r < ε である。

|c_α - c_(j, α)| ≦ |c_α - c_(i, α)| + |c_(i, α) - c_(j, α)| より、
任意の整数 k ≧ 0 に対して
Σ[|α| ≦ k] |c_α - c_(j, α)|r^α
≦ Σ[|α| ≦ k] |c_α - c_(i, α)|r^α + Σ[|α| ≦ k] |c_(i, α) - c_(j, α)|r^α
< Σ[|α| ≦ k] |c_α - c_(i, α)|r^α + ε

i を十分大きくすれば Σ[|α| ≦ k] |c_α - c_(i, α)|r^α < ε

よって、
Σ[|α| ≦ k] |c_α - c_(j, α)|r^α < 2ε

k → +∞ として、
|f - f_j|_r = Σ|c_α - c_(j, α)|r^α ≦ 2ε

よって、
n → +∞ のとき、|f - f_n|_r → 0 である。

よって、十分大きい n に対して
|f|_r = |f - f_n + f_n|_r ≦ |f - f_n|_r + |f_n|_r < +∞
よって、f ∈ A_r(K^n, E) である。
証明終

168 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/08(月) 14:11:14
命題
K を自明でない絶対値(過去スレ006の414,422)をもつ可換体とする。
E, F, G を K 上の完備なノルム空間(過去スレ006の561)とする。
u: E×F → G を連続な双線型写像とする。

I と J を(可算とは限らない)任意の集合とする。
(x_i), i ∈ I を I を添字集合とする E の元の族とする。
(y_j), j ∈ J を J を添字集合とする F の元の族とする。

(x_i) と (y_j) がそれぞれ絶対総和可能(過去スレ006の697)とする。
過去スレ006の735より、(x_i) と (y_j) はそれぞれ総和可能(過去スレ006の147)である。

このとき、(u(x_i, y_j)) は絶対総和可能で、
u(Σx_i, Σy_j) = Σu(x_i, y_j)

証明
u は連続な双線型写像であるから過去スレ007の134より、M > 0 があり、
任意の x ∈ E, y ∈ F に対して、u(x, y) ≦ M|x||y|である。

よって、H ⊂ I と K ⊂ J をそれぞれ I と J の有限部分集合とすると、
Σ[(i, j) ∈ H×K] |u(x_i, y_j)| ≦ M(Σ[i ∈ H] |x_i|)(Σ[j ∈ K] |y_j|)
この右辺は有界であるから過去スレ006の698より (u(x_i, y_j)) は絶対総和可能である。
よって、過去スレ006の735より、(u(x_i, y_j)) は総和可能である。

よって、
Σu(x_i, y_j)
= Σ[i ∈ I] Σ[j ∈ J] u(x_i, y_j) ← 過去スレ006の164より
= Σ[i ∈ I] u(x_i, Σy_j) ← u の連続性より
= u(Σx_i, Σy_j) ← u の連続性より
証明終

169 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/08(月) 21:05:06
>>168の別証

命題
K を自明でない絶対値(過去スレ006の414,422)をもつ可換体とする。
E, F, G を K 上の完備なノルム空間(過去スレ006の561)とする。
u: E×F → G を連続な双線型写像とする。

I と J を(可算とは限らない)任意の集合とする。
(x_i), i ∈ I を I を添字集合とする E の元の族とする。
(y_j), j ∈ J を J を添字集合とする F の元の族とする。

(x_i) と (y_j) がそれぞれ絶対総和可能(過去スレ006の697)とする。
過去スレ006の735より、(x_i) と (y_j) はそれぞれ総和可能(過去スレ006の147)である。

このとき、(u(x_i, y_j)) は絶対総和可能で、
u(Σx_i, Σy_j) = Σu(x_i, y_j)

証明
Φ(I), Φ(J), Φ(I×J) をそれぞれ I, J, I×J の有限部分集合全体とする。

u は連続な双線型写像であるから過去スレ007の134より、M > 0 があり、
任意の x ∈ E, y ∈ F に対して、u(x, y) ≦ M|x||y|である。

よって、H ∈ Φ(I) と L ⊂ Φ(J) とすると、
Σ[(i, j) ∈ H×L] |u(x_i, y_j)| ≦ M(Σ[i ∈ H] |x_i|)(Σ[j ∈ L] |y_j|)
この右辺は有界であるから過去スレ006の698より (u(x_i, y_j)) は絶対総和可能である。
よって、過去スレ006の735より、(u(x_i, y_j)) は総和可能である。

(続く)

170 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/08(月) 21:06:14
>>169の続き

H ∈ Φ(I) と L ⊂ Φ(J) に対して、
S(H) = Σ[i ∈ H] x_i
S(L) = Σ[j ∈ L] y_j
とおく。

T ∈ Φ(I×J) のとき、
S(T) = Σ[(i, j) ∈ T] u(x_i, y_j)
とおく。

S(H×L) = u(S(H), S(L)) である。

s = Σu(x_i, y_j) とおく。
(u(x_i, y_j)) は総和可能であるから、
任意の ε > 0 に対して、T_0 ∈ Φ(I×J) があり、
T_0 ⊂ T ∈ Φ(I×J) のとき、
|s - S(T)| < ε である。

一方、
H_0 ∈ Φ(I)
L_0 ∈ Φ(J)
があり、
H_0 ⊂ H ∈ Φ(I)
L_0 ⊂ L ∈ Φ(J)
のとき、
|S(H) - Σx_i| < ε
|S(L) - Σy_j| < ε

(続く)

171 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/08(月) 21:07:09
>>170の続き

よって、
|S(H×L) - u(Σx_i, Σy_j)|
= |u(S(H), S(L)) - u(Σx_i, Σy_j)|
= |u(S(H), S(L)) - u(S(H), Σy_j) + u(S(H), Σy_j) - u(Σx_i, Σy_j)|
≦ |u(S(H), S(L)) - u(S(H), Σy_j)| + |(u(S(H), Σy_j) - u(Σx_i, Σy_j)|
= |u(S(H), S(L) - Σy_j)| + |u(S(H) - Σx_j, Σy_j)|
≦ M(|S(H)||S(L) - Σy_j| + |S(H) - Σx_j||Σy_j|)
< Mε(|S(H)| + |Σy_j|)
≦ Mε(|Σx_i| + |Σy_j|)

p_1: I×J → I
p_2: I×J → J
を射影とする。

H_1 = H_0 ∪ p_1(T_0)
L_1 = L_0 ∪ p_2(T_0)
とおく。

T_0 ⊂ p_1(T_0)×p_2(T_0) ⊂ (H_1)×(L_1) である。

(H_1)×(L_1) ⊂ T ∈ Φ(I×J) とする。

T_0 ⊂ (H_1)×(L_1) ⊂ T ⊂ p_1(T)×p_2(T)
H_0 ⊂ p_1(T)
L_0 ⊂ p_2(T)
である。

(続く)

172 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/08(月) 21:07:53
>>171の続き

よって、
|S(p_1(T)×p_2(T)) - u(Σx_i, Σy_j)| ≦ Mε(|Σx_i| + |Σy_j|)
|S(p_1(T)×p_2(T)) - s| < ε
よって、
|s - u(Σx_i, Σy_j)| ≦ ε(M(|Σx_i| + |Σy_j|) + 1)

ε > 0 は任意だから
s = u(Σx_i, Σy_j)
証明終

173 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/08(月) 21:31:00
命題
K を実数体または複素数体とする。
E, F, G を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
u: E×F → G を連続な双線型写像とする。

f = Σa_αX^α ∈ A_r(K^n, E) (>>122) と
g = Σb_βX^β ∈ A_r(K^n, F) に対して、
P(f, g) = Σu(a_α, b_β)X^(α+β) ∈ A_r(K^n, G) である。

P: A_r(K^n, E)×A_r(K^n, F) → A_r(K^n, G) は K 上の双線型写像である。

さらに u のみで定まる定数 M > 0 があり、
|P(f, g)|_r ≦ M(|f|_r)(|g|_r)
よって、U は連続な双線型写像である。

また、任意の x ∈ U(0, r) (>>89) に対して、
P(f, g)(x) = u(f(x), g(x))

証明
u は連続な双線型写像であるから過去スレ007の134より、M > 0 があり、
任意の x ∈ E, y ∈ F に対して、u(x, y) ≦ M|x||y|である。

よって、
|P(f, g)|_r
= Σ|u(a_α, b_β)|r^(α+β)
≦ M(Σ|a_α||a_β|r^(α+β))
= M(Σ|a_α|r^α)(Σ|a_β|r^β)
= M(|f|_r)(|g|_r)

よって、P(f, g) ∈ A_r(K^n, G)

(続く)

174 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/08(月) 21:31:43
>>173の続き

f = Σa_αX^α ∈ A_r(K^n, E) と
h = Σc_αX^α ∈ A_r(K^n, E) と
g = Σb_βX^β ∈ A_r(K^n, F) に対して、

P(f + h, g)
= Σu(a_α + c_α, b_β)X^(α+β)
= Σu(a_α, b_β)X^(α+β) + Σu(c_α, b_β)X^(α+β)
= P(f, g) + P(h, g)

よって、P(f, g) は K 上の双線型写像である。

任意の f = Σa_αX^α ∈ A_r(K^n, E) と
任意の x ∈ U(0, r) に対して、
Σ|a_α||x|^α ≦ Σ|a_α|r^α < +∞ であるから
f(x) = Σa_αx^α は絶対総和可能である。

よって、>>168より、
f = Σa_αX^α ∈ A_r(K^n, E) と
g = Σb_βX^β ∈ A_r(K^n, F) と
任意の x ∈ U(0, r) に対して、
P(f, g)(x) = Σu(a_α, b_β)x^(α+β) = Σu(a_αx^α, b_βx^β)
= u(Σa_αx^α, Σb_βx^β)
= u(f(x), g(x))
証明終

175 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/08(月) 22:35:21
命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
r ∈ (R++)^n とする。

このとき、任意の f = Σa_αX^α ∈ A_r(K^n, E) (>>122) と
任意の x ∈ U(0, r) (>>89) に対して、
|f(x)| ≦ |f|_r となる。
よって、f ∈ A_r(K^n, E) (>>122) に f(x) ∈ E を対応させる写像は
連続な線型写像である。

証明
f → f(x) が線型写像であることは明らかである。

|f(x)| = |Σa_αx^α| ≦ Σ|a_α|r^α = |f|_r
よって、f → f(x) は連続である。
証明終

176 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/08(月) 23:39:52
命題
K を実数体または複素数体とする。
任意の f, g ∈ A_r(K^n, K) (>>122) と
任意の x ∈ U(0, r) (>>89) に対して、
(fg)(x) = f(x)g(x)

証明
写像 u: K×K → K を u(x, y) = xy により定義する。
u は連続な双線型写像である。
よって、本命題は>>173より得られる。
証明終

177 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/08(月) 23:43:50
命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。

f = Σa_αX^α ∈ A_r(K^n, E) (>>122)
g = (g_1, ..., g_n) ∈ A_s(K^m, K^n)
|g_i|_s ≦ r_i, i = 1, ..., n
とする。
ここで、各 g_i ∈ A_s(K^m, K) である。

このとき、h = Σa_αg(X)^α ∈ A_s(K^m, E)
|h|_s ≦ |f|_r
となる。

さらに、x ∈ U(0, s) ⊂ K^m のとき、h(x) = f(g(x))

証明
>>160より、A_s(K^m, K) は環であるから
各 α ∈ (Z+)^n に対して、g(X)^α ∈ A_s(K^m, K) である。

|g(X)^α|_s
= |Π(g_i(X))^(α_i)|_s
= Π(|g_i(X)|_s)^(α_i) ← >>160より
≦ r^α

(続く)

178 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/08(月) 23:44:34
>>177の続き

>>164より A_s(K^m, E) は環 A_s(K^m, K) 上の加群になる。
よって、a_αg(X)^α ∈ A_s(K^m, E)

|a_αg(X)^α|_s = |a_α||g(X)^α|_s ≦ |a_α|r^α

|f|_r = Σ|a_α|r^α < +∞ であるから、過去スレ006の700より、
族 (|a_αg(X)^α|_s), α ∈ (Z+)^n は総和可能である。
即ち、族 (a_αg(X)^α) は絶対総和可能(過去スレ006の697)である。
>>166より A_s(K^m, E)はが完備だから過去スレ006の735より、
族 (a_αg(X)^α) は総和可能である。
よって、Σa_αg(X)^α ∈ A_s(K^m, E)

|Σa_αg(X)^α|_s ≦ Σ|a_αg(X)^α|_s ≦ Σ|a_α|r^α = |f|_r

>>175>>176より、x ∈ U(0, s) のとき
h(x) = Σa_αg(x)^α

この右辺は f(g(x)) である。
証明終

179 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/09(火) 00:05:34
>>173
>よって、U は連続な双線型写像である。

よって、P は連続な双線型写像である。


180 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/09(火) 00:06:22
>>173
>また、任意の x ∈ U(0, r) (>>89) に対して、

また、任意の x ∈ B(0, r) (>>89) に対して、


181 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/09(火) 00:10:31
>>173の修正

命題
K を実数体または複素数体とする。
E, F, G を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
u: E×F → G を連続な双線型写像とする。

f = Σa_αX^α ∈ A_r(K^n, E) (>>122) と
g = Σb_βX^β ∈ A_r(K^n, F) に対して、
P(f, g) = Σu(a_α, b_β)X^(α+β) ∈ A_r(K^n, G) である。
P: A_r(K^n, E)×A_r(K^n, F) → A_r(K^n, G) は K 上の双線型写像である。

さらに u のみで定まる定数 M > 0 があり、
|P(f, g)|_r ≦ M(|f|_r)(|g|_r)
よって、P は連続な双線型写像である。

また、任意の x ∈ B(0, r) (>>89) に対して、
P(f, g)(x) = u(f(x), g(x))

証明
u は連続な双線型写像であるから過去スレ007の134より、M > 0 があり、
任意の x ∈ E, y ∈ F に対して、u(x, y) ≦ M|x||y|である。

よって、
|P(f, g)|_r
= Σ|u(a_α, b_β)|r^(α+β)
≦ M(Σ|a_α||a_β|r^(α+β))
= M(Σ|a_α|r^α)(Σ|a_β|r^β)
= M(|f|_r)(|g|_r)
よって、P(f, g) ∈ A_r(K^n, G)

(続く)

182 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/09(火) 00:11:20
>>181の続き

f = Σa_αX^α ∈ A_r(K^n, E) と
h = Σc_αX^α ∈ A_r(K^n, E) と
g = Σb_βX^β ∈ A_r(K^n, F) に対して、

P(f + h, g)
= Σu(a_α + c_α, b_β)X^(α+β)
= Σu(a_α, b_β)X^(α+β) + Σu(c_α, b_β)X^(α+β)
= P(f, g) + P(h, g)

よって、P(f, g) は K 上の双線型写像である。

任意の f = Σa_αX^α ∈ A_r(K^n, E) と
任意の x ∈ B(0, r) に対して、
Σ|a_α||x|^α ≦ Σ|a_α|r^α < +∞ であるから
f(x) = Σa_αx^α は絶対総和可能である。

よって、>>168より、
f = Σa_αX^α ∈ A_r(K^n, E) と
g = Σb_βX^β ∈ A_r(K^n, F) と
任意の x ∈ B(0, r) に対して、
P(f, g)(x) = Σu(a_α, b_β)x^(α+β) = Σu(a_αx^α, b_βx^β)
= u(Σa_αx^α, Σb_βx^β)
= u(f(x), g(x))
証明終

183 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/09(火) 00:12:54
>>175の修正

命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
r ∈ (R++)^n とする。

このとき、任意の f = Σa_αX^α ∈ A_r(K^n, E) (>>122) と
任意の x ∈ B(0, r) (>>89) に対して、
|f(x)| ≦ |f|_r となる。
よって、f ∈ A_r(K^n, E) (>>122) に f(x) ∈ E を対応させる写像は
連続な線型写像である。

証明
f → f(x) が線型写像であることは明らかである。

|f(x)| = |Σa_αx^α| ≦ Σ|a_α|r^α = |f|_r
よって、f → f(x) は連続である。
証明終

184 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/09(火) 00:14:36
>>175の修正

命題
K を実数体または複素数体とする。
任意の f, g ∈ A_r(K^n, K) (>>122) と
任意の x ∈ B(0, r) (>>89) に対して、
(fg)(x) = f(x)g(x)

証明
写像 u: K×K → K を u(x, y) = xy により定義する。
u は連続な双線型写像である。
よって、本命題は>>181より得られる。
証明終

185 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/09(火) 00:16:29
>>184>>175>>176の間違い


186 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/09(火) 00:17:51
>>176の修正

命題
K を実数体または複素数体とする。
任意の f, g ∈ A_r(K^n, K) (>>122) と
任意の x ∈ B(0, r) (>>89) に対して、
(fg)(x) = f(x)g(x)

証明
写像 u: K×K → K を u(x, y) = xy により定義する。
u は連続な双線型写像である。
よって、本命題は>>181より得られる。
証明終

187 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/09(火) 00:25:53
>>177の修正

命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。

f = Σa_αX^α ∈ A_r(K^n, E) (>>122)
g = (g_1, ..., g_n) ∈ A_s(K^m, K^n)
|g_i|_s ≦ r_i, i = 1, ..., n
とする。
ここで、各 g_i ∈ A_s(K^m, K) である。

このとき、h = Σa_αg(X)^α ∈ A_s(K^m, E)
|h|_s ≦ |f|_r
となる。

さらに、x ∈ B(0, s) ⊂ K^m のとき、h(x) = f(g(x))

証明
>>160より、A_s(K^m, K) は環であるから
各 α ∈ (Z+)^n に対して、g(X)^α ∈ A_s(K^m, K) である。

|g(X)^α|_s
= |Π(g_i(X))^(α_i)|_s
= Π(|g_i(X)|_s)^(α_i) ← >>160より
≦ r^α

(続く)

188 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/09(火) 00:26:43
>>187の続き

>>164より A_s(K^m, E) は環 A_s(K^m, K) 上の加群になる。
よって、a_αg(X)^α ∈ A_s(K^m, E)

|a_αg(X)^α|_s = |a_α||g(X)^α|_s ≦ |a_α|r^α

|f|_r = Σ|a_α|r^α < +∞ であるから、過去スレ006の700より、
族 (|a_αg(X)^α|_s), α ∈ (Z+)^n は総和可能である。
即ち、族 (a_αg(X)^α) は絶対総和可能(過去スレ006の697)である。
>>166より A_s(K^m, E)はが完備だから過去スレ006の735より、
族 (a_αg(X)^α) は総和可能である。
よって、Σa_αg(X)^α ∈ A_s(K^m, E)

|Σa_αg(X)^α|_s ≦ Σ|a_αg(X)^α|_s ≦ Σ|a_α|r^α = |f|_r

>>183より、x ∈ B(0, s) のとき |g_i(x)| ≦ |g_i|_s ≦ r_i
よって、g(x) ∈ B(0, r)

よって、>>183>>186より、
h(x) = Σa_αg(x)^α

この右辺は f(g(x)) である。
証明終

189 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/09(火) 10:03:00
解析写像の性質を調べるため形式的べき級数環について基本的なことを述べる。

190 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/09(火) 12:30:54
命題
G をアーベル群とし、
G = G_0 ⊃ G_1 ⊃ . . . を G の部分群の降列とする。
即ち、G はフィルター付きアーベル群(過去スレ003の92)である。

過去スレ006の590より、G の単位元の基本近傍系として (G_n), n = 0, 1, ...
をとることにより G は位相アーベル群となる。

各 n に対して ψ_n: G → G/G_n を標準射とする。
n ≦ m のときアーベル群の射 f_nm: G/G_m → G/G_n を
x ∈ G のとき f_nm(ψ_m(x)) = ψ_n(x) で定義する。
x ≡ y (mod G_m) のとき x ≡ y (mod G_n) だから
これは矛盾なく定義出来る。

明らかに (G/G_n, f_nm) はアーベル群の射影系である。
よって射影極限(定義は例えばWikipedia参照) proj.lim G/G_n が定義される。
f: G → proj.lim G/G_n を標準射とする。

このとき、G が位相アーベル群として分離かつ完備であるためには
f がアーベル群としての同型であることが必要十分である。

証明
必要性:
G が分離かつ完備であるとする。
G は分離だから ∩G_n = 0 である。
Ker(f) = ∩G_n であるから f は単射である。

(続く)

191 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/09(火) 12:31:43
>>190の続き

ξ = (ξ_n) を proj.lim G/G_n の任意の元とする。
各 n に対し ξ_n = ψ_n(x_n) とする。
n ≦ m のとき f_nm(ξ_m) = ξ_n であるから x_n ≡ x_m (mod G_n) である。
よって、(x_n) はCauchy列である。
G は完備であるから x = lim x_n が存在する。
よって、任意の n に対して整数 ν(n) ≧ 0 があり、m ≧ ν(n) なら
x ≡ x_m (mod G_n) となる。
よって、m ≧ sup(ν(n), n) とすれば
x ≡ x_m (mod G_n) かつ x_n ≡ x_m (mod G_n)
よって、x ≡ x_n (mod G_n)
よって、f(x) = (ψ_n(x)) = (ψ_n(x_n)) = ξ
よって、f は全射である。

十分性:
f がアーベル群としての同型であるとする。
Ker(f) = ∩G_n であるから
f の単射性より、∩G_n = 0 である。
よって G は分離である。

(x_n), n = 0, 1, ... を G のCauchy列とする。
任意の n に対して整数 ν(n) ≧ 0 があり、m ≧ ν(n) なら
x_m ≡ x_(m+1) (mod G_n) である。
よって、G/G_n の元 ξ_n = ψ_n(x_m) が定まる。
ξ = (ξ_n) は proj.lim G/G_n の元である。
よって、f の全射性より f(x) = ξ となる x がある。
f(x) = (ψ_n(x)) = (ξ_n) であるから、
任意の n に対して m ≧ ν(n) なら x ≡ x_m (mod G_n) である。
よって、x = lim x_n である。
よって、G は完備である。
証明終

192 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/09(火) 12:47:38
A を可換環、I を そのイデアルとする。
A は (I^n), n = 0, 1, ... によりフィルター付環(過去スレ003の91)になる。

過去スレ006の593より、A の 0 の基本近傍系として (I^n), n = 0, 1, ...
をとることにより A は位相環となる。

n ≦ m のとき環の射 f_nm: A/I^m → A/I^n が自然に定義され
(A/I^n, f_nm) は環の射影系になる。
f: A → proj.lim A/I^n を標準射とする。
>>190より、A が位相環として分離かつ完備であるためには
f が環としての同型であることが必要十分である。

193 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/09(火) 18:00:14
定義
A を可換環、I を そのイデアルとする。
A は (I^n), n = 0, 1, ... によりフィルター付環(過去スレ003の91)になる。
過去スレ006の593より、A の 0 の基本近傍系として (I^n), n = 0, 1, ...
をとることにより A は位相環となる。
A のこの位相を A の I-進位相という。

194 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/09(火) 18:11:29
定義
A を可換環とし、B = A[[X_1, ..., X_n]] を A 上の形式的べき級数環とする。
f = Σf_k を B の任意の元とする。
ここで f_k (k = 0, 1, 2, ...) は A 係数の k 次の n 変数同次式である。

ord(f) = inf {k ; f_k ≠ 0 } とおく。
f = 0 のとき、ord(f) = +∞ とする。

ord(f) は f の位数(order)と言う。

195 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/09(火) 18:15:39
命題
A を可換環とし、B = A[[X_1, ..., X_n]] を A 上の形式的べき級数環とする。

f, g ∈ B に対して以下が成り立つ。

1) ord(f + g) ≧ inf(f, g)

2) ord(fg) ≧ ord(f) + ord(g)

3) A が整域で f ≠ 0, g ≠ 0 のとき
ord(fg) = ord(f) + ord(g)

証明
ほとんど自明なので証明を省略する。

196 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/09(火) 18:18:10
命題
A を可換環とし、B = A[[X_1, ..., X_n]] を A 上の形式的べき級数環とする。

A が整域のとき B も整域である。

証明
>>195の 3) より明らかである。

197 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/09(火) 18:35:56
補題
A を可換環とし、B = A[[X_1, ..., X_n]] を A 上の形式的べき級数環とする。

f = Σf_k を B の元とする。
ここで、各 f_k は f の k 次の同次成分である。
f_0 は A の可逆元であるとする。

このとき、B の任意の元 h に対して
h = fg となる g ∈ B が一意に定まる。

証明
h = Σh_k
g = Σg_k
とする。

h_0 = (f_0)(g_0)
h_1 = (f_0)(g_1) + (f_1)(g_0)
h_2 = (f_0)(g_2) + (f_1)(g_1) + (f_2)(g_0)
.
.
.
h_n = (f_0)(g_n) + (f_1)(g_(n-1)) + ... + (f_n)(g_0)
.
.
.
である。

f_0 は A の可逆元であるから、n に関する帰納法より、f と h から
g の各同次成分が一意に定まる。
証明終

198 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/09(火) 18:41:19
命題
A を可換環とし、B = A[[X_1, ..., X_n]] を A 上の形式的べき級数環とする。
f = Σf_k を B の元とする。
ここで、各 f_k は f の k 次の同次成分である。

f が B の可逆元であるためには f_0 が A の可逆元であることが必要十分である。

証明
f が B の可逆元であるとし、fg = 1 とする。
g = Σg_k とすれば、(f_0)(g_0) = 1 である。
よって、f_0 は A の可逆元である。

逆に f_0 が A の可逆元であるとする。
>>197において、h = 1 とすれば f は B の可逆元である。
証明終

199 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/09(火) 19:13:04
命題
A を局所環とし、I をその極大イデアルとする。

このとき、B = A[[X_1, ..., X_n]] も局所環であり、
その極大イデアルは
IB + (X_1, ..., X_n)B = {Σf_k ∈ B; f_0 ∈ I}
である。

証明
まず、等式 IB + (X_1, ..., X_n)B = {Σf_k ∈ B; f_0 ∈ I} を証明する。
右辺を J とおく
f ∈ IB + (X_1, ..., X_n)B とする。
f = g + h, g ∈ IB, h ∈ (X_1, ..., X_n)B と書ける。
f_0 = g_0 + h_0 であり、g_0 ∈ I, h_0 = 0 である。
よって、f_0 ∈ I となり、f ∈ J である。
よって、IB + (X_1, ..., X_n)B ⊂ J である。

逆に f = Σf_k ∈ J とする。
g = f_1 + f_2 + . . . とおく。
g ∈ (X_1, ..., X_n)B である。
f = f_0 + g であり、f_0 ∈ I であるから f ∈ IB + (X_1, ..., X_n)B である。
よって、J ⊂ IB + (X_1, ..., X_n)B である。

次に J が唯一の極大イデアルであることを証明する。
f ∈ B - J とする。
f_0 ∈ A - I であり、I は A の唯一の極大イデアルであるから
f_0 は A の可逆元である。
よって、>>198より f は B の可逆元である。
よって、J は B の唯一の極大イデアルである。
証明終

200 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/09(火) 20:09:53
命題
A を可換環とし、B = A[X_1, ..., X_n]] を A 上の形式的べき級数環
I = (X_1, ..., X_n)B を X_1, ..., X_n で生成される B のイデアルとする。
B は I-進位相(>>193)で位相環となる。

このとき、B は位相環として分離かつ完備である。

証明
まず I^k = {f ∈ B; ord(f) ≧ k} に注意する。
各 k に対して ψ_k: B → B/I^k を標準射とする。
g, h ∈ B で g ≡ h (mod I^k) とは g と h の次数 < k の同次成分が
全て一致することと同じである。

ψ: B → proj.lim B/I^k を標準射とする。
I^k = {f ∈ B; ord(f) ≧ k} より、∩I^k = 0 である。
よって、ψ は単射である。

ξ = (ξ_k) を proj.lim B/I^k の任意の元とする。
ξ_k = ψ_k(f_k) とする。
k ≦ m のとき f_k ≡ f_m (mod I^k) である。
即ち、f_k と f_m の次数 < k の同次成分は全て一致する。
よって、各整数 k ≧ 0 に対して f_(k+1) の k 次の同次成分 g_k は
ξ により一意に決まる。
g = Σg_k とおく。
各 k に対して g ≡ f_k (mod I^k) であるから ψ(g) = ξ である。
よって、ψ は全射である。

以上から ψ は同型となり、>>192より B は位相環として分離かつ完備である。
証明終

201 :132人目の素数さん:2010/02/09(火) 20:34:11
>>200
Aは単なる可換環でいいんですか?

202 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/09(火) 23:48:22
>>201
いいです


203 :132人目の素数さん:2010/02/10(水) 00:10:06
Aの閉包は何になるんでしょうか?

204 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/10(水) 05:18:56
>>203
A は B の閉集合です。
理由はご自分で考えてください。


205 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/10(水) 06:45:15
>>200の修正

命題
A を可換環とし、B = A[[X_1, ..., X_n]] を A 上の形式的べき級数環
I = (X_1, ..., X_n)B を X_1, ..., X_n で生成される B のイデアルとする。
B は I-進位相(>>193)で位相環となる。

このとき、B は位相環として分離かつ完備である。

証明
まず I^k = {f ∈ B; ord(f) ≧ k} に注意する。
各 k に対して ψ_k: B → B/I^k を標準射とする。

ψ: B → proj.lim B/I^k を標準射とする。
I^k = {f ∈ B; ord(f) ≧ k} より、∩I^k = 0 である。
よって、ψ は単射である。

ξ = (ξ_k) を proj.lim B/I^k の任意の元とする。
ξ_k = ψ_k(f_k) とする。
g, h ∈ B で g ≡ h (mod I^k) とは g と h の次数 < k の同次成分が
全て一致することと同じである。
よって各整数 k ≧ 0 に対して f_(k+1) の k 次以下の同次成分の和 g_k は
ξ により一意に決まる。

k + 1 ≦ m のとき f_(k+1) ≡ f_m (mod I^(k+1)) である。
よって、k + 1 ≦ m のとき g_m の k 次以下の同次成分の和 は g_k である。
よって、B の元 g で各 k に対して
g ≡ g_k (mod I^(k+1))
となるものが一意に存在する。

(続く)

206 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/10(水) 06:45:58
>>205の続き

各 k ≧ 0 に対して
g_k ≡ f_(k+1) (mod I^(k+1))
よって、
g ≡ f_(k+1) (mod I^(k+1))

よって、ψ(g) = ξ である。
よって、ψ は全射である。

以上から ψ は同型となり、>>192より B は位相環として分離かつ完備である。
証明終

207 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/10(水) 07:52:57
命題
G をアーベル群とし、
G = G_0 ⊃ G_1 ⊃ . . . を G の部分群の降列とする。
即ち、G はフィルター付きアーベル群(過去スレ003の92)である。
過去スレ006の590より、G の単位元の基本近傍系として (G_n), n = 0, 1, ...
をとることにより G は位相アーベル群となる。
(x_n), n = 1, 2, . . . を G の点列とする。

このとき、(x_n) がCauchy列になるためには
lim (x_(n+1) - x_n) = 0 が必要十分である。

証明
(x_n) がCauchy列とする。
任意の G_k に対して n_0 があり n, m ≧ n_0 なら
x_n - x_m ∈ G_k となる。
よって、n ≧ n_0 なら x_(n+1) - x_n ∈ G_k である。
よって、lim (x_(n+1) - x_n) = 0 である。

逆に lim (x_(n+1) - x_n) = 0 とする。
任意の G_k に対して n_0 があり n ≧ n_0 なら
x_(n+1) - x_n ∈ G_k となる。
よって、n ≧ n_0, p > 0 のとき、
x_(n+p) - x_n
= (x_(n+p) - x_(n + p - 1)) + . . . + (x_(n+1) - x_n) ∈ G_k + ... + G_k ⊂ G_k
よって、(x_n) はCauchy列である。
証明終

208 :132人目の素数さん:2010/02/10(水) 08:01:37
>>204 Aは完備になるんですね?

209 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/10(水) 08:04:48
命題
G をアーベル群とし、
G = G_0 ⊃ G_1 ⊃ . . . を G の部分群の降列とする。
即ち、G はフィルター付きアーベル群(過去スレ003の92)である。
過去スレ006の590より、G の単位元の基本近傍系として (G_n), n = 0, 1, ...
をとることにより G は位相アーベル群となる。
G はこの位相で完備であるとする。

(x_n), n = 1, 2, . . . を G の点列とする。
s_n = x_1 + . . . + x_n とおく。

このとき、lim x_n = 0 であれば lim s_n が存在する。

証明
s_(n+1) - s_n = x_(n+1) であるから>>207より (s_n) はCauchy列である。
G は完備だから lim s_n が存在する。
証明終

210 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/10(水) 08:09:11
>>208
そうです


211 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/10(水) 08:33:28
命題
G をアーベル群とし、
G = G_0 ⊃ G_1 ⊃ . . . を G の部分群の降列とする。
即ち、G はフィルター付きアーベル群(過去スレ003の92)である。
過去スレ006の590より、G の単位元の基本近傍系として (G_n), n = 0, 1, ...
をとることにより G は位相アーベル群となる。
G はこの位相で完備であるとする。

(x_n), n = 1, 2, . . . を G の点列とする。
このとき、lim x_n = 0 であれば (x_n) は総和可能(過去スレ006の147)である。

証明
N = {1, 2, . . .} とおき、N の有限部分集合全体の集合を Φ(N) とする。
J ∈ Φ(N) に対して S(J) = Σx_i とおく。
ここで右辺の和の i は J の元全体を動く。

lim x_n = 0 であるから、任意の G_k に対して n_0 があり n > n_0 なら
x_n ∈ G_k となる。

J_0 = {1, . . ., n_0} とおく。
K ∈ Φ(N) で J_0 ∩ K が空集合とする。
n ∈ K なら n > n_0 であるから x_n ∈ G_k である。
よって、S(K) ∈ G_k となる。
よって、Cauchy の定理(過去スレ006の158)より、
(x_n) は総和可能(過去スレ006の147)である。
証明終

212 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/10(水) 08:58:56
命題
A を可換環とし、B = A[[X_1, ..., X_n]] を A 上の形式的べき級数環
I = (X_1, ..., X_n)B を X_1, ..., X_n で生成される B のイデアルとする。
B は I-進位相(>>193)で位相環となる。

f = Σf_k ∈ B とする。
ここで、各 f_k は f の k 次の同次成分である。

このとき列 (f_k), k = 0, 1, . . . は総和可能(過去スレ006の147)であり、
その総和は f に等しい。

証明
>>205より B は分離かつ完備である。

各 f_k ∈ I^k であるから lim f_k = 0 である。
よって、>>211より、列 (f_k) は総和可能である。

各 k に対して、s_k = f_0 + . . . + f_k とおく。
f - s_k ∈ I^(k+1) である。
よって、f = lim s_k である。

一方、(f_k) の総和を g とすると、
過去スレ006の185より、g = lim s_k である。

B は分離であるから f = g である。
証明終

213 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/10(水) 09:24:31
命題
A を可換環とし、B = A[[X_1, ..., X_n]] を A 上の形式的べき級数環
I = (X_1, ..., X_n)B を X_1, ..., X_n で生成される B のイデアルとする。
B は I-進位相(>>193)で位相環となる。

A 上の多項式環 A[X_1, ..., X_n] は B に含まれると見なせる。

このとき、A[X_1, ..., X_n] は B において稠密である。

証明
f = Σf_k ∈ B を任意の元とする。
ここで、各 f_k は f の k 次の同次成分である。

各 k に対して、s_k = f_0 + . . . + f_k とおく。
f - s_k ∈ I^(k+1) である。
よって、f = lim s_k である。

s_k ∈ A[X_1, ..., X_n] であるから f は A[X_1, ..., X_n] の閉包に含まれる。
f は B の任意の元であるから、A[X_1, ..., X_n] は B において稠密である。
証明終

214 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/10(水) 09:57:36
命題
A を分離的かつ完備な(必ずしも可換とは限らない)環とする。

(x_i), i = 0, 1, 2, . . .
(y_j), j = 0, 1, 2, . . .
をそれぞれ A の元の列で総和可能(過去スレ006の147)とする。

このとき、(Σx_i)(Σy_j) = Σx_iy_j
ここで右辺の和は (i, j) ∈ (Z+)×(Z+) 全体にわたる。
ここで、Z+ = {0, 1, 2, . . .} である。

証明
Σx_iy_j
= Σ[i ∈ Z+]Σ[j ∈ Z+] x_iy_j ← 総和記号の交換(過去スレ006の166)
= Σ[i ∈ Z+]x_i(Σ[j ∈ Z+] y_j) ← 積の連続性と分配法則
= (Σx_i)(Σy_j) ← 積の連続性と分配法則
証明終

215 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/10(水) 10:44:33
>>214の修正

命題
A = A_0 ⊃ A_1 ⊃ . . .
を(必ずしも可換とは限らない)フィルター付環(過去スレ003の91)とする。
過去スレ006の593より、A の 0 の基本近傍系として (A_n), n = 0, 1, ...
をとることにより A は位相環となる。
A はこの位相で分離かつ完備とする。

(x_i), i = 0, 1, 2, . . .
(y_j), j = 0, 1, 2, . . .
をそれぞれ A の元の列で総和可能(過去スレ006の147)とする。

このとき、(x_iy_j), (i, j) ∈ (Z+)×(Z+) は総和可能であり、
(Σx_i)(Σy_j) = Σx_iy_j
ここで、Z+ = {0, 1, 2, . . .} である。

証明
lim x_i = 0 であるから
任意の A_k に対して n_0 があり i > n_0 なら
x_i ∈ A_k となる。
同様に
lim y_j = 0 であるから
m_0 があり j > m_0 なら
y_j ∈ A_k となる。

(続く)

216 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/10(水) 10:45:33
>>215の続き

J_0 = {1, . . ., n_0}×{1, . . ., m_0} とおく。
K を (Z+)×(Z+) の有限集合で J_0 ∩ K が空集合とする。
(i, j) ∈ K なら i > n_0 または j > m_0 であるから
x_iy_j ∈ x_i(A_k) ∈ A_k
または
x_iy_j ∈ (A_k)y_j ∈ A_k

A_k は A の部分群であるから、
Σ[(i, j) ∈ K] x_iy_j ∈ A_k

よって、Cauchy の定理(過去スレ006の158)より、
(x_iy_j), (i, j) ∈ (Z+)×(Z+) は総和可能(過去スレ006の147)である。

よって、
Σx_iy_j
= Σ[i ∈ Z+]Σ[j ∈ Z+] x_iy_j ← 総和記号の交換(過去スレ006の166)
= Σ[i ∈ Z+]x_i(Σ[j ∈ Z+] y_j) ← 積の連続性と分配法則
= (Σx_i)(Σy_j) ← 積の連続性と分配法則
証明終

217 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/10(水) 10:55:30
命題
A = A_0 ⊃ A_1 ⊃ . . .
を(必ずしも可換とは限らない)フィルター付環(過去スレ003の91)とする。
過去スレ006の593より、A の 0 の基本近傍系として (A_n), n = 0, 1, ...
をとることにより A は位相環となる。
A はこの位相で分離かつ完備とする。

(x_i), i = 0, 1, 2, . . .
(y_j), j = 0, 1, 2, . . .
をそれぞれ A の元の列で総和可能(過去スレ006の147)とする。
s_k = x_0y_k + x_1y_(k-1) + . . . + x_ky_0 とおく。

このとき、(s_k) は総和可能であり、
(Σx_i)(Σy_j) = Σs_k
である。

証明
Z+ = {0, 1, 2, . . .} とおく。
>>215より、
(x_iy_j), (i, j) ∈ (Z+)×(Z+) は総和可能であり、
(Σx_i)(Σy_j) = Σx_iy_j
である。

I_k = {(i, j) ∈ (Z+)×(Z+); i + j = k } とおく。
s_k = Σ[(i, j) ∈ I_k] x_iy_j とおく。
即ち、s_k = x_0y_k + x_1y_(k-1) + . . . + x_ky_0 である。

過去スレ006の164より、(s_k) は総和可能であり、
Σs_k = Σ[(i, j) ∈ (Z+)×(Z+)] x_iy_j
である。
よって、(Σx_i)(Σy_j) = Σs_k
証明終

218 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/10(水) 11:08:03
>>192は次のように拡張出来る。

A = A_0 ⊃ A_1 ⊃ . . .
を(必ずしも可換とは限らない)フィルター付環(過去スレ003の91)とする。
過去スレ006の593より、A の 0 の基本近傍系として (A_n), n = 0, 1, ...
をとることにより A は位相環となる。

A_0A_n ⊂ A_n
A_nA_0 ⊂ A_n
であるから各 A_n は A の両側イデアルである。

よって、n ≦ m のとき環の射 f_nm: A/A_m → A/A_n が自然に定義され
(A/A_n, f_nm) は環の射影系になる。
f: A → proj.lim A/A_n を標準射とする。
>>190より、A が位相環として分離かつ完備であるためには
f が環としての同型であることが必要十分である。

219 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/10(水) 11:40:46
>>208
何が疑問なのかよくわかりませんが、A は B の部分空間として離散です。
任意の環は離散位相で完備になります。


220 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/10(水) 12:05:40
定義
A を可換環とし、B = A[X_1, ..., X_n]] とする。
I = (X_1, ..., X_n)B を X_1, ..., X_n で生成される B のイデアルとする。

f^(1), . . ., f^(m) を A[[X_1, ..., X_n]] の元とする。
各 i に対して ord(f^(i)) ≧ 1 とする。

g = Σg_k を A[[Y_1, ..., Y_m]] の元とする。
ここで、各 g_k は g の k 次同次成分である。
g_k は Y_1, ..., Y_m の多項式であるので
g_k(f^(1), . . ., f^(m)) が定義出来る。

>>195の 2) より、ord(g_k(f^(1), . . ., f^(m))) ≧ k である。
よって、B の I-進位相(>>193)で
k → +∞ のとき、lim g_k(f^(1), . . ., f^(m)) = 0 である。
よって、>>211より、(g_k(f^(1), . . ., f^(m))), k = 0, 1, ... は
B において総和可能である。

Σg_k(f^(1), . . ., f^(m)) を g(f^(1), . . ., f^(m)) と書く。

221 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/11(木) 10:39:52
命題
B を必ずしも可換とは限らない位相環で分離かつ完備とする。
A をその稠密な部分環とする。

このとき B は A の完備化(過去スレ006の369)である。

証明
ψ: A → B を標準射とする。
C を分離かつ完備な位相環とする。
f : A → C を連続準同型とする。
このとき、連続準同型 g: B → C で
f = gψ となるものが一意に存在することを証明すればよい。

f は連続準同型であるから過去スレ006の351より一様連続である。
よって、一様連続写像の延長定理(過去スレ006の272)より
一様連続写像 g: B → C で
f = gψ となるものが一意に存在する。

α_1: B×B → C を α_1(x, y) = g(x + y)
α_2: B×B → C を α_2(x, y) = g(x) + g(y)

f は準同型であるから A×A 上で α_1 = α_2 である。
等式延長の原理(過去スレ006の265)より B×B 上で α_1 = α_2 である。

β_1: B×B → C を β_1(x, y) = g(xy)
β_2: B×B → C を β_2(x, y) = g(x)g(y)

f は準同型であるから A×A 上で β_1 = β_2 である。
等式延長の原理(過去スレ006の265)より B×B 上で β_1 = β_2 である。

以上から g は連続準同型である。
証明終

222 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/11(木) 10:54:52
命題
A を可換環とし、B = A[X_1, ..., X_n] を A 上の多項式環とする。
I = (X_1, ..., X_n)B を X_1, ..., X_n で生成される B のイデアルとする。
B に I-進位相を入れて位相環とする。

C = A[[X_1, ..., X_n]] を A 上の形式的べき級数環とする。
J = (X_1, ..., X_n)C を X_1, ..., X_n で生成される のイデアルとする。
C に J-進位相を入れて位相環とする。

このとき、B は位相環として C の部分環である。

証明
任意の整数 k ≧ 0 に対して、
J^k = {f ∈ C; ord(f) ≧ k} である。
よって、J^k ∩ B = {f ∈ B; ord(f) ≧ k} = I^k である。
よって、B の I-進位相は C の J-進位相の部分位相である。
証明終

223 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/11(木) 10:57:33
>>222
>J = (X_1, ..., X_n)C を X_1, ..., X_n で生成される のイデアルとする。

J = (X_1, ..., X_n)C を X_1, ..., X_n で生成される C のイデアルとする。

224 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/11(木) 11:02:18
命題
A を可換環とし、B = A[X_1, ..., X_n] を A 上の多項式環とする。
I = (X_1, ..., X_n)B を X_1, ..., X_n で生成される B のイデアルとする。
B に I-進位相(>>193)を入れて位相環とする。

C = A[[X_1, ..., X_n]] を A 上の形式的べき級数環とする。
J = (X_1, ..., X_n)C を X_1, ..., X_n で生成される C のイデアルとする。
C に J-進位相(>>193)を入れて位相環とする。

このとき、C は位相環として B の完備化(過去スレ006の369)である。

証明
>>205より C は分離かつ完備である。
>>213より、B は C において稠密である。
>>222より、B は位相環として C の部分環である。

以上から >>221より C は位相環として B の完備化である。
証明終

225 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/11(木) 11:18:53
命題
A を可換環とし、B = A[Y_1, ..., Y_m] を A 上の多項式環とする。
I = (Y_1, ..., Y_m)B を Y_1, ..., Y_m で生成される B のイデアルとする。
B に I-進位相(>>193)を入れて位相環とする。

C = A[[X_1, ..., X_n]] を A 上の形式的べき級数環とする。
J = (X_1, ..., X_n)C を X_1, ..., X_n で生成される C のイデアルとする。
C に J-進位相(>>193)を入れて位相環とする。

f^(1), . . ., f^(m) を C の元とする。
各 i に対して ord(f^(i)) ≧ 1 とする。
g ∈ B に g(f^(1), . . ., f^(m)) ∈ C を対応させる写像を φ とする。

このとき φ は連続準同型である。

証明
φ が準同型であることは明らかである。

任意の整数 k ≧ 0 に対して、g ∈ I^k とする。
ord(g) ≧ k である。
>>195の 1), 2) より、ord(φ(g)) ≧ k である。
よって、φ(g) ∈ J^k である。
よって、φ(I^k) ⊂ J^k である。
よって、φ は連続である。
証明終

226 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/11(木) 11:45:15
命題
A を可換環とし、B = A[[X_1, ..., X_n]] とする。
I = (X_1, ..., X_n)B を X_1, ..., X_n で生成される B のイデアルとする。
B に I-進位相(>>193)を入れて位相環とする。

f^(1), . . ., f^(m) を B の元とする。
各 i に対して ord(f^(i)) ≧ 1 とする。

C = A[[Y_1, ..., Y_m]] とおく。
J = (Y_1, ..., Y_m)C を Y_1, ..., Y_m で生成される C のイデアルとする。
C に J-進位相(>>193)を入れて位相環とする。

g ∈ C に g(f^(1), . . ., f^(m)) (>>220) を対応させる写像を ψ とする。

このとき、ψ は連続準同型である。

証明
g ∈ A[Y_1, ..., Y_m] に g(f^(1), . . ., f^(m)) を対応させる写像を φ とする。
>>225より、φ は連続準同型である。
>>224より、C は A[Y_1, ..., Y_m] の完備化(過去スレ006の369)である。
B は分離かつ完備であるから φ: A[Y_1, ..., Y_m] → B は
連続準同型 γ: C → B に一意に拡張される。

g = Σg_k を A[[Y_1, ..., Y_m]] の元とする。
ここで、各 g_k は g の k 次同次成分である。
>>212より、列 (g_k), k = 0, 1, . . . は総和可能(過去スレ006の147)であり、
その総和は g に等しい。
γ は連続準同型であるから過去スレ006の175より、
γ(g) = Σγ(g_k) である。

(続く)

227 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/11(木) 11:46:25
>>226の続き

各 g_k は Y_1, ..., Y_m の多項式であるので
γ(g_k) = φ(g_k) = g_k(f^(1), . . ., f^(m))
である。
よって、γ = ψ である。
よって、ψ は連続準同型である。
証明終

228 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/11(木) 12:05:27
命題
A を可換環とし、B = A[[X_1, ..., X_n]] とする。
I = (X_1, ..., X_n)B を X_1, ..., X_n で生成される B のイデアルとする。
B に I-進位相(>>193)を入れて位相環とする。

C = A[[Y_1, ..., Y_m]] とおく。
J = (Y_1, ..., Y_m)C を Y_1, ..., Y_m で生成される C のイデアルとする。
C に J-進位相(>>193)を入れて位相環とする。
ψ: C → B を連続準同型とする。
f^(i) = ψ(Y_i) (i = 1, ..., m) とおく。

このとき、任意の g ∈ C に対して
ψ(g) = g(f^(1), . . ., f^(m)) (>>220)
である。

証明
n → +∞ のとき、各 i に対して (Y_i)^n → 0 であるから ψ の連続性より、
(f^(i))^n → 0 である。
よって、ord(f^(i)) ≧ 1 である。

g = Σg_k を A[[Y_1, ..., Y_m]] の元とする。
ここで、各 g_k は g の k 次同次成分である。
>>212より、列 (g_k), k = 0, 1, . . . は総和可能(過去スレ006の147)であり、
その総和は g に等しい。
ψ は連続準同型であるから過去スレ006の175より、
ψ(g) = Σψ(g_k) である。

ψ は準同型であるから
各 ψ(g_k) = g_k(f^(1), . . ., f^(m))
よって、ψ(g) = g(f^(1), . . ., f^(m)) (>>220)
である。
証明終

229 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/11(木) 16:49:39
命題
A を可換環とする。
f^(1), . . ., f^(m) を A[[X_1, ..., X_n]] の元とする。
各 i に対して ord(f^(i)) ≧ 1 とする。
g^(1), . . ., g^(s) を A[[Y_1, ..., Y_m]] の元とする。
各 i に対して ord(g^(i)) ≧ 1 とする。
h^(i) = g^(i)(f^(1), . . ., f^(m)) (i = 1, ..., s)とおく(>>220)。
F ∈ A[[Z_1, ..., Z_s]] に対して
G = F(g^(1), . . ., g^(s)) ∈ A[[Y_1, ..., Y_m]] とおく。

このとき、
F(h^(1), . . ., h^(l)) = G(f^(1), . . ., f^(m))

証明
g ∈ A[[Y_1, ..., Y_m]] に g(f^(1), . . ., f^(m)) を対応させる写像を ψ とする。
h ∈ A[[Z_1, ..., Z_s]] に h(g^(1), . . ., g^(s)) を対応させる写像を φ とする。

F ∈ A[[Z_1, ..., Z_s]] に対して
φ(F) = F(g^(1), . . ., g^(s)) = G
よって、
ψφ(F) = ψ(G) = G(f^(1), . . ., f^(m))

特に、φ(Z_i) = g^(i)
よって、
ψφ(Z_i) = ψ(g^(i)) = g^(i)(f^(1), . . ., f^(m)) = h^(i)

一方、>>226より、ψ と φ は連続準同型である。
よって、ψφ も連続準同型である。
よって、>>228より、ψφ(F) = F(h^(1), . . ., h^(l)) である。

よって、F(h^(1), . . ., h^(l)) = G(f^(1), . . ., f^(m))
証明終

230 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/11(木) 16:58:27
定義
A を可換環とする。
f を A[[X_1, ..., X_n]] の元とする。
f ≠ 0 とし、f = Σf_k とする。
ここで、各 f_k は f の k 次同次成分である。
s = ord(f) (>>194) のとき f_s を init(f) と書き、
f の初形式(initial form) と言う。

231 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/11(木) 17:04:15
規約
A を可換環とする。
B = A[[X_1, ..., X_n]] とする。
I = (X_1, ..., X_n)B を X_1, ..., X_n で生成される B のイデアルとする。
特に断らない限り B の位相は I-進位相(>>193)とする。

232 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/11(木) 17:23:49
命題
A を可換環とする。
S を A[[X_1, ..., X_n]] の加法群の部分加群とする。
任意の同次多項式 f_k ≠ 0 ∈ A[X_1, ..., X_n] に対して
f ∈ S で f_k = init(f) (>>230) となるものが存在するとする。

このとき、S は A[[X_1, ..., X_n]] で稠密である。

証明
f を A[[X_1, ..., X_n]] の任意の元とする。
ord(f - f^(i)) ≧ i (i = 0, 1, 2, ...) となる f^(i) ∈ S が
存在することを証明しよう。
そうすれば S は A[[X_1, ..., X_n]] で稠密である。

i に関する帰納法による。
i = 0 のときは f^(i) = 0 とすればよい。
k ≧ 1 として、ord(f - f^(k-1)) ≧ k - 1 となる f^(k-1) ∈ S が
存在すると仮定する。

ord(f - f^(k-1)) ≧ k なら f^k = f^(k-1) とおけばよい。
ord(f - f^(k-1)) = k - 1 とする。
g_(k-1) = init(ord(f - f^(k-1))) とおく。
h_(k-1) を S の元で h_(k-1) = init(g_(k-1)) とする。
f^(k) = f^(k-1) + h_(k-1) とおく。
f^(k) ∈ S である。

このとき、
ord(f - f^k) = ord(f - f^(k-1) - h_(k-1)) ≧ k
証明終

233 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/12(金) 04:10:55
定義(過去スレ016の293の拡張)
A を可換環とする。
f = Σc_αX^α = Σc_(a_1, ..., a_n)(X_1)^(a_1)...(X_n)^(a_n) を
形式的べき級数環 A[[X_1, ..., X_n]] の元とする。

このとき、∂f/∂X_i ∈ A[[X_1, ..., X_n]], i = 1, ..., n を
∂f/∂X_i = Σa_i c_(a_1, ..., a_n)(X_1)^(a_1)...(X_i)^(a_i - 1)...(X_n)^(a_n)
により定義する。


234 :132人目の素数さん:2010/02/12(金) 04:12:36
http://www.voiceblog.jp/tintindaisuke/

235 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/12(金) 04:20:26
命題
A を可換環とする。
f, g ∈ A[[X_1, ..., X_n]] のとき、

∂(f + g)/∂X_i = ∂f/∂X_i + ∂g/∂X_i

証明
自明である。


236 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/12(金) 04:55:40
命題
A を可換環とする。
f ∈ A[[X_1, ..., X_n]] に ∂f/∂X_i (>>233) を対応させる写像 ∂/∂X_i は
連続である。

証明
I = (X_1, ..., X_n)A[[X_1, ..., X_n]] とする。
f ∈ I^(k+1) のとき ord(f) ≧ k + 1 である。
よって、ord(∂f/∂X_i) ≧ k である。
よって、∂/∂X_i(I^(k+1)) ⊂ I^k である。
よって、∂/∂X_i は連続である。
証明終

237 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/12(金) 05:20:42
命題
A を可換環とする。
f, g ∈ A[[X_1, ..., X_n]] のとき、
∂(fg)/∂X_i = (∂f/∂X_i)g + f(∂g/∂X_i)

証明
f と g がそれぞれ単項式
(X_1)^(i_1). . . (X_n)^(i_n), (X_1)^(j_1). . . (X_n)^(j_n)の場合は
命題は明らかである。
よって、f と g が A 係数の X_1, ..., X_n の同次式の場合にも命題は成り立つ。

f = Σf_k と g = Σg_k を A[[X_1, ..., X_n]] の元とする。
ここで、各 f_k および g_k はそれぞれ f と g の k 次同次成分である。

>>212より、列 (f_k) および列 (g_k) はそれぞれ総和可能(過去スレ006の147)であり、
f および g はそれぞれ 列 (f_k) および列 (g_k) の総和である。
よって、>>215より、fg = Σf_kg_l である。

一方、>>235>>236より
∂/∂X_i は A[[X_1, ..., X_n]] の加法群の連続自己準同型である。
よって、過去スレ006の175より、
∂(fg)/∂X_i = Σ∂(f_kg_l)/∂X_i

上から
∂(f_kg_l)/∂X_i = (∂f_k/∂X_i)g_l + f_k(∂g_l/∂X_i)

よって、
∂(fg)/∂X_i
= Σ(∂f_k/∂X_i)g_l + Σf_k(∂g_l/∂X_i)
= Σ(∂f_k/∂X_i)Σg_l + (Σf_k)Σ(∂g_l/∂X_i) ← 総和記号の交換(過去スレ006の166)
= (∂f/∂X_i)g + f(∂g/∂X_i)
証明終

238 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/12(金) 05:49:21
補題
A を可換環とする。
g ∈ A[[X_1, ..., X_n]] と整数 k ≧ 1 に対して、
∂g^k/∂X_i = kg^(k-1)∂g/∂X_i

証明
>>237を使えばよい。

239 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/12(金) 05:52:02
補題
A を可換環とする。
g^(1), ..., g^(m) ∈ A[[X_1, ..., X_n]] のとき、
g = (g^(1))^(a_1)...(g^(m))^(a_m) とおく。
ここで、a_1, ..., a_m は整数 ≧ 0 である。
このとき、
∂g/∂X_i
= Σ(a_i - 1)(g^(1))^(a_1)...(g^(j))^(a_j - 1)...(g^(m))^(a_m)∂g^(j)/∂X_i

ここで Σ は a_j ≧ 1 となる j 全体に渡る。

証明
>>237>>238による。

240 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/12(金) 05:58:09
補題
A を可換環とする。
g^(1), ..., g^(m) ∈ A[[X_1, ..., X_n]]
f ∈ A[X_1, ..., X_n]
のとき、
∂f(g^(1), ..., g^(m))/∂X_i = Σ(∂f/∂X_j)(g^(1), ..., g^(m))∂g^(j)/∂X_i

証明
>>235>>239より直ちに得られる。

241 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/12(金) 06:47:09
命題
A を可換環とし、f^(1), . . ., f^(m) を A[[X_1, ..., X_n]] の元とする。
各 j に対して ord(f^(j)) ≧ 1 とする。
g を A[[Y_1, ..., Y_m]] の元とする。

このとき、
∂g(f^(1), . . ., f^(m))/∂X_i = Σ(∂g/∂Y_j)(f^(1), . . ., f^(m))(∂f^(j)/∂X_i)

証明
g = Σg_k とする。
ここで、各 g_k は g の k 次同次成分である。
>>220より、
g(f^(1), . . ., f^(m)) = Σg_k(f^(1), . . ., f^(m))

>>235>>236より
∂/∂X_i は A[[X_1, ..., X_n]] の加法群の連続自己準同型である。
よって、過去スレ006の175より、
∂(g(f^(1), . . ., f^(m)))/∂X_i = Σ∂(g_k(f^(1), . . ., f^(m)))/∂X_i

>>240より、
∂(g_k(f^(1), . . ., f^(m)))/∂X_i
= Σ(∂g_k/∂Y_j)(f^(1), . . ., f^(m))(∂f^(j)/∂X_i)

一方、過去スレ006の175より、
∂g/∂Y_j = Σ∂g_k/∂Y_j
よって、
(∂g/∂Y_j)(f^(1), . . ., f^(m)) = Σ(∂g_k/∂Y_j)(f^(1), . . ., f^(m))

∂(g(f^(1), . . ., f^(m)))/∂X_i
= Σ[k, j] (∂g_k/∂Y_j)(f^(1), . . ., f^(m))(∂f^(j)/∂X_i)
= Σ∂g/∂Y_j)(f^(1), . . ., f^(m))(∂f^(j)/∂X_i) ← 総和記号の交換(過去スレ006の166)
証明終

242 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/12(金) 06:52:45
定義
A を可換環とし、f を A[[X_1, ..., X_n]] の元とする。
f = Σc_αX^α とする。
ここで、X = (X_1, ..., X_n)、c_α ∈ A であり、
α は (Z+)^n の元全体を動く。
記法 X^α については過去スレ016の265参照。

このとき、f(0) = c_(0, ..., 0) とおく。

243 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/12(金) 07:16:16
命題
A を可換環とする。
A[[X_1, ..., X_n]] の元 f に f(0) (>>242) を
対応させる写像 λ: A[[X_1, ..., X_n]] → A は環の準同型であり、
Ker(λ) = (X_1, ..., X_n)A[[X_1, ..., X_n]] である。

証明
自明である。

244 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/12(金) 09:57:12
命題
A を可換環とする。
f^(1), . . ., f^(n) を A[[X_1, ..., X_n]] の元とする。
各 j に対して ord(f^(j)) ≧ 1 とする。
F = ((∂f^(i)/∂X_j)(0)), 1 ≦ i, j ≦ n とおく。
F は A 上の n 次の正方行列である。

g^(1), . . ., g^(n) を A[[X_1, ..., X_n]] の元とする。
各 j に対して ord(g^(j)) ≧ 1 とする。
G = ((∂g^(i)/∂X_j)(0)), 1 ≦ i, j ≦ n とおく。

h^(i) = f^(i)(g^(1), . . ., g^(n)) (i = 1, ..., n)とおく(>>220)。
H = ((∂h^(i)/∂X_j)(0)), 1 ≦ i, j ≦ n とおく。

このとき、H = FG である。

証明
>>241より、
∂h^(i)/∂X_j = Σ(∂f^(i)/∂X_k)(g^(1), . . ., g^(n))(∂g^(k)/∂X_j)

>>243より、
(∂h^(i)/∂X_j)(0) = Σ(∂f^(i)/∂X_k)(0)(∂g^(k)/∂X_j)(0)

よって H = FG である。
証明終

245 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/12(金) 10:14:19
命題
A を可換環とする。
ψ を B = A[[X_1, ..., X_n]] の位相環としての自己同型とする。
f^(i) = ψ(X_i) (i = 1, ..., n) とおく。
>>228より、各 i に対して ord(f^(i)) ≧ 1 である。

このとき、行列 F = ((∂f^(i)/∂X_j)(0)), 1 ≦ i, j ≦ n は可逆である。
従って、det(F) は A の可逆元である。

証明
ψ は B の自己同型であるから
φψ = 1_B かつ ψφ = 1_B となる B の自己同型 φ が存在する。
g^(i) = φ(X_i) (i = 1, ..., n) とおく。
G = ((∂g^(i)/∂X_j)(0)), 1 ≦ i, j ≦ n とおく。

φψ(X_i) = φ(f^(i)) = f^(i)(g^(1), . . ., g^(n))
である。
X_i = φψ(X_i) であるから、>>244より、
I = FG
ここで、I は A 上の n 次の単位行列である。
同様に、X_i = ψφ(X_i) より、
I = GF
よって、F は可逆である。
1 = det(FG) = det(F)det(G) より、
det(F) は A の可逆元である。
証明終

246 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/12(金) 10:33:39
>>245
>ψ を B = A[[X_1, ..., X_n]] の位相環としての自己同型とする。

ψ を B = A[[X_1, ..., X_n]] の位相環としての自己同型で
A の元を不変にするものとする。


247 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/12(金) 10:34:46
>>228
>ψ: C → B を連続準同型とする。

ψ: C → B を連続準同型で A の元を不変にするものとする。


248 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/12(金) 10:48:59
命題
A を可換環とする。
B = A[X_1, ..., X_n] を A 上の多項式環とする。
B の A-代数としての自己準同型の全体のなす環を End(B/A) とする。
ψ ∈ End(B/A) に (ψ(X_1), ..., ψ(X_n)) を対応させる写像
Ψ: End(B/A) → B^n は全単射である。

証明
自明である。

249 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/12(金) 11:06:23
命題
A を可換環とする。
B = A[X_1, ..., X_n] を A 上の多項式環とする。

f^(i) = Σa_(i, j)X_j (i = 1, ..., n) を B の元とする。
ここで、各 a_(i, j) ∈ A である。
det(a_(i, j)) は A の可逆元であるとする。

>>248により ψ(X_i) = f^(i) (i = 1, ..., n) となる
B の A-代数としての自己準同型 ψ が一意に決まる。

このとき、ψ は B の自己同型である。

証明
det(a_(i, j)) は A の可逆元であるから、行列 (a_(i, j)) は可逆である。
(b_(i, j)) をその逆行列とする。

g^(i) = Σb_(i, j)X_j (i = 1, ..., n) とおく。

>>248により φ(X_i) = g^(i) (i = 1, ..., n) となる
B の A-代数としての自己準同型 φ が一意に決まる。

φ(ψ(X_i)) = φ(f^(i)) = φ(Σa_(i, j)X_j) = Σa_(i, j)b(j, k)X_k = X_i
よって、φψ = 1_B である。
ここで、1_B は B の恒等写像である。

同様に ψφ = 1_B である。
よって、ψ は B の自己同型である。
証明終

250 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/12(金) 19:05:14
命題
A を可換環とする。
B = A[[X_1, ..., X_n]] とおく。

L_i = Σa_(i, j)X_j (i = 1, ..., n) を A[X_1, ..., X_n] の元とする。
ここで、各 a_(i, j) ∈ A である。
det(a_(i, j)) は A の可逆元であるとする。

g ∈ B に g(L_1, . . ., L_n) (>>220) を
対応させる写像を ψ とする。

このとき、ψ は B の位相環としての自己同型である。

証明
>>226より ψ は連続準同型である。

det(a_(i, j)) は A の可逆元であるから、
行列 (a_(i, j)) は逆行列 (b_(i, j)) を持つ。

M_i = Σb_(i, j)X_j (i = 1, ..., n) とおく。
g ∈ B に g(M_1, . . ., M_n) (>>220) を対応させる写像を φ とする。
>>226より φ は連続準同型である。

φψ(X_i) = φ(L_i) = X_i であるから φψ = 1_B である。
ここで、1_B は B の恒等写像である。

同様に ψφ = 1_B である。

以上から ψ は B の位相環としての自己同型である。
証明終

251 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/13(土) 12:19:43
命題
A を可換環とする。
B = A[[X_1, ..., X_n]] とおく。

f^(1), . . ., f^(n) を B の元とする。
各 j に対して ord(f^(j)) ≧ 1 とする。
F = ((∂f^(i)/∂X_j)(0)), 1 ≦ i, j ≦ n とおく。
F は A 上の n 次の正方行列である。
g ∈ B に g(f^(1), . . ., f^(n)) (>>220) を対応させる写像 を ψ とする。

このとき、det(F) が A の可逆元であるなら、
ψ は B の位相環としての自己同型である。

証明
各 f^(i) の1次の同次成分を L_i = Σa_(i, j)X_j とする。
a_(i, j) = (∂f^(i)/∂X_j)(0) (1 ≦ i, j ≦ n) である。

g ∈ B に g(f^(1), . . ., f^(n)) (>>220) を対応させる写像を ψ とする。
>>226より ψ は連続準同型である。

g = Σg_k≠ 0 を B の任意の元とする。
ここで、各 g_k は g の k 次同次成分である。
g_s を g の初形式(>>230)とする。

g(f^(1), . . ., f^(n)) (>>220) の初形式は g_s(L_1, ..., L_n) である。
>>249より、g_s(L_1, ..., L_n) ≠ 0 であるから ψ は単射である。

(続く)

252 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/13(土) 12:20:28
>>251の続き

>>249より、任意の同次多項式 f_s ≠ 0 ∈ A[X_1, ..., X_n] に対して
f_s = g_s(L_1, ..., L_n) となる 同次多項式 g_s ∈ A[X_1, ..., X_n] がある。
g_s を初形式とする任意の g ∈ B に対して、
g(f^(1), . . ., f^(n)) の初形式は f_s = g_s(L_1, ..., L_n) である。
よって、>>232より、ψ(B) は B で稠密である。

g ∈ B に g(L_1, ..., L_n) (>>220) を対応させる写像を φ とする。
>>250より、φ は位相環としての自己同型である。

環の準同型 φψ^(-1): ψ(B) → B を考える。
φψ^(-1) は全単射である。

B の任意の元 g に対して、
φψ^(-1)(g(f^(1), . . ., f^(n))) = g(L_1, ..., L_n) である。
ord(g(f^(1), . . ., f^(n))) = ord(g(L_1, ..., L_n)) であるから、
φψ^(-1) は位相同型である。

よって、φψ^(-1) は位相環としての同型である。
一方、>>205より B は完備である。
よって、ψ(B) も完備である。
よって、ψ(B) は B の閉集合となり ψ(B) = B である。

ψ^(-1) = φ^(-1)φψ^(-1) であり、φ^(-1) および φψ^(-1) は
位相環としての同型であるから ψ^(-1) も位相環としての同型である。
よって、ψ は B の位相環としての自己同型である。
証明終

253 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/13(土) 13:14:01
命題
A を可換環とする。
B = A[[X_1, ..., X_n]] とおく。
f^(1), . . ., f^(n) を B の元ととする。

f^(i)(g^(1), . . ., g^(n)) = X_i (i = 1, ..., n) となる
B の元 g^(1), . . ., g^(n) が存在するための必要十分条件は
各 i に対して ord(f^(i)) ≧ 1 であり、
det((∂f^(i)/∂X_j)(0)) が A の可逆元であることである。

なお、この条件が満たされる場合、
g^(i)(f^(1), . . ., f^(n)) = X_i (i = 1, ..., n) となる

証明
必要性:
f^(i)(g^(1), . . ., g^(n)) = X_i (i = 1, ..., n) となる
B の元 g^(1), . . ., g^(n) が存在するとする。
各 j に対して ord(g^(j)) ≧ 1 であるから、
g^(j)(0) = 0 である。
よって、
f^(i)(0) = 0 である。
よって、各 i に対して ord(f^(i)) ≧ 1 である。

(続く)

254 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/13(土) 13:14:57
>>253の続き

>>241より、
∂f^(i)(g^(1), . . ., g^(n)))/∂X_j
= Σ(∂f^(i)/∂X_k)(g^(1), . . ., g^(n))(∂g^(k)/∂X_j)

一方、f^(i)(g^(1), . . ., g^(n)) = X_i であるから、
Σ(∂f^(i)/∂X_k)(g^(1), . . ., g^(n))(∂g^(k)/∂X_j) = δ_(i, j) である。
ここで、δ_(i, j) は Kronecker のデルタである。

よって、
Σ(∂f^(i)/∂X_k)(0)(∂g^(k)/∂X_j)(0) = δ_(i, j) である。
よって、
det((∂f^(i)/∂X_j)(0))det((∂g^(i)/∂X_j)(0)) = 1 である。
よって、det((∂f^(i)/∂X_j)(0)) は A の可逆元である。

十分性:
各 i に対して ord(f^(i)) ≧ 1 であり、
det((∂f^(i)/∂X_j)(0)) が A の可逆元であるとする。
>>251より、
g ∈ B に g(f^(1), . . ., f^(n)) (>>220) を対応させる写像を ψ としたとき、
ψ は B の位相環としての自己同型である。
よって、φψ = 1_B となる B の位相環としての自己同型 φ がある。
ここで、1_B は恒等写像である。

g^(i) = φ(X_i) (i = 1, ..., n) とおく。
>>228より、各 i に対して、
X_i = φψ(X_i) = φ(f^(i)) = f^(i)(g^(1), . . ., g^(n)) である。

ψφ = 1_B であるから
同様に、X_i = ψφ(X_i) = ψ(g^(i)) = g^(i)(f^(1), . . ., f^(n)) である。
証明終

255 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/15(月) 22:40:46
規約
Z+ = {0, 1, 2, . . .} とおく。
n ≧ 1 を整数とし、i を 1 ≦ i ≦ n となる整数とする。
i~ ∈ (Z+)^n を
i~ = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0) により定義する。
ここで、1 は i 番目の位置にある。


256 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/15(月) 22:41:43
命題
A を可換環とする。
B = A[[X_1, ..., X_n]] とおく。
f^(1), . . ., f^(n) を B の元とする。
各 i に対して ord(f^(i)) ≧ 1 であり、
det((∂f^(i)/∂X_j)(0)) が A の可逆元であるとする。

このとき、
f^(i)(g^(1), . . ., g^(n)) = X_i (i = 1, ..., n) となる
B の元 g^(1), . . ., g^(n) が一意に存在する。

証明
f^(i) = Σ[|α|≧1] a_(i, α)X^α (i = 1, ..., n)
g^(i) = Σ[|β|≧1] b_(i, β)X^β (i = 1, ..., n)
とおき、関係式 f^(i)(g^(1), . . ., g^(n)) = X_i (i = 1, ..., n) を満たすように
b_(i, β) を一意に決めることが出来ることを示そう。

f^(i)(g^(1), . . ., g^(n)) = Σ[|γ|≧1] c_(i, γ)X^γ とおく。

Σ[|γ|≧1] c_(i, γ)X^γ
= Σ[|α|≧1] a_(i, α)Π(Σ[|β|≧1] b_(i, β)X^β)^(α_i)

よって、
c_(i, γ) = Σ[|α|≧1] a_(i, α)(ΣB_(1, α)...B_(n, α))

(続く)

257 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/15(月) 22:43:31
>>256の続き

ここで、
B_(1, α) = b_(1, β(1))...b_(1, β(α_1))
B_(2, α) = b_(2, β(α_1 + 1))...b_(2, β(α_1 + α_2))
.
.
.
B_(n, α) = b_(n, β(α_1 + ... + α_(n-1) + 1))...b_(n, β(α_1 + . . . + α_n))

上の ΣB_(1, α)...B_(n, α) は
|β(1)| ≧ 1, . . . |β(α_1 + . . . + α_n)| ≧ 1
γ = β(1) + . . . + β(α_1 + . . . + α_n)
となる多重指数 β(1), . . ., β(α_1 + . . . + α_n) ∈ (Z+)^n 全体の和である。

|γ| = |β(1)| + . . . + |β(|α|)| であり、
各 |β(k)| ≧ 1 であるから |γ| ≧ |α| である。
よって、
c_(i, γ) = Σ[|α|≧1] a_(i, α)(ΣB_(1, α)...B_(n, α))
は有限和である。

X_i = f^(i)(g^(1), . . ., g^(n)) より、
δ(i, j) = c_(i, j~) = Σa_(i, k~)b_(k, j~) である。
ここで、δ_(i, j) は Kronecker のデルタである。

(a_(i, k~)) は可逆行列であるから、(b_(k, j~)) (1 ≦ k, j ≦ n) は
(a_(i, k~)) の逆行列として一意に決まる。

(続く)

258 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/15(月) 22:44:15
>>257の続き

γ ≠ i~ のとき
0 = c_(i, γ) = Σa_(i, α)ΣB_(1, α)...B_(n, α)
= Σa_(i, k~)b_(k, γ)
+ Σ[2 ≦ |α| ≦ |γ|] a_(i, α)Σb_(1, β(1))...b_(n, β(|α|))

右辺の Σb_(1, β(1))...b_(n, β(|α|)) は
|β(1)| ≧ 1, . . . |β(|α|)| ≧ 1 かつ
γ = β(1) + . . . + β(|α|)
となる多重指数 β(1), . . ., β(|α|) ∈ (Z+)^n 全体の和である。

|γ| = |β(1)| + . . . + |β(|α|)| であり、|α| ≧ 2 であるから
各 |β(k)| < |γ| である。

よって、上の等式と、(a_(i, k~)) が可逆行列であることから、
帰納的に b_(k, γ), k = 1, ..., n が一意に決まる。
証明終

259 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/15(月) 22:45:51
>>251の別証

命題
A を可換環とする。
B = A[[X_1, ..., X_n]] とおく。

f^(1), . . ., f^(n) を B の元とする。
各 j に対して ord(f^(j)) ≧ 1 とする。
F = ((∂f^(i)/∂X_j)(0)), 1 ≦ i, j ≦ n とおく。
F は A 上の n 次の正方行列である。
g ∈ B に g(f^(1), . . ., f^(n)) (>>220) を対応させる写像 を ψ とする。

このとき、det(F) が A の可逆元であるなら、
ψ は B の位相環としての自己同型である。

証明
>>256より、
f^(i)(g^(1), . . ., g^(n)) = X_i (i = 1, ..., n) となる
B の元 g^(1), . . ., g^(n) が一意に存在する。
u ∈ B に u(g^(1), . . ., g^(n)) を対応させる写像を φ とする。
φψ(X_i) = φ(f^(i)) = f^(i)(g^(1), . . ., g^(n)) = X_i である。

よって、φψ = 1_B である。
よって、φ は全射である。

g^(1), . . ., g^(n) に>>256を適用すると、
g^(i)(h^(1), . . ., h^(n)) = X_i (i = 1, ..., n) となる
B の元 h^(1), . . ., h^(n) が一意に存在する。

(続く)

260 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/15(月) 22:46:39
>>259の続き

u ∈ B に u(h^(1), . . ., h^(n)) を対応させる写像を ψ’とする。

ψ’φ(X_i) = ψ’(g^(i)) = g^(i)(h^(1), . . ., h^(n)) = X_i
よって、ψ’φ = 1_B である。
よって、φ は単射である。

以上から φ は全単射である。
φ の逆写像を φ^(-1) とする。
φψ = 1_B より、φ^(-1)φψ = φ^(-1)
よって、ψ = φ^(-1)
よって、ψ^(-1) = φ

>>226より、ψ および φ は連続準同型である。
よって、ψ は B の位相環としての自己同型である。
証明終

261 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/15(月) 22:47:24
命題
A を可換環とし、B = A[[X_1, ..., X_n]] を A 上の形式的べき級数環とする。
M = (Z+)^n とおく。
A に離散位相を与え A の加法群を位相アーベル群と見なす。
位相アーベル群としての直積 A^M を考える。
B の任意の元 f = Σa_αX^α に対して A^M の元 (a_α), α ∈ M を
対応させる写像 ψ は位相アーベル群としての同型である。

証明
ψ がアーベル群として同型なことは明らかである。
よって、ψ が位相同型であることを示せばよい。

(Z+)^n の有限部分集合 S に対して
U_S = {(a_α) ∈ A^E; α ∈ S のとき a_α = 0} とおく。
U_S 全体は A^E の 0 の基本近傍系である。

整数 m ≧ 0 に対して、
S_m = {α ∈ (Z+)^n; |α| ≦ m} とおく。
S_m は有限集合である。

(Z+)^n の任意の有限部分集合 S に対して
m = sup{|α|; α ∈ S} とおく。
S ⊂ S_m である。
よって、U_(S_m), m = 0, 1, 2, . . . は A^E の 0 の基本近傍系である。

I = (X_1, ..., X_n)B を X_1, ..., X_n で生成される B のイデアルとする。
任意の整数 m ≧ 0 に対して、ψ(I^(m+1)) = U_(S_m) である。
よって、ψ は位相同型である。
証明終

262 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/15(月) 22:48:52
命題
A を可換環とし、B = A[[X_1, ..., X_n]] を A 上の形式的べき級数環とする。
β ∈ (Z+)^n のとき S_β = {α ∈ (Z+)^n; α ≦ β} とおく。
J_β = {Σa_αX^α ∈ B; α ∈ S_β のとき a_α = 0} とおく。
このとき J_β は B のイデアルであり、
J_β 全体は B の 0 の基本近傍系となる。

証明
Σa_αX^α ∈ J_β
Σc_γX^γ ∈ B
とする。

Σc_γX^γΣa_αX^α = Σd_νX^ν
ここで、d_ν = Σ[ν = γ + α] c_γa_α

ν = γ + α ≦ β のとき α ≦ β であるから a_α = 0 となり c_γa_α = 0
よって、d_ν = 0 である。
よって、J_β は B のイデアルである。

(Z+)^n の有限部分集合 S に対して
J_S = {Σa_αX^α ∈ B; α ∈ S のとき a_α = 0} とおく。
J_(S_β) = J_β である。

(続く)

263 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/15(月) 22:49:33
>>262の続き

I = (X_1, ..., X_n)B を X_1, ..., X_n で生成される B のイデアルとする。

任意の整数 m ≧ 0 に対して、
S_m = {α ∈ (Z+)^n; |α| ≦ m} とおく。
J_(S_m) = I^(m+1) である。

|β| = m とする。
α ≦ β なら |α| ≦ m である。
よって、S_β ⊂ S_m
よって、I^(m+1) = J_(S_m) ⊂ J_β
よって、J_β は 0 の開近傍である。

S_m は有限集合であるから S_m ⊂ S_β となる β ∈ (Z+)^n がある。
よって、J_β ⊂ J_(S_m) = I^(m+1)

よって、J_β 全体は B の 0 の基本近傍系となる。
証明終

264 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/15(月) 22:54:30
>>256>>253の条件の十分性の別証である。
>>253より構成的な利点がある。

265 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/16(火) 08:05:06
>>205の別証

命題
A を可換環とし、B = A[[X_1, ..., X_n]] を A 上の形式的べき級数環
I = (X_1, ..., X_n)B を X_1, ..., X_n で生成される B のイデアルとする。
B は I-進位相(>>193)で位相環となる。

このとき、B は位相環として分離かつ完備である。

証明
M = (Z+)^n とおく。
A に離散位相を与え A の加法群を位相アーベル群と見なす。
>>261より、B は位相アーベル群として直積 A^M に同型である。
A は分離だから A^M も分離である。
A は完備だから過去スレ006の255より A^M は完備である。
証明終

266 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/18(木) 10:37:21
G をアーベル群とし、
Ψ を G の部分群からなるフィルター基底(過去スレ006の77)とする。
過去スレ006の590より、G の単位元の基本近傍系として Ψ をとることにより
G は位相アーベル群となる。
G はこの位相で分離かつ完備であるとする。

L を可算とは限らない任意の集合とする。
(u_λ), λ ∈ L を G の元の族とする。

(u_λ), λ ∈ L が総和可能(過去スレ006の147)であるためには、
任意の H ∈ Ψ に対して、L の有限部分集合 J_0 があり、
λ ∈ L - J_0 なら u_λ ∈ H となることが必要十分である。

証明
L の有限部分集合全体を Φ(L) とする。
J ∈ Φ(L) に対して Σ[λ ∈ J] u_λ を s(J) とおく。

必要性:
(u_λ), λ ∈ L が総和可能とし、s をその総和とする。
定義(過去スレ006の147)より、任意の H ∈ Ψ に対して、J_0 ∈ Φ(L) があり、
J_0 ⊂ J となる任意の J ∈ Φ(L) に対して
s - s(J) ∈ H となる。

λ ∈ L - J_0 なら J = J_0 ∪ {λ} とおくと
s(J) = s(J_0) + u_λ だから
s - s(J_0) - u_λ ∈ H となる。

一方、s - s(J_0) ∈ H だから u_λ ∈ H となる。

(続く)

267 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/18(木) 10:38:10
>>266の続き

十分性:
任意の H ∈ Ψ に対して、L の有限部分集合 J_0 があり、
λ ∈ L - J_0 なら u_λ ∈ H となるとする。

T ∩ J_0 が空となる任意の T ∈ Φ(L) に対して
Σ[λ ∈ T] u_λ ∈ H となる。

よって、(u_λ), λ ∈ L はCauchy の判定条件(過去スレ006の153)を満たす。
よって、Cauchy の定理(過去スレ006の158)より
(u_λ), λ ∈ L は総和可能である。
証明終

268 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/18(木) 11:16:45
命題
A を可換環とし、B = A[[X_1, ..., X_n]] を A 上の形式的べき級数環とする。
I = (X_1, ..., X_n)B を X_1, ..., X_n で生成される B のイデアルとする。
L を可算とは限らない任意の集合とする。
(u_λ), λ ∈ L を B の元の族とする。
各 λ ∈ L に対して u_λ = Σa_(λ, α)X^α とする。

このとき以下の条件は同値である。

(a) (u_λ), λ ∈ L は総和可能(過去スレ006の147)である。

(b) 任意の整数 m ≧ 0 に対して、L の有限部分集合 J_0 があり、
λ ∈ L - J_0 なら u_λ ∈ I^m となる。

(c) 任意の α ∈ (Z+)^n に対して a_(λ, α) ≠ 0 となる λ は有限集合である。

以上の条件が満たされるとき
a_α = Σ[λ ∈ L] a_(λ, α) とおくと、Σu_λ = Σa_αX^α である。

証明
(a) ⇔ (b) は>>266から直ちに得られる。

(続く)

269 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/18(木) 11:17:36
>>268の証明

(b) ⇒ (c) の証明:
任意の α ∈ (Z+)^n に対して m = |α| とおく。
(b) より、L の有限部分集合 J_0 があり、
λ ∈ L - J_0 なら u_λ ∈ I^(m+1) となる。
よって、a_(λ, α) = 0 である。
よって、(c) が得られる。

(c) ⇒ (b) の証明:
α ∈ (Z+)^n に対して J_α = {λ ∈ L; a_(λ, α) ≠ 0} とおく。
(c) より、各 J_α は有限集合である。
任意の整数 m ≧ 0 に対して、J_0 = ∪{J_α; |α| ≦ m} とおく。
J_0 は有限集合である。
λ ∈ L - J_0 なら |α| ≦ m のとき a_(λ, α) = 0 である。
よって、u_λ ∈ I^(m+1) となる。
よって、(b) が得られる。

最後の主張の証明:
Σu_λ = Σ[λ ∈ L]Σ[α ∈ (Z+)^n] a_(λ, α)X^α
= Σ[α ∈ (Z+)^n]Σ[λ ∈ L] a_(λ, α)X^α ← 総和記号の交換(過去スレ006の166)
= Σ[α ∈ (Z+)^n]Σa_αX^α
証明終

270 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/18(木) 16:38:33
定義
A を必ずしも可換とは限らない位相環(過去スレ006の189)とする。
A の 0 の基本近傍系として A の両側イデアルからなるものがとれるとき
A を線型位相環という。

271 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/18(木) 16:43:34
命題
A を線型位相環(>>270)とする。
I を A の両側イデアルで 0 の近傍になっているとする。
このとき I は開かつ閉である。

証明
x ∈ I を任意の元とする。
x + I は x の近傍で x + I ⊂ I であるから I は開集合である。
I は A の加法群の開部分群であるから I は閉部分群でもある。
証明終

272 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/18(木) 17:07:35
A を必ずしも可換とは限らない環とする。
Ψ を A の両側イデアルからなるフィルター基底(過去スレ006の77)とする。
過去スレ006の593より、0 の基本近傍系として Ψ をとることにより
A は位相環となる。
A はこの位相で線型位相環(>>270)である。

273 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/18(木) 17:19:08
>>270の修正

定義
A を必ずしも可換とは限らない位相環(過去スレ006の189)とする。
A の 0 の基本近傍系として A の両側イデアルからなるものがとれるとき
A の位相を線型位相と呼び A を線型位相環または線型位相をもつ環と言う。


274 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/18(木) 17:21:22
線型位相(>>273)の例
A を可換環とし I をそのイデアルとする。
I-進位相(>>193)は線型位相(>>273)である。


275 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/18(木) 17:28:52
線型位相環(>>273)の例
A をフィルター付環(過去スレ003の91)とし、
そのフィルター (A_n), n ∈ Z は n ≦ 0 のとき A_n = A となるものとする。
このとき、各 A_n を 0 の基本近傍とすることにより A は線型位相環になる。


276 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/18(木) 17:41:08
命題
G を位相群とする。
G の単位元 e の近傍 H が G の部分群であれば H は G の開部分群である。

証明
任意の x ∈ H に対して xH は x の近傍である。
xH ⊂ H であるから H は開部分群である。
証明終

277 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/18(木) 18:54:16
命題
G を位相群とする。
Ψ を G の単位元 e の基本近傍系とする。

このとき、{e}~ = ∩{V; V ∈ Ψ} である。
ここで {e}~ は {e} の閉包である。

証明
x ∈ {e}~ とする。
任意の V ∈ Ψ に対して V^(-1) は e の近傍であるから
W ⊂ V^(-1) となる W ∈ Ψ がある。
e ∈ xW であるから x^(-1) ∈ W ⊂ V^(-1) である。
よって、x ∈ V である。
よって、{e}~ ⊂ ∩{V; V ∈ Ψ} である。

逆に x ∈ ∩{V; V ∈ Ψ} とする。
任意の V ∈ Ψ に対して V^(-1) は e の近傍であるから
W ⊂ V^(-1) となる W ∈ Ψ がある。
x ∈ W ⊂ V^(-1) である。
よって、x^(-1) ∈ V
よって、e ∈ xV
よって、x ∈ {e}~ である。
よって、∩{V; V ∈ Ψ} ⊂ {e}~ である。
証明終

278 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/18(木) 19:02:52
命題
G を位相群とする。
Ψ を G の単位元 e の基本近傍系とする。

G が分離(即ちHausdorff)であるためには
∩{V; V ∈ Ψ} = {e} となることが必要十分である。

証明
>>277より、∩{V; V ∈ Ψ} = {e}~ である。
よって、∩{V; V ∈ Ψ} = {e} は {e} が閉集合であることと同値である。

G が分離であれば、{e} は閉集合である。

逆に {e} が閉集合であるとする。
写像 f: G×G → G を f(x, y) = xy^(-1) で定義する。
f は連続であるから f^(-1)(e) は G の閉集合である。
f^(-1)(e) は G×G の対角集合であるから G は分離である。
証明終

279 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/18(木) 19:06:39
G を群とする。
Ψ を G の正規部分群からなるフィルター基底(過去スレ006の77)とする。
G の単位元 e の基本近傍系として Ψ をとることにより
G は位相群になる。


280 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/18(木) 19:29:28
定義
対象(object)全体が集合となるような圏を小さい圏という。


281 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/18(木) 19:42:47
C を小さい圏(>>280)とする。
C は次の条件(F)を満たすとする。

(F) x, y を C の任意の対象とするとき、
Hom(x, y) は空集合であるか1個の元からなる。

このとき、Hom(x, y) が空集合でないとき x ≦ y と定義すると、
容易にわかるように C の対象全体 Ob(C) は前順序集合(過去スレ008の139)となる。

逆に前順序集合 L が与えられたとき
関係 x ≦ y を x から y への射と見なすことにより
L は条件 (F) を満たす小さい圏になる。

282 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/18(木) 20:39:58
定義
C を圏とする。
L を前順序集合とする。
L は小さい圏(>>281)と見なす。
L から C への共変関手を L を添字集合とし、C に値をとる帰納系と呼ぶ。
L から C への反変関手を L を添字集合とし、C に値をとる射影系と呼ぶ。


283 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/18(木) 21:15:02
C を圏とする。
L を前順序集合とする。
L は小さい圏(>>281)と見なす。
F を L を添字集合とし、C に値をとる射影系とする。
λ, μ を L の元で λ ≦ μ とする。
F により、λ ≦ μ に対応する射を f_(λ, μ) と書く。
f_(λ, μ): F(μ) → F(λ) である。

f_(λ, λ) = 1_F(λ) である。
λ ≦ μ ≦ ν のとき f_(λ, μ)f_(μ, ν) = f_(λ, ν) である。

F は C の対象の族 (F(λ)), λ ∈ L と C の射の族 (f_(λ, μ)), λ ≦ μ
により定まる。
よって、射影系 F を (F(λ), f_(λ, μ)), λ ∈ L と略記する。

帰納系も同様である。

284 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/18(木) 21:34:02
定義
I を小さい圏とし、C を圏とする。
I から C への共変関手全体を Func(I, C) または C^I と書く。
Func(I, C) は自然変換を射とすることにより圏となる。

I から C への反変関手全体を Func(I^o, C) または C^(I^o) と書く。
ここで I^o は I の射をすべて逆向きにした圏(opposite category)である。
Func(I^o, C) は自然変換を射とすることにより圏となる。


285 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/18(木) 21:42:43
定義
I を小さい圏(>>281)とし、C を圏とする。
X を C の対象とする。
k_X を各 i ∈ I に X を対応させ、任意の射 i → j に X の単位射 1_X を
対応させる関手とする。
k_X を X に値をとる定数関手と言う。
k_X は Func(I, C) の対象でもあり、Func(I^o, C) の対象でもある。

X → k_X は C から Func(I, C) への共変関手でもあり、
C から Func(I^o, C) への共変関手でもある。
これを対角関手と呼び、Δ と書く。

286 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/18(木) 22:13:38
定義
C を圏とする。
I を前順序集合とする。
I は小さい圏(>>281)と見なす。
F を I を添字集合とし、C に値をとる射影系とする。
F は Func(I^o, C) (>>284) の対象である。

X を C の対象とし、k_X ∈ Func(I^o, C) を定数関手(>>285)とする。
射 σ: k_X → F が次の性質(U)をもつとする。

(U) C の対象 Y に対して射 τ: k_Y → F があるとき、射 f: Y → X で
σΔ(f) = τ となるものが一意に存在する。
ここで、Δ は対角関手(>>285)である。

このとき、次の命題で示すように σ は Func(I^o, C) の対象として
同型を除いて一意に決まる。
σ を F の射影極限と呼び proj.lim F と書く。
proj.lim F は略して proj.lim (F(λ)), λ ∈ L
または proj.lim (F(λ)) とも書く。
用語の濫用だが X を F の射影極限ともいい X = proj.lim F
または X = proj.lim (F(λ)) とも書く。

287 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/18(木) 22:22:28
射影極限(>>286)の一意性を証明する前にいくつか準備をする。


288 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/18(木) 22:33:54
定義
C を圏とする。
X を C の対象とする。
C の任意の対象 Y に対して Hom(X, Y) が常に1個の元からなるとき
X を C の始対象という。

C の任意の対象 Y に対して Hom(Y, X) が常に1個の元からなるとき
X を C の終対象という。

289 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/18(木) 22:41:15
命題
C を圏とする。
C の始対象(>>288)は全て同型である。
同様に C の終対象(>>288)は全て同型である。

証明
X と Y を C の始対象とする。
f: X → Y と g: Y → X がそれぞれ1個存在する。
Hom(X, X) は1個の元からなるから gf: X → X は単位射 1_X に等しい。
同様に fg: Y → Y は単位射 1_Y に等しい。
よって、 X と Y は同型である。

同様に終対象は全て同型である。
証明終

290 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/18(木) 23:06:41
>>286の修正

定義
C を圏とする。
I を前順序集合とする。
I は小さい圏(>>281)と見なす。
F を I を添字集合とし、C に値をとる射影系とする。
F は Func(I^o, C) (>>284) の対象である。

X を C の対象とし、k_X ∈ Func(I^o, C) を定数関手(>>285)とする。
射 σ: k_X → F が次の性質(U)をもつとする。

(U) C の対象 Y に対して射 τ: k_Y → F があるとき、射 f: Y → X で
σΔ(f) = τ となるものが一意に存在する。
ここで、Δ は対角関手(>>285)である。

このとき、次の命題で示すように
σ: k_X → F と ρ: k_Z → F がそれぞれ性質(U)を持てば
X から Z への同型 f: X → Zで ρΔ(f) = σ となるものが一意に存在する。

(X, σ) を F の射影極限と呼び proj.lim F と書く。
proj.lim F は略して proj.lim (F(λ)), λ ∈ L
または proj.lim (F(λ)) とも書く。
用語の濫用だが X を F の射影極限ともいい X = proj.lim F
または X = proj.lim (F(λ)) とも書く。

291 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/18(木) 23:14:19
命題
C を圏とする。
I を前順序集合とする。
F を I を添字集合とし、C に値をとる射影系(>>282)とする。

σ: k_X → F と ρ: k_Z → F がそれぞれ性質(U)を持てば
X から Z への同型 f: X → Z で ρΔ(f) = σ となるものが一意に存在する。

証明
C の対象 X と射 σ: k_X → F の組 (X, σ) 全体を C/F と書く。
ここで k_X は定数関手(>>285)である。

(X, σ) と (Y, τ) を C/F の対象としたとき
射: (X, σ) → (Y, τ) として射 f: X → Y で τΔ(f) = σ と
なるものをとることにより、C/F は圏になる。

(X, σ) が性質(U)を持てば (X, σ) は C/F の終対象(>>288)である。
>>289より C/F の終対象は全て同型である。
よって本命題の主張が得られる。
証明終

292 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/18(木) 23:20:25
定義
C を圏とする。
I を前順序集合とする。
I は小さい圏(>>281)と見なす。
F を I を添字集合とし、C に値をとる帰納系とする。
F は Func(I, C) (>>284) の対象である。

X を C の対象とし、k_X ∈ Func(I, C) を定数関手(>>285)とする。
射 σ: k_X → F が次の性質(U)をもつとする。

(U) C の対象 Y に対して射 τ: k_Y → F があるとき、射 f: X → Y で
τΔ(f) = σ となるものが一意に存在する。
ここで、Δ は対角関手(>>285)である。

このとき、次の命題で示すように
σ: k_X → F と ρ: k_Z → F がそれぞれ性質(U)を持てば
X から Z への同型 f: X → Z で ρΔ(f) = σ となるものが一意に存在する。

(X, σ) を F の帰納極限と呼び ind.lim F と書く。
ind.lim F は略して ind.lim (F(λ)), λ ∈ L
または ind.lim (F(λ)) とも書く。
用語の濫用だが X を F の帰納極限ともいい X = ind.lim F
または X = ind.lim (F(λ)) とも書く。

293 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/18(木) 23:23:05
命題
C を圏とする。
I を前順序集合とする。
F を I を添字集合とし、C に値をとる帰納系(>>282)とする。

σ: k_X → F と ρ: k_Z → F がそれぞれ性質(U) (>>292) を持てば
X から Z への同型 f: X → Z で ρΔ(f) = σ となるものが一意に存在する。

証明
C の対象 X と射 σ: k_X → F の組 (X, σ) 全体を C/F と書く。
ここで k_X は定数関手(>>285)である。

(X, σ) と (Y, τ) を C/F の対象としたとき
射: (X, σ) → (Y, τ) として射 f: X → Y で τΔ(f) = σ と
なるものをとることにより、C/F は圏になる。

(X, σ) が性質(U)を持てば (X, σ) は C/F の始対象(>>288)である。
>>289より C/F の始対象は全て同型である。
よって本命題の主張が得られる。
証明終

294 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/19(金) 10:59:58
議論を明確にするため圏の定義を書いておく。

定義
圏 C とは二つの類 Ob(C)、Hom(C) と二つの写像 s, t: Hom(C) → Ob(C)
からなる四つ組 (Ob(C), Hom(C), s, t) で以下に述べる条件を満たすものである。
ここで、類とは大雑把に言うと数学的対象の集まりで
必ずしも集合とは限らないものを言う。
例えば全ての集合の全体は類であり集合ではない。

Ob(C) の要素は C の対象(object)と呼ばれる。
Hom(C) の要素は C の射(morphism)または矢(arrow)と呼ばれる。
f ∈ Hom(C) に対して s(f) を f の定義域(source または domain)と呼び
t(f) を f の値域(target または codomain)と呼ぶ。
X = s(f), Y = t(f) のとき f: X → Y と書く。

(@) (射の合成) f: X → Y, g:Y → Z のとき f と g の合成と呼ばれる射 h: X → Z が定まる。
h を gf と書く。
(A) (射の結合律) f: X → Y, g:Y → Z, h: Z → W のとき
h(gf) = (hg)f

(B) (単位射の存在) 各 X ∈ Ob(X) は単位射と呼ばれる射 : X → X を持つ。
X の単位射を 1_X または誤解のない場合は単に 1 と書く。

(C) (単位射の性質) 任意の f: X → Y に対して f(1_X) = f, (1_Y)f = f

295 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/19(金) 11:07:59
定義
圏 C の対象 X, Y に対して
X を定義域とし Y を値域とする射全体を Hom(X, Y) と書く。

296 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/19(金) 11:17:18
命題
C を圏とする。
X ∈ Ob(X) に対して X の単位射はただ一つしかない。

証明
f と g を X の単位射とする。
>>294の (C) より f = fg = g
証明終


297 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/19(金) 11:26:42
命題
C を圏とする。
X ∈ Ob(X) に対して X の単位射 1_X を対応させる Ob(C) から Hom(C) への写像は
単射である。

証明
1_X = 1_Y であれば X = s(1_X) = s(1_Y) = Y である。
証明終


298 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/19(金) 11:30:09
定義
圏 C の任意の対象 X, Y に対して Hom(X, Y) が集合となるとき
C を局所的に小さい圏と呼ぶ。
特に断らない限り圏は局所的に小さい圏とする。

Hom(C) が集合となるとき C を小さい圏と呼ぶ。
このとき、>>297より Ob(C) も集合である。

299 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/19(金) 11:45:28
定義
S を集合とする。
μ: S×S → S を写像で、次の条件を満たすとする。
(x, y) ∈ S×S に対して μ(x, y) = xy と書く。

(1) x, y, z ∈ S のとき (xy)z = x(yz)
(2) e ∈ X があり任意の x ∈ S に対して ex = xe = x

このとき S をモノイド(monoid)と呼ぶ。
e を S の単位元と呼ぶ。
S の単位元は一意に決まる。

300 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/19(金) 11:51:50
圏 C の任意の対象 X に対して Hom(X, X) は射の合成に関してモノイドである。
逆に任意のモノイド M は M を対象として M の各元を射とすることにより圏になる。
よって対象が1個の圏はモノイドと同一視出来る。

標語的に言うと圏とは拡張されたモノイドである。

301 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/19(金) 12:10:36
定義
S と T をモノイド(>>299)とする。
S および T の単位元を 1 と書く。
f: S → T を写像とし以下の条件を満たすとする。

(@) 任意の x, y ∈ S に対して f(xy) = f(x)f(y)

(A) f(1) = 1

このとき f をモノイドの準同型または射と呼ぶ。

302 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/19(金) 12:36:37
定義
C と D を圏とする。
写像 F: Ob(C) → Ob(D) と写像(同じ文字を使う) F: Hom(C) → Hom(D) が
以下の性質を満たすとき F を C から D への関手(functor)または射(morphism)と言う。

(@) f: X → Y のとき F(f): F(X) → F(Y)

(A) f: X → Y, g: Y → Z のとき F(gf) = F(g)F(f)

(B) 任意の X ∈ Ob(C) に対して F(1_X) = 1_F(X)

303 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/19(金) 12:39:42
S と T をモノイド(>>299)とする。
S から T への準同型(>>301)は>>300により S と T を圏と見なしたとき
S から T への関手に他ならない。

標語的に言うと関手とは拡張されたモノイドの準同型である。

304 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/19(金) 13:15:16
定義
C を圏とする。
C^o を圏で Ob(C^o) = Ob(C) であり、
Hom(C) → Hom(C^o) への全単射 f → f^o があり次の条件を満たすとする。

(@) f ∈ Hom(C) に対して、f^o の定義域と値域はそれぞれ f の値域と定義域である。
(A) f: X → Y, g: Y → Z のとき (gf)^o = (f^o)(g^o)

このとき C^o を C の双対圏(opposite category)と呼ぶ。

305 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/19(金) 14:09:12
定義
C と D を圏とする。
C^o (>>304)から D への関手(>>302)を
C から D への反変関手(contravariant functor)と呼ぶ。
なお、C から D への関手は共変関手(covariant functor)ともいう。

即ち、写像 F: Ob(C) → Ob(D) と写像(同じ文字を使う) F: Hom(C) → Hom(D) が
以下の性質を満たすとき F を C から D への反変関手と言う。

(@) f: X → Y のとき F(f): F(Y) → F(X)

(A) f: X → Y, g: Y → Z のとき F(gf) = F(f)F(g)

(B) 任意の X ∈ Ob(C) に対して F(1_X) = 1_F(X)

306 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/20(土) 14:47:47
圏 C において Ob(C) を類(class)と仮定するのは不便なことが多い。
例えば圏 C と D に対して C から D への関手全体 D^C は
D が集合でないと圏にならない。

そこで巨大な集合 U を考え、U においては通常の集合の操作、
例えば積集合を作るとかベキ集合を作ることなどが自由に行えるとする。
この U を舞台にして圏論を考えようというのがGrothendieckの考えである。
このような U を Grothendieckの宇宙(Grothendieck universe)、
または単に宇宙(universe)という。

307 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/20(土) 14:56:34
定義
以下の条件を満たす集合 U を宇宙(universe)という。

(1) X ∈ U かつ Y ∈ X なら Y ∈ U
(2) X ∈ U かつ Y ∈ U なら {X, Y} ∈ U
(3) X ∈ U なら 2^X ∈ U
ここで 2^X は X の部分集合全体の集合である。
(4) I ∈ U で (X_i), i ∈ I を I を添字集合とする U の元からなる族としたとき、
∪X_i ∈ U

308 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/20(土) 15:02:12
命題
U を宇宙とする。
X ∈ U かつ Y ⊂ X なら Y ∈ U

証明
>>307の (3) より 2^X ∈ U である。
Y ∈ 2^X であるから>>307の (1) より Y ∈ U である。
証明終


309 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/20(土) 15:07:55
命題
U を宇宙とする。
X ∈ U かつ Y ∈ U なら X×Y ∈ U

証明
x ∈ X のとき、Y_x = Y とおく。
族 (Y_x), x ∈ X に対して ∪Y_x = X×Y である。
よって、>>307の (4) より X×Y ∈ U である。
証明終


310 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/20(土) 15:18:10
命題
U を宇宙とする。
I ∈ U で (X_i), i ∈ I を I を添字集合とする U の元からなる族としたとき、
ΠX_i ∈ U

証明
f ∈ ΠX_i は I から Y = ∪X_i への写像 f で
各 i ∈ I に対して f(i) ∈ X_i となるもの全体である。
f とそのグラフを同一視すると f ⊂ I×Y である。
よって、ΠX_i ⊂ 2^(I×Y) である。

一方、>>307の (4) より Y = ∪X_i ∈ U である。
>>309より、I×Y ∈ U である。
よって、>>307の (3) より 2^(I×Y) ∈ U である。
よって、>>308より ΠX_i ∈ U である。
証明終

311 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/20(土) 15:30:57
命題
U を宇宙とする。
X ∈ U のとき X ⊂ U である。

証明
>>307の (1) より x ∈ X のとき x ∈ U である。
即ち、X ⊂ U である。
証明終

312 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/20(土) 15:33:15
命題
U を宇宙とする。
X ∈ U のとき |X| < |U|
ここで、|X| は X の濃度を表す。

証明
>>311より、X ⊂ U である。
よって、|X| ≦ |U| である。
|X| = |U| と仮定する。

>>307の (3) より 2^X ∈ U である。
よって、>>311より、|2^X| ≦ |U| である。
一方、|X| < |2^X| であるから |X| < |U| である。
証明終

313 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/20(土) 15:35:14
命題
U を宇宙とする。
U ∈ U ではない。

証明
U ∈ U とすると>>312より |U| < |U| となり矛盾である。
証明終

314 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/20(土) 15:45:39
>>306
>例えば圏 C と D に対して C から D への関手全体 D^C は
>D が集合でないと圏にならない。

例えば圏 C と D に対して C から D への関手全体 D^C は
C が集合でないと圏にならない。

315 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/20(土) 17:04:27
命題
U を宇宙とする。
X ∈ U なら {X} ∈ U

証明
>>307の (2) より {X} = {X, X} ∈ U である。


316 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/20(土) 17:22:54
命題
U を空でない宇宙とする。
空集合 φ ∈ U である。

証明
X ∈ U とする。
>>307の (3) より 2^X ∈ U である。
φ ∈ 2^X であるから
>>307の (1) より φ ∈ U である。
証明終

317 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/20(土) 17:28:44
命題
U を空でない宇宙とする。
{φ, {φ}} = 2^{φ} ∈ U である。

証明
>>316より、φ ∈ U である。
よって、>>315より、{φ} ∈ U である。
よって、>>307の (2) より {φ, {φ}} ∈ U である。
証明終

318 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/20(土) 17:43:24
命題
U を宇宙とする。
X ∈ U かつ Y ∈ U なら X ∪ Y ∈ U

証明
>>317より、{φ, {φ}} ∈ U である。
Z_φ = X
Z_{φ} = Y
とおく。
>>307の (4) より X ∪ Y = Z_φ ∪ Z_{φ} ∈ U である。
証明終

319 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/20(土) 19:35:32
無限集合を要素にもつ宇宙の存在は証明されていない。
そこで次の仮定を認めることにする。

ω = {0, 1, 2, . . .} を有限順序数全体の集合とする。
ω ∈ U となる宇宙 U が存在する。

今後、宇宙 U は ω ∈ U となるもののみを考える。

320 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/20(土) 19:53:36
命題
U を>>319の条件を満たす宇宙とする。
実数全体の集合を R とすると R ∈ U である。

証明
集合の操作により ω = {0, 1, 2, . . .} から R を構成することが出来るから
R ∈ U である。


321 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/20(土) 19:58:11
定義
>>319の条件を満たす宇宙 U を固定する。

X ∈ U となる集合 X を小さい集合と呼ぶ。

小さい集合の全体からなる圏を小さい集合の圏といい Set と書く。
U = Ob(Set) である。
X, Y ∈ Ob(Set) のとき Hom(X, Y) は X から Y への写像全体であり、
Hom(X, Y) ∈ U である。

322 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/20(土) 20:08:44
定義
>>319の条件を満たす宇宙 U を固定する。

小さい圏 C とは Ob(C) ∈ U かつ Hom(C) ∈ U となるものを言う。


323 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/20(土) 20:10:22
定義
>>319の条件を満たす宇宙 U を固定する。

U の任意の部分集合 E を類(class)と呼ぶ。
>>311より小さい集合(>>321) X は類である。

小さい集合でない類を真の類(proper class)と言う。
例えば、>>313より U は真の類である。

324 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/20(土) 20:13:45
定義
大きい圏 C とは Ob(C) および Hom(C) が類(>>323)であるものを言う。


325 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/20(土) 20:42:51
定義
グラフ G とは二つの集合 Ob(G)、Hom(G) と二つの写像 s, t: Hom(G) → Ob(G)
からなる四つ組 G = (Ob(G), Hom(G), s, t) のことである。

Ob(G) の元を G の対象と呼び、Hom(G) の元を G の射または矢と呼ぶ。
f ∈ Hom(G) に対して s(f) を f の定義域(source または domain)と呼び
t(f) を f の値域(target または codomain)と呼ぶ。
X = s(f), Y = t(f) のとき f: X → Y と書く。

小さいグラフ G とは Ob(G) および Hom(G) が小さい集合(>>321)であるものを言う。
大きいグラフ G とは Ob(G) および Hom(G) が類(>>323)であるものを言う。

326 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/20(土) 21:02:23
定義
G = (Ob(G), Hom(G), s_G, t_G)
H = (Ob(H), Hom(H), s_H, t_H)
をグラフ(>>325)とする。

射 F: G → H とは写像の組 F = (F_0, F_1) で次の条件(M)を満たすもののことを言う。
ここで、
F_0: Ob(G) → Ob(H)
F_1: Hom(G) → Hom(H)
である。

条件(M):
任意の f ∈ Hom(G) に対して、
s_H(F_1(f)) = F_0(s_D(f))
t_H(F_1(f)) = F_0(t_D(f))

即ち、f: X → Y のとき F_1(f): F_0(X) → F_0(Y)

327 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/21(日) 11:20:35
>>309の証明を修正するため次の命題を用意する。

命題
U を宇宙(>>307)とする。
X ∈ U かつ Y ∈ U なら順序対 (X, Y) ∈ U

ここで、(X, Y) = {X, {X, Y}} と考える。

証明
>>307の (2) より {X, Y} ∈ U である。
よって、再び>>307の (2) より (X, Y) = {X, {X, Y}} ∈ U である。
証明終

328 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/21(日) 11:28:53
補題
U を宇宙とする。
X ∈ U かつ Y ∈ U なら {X}×Y ∈ U

証明
{X}×Y = ∪{{X}×{y}; y ∈ Y}
>>315より、{X} ∈ U であり、y ∈ Y のとき {y} ∈ U である。
よって、>>327より、y ∈ Y のとき {X}×{y} = ({X}, {y}) ∈ U
>>307の (4) より {X}×Y ∈ U である。
証明終

329 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/21(日) 11:34:23
>>309の修正

命題
U を宇宙とする。
X ∈ U かつ Y ∈ U なら X×Y ∈ U

証明
X×Y = ∪{{x}×Y; x ∈ X}
>>307の (1) より x ∈ X のとき x ∈ U である。
よって、x ∈ X のとき、>>328より {x}×Y ∈ U である。
よって、>>307の (4) より X×Y ∈ U である。
証明終

330 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/21(日) 11:51:56
定義
G = (Ob(G), Hom(G), s_G, t_G) をグラフ(>>325)とする。
1_G = (1_Ob(G), 1_Hom(G)) を G の単位射または恒等射と呼ぶ。

331 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/21(日) 11:53:29
定義
A = (Ob(A), Hom(A), s_A, t_A)
B = (Ob(B), Hom(B), s_B, t_B)
C = (Ob(C), Hom(C), s_C, t_C)
をグラフ(>>325)とする。

F = (F_0, F_1): A → B と G = (G_0, G_1): B → C を射とする。
このとき、H = (G_0F_0, G_1F_1) は射: A → C である。
H を GF と書き F と G の合成と呼ぶ。

332 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/21(日) 11:58:11
定義
A = (Ob(A), Hom(A), s_A, t_A)
B = (Ob(B), Hom(B), s_B, t_B)
をグラフ(>>325)とする。

Ob(B) ⊂ Ob(A) かつ Hom(B) ⊂ Hom(A) であり、
s_B および t_B がそれぞれ s_A および t_A の制限写像であるとき、
B を A の部分グラフと呼ぶ。

333 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/21(日) 12:05:45
定義
A = (Ob(A), Hom(A), s_A, t_A)
B = (Ob(B), Hom(B), s_B, t_B)
をグラフ(>>325)とする。

Ob(B) = Ob(A)
Hom(B) = Hom(A)
s_B = t_A
t_B = s_A
のとき B を A の双対グラフ(opposite graph)と呼び、A^o と書く。

334 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/21(日) 12:09:59
定義
A = (Ob(A), Hom(A), s_A, t_A)
B = (Ob(B), Hom(B), s_B, t_B)
をグラフ(>>325)とする。

A^o (>>333)から B への射(>>326)を反変射(contravariant morphism)と呼ぶ。
通常の射(>>326)は共変射(covariant morphism)とも言う。

335 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/21(日) 12:24:02
定義
X, Y, Z を集合とする。
f: X → Z
g: Y → Z
を写像とする。

集合 {(x, y) ∈ X×Y; f(x) = g(y)} を (X×Y)_Z と書き
X と Y の Z 上のファイバー積と呼ぶ。

(x, y) ∈ (X×Y)_Z に f(x) = g(y) ∈ Z を対応させる写像
(X×Y)_Z → Z を (X×Y)_Z の標準写像と呼ぶ。

336 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/21(日) 12:40:39
定義
O を集合とする。
グラフ(>>325) A で O = Ob(A) となるものを O-グラフと呼ぶ。

A と B を O-グラフとし F = (F_0, F_1): A → B をグラフの射とする。
F_0 = 1_O のとき F を O-グラフの射と言う。

337 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/21(日) 14:02:30
定義
A = (Ob(A), Hom(A), s_A, t_A)
B = (Ob(B), Hom(B), s_B, t_B)
をグラフ(>>325)とする。

F: A → B
G: B → A
を射(>>326)とする。

GF = 1_A
FG = 1_B
となるとき G を F の逆射といい G = F^(-1) と書く。
F は G の逆射であり F = G^(-1) である。
このとき F は同型射という。
A と B は同型という。

338 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/21(日) 14:06:21
定義
A と B をO-グラフ(>>336)とする。
F: A → B
G: B → A
をO-グラフの射(>>336)とする。

GF = 1_A
FG = 1_B
となるとき G を F の逆射といい G = F^(-1) と書く。
F は G の逆射であり F = G^(-1) である。
このとき F は同型射という。
A と B は(O-グラフとして)同型という。

339 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/21(日) 14:08:54
定義
A と B をO-グラフ(>>336)とする。
A と Hom(A) および B と Hom(B) を同一視する。
s_A: A → O と t_B: B → O に関するファイバー積(>>335)を (A×B)_O とする。
即ち (A×B)_O = {(g, f) ∈ A×B; s_A(g) = t_B(f)} である。
(A×B)_O はいわば「合成可能」な射の対 (g, f) である。

s: (A×B)_O → O を s(g, f) = s_A(f)
t: (A×B)_O → O を t(g, f) = t_B(g)
で定義することにより (A×B)_O は O-グラフになる。

O は、Ob(O) = O, Hom(O) = {1_O}
s_O(1_O) = O
t_O(1_O) = O
と定義することにより、O-グラフになる。
(A×O)_O および (O×A)_O は A にO-グラフとして同型(>>338)である。

340 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/21(日) 14:46:22
定義
圏とは
(1) 集合 O
(2) O-グラフ(>>336) A
(3) O-グラフの射(>>336) c:(A×A)_O (>>339) → A
(4) O-グラフの射(>>336) i:O → A
の四つ組 (O. A, c. i) で以下の性質(@), (A) をもつものを言う。

(g, f) ∈ (A×A)_O に対して c(g, f) = gf と書く。
X ∈ O に対して i(X) = 1_X と書く。

(@) (g, f) ∈ (A×A)_O, (h, g) ∈ (A×A)_O のとき h(gf) = (hg)f

(A) 任意の X ∈ O と t(f) = X となる任意の f ∈ A に対して (1_X)f = f
s(g) = X となる任意の g ∈ A に対して g(1_X) = g

341 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/21(日) 14:51:10
記法
圏 C = (O. A, c. i) (>>340) において
O = Ob(C)
A = Hom(C) または A = Ar(C)
と書く。

X, Y ∈ O のとき s(f) = X, t(f) = Y となる f ∈ A の全体を
Hom_C(X, Y) または Hom(X, Y) と書く。

342 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/21(日) 15:08:01
今後特に断らない限りグラフ(>>325)および圏(>>340)は
>>319の条件を満たす固定した宇宙 U で考えることにする。
即ち C をグラフまたは圏としたとき
Ob(C) ⊂ U かつ Hom(C) ⊂ U と仮定する。
言い換えると C は大きいグラフまたは大きい圏(>>323)とする。


343 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/21(日) 15:16:19
定義
C を圏とする。
任意の X, Y ∈ Ob(C) に対して Hom(X, Y) が小さい集合(>>321)のとき
C を局所的に小さい圏または小さいHom集合(small hom-set)をもつ圏という。

なお、Mac Lane の本 Categories for the working mathematician は
局所的に小さい圏という用語は他の概念と紛らわしいので避けている。

344 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/21(日) 17:53:09
定義
C を圏とする。
グラフ(>>325) (Ob(C), Hom(C), s, t) を C のグラフと言い、|C| と書く。

345 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/21(日) 18:19:02
定義
f: X → Y を圏(>>340) C における射とする。
任意の T ∈ Ob(C) に対して u ∈ Hom(T, X) に fu ∈ Hom(T, Y) を対応させる写像
が単射のとき f を単射(monomorphism)という。

任意の T ∈ Ob(C) に対して v ∈ Hom(Y, T) に vf ∈ Hom(X, T) を対応させる写像
が単射のとき f を全射(epimorphism)という。

f が単射かつ全射のとき f を全単射という。

346 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/21(日) 18:41:51
定義
f: X → Y を圏(>>340) C における射とする。
射 g: Y → X で gf = 1_X となるものがあるとき f を左可逆または
引き込み可能(retractable)と言い、g を f の左逆射または
引き込み(retraction)と言う。

射 h: Y → X で fh = 1_Y となるものがあるとき f を右可逆または
切断可能と言い、h を f の右逆射または断面(section)と言う。

347 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/21(日) 18:57:21
命題
f: X → Y を圏(>>340) C における射とする。
f が左可逆(>>346)であれば f は単射(>>345)である。

証明
g: Y → X を f の左逆射とする。
gf = 1_X である。

任意の T ∈ Ob(C) と u, v ∈ Hom(T, X) に対して、
fu = fv とする。

g(fu) = g(fv)
よって、
(gf)u = (gf)v
よって、
(1_X)u = (1_X)v
よって、
u = v

よって、f は単射である。
証明終

348 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/21(日) 19:01:11
命題
f: X → Y を圏(>>340) C における射とする。
f が右可逆(>>346)であれば f は全射(>>345)である。

証明
g: Y → X を f の右逆射(>>346)とする。
fg = 1_Y である。

任意の T ∈ Ob(C) と u, v ∈ Hom(Y, T) に対して、
uf = vf とする。

(uf)g = (vf)g
よって、
u(fg) = v(fg)
よって、
u(1_Y) = v(1_Y)
よって、
u = v

よって、f は全射である。
証明終

349 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/21(日) 20:27:53
命題
f: X → Y を圏(>>340) C における射とする。
f が左可逆(>>346)かつ右可逆(>>346)であれば f の左逆射と右逆射は一致し、
f により一意に決まる。

証明
g: Y → X を f の左逆射とする。
gf = 1_X である。
h: Y → X を f の右逆射(>>346)とする。
fh = 1_Y である。

(gf)h = (1_X)h = h
一方、
g(fh) = g(1_Y) = g

よって、g = h

g’: Y → X を f の左逆射とする。
上から g’= h = g である。
同様に h’: Y → X を f の右逆射とすると、
h’= g = h である。
証明終

350 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/21(日) 20:32:36
定義
f: X → Y を圏(>>340) C における射とする。
f が左可逆(>>346)かつ右可逆(>>346)のとき f を同型射(isomorphism)と呼ぶ。
このとき、>>349より f の左逆射と右逆射は一致し f により一意に決まる。
この射を f の逆射と呼び f^(-1) と書く。

f: X → Y が同型射のとき X は Y に同型であると言う。

351 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/21(日) 20:56:41
定義(>>304の言い換え)
C を圏(>>340)とする。
|C| を C のグラフ(>>344)とする。
|C|^o を |C| の双対グラフ(>>333)とする。
C において、f: X → Y のとき
|C|^o における f: Y → X を f^o と書くことにする。

C において、f: X → Y, g: Y → Z のとき
g^o: Z → Y と f^o: Y → X の合成 (f^o)(g^o) を
(gf)^o = (f^o)(g^o) により定義する。
このとき |C|^o は射の合成により圏になる。
この圏を C^o と書き C の双対射と呼ぶ。

352 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/21(日) 21:03:44
>>351の修正

定義(>>304の言い換え)
C を圏(>>340)とする。
|C| を C のグラフ(>>344)とする。
|C|^o を |C| の双対グラフ(>>333)とする。
C において、f: X → Y のとき
|C|^o における f: Y → X を f^o と書くことにする。

C において、f: X → Y, g: Y → Z のとき
g^o: Z → Y と f^o: Y → X の合成 (f^o)(g^o) を
(gf)^o = (f^o)(g^o) により定義する。
このとき |C|^o は射の合成により圏になる。
この圏を C^o と書き C の双対圏と呼ぶ。

353 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/21(日) 21:05:18
C を圏(>>340)とする。
(C^o)^o = C である。

354 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/21(日) 21:06:56
定義(>>302の言い換え)
C と D を圏(>>340)とする。
|C| と |D| をそれぞれ C と D のグラフ(>>344)とする。
グラフの射(>>326) F: |C| → |D| が以下の性質を満たすとき
F を C から D への関手(functor)または射(morphism)と言う。

(@) f: X → Y, g: Y → Z のとき F(gf) = F(g)F(f)

(A) 任意の X ∈ Ob(C) に対して F(1_X) = 1_F(X)

355 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/21(日) 21:17:09
定義
C, D, E を圏とする。
F: C → D
G: D → E
を関手(>>354)とする。

F と G のグラフの射としての合成 GF (>>331) は関手である。
これを F と G の合成と呼び GF と書く。

356 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/21(日) 21:21:46
定義
C を圏とする。
恒等写像 1_Ob(X): Ob(X) → Ob(X) と
恒等写像 1_Hom(X): Hom(X) → Hom(X)
は関手 C → C を定義する。
この関手を C の恒等関手または単位関手と呼び 1_C と書く。

357 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/21(日) 21:29:39
定義
小さい圏(>>322)全体は関手(>>354)を射とし、
関手の合成(>>355)を射の合成と定義することにより圏になる。
この圏を Cat と書く。


358 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/22(月) 07:57:29
定義
C と D を圏とする。
F: C → D
G: D → C
を関手(>>354)とする。

GF = 1_C
FG = 1_D
となるとき F(および G) を同型関手と呼ぶ。
G は F により一意に決まるので F^(-1) と書く。

このとき、C と D は同型と言う。

359 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/22(月) 08:03:31
命題
C と D を圏とする。
F: C → D
を関手(>>354)とする。

F が同型関手であるためには
F_0: Ob(C) → Ob(D)
F_1: Hom(C) → Hom(D)
がともに全単射となることが必要十分である。

ここで、 F_0 および F_1 はそれぞれ F が引き起こす写像である。

証明
自明である。

360 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/22(月) 08:11:49
定義
C と D を圏とする。
F: C → D
を関手(>>354)とする。

任意の X, Y ∈ Ob(C) に対して
f ∈ Hom(X, Y) に F(f) ∈ Hom(F(X), F(Y)) を対応させる写像
F_(X, Y): Hom(X, Y) → Hom(F(X), F(Y)) が単射のとき
F を忠実(faithful)な関手と呼ぶ。

F_(X, Y): Hom(X, Y) → Hom(F(X), F(Y)) が全射のとき
F を充満(full)な関手と呼ぶ。

忠実かつ充満な関手を忠実充満(fully faithful)な関手と呼ぶ。

361 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/22(月) 08:30:23
定義
C を圏とする。
D を |C| (>>344) の部分グラフ(>>332)で次の条件を満たすとする。

(@) f: X → Y および g: Y → Z が D の射のとき
gf も D の射である。

(A) 各 X ∈ Ob(D) に対して 1_X は D の射である。

このとき D は圏となる。
D を C の部分圏と呼ぶ。

362 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/22(月) 08:37:36
定義
C を圏とする。
D を C の部分圏(>>361)とする。

Ob(D) ⊂ Ob(C)
Hom(D) ⊂ Hom(C)
であるので関手 F: D → C が自然に定義出来る。
この関手を包含関手と呼ぶ。
包含関手は明らかに忠実である。

包含関手が充満(>>360)であるとき D を充満な部分圏と呼ぶ。
充満な部分圏 D は Ob(D) のみで定まる。

363 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/22(月) 09:18:37
定義
C と D をグラフ(>>325)とする。
F: C → D
G: C → D
をグラフの射(>>326)とする。

各 X ∈ Ob(C) に D の射 τ(X): F(X) → G(X) を対応させる対応 τ が
次の条件を満たすとき τ を F から G への自然変換または自然射または単に射と言う。

C における任意の射 f: X → Y に対して
G(f)τ(X) = F(f)τ(Y) となる。

即ち次の図式が可換になる。

F(X) → G(X)
↓    ↓
F(Y) → G(Y)

364 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/22(月) 09:30:44
定義
C と D をグラフ(>>325)とする。
F: C → D
をグラフの射(>>326)とする。

各 X ∈ Ob(C) に D の射 1_X: F(X) → F(X) を対応させる対応は
自然変換(>>63)である。
これを F の恒等自然変換または単位自然変換、恒等射、単位射などと呼び
1_F と書く。


365 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/22(月) 09:33:26
>>364の修正

定義
C と D をグラフ(>>325)とする。
F: C → D
をグラフの射(>>326)とする。

各 X ∈ Ob(C) に D の射 1_X: F(X) → F(X) を対応させる対応は
自然変換(>>363)である。
これを F の恒等自然変換または単位自然変換、恒等射、単位射などと呼び
1_F と書く。

366 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/22(月) 09:39:14
定義
C と D をグラフ(>>325)とする。
F: C → D
G: C → D
H: C → D
をグラフの射(>>326)とする。

τ: F → G
σ: G → H
を自然変換(>>363)とする。

各 X ∈ Ob(C) に D の射 σ(X)τ(X): F(X) → H(X) を対応させる対応は
F からH への自然変換である。
これを τ と σ の合成と呼び στ と書く。

367 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/22(月) 10:08:15
定義
C と D をグラフ(>>325)とする。
C から D への射(>>326)全体を Hom(C, D) と書く。
Hom(C, D) は自然変換(>>363)を射とすることにより圏となる。

C が小さいグラフ(>>325)のとき Hom(C, D) は大きい圏(>>323)である。

C が大きいグラフ(>>325)のとき Hom(C, D) は大きい圏とは限らない。
即ち、U を>>321の宇宙(>>307)とすると、
Ob(Hom(C, D)) ⊂ U
Hom(Hom(C, D)) ⊂ U
となるとは限らない。

368 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/22(月) 10:19:55
定義
G をグラフ(>>325)とし、C を圏とする。
グラフの射 T: G → |C| (>>344) を
C における G 型の図式(diagram of type G in C)と言う。

369 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/22(月) 10:42:56
定義
G をグラフ(>>325)とし、C を圏とする。
C における G 型の図式(>>368)全体を Diag(G, C) と書く。
Diag(G, C) = Hom(G, |C|) (>>367) である。

370 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/22(月) 10:52:52
定義
C と D を圏とする。
F: C → D
G: C → D
を関手(>>354)とする。

|F|: |C| → |D|
|G|: |C| → |D|
をそれぞれ F と G から引き起こされる射とする。
ここで、|C|, |D| はそれぞれ C, D のグラフ(>>344)である。

F から G への自然変換は |F| から |G| への自然変換(>>363)として定義される。
F から G への自然変換は自然射または単に射とも言う。

371 :132人目の素数さん:2010/02/22(月) 10:57:56
シーシュポスは罰として、匿名掲示板で数学書の書き写しを続けるよう命じられた。
スレッドが埋まるとまだ次のスレッドへ・・・この苦行が永遠に繰り返される。



372 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/22(月) 10:58:37
定義
C と D を圏とする。
C から D への関手(>>354)を Func(C, D) または Hom(C, D) または D^C と書く。
Func(C, D) は自然変換(>>370)を射とすることにより圏となる。
Func(C, D) を C から D への関手の圏と呼ぶ。

C が小さい圏(>>322)のとき Func(C, D) は大きい圏(>>324)である。

C が大きい圏のとき Func(C, D) は大きい圏とは限らない。
即ち、U を>>321の宇宙(>>307)とすると、
Ob(Func(C, D)) ⊂ U
Hom(Func(C, D)) ⊂ U
となるとは限らない。

373 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/23(火) 15:34:07
>>312の修正

命題
U を宇宙とする。
X ∈ U のとき |X| < |U|
ここで、|X| は X の濃度を表す。

証明
>>311より、X ⊂ U である。
よって、|X| ≦ |U| である。

>>307の (3) より 2^X ∈ U である。
よって、>>311より、|2^X| ≦ |U| である。
一方、|X| < |2^X| であるから |X| < |U| である。
証明終

374 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/24(水) 06:46:42

G = (Ob(G), Hom(G), s, t) を Ob(G) を1個の要素からなる集合とし
Hom(G) = φ であるグラフ(>>325)とする。
C を圏とする。
Diag(G, C) (>>369) は圏として標準的に C に同型である。

375 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/24(水) 07:02:20

G = (Ob(G), Hom(G), s, t) (>>325) を
Ob(G) = {x, y} を2個の要素からなる集合
Hom(G) = {f}
s(f) = x
t(f) = y
で定義する。
C を圏とする。

Diag(G, C) (>>369) は C の射の圏(arrow category)と呼ばれる。
Diag(G, C) の対象は C の射 X → Y である。
即ち Diag(G, C) = Hom(C) である。

X → Y ∈ Hom(C)
Z → W ∈ Hom(C)
のとき、X → Y から Z → W への射は射の対 (X → Z, Y → Z) で
次の図式を可換にするものである。

X  →  Y
↓   ↓
Z  →  W

376 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/24(水) 07:18:08

グラフ(>>325) G を
0 → 1 → 2
の形のものとする。
C を圏とする。

Diag(G, C) の対象は C の合成可能な射の対 X → Y → Z である。
X → Y → Z から X’→ Y’→ Z’への射は
射の三つ組 (X → X’, Y → Y’, Z → Z’) で
次の図式を可換にするものである。

X  → Y →  Z
↓   ↓   ↓
X’→  Y’→  Z’

377 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/24(水) 08:21:27
定義
G = (Ob(G), Hom(G), s, t) をグラフ(>>325)とする。
G の射の列 f_1, f_2, ...f_n で
t(f_i) = s(f_(i+1)) (i = 1, ...n-2) となるものを G におけ道と呼ぶ。
即ち道とは X_1 → X_2 → ...→ X_(n+1) の形の射の列である。
このとき、n を道の長さと呼ぶ。
X_1 を道の始点と呼び、X_(n+1) を道の終点と呼ぶ。

道 X_1 → X_2 → ...→ X_(n+1) と
道 Y_1 → Y_2 → ...→ Y_(m+1) は
X_(n+1) = Y_1 のとき結合可能と呼び、
道 X_1 → X_2 → ...→ X_(n+1) = Y_1 → Y_2 → ...→ Y_(m+1) を
それらの結合と呼ぶ。

Ob(C) = Ob(G)
Hom(C) = G の道の全体
c ∈ Hom(G) に対して s(c) は c の始点とし、t(c) は c の終点とする。
射の合成は道の結合とする。
X ∈ Ob(G) のとき 1_X は X を始点および終点とする長さ0の道とする。
このとき、C = (Ob(C), Hom(C), s, t) は明らかに圏になる。
C を G から生成される自由圏と呼び C = Fr(G) と書く。

G の対象 X に Fr(G) の対象 X を対応させ、
G の射 X → Y に長さ1の道 X → Y を対応させることにより
グラフの射 G → |Fr(G)| が得られる。
これを G から |Fr(G)| への標準射と呼ぶ。

378 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/24(水) 08:41:54
命題
G = (Ob(G), Hom(G), s, t) をグラフ(>>325)とする。
C を圏とする。
T: G → |C| をC における G 型の図式(>>d368)とする。

このとき、関手 S: Fr(G) → C で
c = (f_1, f_2, ...f_n) を G における任意の道(>>377) としたとき
S(c) = T(f_n)...T(f_1) となるものが一意に存在する。

証明
簡単なので省略する。

379 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/24(水) 09:01:38

G = (Ob(G), Hom(G), s, t) を Ob(G) = {X} を1個の要素からなる集合とし
Hom(G) = φ であるグラフ(>>325)とする。

C = Fr(G) (>>377) は
Ob(C) = {X}
Hom(C) = {1_X}
からなる圏である。

380 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/24(水) 09:05:21

グラフ(>>325) G = (Ob(G), Hom(G), s, t) を
Ob(G) = {X, Y} を2個の要素からなる集合
Hom(G) = {f}
s(f) = X
t(f) = Y
で定義する。

C = Fr(G) (>>377) は
Ob(C) = {X, Y}
Hom(C) = {1_X, 1_Y, f}
からなる圏である。

381 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/24(水) 09:14:43

グラフ(>>325) G = (Ob(G), Hom(G), s, t) を
Ob(G) = {X, Y, Z} を3個の要素からなる集合
Hom(G) = {f, g}
s(f) = X
t(f) = Y
s(g) = Y
t(g) = Z
で定義する。

即ち G はグラフ X → Y → Z である(>>376)。

C = Fr(G) (>>377) は
Ob(C) = {X, Y, Z}
Hom(C) = {1_X, 1_Y, 1_Z, f, g, gf}
からなる圏である。

これは全順序集合 {0, 1, 2} の圏(>>281)と標準的に同型である。

382 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/24(水) 09:31:41
定義
グラフ(>>325) G = (Ob(G), Hom(G), s, t) を
Ob(G) = {X} を1個の要素からなる集合
Hom(G) を任意の集合 A
f ∈ A のとき s(f) = X, t(f) = X
で定義する。

Fr(G) はモノイド(>>299)であり、A で生成される自由モノイドと呼ばれる。

383 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/24(水) 09:47:55
命題
A を任意の集合とし、L を A から生成される自由モノイド(>>382)とする。
u: A → L を標準写像とする。
M をモノイドとし、f: A → M を任意の写像とする。
このときモノイドの射(>>301) g: L → M で
f = gu となるものが一意に存在する。

証明
>>378より明らかである。

384 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/24(水) 10:23:44
>>381への補足

一般に整数 n ≧ 1 に対してグラフ(>>325) G を
Ob(G) = {X_1, X_2, ..., X_n} をn個の要素からなる集合
Hom(G) は X_1 → X_2 → ...→ X_n の各射
で定義する。
C = Fr(G) (>>377) は
順序集合 {0, 1, ..., n-1} の圏(>>281)と標準的に同型である。
この圏を n~ と書く。

385 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/24(水) 10:58:16
定義
G をグラフ(>>325)とする。
S = {(a, b) ∈ Hom(Fr(G))×Hom(Fr(G)); s(a) = s(b) かつ t(a) = t(b)}
とおく。
R を S の部分集合とする。

C を圏とする。
ψ: G → |C| を C における G 型の図式(>>368)とする。
>>378より
関手 σ: Fr(G) → C で
c = (f_1, f_2, ...f_n) を G における任意の道(>>377) としたとき
σ(c) = ψ(f_n)...ψ(f_1) となるものが一意に存在する。

各 (a, b) ∈ R に対して σ(a) = σ(b) となるとき
ψ を C における R に関して可換な G 型の図式と呼ぶ。
このような ψ の全体のなす Diag(G, C) の充満部分圏(>>362) を
Diag_R(G, C) と書く。

386 :132人目の素数さん:2010/02/24(水) 11:23:56
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387 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/24(水) 21:02:45
定義
G をグラフ(>>325)とする。
S = {(a, b) ∈ Hom(Fr(G))×Hom(Fr(G)); s(a) = s(b) かつ t(a) = t(b)}
とおく。
C における S に関して可換な G 型の図式(>>385)を G 型の可換図式と呼ぶ。
Diag_S(G, C) (>>385) は G 型の可換図式全体のなす圏であり、
Diag_commS(G, C) とも書く。

388 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/24(水) 21:19:21
定義
C と D を圏とする。
F: C → D
を関手(>>354)とする。

任意の Y∈ Ob(D) に対して X ∈ Ob(C) で F(X) が Y と同型(>>350)となるものが
存在するとき F を本質的に全射と言う。

389 :132人目の素数さん:2010/02/24(水) 21:41:07
>>371
いい加減聞き飽きた。

数学の教科書、解析の教科書でもいいし線型代数の教科書でもいい、
例えば高木の解析概論でもいい、それらとこのスレに何か本質的違いはあるのか?
既成の数学、少なくとも50年以上前に確立された数学理論に関する教科書というのは
オリジナリティはほとんど望むべくもないし、望むのはお門違い。
このスレの存在意義は手近なレファレンスであり、自給自足(self-contained)、
ギャップのない証明、代数的整数論に対する多様なアプローチ、etc.

390 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/24(水) 22:29:35
定義
忠実充満(>>360)かつ本質的に全射(>>388)な関手を圏同値と呼ぶ。


391 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/25(木) 11:18:20
命題
C, D を圏とする。
F, G ∈ Func(C, D) (>>372) とする。

σ: F → G を自然変換(>>370)とする。
すべての X ∈ C に対して
σ(X): F(X) → G(X) が同型(>>350) であれば σ は同型である。

証明
各 X ∈ C に対して σ(X)^(-1) = τ(X) とおく。
f: X → Y を C における射とする。
G(f)σ(X) = σ(Y)F(f) である。
この両辺に τ(Y) を左から作用させると
τ(Y)G(f)σ(X) = F(f)
この両辺に τ(X) を右から作用させると
τ(Y)G(f) = F(f)τ(X)

よって、τ は自然変換であり、σ の逆自然変換である。
よって、σ は同型である。
証明終

392 :132人目の素数さん:2010/02/25(木) 16:05:13
>このスレの存在意義は手近な

ぷっ

393 :132人目の素数さん:2010/02/26(金) 08:20:30
>>392
何がおかしいか分からないが、このシリーズが完成した場合の話をしてる。
何も手を加えないでレファレンスにしろとは言ってない。
間違いを正して目次や索引をつければレファレンスになる。


394 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/26(金) 08:21:36
定義
C, D を圏とする。
関手 F: C → D の準逆関手(quasi-inverse functor)とは、関手 G: D → C で
GF が 1_C と同型になり FG が 1_D と同型になるものを言う。
ここで、1_C および 1_D はそれぞれ C および D の恒等関手(>>356)である。


395 :132人目の素数さん:2010/02/26(金) 09:31:35
カッパライ行為でしょう

396 :132人目の素数さん:2010/02/26(金) 09:39:19
>>395
それを言ったらほとんど全ての教科書がかっぱらい行為になる。
というか他人の業績を無断で利用する論文も一種のかっぱらい行為になる。


397 :132人目の素数さん:2010/02/26(金) 10:04:43
丸写ししてたら間違いがこんなにあるわけないだろw
証明を自分で考えてるから間違いが出てくる。


398 :132人目の素数さん:2010/02/26(金) 11:10:07
宇宙…そこは最後のフロンティア

399 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/26(金) 12:47:19
命題
C, D を圏(>>340)とする。
関手 F: C → D が圏同値(>>390)であるためには F の準逆関手(>>394)が
存在することが必要十分である。

証明
必要性の証明:
F: C → D が圏同値であるとする。
F は本質的に全射(>>388)であるから 各 A ∈ Ob(D) に対して
X ∈ Ob(C) と同型 τ(A): F(X) → A を選ぶことが出来る(選択公理)。
X = G(A) と書く。

D における任意の射 f: A → B に対して
次の図式を考える。

F(X) → A
    ↓
F(Y) → B

ここで、X = G(A), Y = G(B) であり、
F(X) → A および F(Y) → B は τ(A) および τ(B) である。
g = τ(B)^(-1)fτ(A): F(X) → F(Y) とおく。
このとき次の図式は可換である。

F(X) → A
↓   ↓  図式1
F(Y) → B

(続く)

400 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/26(金) 12:48:18
>>399の続き

F は忠実充満(>>360)であるから h: X → Y で F(h) = g となるものが
一意に存在する。
h を G(f) と書く。
G は明らかに関手である。

上の図式において X = G(A), X = G(A) であるから次の可換図式が得られる。

F(G(A)) → A
↓    ↓  図式2
F(G(B)) → B

図式2の横の射は同型であるから>>391より、FG は 1_D に同型である。

図式1に G を作用させると次の可換図式が得られる。

GF(X) → G(A) = X
↓    ↓    図式3
GF(Y) → G(B) = Y

図式3の横の射は同型であるから>>391より、GF は 1_C に同型である。
以上から G は F の準逆関手である。

(続く)

401 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/26(金) 12:49:13
>>400の続き

十分性の証明:
F が準逆関手 G: D → C を持つとする。

FG は 1_D と同型であるから、
D における任意の射 A → B に対して次の図式は可換である。

F(G(A)) → A
↓    ↓  図式4
F(G(B)) → B

ここで、横の射はそれぞれ同型である。
よって F は本質的に全射(>>388)である。

GF は 1_C と同型であるから、
C における任意の射 X → Y に対して次の図式は可換である。

GF(X) → X
↓   ↓   図式5
GF(Y) → Y

ここで、横の射はそれぞれ同型である。
よって左の縦の射により右の縦の射が一意に決まる。
よって、F は忠実(>>360)である。
同様に図式4から G も忠実である。

(続く)

402 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/26(金) 12:49:56
>>401の続き

σ: GF → 1_C を同型とする。
h: F(X) → F(Y) を任意の射とする。
f = σ(Y)G(h)σ(X)^(-1) と置くと次の図式は可換である。

GF(X) → X
↓   ↓   図式6
GF(Y) → Y

ここで、左の縦の射は G(h) であり、右の縦の射は f である。
一方、図式5の右の縦の射を f とすることにより G(F(f)) = G(h) となる。
G は忠実であるから F(f) = h となる。
よって F は充満である。
以上から F は忠実充満(>>360)かつ本質的に全射(>>388)、即ち圏同値である。
証明終

403 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/26(金) 16:23:04
>>360の修正

定義
C と D を圏とする。
F: C → D
を関手(>>354)とする。

任意の X, Y ∈ Ob(C) に対して
f ∈ Hom(X, Y) に F(f) ∈ Hom(F(X), F(Y)) を対応させる写像
F_(X, Y): Hom(X, Y) → Hom(F(X), F(Y)) が単射のとき
F を忠実(faithful)な関手と呼ぶ。

F_(X, Y): Hom(X, Y) → Hom(F(X), F(Y)) が全射のとき
F を充満(full)な関手と呼ぶ。

充満かつ忠実な関手を充満忠実(fully faithful)な関手と呼ぶ。

404 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/26(金) 16:25:33
>>390の修正

定義
充満忠実(>>403)かつ本質的に全射(>>388)な関手を圏同値と呼ぶ。


405 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/26(金) 16:33:51

C を小さい集合(>>321)で定義されるモノイド(>>299)全体の圏とする。
C の射はモノイドの準同型(>>301)である。

D を対象が一個からなる小さい圏(>>322)全体の圏とする。
D の射は関手である。

明らかに関手 F: C → D が定まる。
F は圏同値(>>404)である。


406 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/26(金) 16:49:51
例(代数幾何学の初歩の知識がある人向け)
CRing を小さい可換環全体のなす圏とする。
(CRing)^o をその双対圏(>>352)とする。
AffSch を小さいアフィンスキーム全体の圏とする。

A ∈ Ob(CRing)^o に Spec(A) ∈ Ob(AffSch) を対応させる関手 Spec は
(CRing)^o から AffSch への圏同値(>>404)である。

407 :132人目の素数さん:2010/02/26(金) 23:25:43
●名前欄に「5手目」「23手目」などと書くこと
●手数が被ったら先にレスしたほうで進める
●「後手持ち駒」の上の行に【先手:2六歩】などと書くこと
後手持ち駒:
   9    8    7    6    5    4    3    2   1
┌──┬──┬──┬──┬──┬──┬──┬──┬──┐
│▽香│▽桂│▽銀|▽金│▽王│▽金│▽銀│▽桂|▽香│一
├──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┤
│__│▽飛│__│__│__│__│__│▽角│__│二
├──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┤
│▽歩│▽歩│▽歩│▽歩│▽歩│▽歩│▽歩│▽歩│▽歩│三
├──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┤
│__│__│__│__│__│__│__│__│__│四
├──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┤
│__│__│__│__│__│__│__│__│__│五
├──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┤
│__│__│__│__│__│__│__│__│__│六
├──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┤
│▲歩│▲歩│▲歩│▲歩│▲歩│▲歩│▲歩│▲歩│▲歩│七
├──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┤
│__│▲飛│__│__│__│__│__│▲角│__│八
├──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┼──┤
│▲香│▲桂│▲銀│▲金│▲玉│▲金│▲銀│▲桂│▲香│九
└──┴──┴──┴──┴──┴──┴──┴──┴──┘
先手持ち駒:

408 :132人目の素数さん:2010/02/27(土) 09:35:42
まぐろのお茶漬け:

まぐろ4切れ
大葉 5枚
ごはん 1人分
醤油 大さじ1
みりん 大さじ1
わさび お好みで
お茶

ごはんの上に、魚をのせ、お茶かだし汁をかけ、わさびを添える。


409 :132人目の素数さん:2010/02/27(土) 09:40:07
>>408

訂正:

魚をのせ -> 大葉と魚をのせ
わさびを添える -> 醤油とみりんとわさびを加える

410 :β:2010/02/27(土) 11:06:13
まだやっているのかw
低脳クマはw

411 :132人目の素数さん:2010/02/27(土) 11:41:50
>>410
お前に言われたくないw


412 :132人目の素数さん:2010/02/27(土) 13:58:30
   mm
   \ \⌒>  / ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄\
  ミミ__ ゚ > < 閑古鳥がやってまいりました! |
    //  ̄    \_____________/


413 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/27(土) 14:22:57

A と B をモノイド(>>299)とする。
f: A → B と g: A → B を準同型とする。
>>300より A と B を圏と見なすとき、f と g は関手に他ならない。
σ: f → g を自然変換(>>363)とする。

σ は B の元 であり、任意の a ∈ A に対して
次の図式を可換にするものである。

B → B
↓  ↓
B → B

ここで横の射は σ であり、左の縦の射は f(a) であり、右の縦の射は g(a) である。
よって、σf(a) = g(a)σ
即ち、自然変換 σ: f → g とは B の元 σ であり、
任意の a ∈ A に対して σf(a) = g(a)σ となるもののことである。

414 :132人目の素数さん:2010/02/27(土) 18:18:34
予告もなく話題を変えるのはなぜ

統合 ×× ?

415 :132人目の素数さん:2010/02/27(土) 18:22:15
>それらとこのスレに何か本質的違いはあるのか?

そこまで言うならさっさと出版社見つけろよ
しろーとの本でも売れるからな

416 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/27(土) 18:49:42
>>405の修正


Mon を小さい集合(>>321)で定義されるモノイド(>>299)全体の圏とする。

Ω を対象がただ一個の小さい圏全体の圏とする。
Ω の射は関手である。
Ω は小さい圏全体の圏 Cat(>>357) の充満な部分圏(>>362)である。

X ∈ Ob(Mon) に対して F(X) ∈ Ob(Ω) を X を圏とみたものとする。
f: X → Y をモノイドの準同型(>>301)としたとき F(f): F(X) → F(Y) を
f を関手とみたものとする。
F は明らかに充満忠実である。
任意の C ∈ Ob(Ω) に対して M = Hom(C, C) はモノイドである。
このとき、F(M) は Ω において C と 同型である。
よって、F は圏同値である。

417 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/27(土) 18:59:25
>>414
それはこのシリーズが完成したものでないから。
現在進行形で作っているから。
今圏論をやっているのは射影的極限や帰納的極限について基礎を固めておいたほうが
良いと判断したから。
圏論はこのほかにも群のコホモロジー理論などに必要だし。
今は準備段階なので必要になった時点で参照するのがいいと思いますよ。

418 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/27(土) 19:06:47

Grp を小さい集合(>>321)で定義される群全体の圏とする。

Γ を対象がただ一個の小さい圏 C でその射の全てが同型射となるもの全体の圏とする。
Γ は小さい圏全体の圏 Cat(>>357) の充満な部分圏(>>362)である。

>>416と同様に Grp は Γ と圏同値である。

419 :ゴミ猫 ◆ghclfYsc82 :2010/02/27(土) 19:15:10
>>417
何時もずっと読ませて戴いています。もう随分と前になりますが、
当面の目標というか差し当たっての目次みたいなモノを見せて戴
いた記憶がありますが、今後の(近々の)目次みたいなのがあり
ましたらまた教えて下さいませんかね。

頑張っておられるお姿がとても感動的です。今後ともご活躍下さい。

敬具

猫拝


420 :132人目の素数さん:2010/02/27(土) 20:13:30
   mm
   \ \⌒>  / ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄\
  ミミ__ ゚ > < 閑古鳥がやってまいりました! |
    //  ̄    \_____________/


421 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/27(土) 21:36:29
>>409
そういう自明な間違いのことを言ってるわけではない。
疲れるw

422 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/27(土) 22:54:04
間違いを恐れることは真実を恐れることだと Grothendieck は
彼の本「Recoltes et semailles」(収穫と蒔いた種と) に書いている。

因みに岡清は数学は農業に似ていると言っている。
つまり種を播いて熟成を待って収穫するものだと。
物理は金物屋に似ているとも言っている。
Grothendieck と似た考えをしているのは興味深い。


423 :132人目の素数さん:2010/02/27(土) 22:56:04
>間違いを恐れることは真実を恐れることだと

ってw
で、岡清ってw
日本人というものの感性を大切にした大数学者の
お名前を間違えていいのかいw?

424 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/27(土) 23:05:24
あ岡潔ね
ちょっと酔ってるw

425 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/27(土) 23:14:53
つーか2chで誤字脱字をいちいち指摘するやつウザイんだが

426 :132人目の素数さん:2010/02/27(土) 23:16:51
元はと言えば、D先生らしき人が、私が思う様にならなかったのに
腹を立ててか、リードのスレでの私の失態や、不審者メールでの
(あまりに誇張表現すぎて現実とは違うが、)私の悪い噂を2chで
晒した事、これらの事から徐々に2chの面々と私の間で軌道に
ずれが生じてきている様に思う。
(その点では、D先生の事を少々怨んではいるけど、リアルでの
関係にその恨みを引きずる事はしないです。)
だからと言って、日常では、ゼミの仲間とも楽しくやっているし、
大学教官の友達とも仲良くしているし、
(その人たちも私がノニだと言う事ぐらいは知ってるが、2chは
馬鹿馬鹿しい事しか書かれていないと思っているからか)
2chの影響で人間関係に傷が入ったりしているとは思えない。
インターネットを通しての人間関係って言うのは私は苦手で
趣味のサイトで初めは和やかにやっていたのに
ある事を境に険悪なムードになってしまったり、また、その同じ
趣味のサイトの人にある事を境にストーカーされたりした


427 :132人目の素数さん:2010/02/27(土) 23:18:12
Kummer ◆g2BU0D6YN2 ってニートなの?w
仕事なにやっているんだw?
平日の昼間から、2ちゃんに入り浸りでw
そうとう下層民なんだなw

428 :132人目の素数さん:2010/02/27(土) 23:19:09
◆◆ 関西学院大学の恥ずかしい恥ずかしい平松一夫教授の弟子・百合草裕康が、 兵庫県立大学でセクハラと不正会計を行い懲戒免職 ◆◆

兵庫県立大学は31日、
恥ずかしい恥ずかしい平松一夫教授(関西学院大学教授、日本会計研究学会会長)の弟子・百合草裕康(兵庫県立大学 会計研究科 教授)が、
大学院への入学を希望していた女性にセクハラ(性的嫌がらせ)をしたとして懲戒免職にした。

兵庫県立大学では、
恥ずかしい恥ずかしい平松一夫教授の弟子・百合草裕康は 受験の相談に応じていた30代の女性を2005年8月〜06年1月までの間に、
5回にわたって深夜まで飲食に付き合わせ、体を触ったり、キスを強要し、わいせつな言動を行ったほか、
07年7月に、大学院に入学した女性に研究補助のアルバイトを装わせ、約20万円の研究費を不正に得ようとした。

事件は、依頼された女性が同大の人権啓発委員会に相談したことから一連の行為が明らかにされたが、
恥ずかしい恥ずかしい平松一夫教授の弟子・百合草裕康は、飲みに行ったのは懇親のためで、セクハラは酔っていて覚えていない。
(研究費の不正については)学生を集める広報費を工面しようとしたなどと大学側に弁明している。



429 :132人目の素数さん:2010/02/27(土) 23:20:31
低脳の隔離スレと聞いて来ましたw

430 :132人目の素数さん:2010/02/27(土) 23:21:20
ノニはサイコパスなんじゃね?>ノニ

431 :132人目の素数さん:2010/02/27(土) 23:22:04
とおく。
R を S の部分集合とする。

C を圏とする。
ψ: G → |C| を C における G 型の図式(>>368)とする。
>>378より
関手 σ: Fr(G) → C で
c = (f_1, f_2, ...f_n) を G における任意の道(>>377) としたとき
σ(c) = ψ(f_n)...ψ(f_1) となるものが一意に存在する。

各 (a, b) ∈ R に対して σ(a)

432 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/27(土) 23:24:19
このスレ、つまり数学プロパーと直接関係ない話題になると俄然活気付くなw


433 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/27(土) 23:31:49
>>427
下層民でいいよ
それであんたの気持ちが楽になるならw

434 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/27(土) 23:33:57
>>430
そう思うなら、ここに来なくていいよw

435 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/27(土) 23:35:13
今夜は大サービスw
普通は相手にしないんで誤解しないように

436 :132人目の素数さん:2010/02/28(日) 04:40:08
>>428
スレッド違い=スレ違い=スレチ


437 :132人目の素数さん:2010/02/28(日) 06:08:50
>>435
いわゆる猫先生の自演ってことですよ。
表向きは「拝啓」「敬具」とかですが、裏では「いい穴してるネ…エヘヘヘ…」でした。
このギャップが異様すぎてしまい、そのために駅弁大学を懲戒免職になったことは日本人全員が知ってます。
「猫」と称してますが、実際は八方美人とごますりタイプで「典型的な丁稚奉公的日本人(日本猿型)」ってところでしょうね。

438 :132人目の素数さん:2010/02/28(日) 07:12:49
>>435 うわあーすっごい貴重w

数学板一、ストイックなスレ主である、
Kummerさんが!!

おしゃべりしてるー ーーwww

時には講義の合間に休憩時間があってもいいんじゃないでしょうか!?

439 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/28(日) 12:36:50
>>419
去年の6月に次のように書いてますね

-----------------------------------------------------
因みに、将来の予定ですが、
大域類体論
局所類体論
虚数乗法論
明示的相互法則
岩沢理論
p進L関数
アーベル体の類数計算
代数体の種々の不変量(整数基、判別式、単数規準、類数など)の具体的計算
などをやろうとしてます。
この順番にやるとは限らないですが。
-----------------------------------------------------

今のところこの予定の大枠に変更はないです。
今はまだ準備段階です。
類体論をやる前に虚数乗法論を先にやったほうがいいのかなと思っています。
歴史的にはこの順序でしたから。
この虚数乗法論の知識がないと何故類体論が出てきたかというのが
よく分からないんじゃないかと思います。
この虚数乗法論をやるためには代数関数論と楕円関数論、楕円曲線論などが必要でして
これ等もやる予定です。

直近の予定ですが、圏論はひとまず表現可能関手あたりで止めておき、
実及び複素解析関数の基本的なことに戻ります
( p-進解析関数に関して基本的なことをやるかどうか思案中)。
次に微分可能多様体および解析多様体(p-進解析多様体を含めるか思案中)の基本的なこと
をやる予定です(代数関数論の準備という意味があります)。
それからLie群の基本的なことをやってから局所コンパクト群上の調和解析に戻ります。

440 :132人目の素数さん:2010/02/28(日) 15:21:23
概均質ベクトル空間で有名なTK先生も、教養での代数の授業のときに、一度
授業時間丸々雑談、というか合気道の話をしていたそうだ。

441 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/28(日) 16:52:17

A を小さい(>>321)可換環とする。
A-Mod を A 上の小さい加群全体の圏とする。
M ∈ Ob(A-Mod) に対して M^* を M の双対加群とする。
即ち M = Hom(M, A) である。
f: M → N を A-Mod における射とする。
ψ ∈ N^* に対して ψf ∈ M^* を対応させる写像を f^* と書く。
f^*: N^* → M^* は A-Mod における射である。
T(M) = M^*, T(f) = f^* とおけば
T: A-Mod → A-Mod は反変関手(>>305)である。

S = T^2 とおく。
即ち、S(M) = (M^*)^*, S(f) = (f^*)^* とおく。
S: A-Mod → A-Mod は共変関手(>>305)である。

x ∈ M, ψ ∈ M^* のとき、<x, ψ> = ψ(x) と書く。
x ∈ M に対して写像 ψ → <x, ψ> を σ(M)(x) と書く。
σ(M)(x) ∈ (M^*)^* = S(M)である。
σ(M): M → S(M) は A-Mod における射である。

f: M → N を A-Mod における射とすると、次の図式は可換である。

M → S(M)
↓  ↓
N → S(N)

ここで、上の横の射は σ(M) であり、下の横の射は σ(N) である。
左の縦の射は f であり、右の縦の射は S(f) である。

よって、σ は恒等関手(>>356) 1_(A-Mod) から S への自然変換(>>370)である。

442 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/28(日) 17:27:02
>>441への補足
f: M → N を A-Mod における射とする。

M → S(M)
↓  ↓
N → S(N)

この図式の可換性を証明しよう。

y^* ∈ N^* のとき、(y^*)f ∈ M^* である。
よって、x^** ∈ (M^*)^* に対して
((f^*)^*)(x^**) は写像 y^* → x^**((y^*)f) ∈ A である。

よって、x ∈ M のとき、
射の合成 M → (M^*)^* → (N^*)^*
による x の像の y^* ∈ N^* における値は <x, (y^*)f> = <f(x), y^*> である。
これは、射の合成 M → N → (N^*)^* の y^* ∈ N^* における値に等しい。
よって、上の図式は可換である。

443 :132人目の素数さん:2010/02/28(日) 18:03:09
>>440
一緒にすんな馬鹿

444 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/28(日) 18:07:38
命題
A を必ずしも可環とは限らない環とする。
M と M_1, M_2 を左 A-加群とする。

p_1: M → M_1
p_2: M → M_1
f_1: M_1 → M
f_2: M_1 → M
を左 A-加群の射で以下の条件を満たすとする。

(p_1)(f_1) = 1_(M_1)
(p_2)(f_1) = 0

(p_2)(f_2) = 1_(M_2)
(p_1)(f_2) = 0

1_M = (f_1)(p_1) + (f_2)(p_2)

このとき、M = f_1(M_1) + f_2(M_2) (直和) である。

証明
1_M = (f_1)(p_1) + (f_2)(p_2) より、任意の x ∈ M に対して、
x = (f_1)(p_1)x + (f_2)(p_2)x
よって、M = f_1(M_1) + f_2(M_2) である。

逆に x = f_1(x_1) + f_2(x_2) とする。
p_1(x) = (p_1)(f_1)x_1 = x_1
p_2(x) = (p_2)(f_2)x_2 = x_2

よって、M = f_1(M_1) + f_2(M_2) (直和) である。
証明終

445 :132人目の素数さん:2010/02/28(日) 18:16:01
>つーか2chで誤字脱字をいちいち指摘するやつウザイんだが

オマエのうざさにくらべれば可愛いもんだよ

446 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/28(日) 18:16:40
命題
A と B を必ずしも可環とは限らない小さな(>>321)環とする。
A-Mod と B-Mod をそれぞれ小さな左 A-加群および左 B-加群全体の圏とする。
F: A-Mod → B-Mod を関手で
任意の M, N ∈ Ob(A-Mod) に対して
F: Hom(M, N) → Hom(F(M), F(N)) はアーベル群の準同型となるものとする。

このとき、M = M_1 + M_2 (直和) のとき、F(M) = F(M_1) + F(M_2) (直和) である。

証明
p_1: M → M_1
p_2: M → M_2
を射影とする。
f_1: M_1 → M
f_2: M_2 → M
を標準単射とする。

(p_1)(f_1) = 1_(M_1)
(p_2)(f_1) = 0
(p_2)(f_2) = 1_(M_2)
(p_1)(f_2) = 0
1_M = (f_1)(p_1) + (f_2)(p_2)

よって、
F(p_1)F(f_1) = 1_F(M_1)
F(p_2)F(f_1) = 0
F(p_2)F(f_2) = 1_F(M_2)
F(p_1)F(f_2) = 0
1_F(M) = F(f_1)F(p_1) + F(f_2)F(p_2)

>>444より、F(M) = F(f_1)F(M_1) + F(f_1)F(M_2) (直和) である。
証明終

447 :132人目の素数さん:2010/02/28(日) 18:28:04
>>445
ウザイと思ったらこのスレを見なきゃいいだろw
それを承知で見るなら文句言うなって
アホさんですか?

448 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/28(日) 18:45:32
命題
A を可換環とする。
M を A 上の有限生成の自由加群とする。
このとき>>441の σ(M): M → (M^*)^* は同型である。

証明
M が A と同型な場合:
M の A 上の基底を e とする。
e の双対基底を e^* とする。
<e、e^*> = 1 である。
よって、e は e^* の双対基底でもある。
よって、σ(M): M → (M^*)^* は同型である。

M が一般の有限生成の自由加群の場合:
>>446と上記より、σ(M): M → (M^*)^* は同型である。
証明終

449 :132人目の素数さん:2010/02/28(日) 18:50:53
>>447 激同

このスレはとっても大事なスレなんだお!

450 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/28(日) 18:53:23
>>448の別証

命題
A を可換環とする。
M を A 上の有限生成の自由加群とする。
このとき>>441の σ(M): M → (M^*)^* は同型である。

証明
e_1, ..., e_n を M の基底とする。
(e_1)^*, ..., (e_n)^* をその双対基底とする。
即ち <e_i, (e_j)^*> = δ_(i, j) である。
ここで、δ_(i, j_) はKroneckerのデルタである。

よって、σ(M)(e_1), ..., σ(M)(e_n) は (e_1)^*, ..., (e_n)^* の双対基底である。
よって、σ(M) は同型である。
証明終

451 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/28(日) 18:57:10

A を小さい(>>321)可換環とする。
C を A 上の有限生成の自由加群全体の圏とする。
C は A-Mod(>>441)の充満な部分圏(>>362)である。

>>448より、M ∈ Ob(C) のとき、σ(M): M → S(M) は同型である。
よって、>>391より、σ は自然変換としての同型である。

452 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/28(日) 19:24:34

G と H を群とする。
f: G → H と g: G → H を準同型とする。
群はモノイド(>>299)であるから
>>300より G と H を圏と見なすとき、f と g は関手に他ならない。
σ: f → g を自然変換(>>363)とする。

>>413より、σ は H の元 であり、任意の x ∈ G に対して
σf(x) = g(x)σ
となる。
よって、g(x) = σf(x)σ^(-1) である。
この様な関係があるとき f と g を互いに共役な準同型と言う。

G = H の場合 f が G の自己同型であれば g も G の自己同型である。
このとき、f と g を互いに共役な自己同型と言う。

f = 1_G のとき g(x) = σxσ^(-1) である。
このとき、g を G の内部自己同型と呼ぶ。

453 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/28(日) 19:48:57
記法
C を圏(>>340)とする。
X ∈ Ob(C) (>>341) に対して
Hom(X, X) (>>341) を End(X) と書く。
End は Endomorphism(自己準同型射)の略である。
End(X) はモノイド(>>299)である。

End(X) の可逆元全体、即ち自己同型射全体のなす群を Aut(X) と書く。
Aut は Automorphism(自己同型射)の略である。

454 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/28(日) 20:08:50

G を小さい(>>321)群とする。
Set を小さい集合(>>321)の圏とする。
f: G → Set を関手とする。
M = f(G) とする。
f は G から Aut(M) (>>453) への群としての準同型に他ならない。
このとき M は G-集合(過去スレ004の388)である。

f: G → Set
g: G → Set
を関手とする。
M = f(G) とする。
N = g(G) とする。

α: f → g を自然変換とする。
α: M → N は写像であり、任意の σ ∈ G に対して次の図式は可換である。

M → N
↓  ↓
M → N

ここで上下の横の射は α であり、
左の縦の射は f(σ) であり、右の縦の射は g(σ) である。

よって、g(σ)α = αf(σ)
よって、任意の x ∈ M に対して
g(σ)α(x) = αf(σ)(x)
よって、α は M から N への G-集合としての射(過去スレ004の399)である。

Set^G (>>372) を G から Set への関手全体の圏とする。
上記から Set^G は小さい G-集合全体の圏と同一視される。

455 :132人目の素数さん:2010/02/28(日) 22:25:41
宇宙なんていう数学用語、このスレで初めて聞いた

456 :132人目の素数さん:2010/02/28(日) 22:52:07
>>455
モデル論に近いところではまあそれなりに使いますよ

457 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/02/28(日) 23:23:40

G を小さい(>>321)群とする。
K を小さい可換環とする。
K-Mod を K 上の小さい加群全体の圏とする。

f: G → K-Mod を関手とする。
M = f(G) とおく。
f は G から Aut(M) (>>453) への群としての準同型に他ならない。
即ち f は G の M における表現(過去スレ014の65参照)である。

f: G → K-Mod
g: G → K-Mod
を関手とする。
M = f(G) とする。
N = g(G) とする。

α: f → g を自然変換とする。
α: M → N は K-Mod の射であり、任意の σ ∈ G に対して次の図式は可換である。

M → N
↓  ↓
M → N

ここで上下の横の射は α であり、
左の縦の射は f(σ) であり、右の縦の射は g(σ) である。
よって、g(σ)α = αf(σ)
よって、任意の x ∈ M に対して
g(σ)α(x) = αf(σ)(x)
この条件を満たす α を表現 M から表現 N への射と言う。

(K-Mod)^G (>>372) を G から K-Mod への関手全体の圏とする。
上記から (K-Mod)^G は G の小さい表現全体の圏と同一視される。

458 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/01(月) 09:51:09
C を圏(>>340)とする。
X ∈ Ob(C) (>>341) に対して End(X) (>>453) はモノイド(>>299)であり、
Aut(X) (>>453) は群である。
よってモノイドと群は圏のあるところ、即ち数学のいたるところにある。


459 :132人目の素数さん:2010/03/01(月) 09:53:46
>よってモノイドと群は圏のあるところ、即ち数学のいたるところにある。

 なにきどってんだアスぺ

460 :132人目の素数さん:2010/03/01(月) 10:16:35
Kummer ◆g2BU0D6YN2 は失業者
しかもサイコ

461 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/01(月) 10:20:40

A を可換環とする。
n ≧ 1 を整数とする。
GL_n(A) を A を成分にもつ可逆な (n, n)-行列全体のなす群とする。

f: A → B を可換環の射とする。
(a_(i, j)) ∈ GL_n(A) に対して (f(a_(i, j))) ∈ GL_n(B) である。
よって群の射 GL_n(f): GL_n(A) → GL_n(B) が得られる。
よって、CRngを小さい可換環全体のなす圏とし、Grp を小さい群全体のなす圏とすると
関手 GL_n: CRng → Grp が得られる。

GL_1(A) = A^* である。
ここで、A^* は A の乗法の可逆元全体のなす群である。

α ∈ GL_n(A) に det(α) ∈ A^* を対応させる写像
det: GL_n(A) → A^* は Grp の射である。

f: A → B を可換環の射とすると次の図式は可換である。

GL_n(A) → A^*
 ↓    ↓
GL_n(B) → B^*

ここで上下の射は det であり、左の縦の射は GL_n(f) であり、
右の縦の射は GL_1(f) である。

よって、det は関手 GL_n から関手 GL_1 への自然変換である。

462 :132人目の素数さん:2010/03/01(月) 10:24:48
>>461
何で平日の昼間から、年がら年中、ここで書けるの?
仕事は何をしているの?

俺は大学の入試(前期日程)が終わって
気分転換で2ちゃんで遊んでいる准教授なんだがね。

463 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/01(月) 13:54:38
定義
C を圏(>>340)とする。
X ∈ Ob(C) (>>341) を固定する。
C と X から以下のように新しい圏 D が定義される。

Ob(D) としては C における射 A → X の全体をとる。
A → X から B → X への射として C における射 A → B で
次の図式を可換にするものをとる。

A → B
↓  ↓
X → X

ここで、X → X は恒等射である。

この圏 D を C における X の上にある対象の圏または X 上の対象の圏と呼び
C/X または (C↓X) と書く。

464 :132人目の素数さん:2010/03/01(月) 17:44:42
>それらとこのスレに何か本質的違いはあるのか?

あるにきまってんじゃん

465 :132人目の素数さん:2010/03/01(月) 17:47:23
>>449

自演はみっともないな

466 :132人目の素数さん:2010/03/01(月) 17:52:31
どうでもいいけど、このスレ主は何の仕事しているの?



467 :132人目の素数さん:2010/03/01(月) 17:58:06
たぶん入院患者だろう
これだけ暇なやつは

468 :132人目の素数さん:2010/03/02(火) 22:24:14
またサーバーの負荷が上がってるね。
再開したようだ。

469 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 08:58:18
入院って、どういう病気なの

470 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/03(水) 11:18:40
(C↓X) (>>463) と双対的に次の定義が得られる。

定義
C を圏(>>340)とする。
X ∈ Ob(C) (>>341) を固定する。
C と X から以下のように新しい圏 E が定義される。

Ob(E) としては C における射 X → A の全体をとる。
X → A から X → B への射として C における射 A → B で
次の図式を可換にするものをとる。

X → X
↓  ↓
A → B

ここで、X → X は恒等射である。

この圏 E を C における X の下にある対象の圏と呼び (X↓C) と書く。

471 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/03(水) 11:42:39

CRng を小さい(>>321)可換環全体の圏とする。
K を小さい可換環とする。
(K↓CRng) (>>470) は K 上の(単位元をもち結合的な)可換代数全体の圏である。

472 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 11:59:51
もんじゃ焼き:

起源は、江戸中期の江戸で作られた仏事用菓子「麩の焼き」であるといわれている。
その後、麩の焼きを起源として江戸末期から明治にかけ、味噌の代わりに餡を巻いて作る
「助惣焼」が生まれる。この食べ物は東京・大阪で大流行し、明治時代には「もんじゃ焼き」
「どんどん焼き」が生まれた[2]。1819年刊『北斎漫画』に、「文字焼き屋」の挿絵があり、
この時代既に江戸にもんじゃ焼きに類するものがあったことが分かっている。焼くときに
タネで文字を書いて遊んだことから「文字焼き」と呼ばれ、「もんじ焼き」これが
「もんじゃ焼き」となったとの説が有力である。

473 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 12:07:21
クンマーさんに聞きたいんだけど

平日の昼間から、ずっと書き込みできるって

どんな仕事しているの?

474 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/03(水) 12:08:36
例(代数幾何学の初歩の知識がある人向け)
Sch を小さいスキーム全体の圏とする。
S を小さいスキームとする。
(Sch↓S) (>>463) は S 上の小さいスキーム全体の圏である。

AffSch を小さいアフィンスキーム全体の圏とする。
K を小さい可換環とする。
(AffSch↓Spec(K)) は K 上の小さいアフィンスキーム全体の圏であり、
(K↓CRng) (>>471) の双対圏と圏同値である。

475 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/03(水) 12:17:01
定義
Set を小さい集合全体の圏とする。
* を1点からなる小さい集合とする。
(*↓Set) (>>470) を基点をもつ小さい集合全体の圏と呼び、
Set_* とも書く。


476 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/03(水) 12:18:58
定義
Top を小さい位相空間全体の圏とする。
* を1点からなる小さい位相空間とする。
(*↓Top) (>>470) を基点をもつ小さい位相空間全体の圏と呼び、
Top_* とも書く。

477 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/03(水) 12:37:57
定義
C と D を圏とする。
F: C → D を関手とする。
S ∈ Ob(D) と F から新しい圏 E を次のように定義する。
対象として対 (u, X) 全体をとる。
ここで、X ∈ Ob(C) であり、u: S → F(X) は D における射である。
(u, X) から (v, Y) への射は射 f: X → Y で
次の図式を可換にするものである。

S  →  S
↓    ↓
F(X) → F(Y)

ここで、上段の横の射は恒等射であり、下段の横の射は F(f) である。
この圏 E を (S↓F) と書き F に関して S の下にある C の対象全体の圏と言う。

478 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/03(水) 12:42:49
>>477と双対的に次の定義をする。

定義
C と D を圏とする。
F: C → D を関手とする。
S ∈ Ob(D) と F から新しい圏 E を次のように定義する。
対象として対 (X, u) 全体をとる。
ここで、X ∈ Ob(C) であり、u: F(X) → S は D における射である。
(X, u) から (Y, v) への射は射 f: X → Y で
次の図式を可換にするものである。

F(X) → F(Y)
↓    ↓
S  →  S

ここで、上段の横の射は F(f) であり、下段の横の射は恒等射である。
この圏 E を (F↓S) と書き F に関して S の上にある C の対象全体の圏と言う。

479 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/03(水) 13:19:45

I を小さい前順序集合とし、I を圏と見なす(>>281)。
I^o を I の双対圏(>>352)とする。
C を圏とする。
Δ: C → C^(I^o) (>>372) を対角関手(>>285)とする。

F ∈ Ob(C^(I^o)) に対して
(Δ↓F) (>>478) の終対象(>>288)は F の射影極限(>>286)に他ならない。

480 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 13:36:58
悔しいのお

仕事がないので、2ちゃんに書き込みだけして

時間をつぶすのってw




481 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 15:38:14
>>469

まる き 関係だろう

482 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 17:32:27
>>480
仕事がないと無条件に惨めなわけか
貧乏人の考えそうなことだなw
自分に引き付けて他人を判断するなって
ほとんどのスポーツとかゲームはイギリス起源なわけだが何故かわかるか?
イギリスには貴族階級というのがあってな、貴族はあくせく仕事はしないんだよ。
ヒマがたっぷりあるんで遊びを考えるわけだ。


483 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 17:33:58
>>481
世間知らずだなw
もしそうだったらパソコン自由に使えるわけないだろ


484 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 17:45:42
>483
治療おわったのかW
>もしそうだったらパソコン自由に使えるわけないだろ
入院してみないとそういう細かいことはわからないよなWWWW


485 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 17:47:14
このスレの読者って
くまーの自演以外に
誰かいるのか

いたら手をあげろ
金をだせ

486 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 17:48:53
>仕事がないと無条件に惨めなわけか

やっぱり仕事ないんだ

487 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 18:04:35
>>486
なこたあ言ってないだろ
確かのはサラリーマンじゃないってこと


488 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 18:05:54
>>484
>入院してみないとそういう細かいことはわからないよなWWWW

アホか
そんなのは世間の常識だ


489 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 18:13:09
仕事、仕事ってお前らどんだけ貧乏くさいんだよw
誤解するなよ、別に貧乏人を見下して言ってるわけじゃない
お前らのその貧乏くさい考えを見下してるわけ
あくせく働くのがそんなに立派なことなのか?
まあ日本がひどく貧しい国だった頃ならその考えもありだったかもしれないが。


490 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 18:14:15
と入院患者が申しております

491 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 18:15:30
>>487

やっぱり仕事ないんだ

492 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 18:16:05
仕事っつうか金や地位だな
ただイギリスや古代ギリシャはともかく
日本にはそういう階級はほぼ無いだろ
もっとも、もし皇族の人だったりしたら話は別だが

それに相続税その他の税はあるから資産の運用は
真面目にやらないとものすごい勢いで没落するぞ
ヤコビとかも資産家に生まれながら晩年は相当貧乏だったはず
アーベルは最初から貧乏だけど

493 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 18:18:06
>パソコン

としよりくさい
しかも定職についていない



494 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 18:18:50
>>491
サラリーマンじゃないと無職なのか
あんたすごいよw


495 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 18:20:13
貴族とか資産家とか
いうことが
妄想じみてるな

どこに入院してるンだ

496 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 18:20:58
>>493
定職ってw
例えば地主なんてどうなの?
または企業のオーナーとか
定職無いことになるのか?


497 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 18:22:13
>サラリーマンじゃないと無職なのか

んなこと言ってない
言ってないことが読めるのは
電波きてるんじゃないか

498 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 18:23:21
貴族は喩えだ
お前ら面倒だから相手すんのいやなんだよ


499 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 18:23:29
>>496

ごまかすなよ

500 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 18:25:41
>貴族は喩えだ

自分を貴族に喩えるなよ


501 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 18:27:41
>>497
はあ?
サラリーマンじゃないと言ったら、>>491が、じゃあ無職なんだと言ったわけだ。
だから、サラリーマンじゃないと無職なのかと聞くのは普通の反応だろ
あんた頭大丈夫か?

502 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 18:28:26
>>500
なんで?


503 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 18:29:28
>>499
なんで誤魔化してると思う?


504 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 18:32:09
>あんた頭大丈夫か?

大丈夫
おまえをからかうくらい
大丈夫

おまえこそ
大丈夫か

だれとしゃべってんだよ


505 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 18:33:50
1日2、3時間働いて優雅に暮らすのは現代ではそんなに珍しくはないだろ
お前らがそういうやつらに嫉妬する気持ちはわからなんでもないが、見苦しいぞw


506 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 18:34:28
わかったわかった

オマエは地主で貴族
企業のオーナーだけど
暇すぎてにちゃんに書き込む

これでいいか

あとひとつ
イギリス人

507 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 18:36:09
珍しくないって人口の何パーセントの事を言ってるんだよ
505はそういう家に生まれたのか?

508 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 18:36:14
確定申告

509 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 18:49:47
>>493
パソコンがとしよりくさいのかw
じゃあ今はパソコンのことを何というんだ?
PCなんて言うなよな。
PCはパソコンの頭文字だし昔から使われている

510 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 18:54:23
>>487
サラリーマンじゃない仕事ってなーに?
家で古本でも売っているのかw?

511 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 18:55:11
わかったわかった

オマエは地主で貴族
企業のオーナーだけど
暇すぎてにちゃんに書き込む

あとひとつ
イギリス人

という妄想を抱く
パソコンをつかう入院患者



512 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 19:00:01
統合失調症=精神分裂病ということでつか?

Kummer ◆g2BU0D6YN2 はイギリス人で、日本語でものを書き
平日の昼間から、本の内容を必死になってボードに書き写し
しかし、地主であり、貴族であり、企業のオーナーをしている
そおいうパソコンをつかう入院患者っつうことでつか?

513 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 19:03:11
>>512

察しがいい

514 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 19:05:39
ありがとう

おまえら貧乏人から見れば、俺は貴族だよw

515 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 19:07:32
>>514

今日はどんな仕事をしたのかな
言ってごらん

それと
今日はどんな検査をされたのかな
言ってごらん

516 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 19:07:34
俺も精神科で薬をもらっているんだが、カウンセリングは
下のスレでモナー先生にお願いをしている。
夜中までに相談しておくと、早朝にアドバイスをもらえるぞ。
みんなもカウンセリングをお願いしてはどうだろうか?

★★モナーの何でも相談室〜メンヘルサロン分院〜★★25
http://hideyoshi.2ch.net/test/read.cgi/mental/1264629996/


517 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 19:10:32
Kummerの人気に嫉妬w


518 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 19:13:04
>>512
まじでそう思ってるならあんたの方が怪しいぞw


519 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 19:15:24
失業者ということは確かでしょ
平日の真昼間から2ちゃんに張り付いているなんて

520 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 19:19:36
クンマーはイギリスの貴族なの? へえー



521 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 19:21:43
とにかく、お前らのお節介にはあきれるよ
Kummerが無職だろうとキチガイだろうとお前らに関係ないだろ
このスレの内容とも関係ない
で何がしたいわけ?
単にKummerに嫉妬してるのか?
それなら分からんでもないが、自己矛盾してることに気づけ。
嫉妬というのは自分と同じようなレベルの人間にするもの
人間は自分とかけ離れた人間には嫉妬しない

522 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 19:25:57
>>521
で、仕事は何をしているの?

523 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 19:27:09
クンマーに嫉妬 という発想がw

外基地の発想だとw クンマーを除く皆が思うところだw

524 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 19:30:06
>>519
>失業者ということは確かでしょ

あんた世の中知らな過ぎ。
例えば、仮にKummerが企業のオーナーだとしよう。
彼は失業者なのか?
世の中には自分は働かないで人を働かせて金を得る人間もいる。


525 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 19:32:34
>>524
わかりました。仰ることはわかりました。
Kummerは企業のオーナーで、貴族で
人をはたかせて仕事しているのに、
掲示板に本をあれこれ数学の記号を使いながら書き込む際には、
自分で書き込むという奇特な入院患者なんですね?

526 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 19:33:05
>>523
>クンマーに嫉妬 という発想がw

そんなに不思議か?
ならなぜ執拗にKummerを叩く?


527 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 19:34:28
>>525
妄想乙


528 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 19:34:33
企業のオーナーならば、自書を慈悲出版すればよいのではないか?

クンマー著「代数的整数論」 ○○病院出版部発行 2800円

とか。アマゾンで書評を書いてやるよw

529 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 19:35:54
執拗にKummerを叩く? → Kummerに嫉妬

という発想がわかりませんw

530 :ゴミ猫 ◆ghclfYsc82 :2010/03/03(水) 19:37:27
>>523
ワシは「クンマー以外の人間」やけどナ、嫉妬なんかせえへんがな。
ワシの願いはクンマーはんに今後も長く頑張って貰うこっちゃナ。
そやしや、ワシはクンマーはん以外の馬鹿を見下してるだけ




531 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 19:37:32
>>525 人を働かせて自分は遊んでいるなら、細かい作業を伴うこの書き込みも
他人にさせれば良いと、その企業のオーナーは考えるだろうね。

532 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 19:37:59
お前ら喩えと現実の区別もつかんのか
幼稚すぎ
もうちょっとまともな煽りをしろ


533 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 19:41:22
>>531
それはあんたの根本的勘違い
人間は好きなことのためには多少の労苦は厭わない


534 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 19:43:19
>>529
だから嫉妬以外にKummerを叩く理由を聞いている


535 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 20:02:04
>>521
>嫉妬というのは自分と同じようなレベルの人間にするもの
>人間は自分とかけ離れた人間には嫉妬しない

だな
Kummerを叩いてる奴らは(普通の意味の)失業者かその一歩手前かもなw


536 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 22:39:05
くんまーは学生じゃないの?
学校に行かず家で勉強してるとかそんなんじゃ?

537 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 23:11:12
しっ‐と【×嫉×妬】



[名](スル)

1 自分よりすぐれている人をうらやみねたむこと。「他人の出世を―する」

平日の昼間から書き込みしている失業者そのもので、メンヘルのクンマーの
何がすぐれているのだろうかw? 失業していることをうらやむのだろうか?
基地外であることをうらやむのであろうかw? 平日の昼間から
2ちゃんねるにどっぷりとつかっている、無意味な人生の浪費をうらやむのだろうか?
誰も読まないスレッドに、本から苦労して書き写す無意味さをうらやむのだろうか?
スレッドに書き込むことへの異常な執着は気持ち悪いことはあれ、
うらやむようなことなのだろうかw?

失業者と問われて、イギリスの貴族であるとこたえる妄想癖をうらやむのだろうか?w

多くの識者は、このスレを読み、スレ主をうらやむよりも、気の毒に思い
医者の手を煩わせることに、思いを馳せるに違いあるまい。



538 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 23:14:28
>>537
だから嫉妬以外にKummerを叩く理由を聞いている
答えろよ


539 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 23:15:32
要するにKummerを貶めたいわけだろ
嫉妬じゃんw


540 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 23:16:44
悔しいのお クンマーはw
イギリスの貴族にして会社のオーナーであるクンマーはw

541 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 23:17:51
>>538
横からだが、ノニを叩くのと同じだろ
イタイのがいれば、叩く
これ、2ちゃんの基本

542 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 23:19:11
やれ無職だ
やれキチガイだ
何度言えば気が済むんだw
たまにはちょっと工夫して煽れよ

543 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 23:19:51
>2ちゃんねるにどっぷりとつかっている、無意味な人生の浪費をうらやむのだろうか?
>誰も読まないスレッドに、本から苦労して書き写す無意味さをうらやむのだろうか?

そうだな クンマーがここにかける時間は全くの無駄だな

544 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 23:20:41
>>542 真実は何度も告げられるもんじゃねえか?

545 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 23:21:06
>>541
だからなんで?


546 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 23:23:04
>>544
はあ?
それで何の意味がある?


547 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 23:24:57
>>540
悔しいのはおめえだろ
毎日つまんねえ仕事をしてw


548 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 23:28:31
とにかくお前らの煽りは全然効いてない
無職
キチガイ
写し
この三つだけ
アホは同じつまらんことを飽きもせずにやるから面白くない
たまには趣向を変えろって


549 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 23:41:47
ヒマで悪かったなw
せいぜい頑張って仕事してくれよ
明日も朝早くからご苦労
俺は明日も好きなことのんびりやるわ

550 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 23:45:54
>>543
あたかもここでKummerを叩いてるお前は無駄なことをしてないと言ってるようだなw


551 :132人目の素数さん:2010/03/03(水) 23:54:31
あれもう終りか?
もっと相手してくれよw
俺もアホ叩くの結構好きでな


552 :132人目の素数さん:2010/03/04(木) 01:06:02
煽りが効いてないわりには
反応してるな

反応が一本調子なのは
写しと同じ理由

553 :132人目の素数さん:2010/03/04(木) 01:08:13
ともかく

猫のあほ以外にkummerの自演だけがkummerを擁護する

自演じゃないちゅうなら証拠出せよ

554 :132人目の素数さん:2010/03/04(木) 01:17:11
>>552
圏論にちょっと飽きてきただけだw
アホを叩くのもたまには面白い


555 :132人目の素数さん:2010/03/04(木) 01:18:53
>>552
>反応が一本調子なのは
>写しと同じ理由

あまり笑わせるなよ
一本調子はお前らだろ


556 :132人目の素数さん:2010/03/04(木) 01:19:25
ねたみに異常に執着するKummerって
誰かを妬んでいるわけだが

わしらは道端にうんこがおちているのを見て汚いから
掃除してくれって思う程度にこのスレを排除したいと
思っているだけで


あほのくんまーがときどき反応してくれれば
からかうけどあすぺだからどうにもならない

うんこだからやめてくれと
いったのに
貴族だとさ

うんこのなかの貴族に嫉妬するやつ見たいもんだわ

557 :132人目の素数さん:2010/03/04(木) 01:21:48
あほをたたくといって意味のないことしかいえない猫と
同レベル

猫よりましかもしれないけどね

558 :132人目の素数さん:2010/03/04(木) 01:21:58
>>553
自演でない証拠なんて自演でなくても出せるわけがないだろ
バカかお前は


559 :132人目の素数さん:2010/03/04(木) 01:24:52
>>556
>わしらは道端にうんこがおちているのを見て汚いから
>掃除してくれって思う程度にこのスレを排除したいと
>思っているだけで

汚いとおもうなら見なきゃいいだろ
馬鹿かお前は(つーか馬鹿決定だがw)


560 :132人目の素数さん:2010/03/04(木) 01:26:31
>>557
意味がないと思うのはあんたの理解力が不足してるからだ
要するに頭悪いw


561 :132人目の素数さん:2010/03/04(木) 01:34:04
こんなところでそういう反応しかできないのが
アホだというのがわからんのだな

自演でない証拠がだせないなら黙っておけよ

562 :132人目の素数さん:2010/03/04(木) 01:36:22
>汚いとおもうなら見なきゃいいだろ

道端にうんこしておいてそうやって開き直れる精神構造が
おかしいっていうのよ

それとおまえいつもそればっかり

563 :132人目の素数さん:2010/03/04(木) 02:02:23
kummerさんも大変だな、粘着に居座られて。

唯一途に代数的整数論を展開しているだけなのに。

564 :132人目の素数さん:2010/03/04(木) 02:26:19
>展開しているだけなのに

どこを読んだらそうなるのかな
自演はみっともないぞkummer君

565 :132人目の素数さん:2010/03/04(木) 02:29:17
今までだあれも助っ人にでてくれないのに
こんな夜中急に誰かが
>kummerさんも大変だな、粘着に居座られて。
なんて言うか

ばかだねくんまー

566 :132人目の素数さん:2010/03/04(木) 07:44:08
そうだよ
くんまー=イギリス貴族にして会社のオーナーにして入院患者
が慈円しているんだよw

567 :132人目の素数さん:2010/03/04(木) 10:55:14
県内10カ所の保健所(現・保健福祉事務所)で、2008年度中に応じた「ひきこもり」に関する相談のうち、
「36歳以上」や「期間が10年以上に及ぶ」といった複雑化したケースの割合が、市町村の窓口などに比べて多いことが、
県による調査で明らかになった。ほぼすべての保健所では医師が対応できる態勢となっていた。
県精神保健福祉センターは「町村など規模の小さい自治体では、医師による相談に対応してないところも多い。
保健所との連携を進めることが重要だ」と指摘している。(長谷川美怜)

調査は、県健康づくり支援課が昨年11月、長野市保健所を除いた県内10カ所の保健所で実施した。その結果、
すべての保健所で08年度中にひきこもりに関する相談を受けており、実人数の合計は65人、相談の延べ件数は329件だった。

相談者の年齢や期間の内訳をみたところ、30歳以下が42人を占めている一方で、36歳以上も17人いた。
期間別では「6カ月以上1年未満」が14人、「1年以上3年未満」が13人、「3年以上5年未満」が10人と目立つ一方、
「10年以上」の長期間も12人いた。

ひきこもり08年度の相談 複雑化例目立つ
http://mytown.asahi.com/nagano/news.php?k_id=21000001003020002


568 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/04(木) 12:51:20
>>293の修正

命題
C を圏とする。
I を前順序集合とする。
F を I を添字集合とし、C に値をとる帰納系(>>282)とする。

X を C の対象とし、k_X ∈ Func(I, C) を定数関手(>>285)とする。
射 σ: F → k_X が次の性質(U)をもつとする。

(U) C の対象 Y に対して射 τ: F → k_Y があるとき、射 f: X → Y で
Δ(f)σ = τ となるものが一意に存在する。
ここで、Δ は対角関手(>>285)である。

σ: F → k_X と ρ: F → k_Z がそれぞれ性質(U) (>>292) を持てば
X から Z への同型 f: X → Z で Δ(f)σ = ρ となるものが一意に存在する。

証明
C の対象 X と射 σ: F → k_X の組 (X, σ) 全体を E と書く。
(X, σ) と (Y, τ) を E の対象としたとき
射: (X, σ) → (Y, τ) として射 f: X → Y で Δ(f)σ = τ と
なるものをとることにより、E は圏になる。

(X, σ) が性質(U)を持てば (X, σ) は E の始対象(>>288)である。
>>289より E の始対象は全て同型である。
よって本命題の主張が得られる。
証明終

569 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/04(木) 12:52:25
>>292の修正

定義
C を圏とする。
I を前順序集合とする。
I は小さい圏と見なせる(>>281)。
F を I を添字集合とし、C に値をとる帰納系(>>282)とする。
即ち、F は Func(I, C) (>>284) の対象である。

X を C の対象とし、k_X ∈ Func(I, C) を定数関手(>>285)とする。
射 σ: F → k_X が次の性質(U)をもつとする。

(U) C の対象 Y に対して射 τ: F → k_Y があるとき、射 f: X → Y で
Δ(f)σ = τ となるものが一意に存在する。
ここで、Δ は対角関手(>>285)である。

このとき、>>568により、
σ: F → k_X と ρ: F → k_Z がそれぞれ性質(U)を持てば
同型 f: X → Z で Δ(f)σ = ρ となるものが一意に存在する。

(X, σ) を F の帰納的極限と呼び ind.lim F と書く。
ind.lim F は ind.lim (F(i)), i ∈ I または ind.lim (F(i)) とも書く。
用語の濫用だが X を F の帰納的極限ともいい X = ind.lim F
または X = ind.lim (F(i)) とも書く。

570 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/04(木) 12:58:03
>>479の双対


I を小さい前順序集合とし、I を小さい圏と見なす(>>281)。
C を圏とする。
Δ: C → C^I (>>372) を対角関手(>>285)とする。

F ∈ Ob(C^I) に対して
(F↓Δ) (>>477) の始対象(>>288)は F の帰納的極限(>>569)に他ならない。

571 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/04(木) 13:19:28
>>477の修正

定義
C と D を圏とする。
F: C → D を関手とする。
S ∈ Ob(D) と F から新しい圏 E を次のように定義する。
対象として対 (X, u) 全体をとる。
ここで、X ∈ Ob(C) であり、u: S → F(X) は D における射である。
(X, u) から (Y, v) への射は射 f: X → Y で
次の図式を可換にするものである。

S  →  S
↓    ↓
F(X) → F(Y)

ここで、上段の横の射は恒等射であり、下段の横の射は F(f) である。
この圏 E を (S↓F) と書き F に関して S の下にある C の対象全体の圏と言う。

572 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/04(木) 13:20:37
定義
C と D を圏(>>340)とする。
F: C → D を関手とする。
A ∈ Ob(D) (>>341)とする。
(A↓F) (>>571)の始対象(>>288) (X, u) を
A から F への普遍射(universal morphism または universal arrow)と言う。
ここで、X ∈ Ob(C) で u: A → F(X) は D における射である。


573 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/04(木) 13:24:14
>>572の双対定義

定義
C と D を圏(>>340)とする。
F: C → D を関手とする。
A ∈ Ob(D) (>>341)とする。
(F↓A) (>>478)の終対象(>>288) (X, u) を
F から A への普遍射(universal morphism または universal arrow)と言う。
ここで、X ∈ Ob(C) で u: F(X) → A は D における射である。


574 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/04(木) 14:00:46

Set を小さい集合(>>321)の圏とする。
Mon を小さいモノイド(>>299)全体の圏とする。

M ∈ Ob(Mon) に対して M を集合と見たものを F(M) とする。
F は Mon から Set への関手である。

S ∈ Ob(Set) に対して S で生成される自由モノイド(>>382)を L とする。
u: S → F(L) を標準射とする。

>>383より (L, u) は S から F への普遍射(>>572)である。


575 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/04(木) 14:52:11

I を小さい前順序集合とし、I を小さい圏と見なす(>>281)。
C を圏とする。
Δ: C → C^I (>>372) を対角関手(>>285)とする。
>>570より、F ∈ Ob(C^I) に対して F の帰納的極限(>>569)は
F から Δ への普遍射(>>572)である。


576 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/04(木) 14:56:57

I を小さい前順序集合とし、I を圏と見なす(>>281)。
I^o を I の双対圏(>>352)とする。
C を圏とする。
Δ: C → C^(I^o) (>>372) を対角関手(>>285)とする。
>>479より、F ∈ Ob(C^(I^o)) に対して F の射影的極限(>>290)は
Δ から F への普遍射(>>573)である。


577 :132人目の素数さん:2010/03/04(木) 15:07:13
垂れ流し再開

578 :132人目の素数さん:2010/03/04(木) 15:29:50
>1日2、3時間働いて
ケツ貸して儲けてる男娼だな
>優雅に暮らすのは現代ではそんなに珍しくはないだろ
なにかあったらオマエは相手にホモだという文脈にない攻撃してたな
>お前らがそういうやつらに嫉妬する気持ちはわからなんでもないが、
おれはオマエの気持ちはわからないね
>見苦しいぞw
たしかにオマエは見苦しいなあ




579 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/04(木) 15:42:42
定義
Set を小さい集合(>>321)全体の圏とする。
C を圏とする。
F: C → Set を関手とする。
X ∈ Ob(C) と F(X) の元 e の対 (X, e) が以下の条件 (UE) を満たすとき
(X, e) を関手 F の普遍元(universal element)または普遍要素と呼ぶ。

(UE) 任意の Y ∈ Ob(C) と F(Y) の任意の元 m に対して
F(f)(e) = m となる射 f: X → Y が一意に存在する。

580 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/04(木) 15:49:56
>>579の双対

定義
Set を小さい集合(>>321)全体の圏とする。
C を圏とする。
F: C → Set を反変関手とする。
X ∈ Ob(C) と F(X) の元 e の対 (X, e) が以下の条件 (UE) を満たすとき
(X, e) を反変関手 F の普遍元(universal element)または普遍要素と呼ぶ。

(UE) 任意の Y ∈ Ob(C) と F(Y) の任意の元 m に対して
F(f)(e) = m となる射 f: Y → X が一意に存在する。

581 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/04(木) 15:56:28
Set を小さい集合(>>321)全体の圏とする。
C を圏とする。
F: C → Set を関手とする。

* ∈ Ob(Set) を1点からなる集合とする。
(X, u) を * から F への普遍射(>>572)とする。
ここで、 X ∈ Ob(C) であり、u は * から F(X) への写像である。
e = u(*) とおく。
e は F(X) の元である。
このとき、対 (X, e) は F の普遍元(>>579)である。
即ち、普遍元は普遍射の一種である。

*  →  *
↓    ↓
F(X) → F(Y)

582 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/04(木) 16:09:42

Set を小さい集合(>>321)全体の圏とする。
Top を小さい位相空間全体の圏とする。
X ∈ Ob(Top) とする。
R を X 上のある同値関係とし、X/R を商空間とする。
p: X → X/R を標準射とする。

Y ∈ Ob(Top) に対して F(Y) = {f ∈ Hom(X, Y); x ≡ y (R) なら f(x) = f(y)}
とおく。
F: Top → Set は関手である。

このとき、(X/R, p) は F の普遍元(>>579)である。

583 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/04(木) 16:24:32

Set を小さい集合(>>321)全体の圏とする。
CRng を小さい(>>321)可換環全体の圏とする。
A ∈ Ob(CRng) とする。
S を A の積閉部分集合(過去スレ001の63)とする。
即ち、Sは次の条件を満たすAの部分集合である。
1) 1 ∈ S
2) a∈ S, b ∈ S なら ab ∈ S

A_S を A の S による局所化(過去スレ001の65)とする。
u: A → A_S を標準射とする。

B ∈ Ob(CRng) に対して
F(B) = {f ∈ Hom(A, B); 各 x ∈ S に対して f(x) は B の可逆元} とおく。
F: CRng → Set は関手である。

このとき、(A_S, u) は F の普遍元(>>579)である。

584 :132人目の素数さん:2010/03/04(木) 16:32:52
無内容

585 :132人目の素数さん:2010/03/04(木) 16:46:27
スレ主は孤独な無職
毎日、昼間から書きコ

586 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/04(木) 16:47:25
定義
C_1 と C_2 を圏(>>340)とする。
圏 E を次のように定義する。
Ob(E) = Ob(C_1)×Ob(C_2) (>>341)
Hom(E) = Hom(C_1)×Hom(C_2) (>>341)

(X, Y) ∈ Ob(E) のとき 1_(X, Y) = (1_X, 1_Y) と定義する。

f_1: X_1 → Y_1
g_1: Y_1 → Z_1
を C_1 における射とする。

f_2: X_2 → Y_2
g_2: Y_2 → Z_2
を C_2 における射とする。

このとき、E における射 (f_1, f_2): (X_1, X_2) → (Y_1, Y_2)
と (g_1, g_2): (Y_1, Y_2) → (Z_1, Z_2)
の合成射 (g_1, g_2)(f_1, f_2) = (g_1f_1, g_2f_2)
と定義する。

このとき E を C_1 と C_2 の積と呼び E = (C_1)×(C_2) と書く。

587 :132人目の素数さん:2010/03/04(木) 16:50:20
くんまーの妄想する自画像とは?

数学好事家の会社オーナーで、イギリス人の貴族
日本語は達者で、人がみんなうらやんでいる。

588 :132人目の素数さん:2010/03/04(木) 16:54:17
クンマーって結婚しているの?
子供はいるの?

奥さんや子供がいて、このスレを読んだら恥ずかしいだろう

589 :132人目の素数さん:2010/03/04(木) 16:55:46
ゴルフのパターを練習するのと同じで
毎日数学書を写す

590 :132人目の素数さん:2010/03/04(木) 16:56:26
昼頃に起きだして、せっせと書いておるなw
それとも午前中は検査だったのかい?

591 :132人目の素数さん:2010/03/04(木) 16:57:33
写経と同じですか?>>589
でも2ちゃんにそんなことされて、サーバーの容量とって迷惑ですな

592 :132人目の素数さん:2010/03/04(木) 16:58:33
ほんと、会社のオーナーという話で通すなら、
さっさと代数的整数論を出版すればいいんじゃね?

593 :132人目の素数さん:2010/03/04(木) 17:00:54
研究科数学専攻の専攻長宛てに、自分の証明した定理とやらを送りつけてきて、
しばらくすると、感想を強要するアマチュアの爺さんがおるが、
>>1もそういうのの一味なんだろう。

594 :負け猫 ◆ghclfYsc82 :2010/03/04(木) 17:01:04
>>588
恥ずかしいのはクンマーさんではなくて、数学が全く出来ない
数学科の学部学生や論文が書けない数学科大学院生達ですね。
クンマーさんは大変に立派だと思います。奥さんにも子供さん
にもご親戚にも大変に誇らしい事だと思います。




595 :132人目の素数さん:2010/03/04(木) 17:02:37
↑てなことを書いている猫は、名無しで散々、くんまーをからかっていましたねw

596 :132人目の素数さん:2010/03/04(木) 17:03:55
ほな、どれとどれを書いたんだ?
そのエビデンスも求めます。

597 :132人目の素数さん:2010/03/04(木) 17:05:50
で、そろそろ

Kummerの人気に嫉妬w

というコメをくんまが書き込むねw

598 :132人目の素数さん:2010/03/04(木) 17:08:00
スピリチュルアルカウンセラー・江原啓之が落ち目になっていく様が、
スピリチュアルファンの間でも話題になっている。

もともと彼の霊視能力には疑問符がついていたのだが、美輪明宏という
芸能界屈指の実力者のプッシュもあり、TVの世界を中心に一気にのし上がった。
江原の出演していたテレビ朝日の『オーラの泉』は、たちまち人気番組となったものの、
番組の中において、生きているはずの壇れいの実父について死んだと断言してしまい、
義父と勘違いしていたことが判明した。この致命的な失態により、事前調査をしている
可能性が強くなり、次第にファンも離れ、霊視というあやふやなものを放送しては
いけないという放送倫理上の問題もあり、番組が終了に追いこまれた。

関西の某局関係者はこう語っている。
「関西の某局で江原がやっていた番組も、スタッフが事前に調べてたんです。
江原はスタッフが調べた内容をしゃべるだけ、少なくともテレビ業界で、
江原の霊視能力というものがリアルだなんて、誰も思ってないですよ」
(関西某局スタッフ談)

そんな落ち目の江原啓之のギャラが暴落していると、業界では評判である。
かつて、CXやテレ朝で提示されていたギャラの3分の1から5分の1で出演を
受けているという噂もあるのだ。もはや、二流芸人並みの扱いである。

そんな江原が現在、イベントや番組の中でを売り物にしているのが
「パワーフード」と「パワースポット」である。霊視がテレビの中で使えないならば、
この手で生き残るしかないのはよくわかる。だが、巨体を揺らして「パワーフード」
に貪りつく姿に、かつてのスピリチュルアルカウンセラーの権威はない。


599 :負け猫 ◆ghclfYsc82 :2010/03/04(木) 17:08:05
>>591
2ちゃんのサーバでの保存形式は単なるテキストファイル
だと予想されます。従ってウエッブサーバの容量には全く
負担にはなりませんね。負担になるのは数学科の屑学生の
方でしょうね。講義は理解しないし論文は書かないとかね。
因みにOSはFreeBSDだそうですから安定動作していると思い
ますよ。でも先日みたいにクラッシュさせるのは大量の同
時アクセスですね、韓国からと報道されているみたいです
が・・・




600 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/04(木) 17:08:11

Set を小さい集合(>>321)全体の圏とする。
R を必ずしも可換とは限らない環とする。
Mod-R を小さい右 R-加群全体の圏とする。
R-Mod を小さい左 R-加群全体の圏とする。
Ab を小さいアーベル群全体の圏とする。

M ∈ Ob(Mod-R) と N ∈ Ob(R-Mod) と G ∈ Ob(Ab) に対して
写像 f: M×N → G で次の条件(@)、(A)、(B) を満たすものを平衡写像と言う。
任意の x, y ∈ M と
任意の z, w ∈ N と
任意の a ∈ R に対して

(@) f(x + y, z) = f(x, z) + f(y, z)
(A) f(x, z + w) = f(x, z) + f(x, w)
(B) f(xa, z) = f(x, az)

F(G) = {M×N から G への平衡写像全体}とおく。
F: Ab → Set は関手である。

M※N を M と N の R 上のテンソル積とする。
u: M×N → M※N を標準写像とする。

このとき
(M※N, u) は F の普遍元(>>579)である。

601 :132人目の素数さん:2010/03/04(木) 17:08:40
貴族だけど女には興味がない
ケンブリッジなんかの伝統で独身
もっというと同性愛者
そのほうが得だから

602 :132人目の素数さん:2010/03/04(木) 17:10:34
しかし、霊視をテレビ番組として放送するっちゅうのはひどいもんですね?

猫さんはどう思われますか?

603 :132人目の素数さん:2010/03/04(木) 17:11:40

くんまーは同性愛者だそうですw



604 :132人目の素数さん:2010/03/04(木) 17:13:17
見たくなかったら見なけりゃいいという理屈は
自分でブログを書いている場合なら通るけど
ここじゃうんこの垂れ流しだから迷惑だよね

有害番組作ったテレビ局だって
有害と思えば見るな
なんて言わないよ

605 :132人目の素数さん:2010/03/04(木) 17:15:16
うんこは臭いしバッチイから、こんなところで出さないで下さい

606 :132人目の素数さん:2010/03/04(木) 17:17:50
高校無償化対象から朝鮮学校の除外を政府が検討していることに対し、
京都朝鮮中高級学校(京都市左京区)の保護者が4日、下京区の四条河原町付近で反対を訴えた。

日本の中学、高校にあたる同校の母親でつくる「オモニ会」のメンバーら約40人が、京都高島屋前など4カ所に立った。
朝鮮高校卒業生に国公立大受験資格がある点などから「日本の高校と変わらない」
「(除外は)新たな民族差別」と書いたチラシ800枚を通行人に配った。

同会の金秀子(キムスジャ)会長(46)=右京区=は「民族の言葉や歴史を大事にしたいと通わせているが、
保護者の経済事情は苦しい。日本社会で生きるわれわれがなぜ仕打ちを受けなければいけないのか」と話した。

607 :132人目の素数さん:2010/03/04(木) 17:18:02
猫は実体のない数学しかしたことがない
フランスかぶれ
だからこのスレを応援する

608 :132人目の素数さん:2010/03/04(木) 17:18:34
江原って言うやつは、元々、詐欺師だろ?




609 :132人目の素数さん:2010/03/04(木) 17:19:30
>>607
いや、猫は底意地が悪いんだよ
名無しで、意地の悪い書き込みをしているよ

610 :負け猫 ◆ghclfYsc82 :2010/03/04(木) 17:20:32
>>602
アメリカのテレビとかメディアでさえ「そういう側面」が結構あり
ますが、日本のメディアは嘘でも騙しでもお金が儲かりさえすれば
何でもスルという傾向がかなりありますよね、新聞でさえそうです
から。(例えば911に関する報道が典型的な例。)なのでそうい
うモノは最初から信用せずに「単なるアソビ」と割り切るしかアリ
マセンね。だからソレを良いとか悪いとか言うのではなくて、日本
のテレビ番組というモノは「そういうモノ」だと私は考えています。
但しソコから「何がしかの権威」が生じてしまう事が一番いけない
と考えます。権威というモノは常に確かなモノでなければなりませ
んから。まあ「日本人はメディアとか権威とかにめっぽう弱い」の
は海外でも良く知られています。ナントカ大学カントカ教授という
だけで世間は偉いと簡単に勘違いしますからね。

あ〜あ。




611 :132人目の素数さん:2010/03/04(木) 17:24:25
>>609
猫にそんなゲイがあるとは知らなかった

612 :132人目の素数さん:2010/03/04(木) 17:40:43
猫はホモロジー好きなんだお

613 :132人目の素数さん:2010/03/04(木) 17:45:02
大喜利かよw

614 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/04(木) 18:02:35
定義
Set を小さい集合(>>321)全体の圏とする。
C を局所的に小さい圏(>>343)とする。
X, Y ∈ Ob(C) に対して h_X(Y) = Hom(Y, X) と書く。
h_X: C → Set は反変関手である。


615 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/04(木) 19:54:42
定義
Set を小さい集合(>>321)全体の圏とする。
C を局所的に小さい圏(>>343)とする。
X ∈ Ob(C) に対して h_X (>>614) を Hom(-, X) とも書く。

616 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/04(木) 20:00:40
定義
C を圏とする。
f: X → Y を C における射とする。
Z を C の対象とする。

u: Z → X に fu: Z → Y を対応させる写像 Hom(Z, X) → Hom(Z, Y) を
Hom(Z, f) と書く。

v: Y → Z に vf: X → Z を対応させる写像 Hom(Y, Z) → Hom(X, Z) を
Hom(f, Z) と書く。


617 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/04(木) 20:07:30
定義
C を圏とする。
f: X → Y と g: Z → W を C における射とする。
次の図式は可換である。

Hom(W, X) → Hom(W, Y)
↓        ↓
Hom(Z, X) → Hom(Z, Y)

即ち、>>615の定義で、
Hom(g, Y)Hom(W, f) = Hom(Z, f)Hom(g, X) である。
この両辺を Hom(g, f) と書く。
即ち、
Hom(g, f): Hom(W, X) → Hom(Z, Y) でである。

618 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/04(木) 20:08:41
>>617
>即ち、>>615の定義で、

即ち、>>616の記法で、


619 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/04(木) 21:20:11
C を圏とする。
f: X → Y を C における射とする。
Z を C の対象とする。
Hom(Z, f) (>>616) は Hom(1_Z, f) (>>617) に等しい。
同様に Hom(f, Z) は Hom(f, 1_Z) に等しい。


620 :132人目の素数さん:2010/03/04(木) 21:28:00
クメール君は何ですな
黒澤の「まあだだよ」の
旧国鉄全駅を北から南まで暗唱して
披露しているあの人物の血筋だろうと思われま

621 :132人目の素数さん:2010/03/04(木) 22:01:12
まあ、失業者というのは最強ですからな

622 :132人目の素数さん:2010/03/04(木) 22:03:32
カウンセリングというのは1回じゃなかなかうまくいかないんだ。
何回か話し相手になってもらっているうちに、しだいに打ち解けて
互いのことがわかってきて、癒されるんだよ。
くんまークンも治療の効果はどうかね?

623 :132人目の素数さん:2010/03/04(木) 22:07:01
人をたくさん使っているのならば、
手書きの原稿を使用人に渡して
使用人に2ちゃんに書き込んでもらったらいいんじゃないかな?
面倒だろ? タテの矢印なんかがずれないように
可換図式とか書くのはw

普通はTEXを使うのだが、くんまーはテフ打ちも出来ないのか?
テフで打っておいた方が、くんまーの使用人も
電子的に蓄積されるので、意義あるのではないかな?w

624 :132人目の素数さん:2010/03/04(木) 22:09:34
それとも、人をたくさん使っている企業のオーナーなんだが、
細かいつまらん作業をすることしか、時間の使い道がないってことなのかな?
企業のオーナーならば、上の方で指摘されているように
遊星社あたりから本を出版してもらってはどうかな?

こんなところで汚物をまきちらかして迷惑かけるよりもはるかにましだぜw

625 :132人目の素数さん:2010/03/04(木) 22:10:45
>>623

脳内企業なんで、
オーナー=クンマー
使用人=クンマー
なんですよ

626 :132人目の素数さん:2010/03/04(木) 22:13:47
人生の大部分がゴミなので

627 :132人目の素数さん:2010/03/04(木) 22:15:40
Kummer ◆g2BU0D6YN2 はイギリス人で、日本語でものを書き
平日の昼間から、本の内容を必死になってボードに書き写し
しかし、地主であり、貴族であり、企業のオーナーをしている
そおいうパソコンをつかう入院患者っつうことでつか?




628 :132人目の素数さん:2010/03/04(木) 22:18:29
君らが知らんから教えてやるが、クンマーは日本数学会の会員で
一般講演をしている人なんだよ

629 :132人目の素数さん:2010/03/05(金) 00:06:27
ooyabu?

630 :132人目の素数さん:2010/03/05(金) 00:34:52
>平日の昼間から本の内容を必死になってボードに書き写し

まあ当たらずとも遠からずとして(広い意味の写しを全然してない教科書の著者がいたら教えてくれ)、それが何かおかしいのか?
それがイタイと思ってるとしたらそれはあんたが自分に引き付けて考えるてるからだろ。
自分が今職を失ったらえらい惨めだとかw
数学の本を丸写しなんて苦行だとか(なんでKummerが苦行するんだw)
あのなあ、他人が全部お前と同じような考えを持ったり同じような境遇なわけないだろ
イタイのはお前だよ

631 :負け猫 ◆ghclfYsc82 :2010/03/05(金) 00:50:18
誰が本物の馬鹿かが良く理解出来るので、大変に勉強になります。




632 :132人目の素数さん:2010/03/05(金) 00:59:07
と猫という本物の馬鹿が申しております

633 :132人目の素数さん:2010/03/05(金) 01:01:29
猫とか熊とかが自分の判断をどう表明してもそれは何の説得力にも
ならない

なぜなら彼らには実績がない

634 :132人目の素数さん:2010/03/05(金) 01:04:19
>なんでKummerが苦行

ドイツ語

635 :132人目の素数さん:2010/03/05(金) 01:09:32
>教科書の著者

おまえは教科書を書いているわけでもないし
教科書の著者を引き合いに出して自分のやっていることを
正当化はできない

でたらめな理屈をこねるな

636 :132人目の素数さん:2010/03/05(金) 01:25:16
>おまえは教科書を書いているわけでもないし

体裁や出来はともかく、これを見て誰かが何かを学べばそれは一種の教科書だろ

>教科書の著者を引き合いに出して自分のやっていることを
>正当化はできない

正当化をしてるわけではないしその必要はない
事実を述べてるだけ

>でたらめな理屈をこねるな

でたらめと思うのはあんたの問題だw

637 :負け猫 ◆ghclfYsc82 :2010/03/05(金) 01:38:52
>>636
貴方は正しい。よってもし貴方が>>635を潰すのであれば、
私は貴方に全面協力をします。馬鹿を潰す必要がアルとい
うご判断であれば私に教えて下さい。




638 :132人目の素数さん:2010/03/05(金) 01:52:02
可換図式とかはTeXでもそれ専用のパッケージ探して
インストールしたりしないといけないから2chに書くより寧ろ大変だと思うが

639 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/05(金) 01:52:18
C を圏とする。
f: X → Y と g: Z → W を C における射とする。
>>617で Hom(g, f): Hom(W, X) → Hom(Z, Y) を定義した。
h: W → X のとき、Hom(g, f)(h) = fhg である。


640 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/05(金) 01:57:18
C を圏とする。

u: U → V
v: V → W
f: X → Y
g: Y → Z
を C における射とする。

>>617より次の射が得られる:
Hom(v, f): Hom(W, X) → Hom(V, Y)
Hom(u, g): Hom(V, Y) → Hom(U, Z)

h: W → X のとき、Hom(v, f)(h) = fhv
よって、
Hom(u, g)Hom(v, f)(h) = Hom(u, g)(fhv) = gfhvu = Hom(vu, gf)(h)
よって、
Hom(u, g)Hom(v, f) = Hom(vu, gf)

641 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/05(金) 02:18:09
C を圏とする。

u: S → T
v: T → U
w: U → V

f: X → Y
g: Y → Z
h: Z → W
を C における射とする。

Hom(w, f): Hom(V, X) → Hom(U, Y)
Hom(v, g): Hom(U, Y) → Hom(T, Z)
Hom(u, h): Hom(T, Z) → Hom(S, W)
が定義される(>>617)。

>>640より、
(Hom(u, h)Hom(v, g))Hom(w, f) = Hom(vu, hg)Hom(w, f) = Hom(wvu, hgf)
Hom(u, h)(Hom(v, g)Hom(w, f)) = Hom(u, h)Hom(wv, gf) = Hom(wvu, hgf)

よって、
(Hom(u, h)Hom(v, g))Hom(w, f) = Hom(u, h)(Hom(v, g)Hom(w, f))

642 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/05(金) 02:25:20
>>641
>(Hom(u, h)Hom(v, g))Hom(w, f) = Hom(u, h)(Hom(v, g)Hom(w, f))

これは集合間の写像の合成として自明であった。
よって>>641はあまり意味がない。


643 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/05(金) 02:38:04
C を圏とする。
U, X を C の対象とする。

>>639より、任意の f: U → X に対して
Hom(1_U, 1_X)(f) = (1_X)f(1_U) = f

よって、Hom(1_U, 1_X) = 1_Hom(U, X)

644 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/05(金) 02:49:15
>>623
>使用人に2ちゃんに書き込んでもらったらいいんじゃないかな?

手間は手書きもキーボードから打ち込むのも大して変わらない。
他人に打ち込ませたものを後でチェックするのは面倒。

>テフで打っておいた方が、くんまーの使用人も
>電子的に蓄積されるので、意義あるのではないかな?w

意味不明
ASCIIコードも電子的に蓄積される

645 :132人目の素数さん:2010/03/05(金) 02:53:45
>>624
>企業のオーナーならば、上の方で指摘されているように
>遊星社あたりから本を出版してもらってはどうかな?

わかってないな
何回も言わせるなよ
ここに書いてるのは読者の反応を見るという意味もあるし
自分の覚え書きという意味もある
ノート代わりw

646 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/05(金) 03:01:24
Set を小さい集合(>>321)全体の圏とする。
C を局所的に小さい圏(>>343)とする。
C^o を C の双対圏(>>352)とする。
(C^o)×C を圏の直積(>>586)とする。

>>617, >>640, >>643 より、
Hom: (C^o)×C → Set は関手である。

647 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/05(金) 04:37:19
定義
Set を小さい集合(>>321)全体の圏とする。
C を局所的に小さい圏(>>343)とする。
C^o を C の双対圏(>>352)とする。

f:X → Y
u:U → V
を C における射とする。

次の図式は可換である。

Hom(V, f): Hom(V, X) → Hom(V, Y)
       ↓      ↓
Hom(U, f): Hom(U, X) → Hom(U, Y)

よって、
Hom(-, f): Hom(-, X) → Hom(-, Y) は自然変換である。

よって、X → Hom(-, X) は C から Fumc(C^o, Set) への関手である。
この関手を h: C → Fumc(C^o, Set) と書き、米田関手と呼ぶ。

648 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/05(金) 05:35:37
Set を小さい集合(>>321)全体の圏とする。
C を局所的に小さい圏(>>343)とする。
C^o を C の双対圏(>>352)とする。

X ∈ Ob(C) とする。
h_X: C^o → Set を>>614で定義した関手とする。
F: C^o → Set を関手する。

c ∈ F(X) とする。
f: Y → X のとき F(f): F(X) → F(Y) である。
σ(Y): h_X(Y) → F(Y) を σ(Y)(f) = F(f)(c) により定義する。

g: Z → Y のとき、F(g)F(f)(c) = F(fg)(c)
よって次の図式は可換である。

σ(Y):h_X(Y) → F(Y)
    ↓   ↓
σ(Z):h_X(Z) → F(Z)

よって、σ: h_X → F は自然変換である。
c ∈ F(X) に σ を対応させる写像を α(X): F(X) → Hom(h_X, F) とする。

逆に τ: h_X → F を自然変換とする。
τ(X): h_X(X) → F(X) である。
τ に τ(X)(1_X) ∈ F(X) を対応させる写像を
β(X): Hom(h_X, F) → F(X) とおく。

649 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/05(金) 07:59:07
命題(米田の補題)
Set を小さい集合(>>321)全体の圏とする。
C を局所的に小さい圏(>>343)とする。
C^o を C の双対圏(>>352)とする。
X ∈ Ob(C) とする。
h_X: C^o → Set を>>614で定義した関手とする。
F: C^o → Set を関手する。

このとき、>>648の α(X): F(X) → Hom(h_X, F) と
β(X): Hom(h_X, F) → F(X) は互いに逆写像である。

証明
c ∈ F(X) とする。
>>614より、σ(X)(1_X) = F(1_X)(c) = c
よって、β(X)α(X)(c) = c
よって、β(X)α(X) = 1_F(X)

逆に τ: h_X → F を自然変換とする。
τ(X)(1_X) = c とおく。
β(X)(τ) = c である。

τ は自然変換であるから f: Y → X のとき次の図式は可換である。

τ(X):h_X(X) → F(X)
    ↓   ↓
τ(Y):h_X(Y) → F(Y)

よって、F(f)(c) = τ(Y)(f)
よって、τ = α(X)(c)
よって、τ = α(X)β(X)(τ)
よって、α(X)β(X) = 1_Hom(h_X, F)
証明終

650 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/05(金) 11:26:05
命題(米田の埋め込み定理)
Set を小さい集合(>>321)全体の圏とする。
C を局所的に小さい圏(>>343)とする。
C^o を C の双対圏(>>352)とする。

米田関手(>>647) h: C → Fumc(C^o, Set) は充満忠実(>>403)である。

証明
X と Y を C の対象とする。
米田の補題(>>649)を h_X と F = h_Y に適用すると
α(X): h_Y(X) → Hom(h_X, h_Y) は全単射である。

h_Y(X) = Hom(X, Y) であり、f: X → Y のとき、
α(X)(f) は h(f): h_X → h_Y に等しい。
よって、h は充満忠実である。
証明終

651 :132人目の素数さん:2010/03/05(金) 13:42:05
           / ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
  ∧_∧    <  フー 自作自演も疲れるぜ
 (゚Д゚Λ)_Λ    \____________
 ( ̄⊃・∀・))
 | | ̄| ̄
 (__)_)
           / ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
  ∧_∧ゴルァ! <  な、なに見てんだゴルァ!
 ( ゚Д゚Λ_Λ    \____________
 ( ̄⊃・∀・))
 | | ̄| ̄
 (__)_)

652 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/05(金) 14:09:53
命題(>>650の系)
任意の射 σ: h_X → h_Y は σ により一意に定まる射 f: X → Y により
引き起こされる。
σ: h_X → h_Y が同型であるためには対応する f: X → Y が同型であることが
必要十分である。

証明
>>650より明らかである。

653 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/05(金) 14:13:38
定義
Set を小さい集合(>>321)全体の圏とする。
C を局所的に小さい圏(>>343)とする。
C^o を C の双対圏(>>352)とする。

F: C^o → Set を関手とする。
h_X (>>614) が F と同型となるような X ∈ Ob(C) が存在するとき
F を表現可能という。

σ: h_X → F を同型とする。
米田の補題(>>649)より σ(X)(1_X) = e ∈ F(X) が定まる。
このとき、任意の Y ∈ Ob(C) に対して f ∈ Hom(Y, X) に F(f)(e) ∈ F(X) を
対応させる写像は全単射である。
即ち (X, e) は F の普遍元(>>580)である。
このとき、(X, e) は F を表現すると言う。
または用語の乱用で X は F を表現すると言う。

>>652より F を表現する X は同型を除いて一意に定まる。

654 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/05(金) 15:18:40

Set を小さい集合(>>321)全体の圏とする。
C と D を局所的に小さい圏(>>343)とする。

F: C → D を関手とする。
S ∈ Ob(D) (>>341)とする。
(X, u) を F から S への普遍射(>>573)とする。
ここで、X ∈ Ob(C) で u: F(X) → S は D における射である。

Y ∈ Ob(C) に対して G(Y) = Hom(F(Y), S) とおく。
G: C → Set は反変関手である。

(X, u) は普遍射であるから、任意の射 F(Y) → S に対して
次の図式を可換にする射 Y → X が一意に存在する。

F(Y) → F(X)
↓    ↓
S  →  S

よって、(X, u) は反変関手 G の普遍元(>>580)である。
よって、>>653より (X, u) は G を表現する。

655 :132人目の素数さん:2010/03/05(金) 15:58:26
猫に応援してもらってるって
なんだかみじめ

656 :132人目の素数さん:2010/03/05(金) 16:00:03
くんまー語では
うんこと教科書がおなじ意味らしい

657 :132人目の素数さん:2010/03/05(金) 16:28:03
( ^ω^) アホな性犯罪者の書き込みを禁じるお

( ^ω^) これは命令だお

( ^ω^) アホな性犯罪者の書き込みを禁じるお

( ^ω^) これは命令だお

( ^ω^) アホな性犯罪者の書き込みを禁じるお

( ^ω^) これは命令だお


658 :132人目の素数さん:2010/03/05(金) 16:35:08
>>645
だからさ、おまえにとってはノートか知らんが
数学者である俺から見れば、うんこと同じだ

659 :132人目の素数さん:2010/03/05(金) 16:37:13
読者の反応ねえw
どんな反応があったw?

660 :132人目の素数さん:2010/03/05(金) 16:38:07
Kummer ◆g2BU0D6YN2 はイギリス人で、日本語でものを書き
平日の昼間から、本の内容を必死になってボードに書き写し
しかし、地主であり、貴族であり、企業のオーナーをしている
そおいうパソコンをつかう入院患者っつうことでつか?

そうでつ

661 :132人目の素数さん:2010/03/05(金) 16:41:04
>>659

1.「うんこ」だから迷惑であるというクンマー以外からの反応

2.猫から慇懃無礼な礼賛(その一方で名無しで蔑みもしているw)

3. クンマーの慈円による励ましと、自問自答w

これに類別される。2ちゃんねるでやるという意味が分からんw

露出凶が暴れていると解釈すればいいんだね?w



662 :132人目の素数さん:2010/03/05(金) 17:25:47
>>658
専門は?


663 :132人目の素数さん:2010/03/05(金) 17:27:16
>>659
過去スレを全部読めばわかる


664 :132人目の素数さん:2010/03/05(金) 17:31:17
>>658
だから来なくていいと何度いったら
うんこ(と思うなら)見に来るなよ
アホかw


665 :132人目の素数さん:2010/03/05(金) 18:04:40
数学者である俺から見れば
数学者である俺から見れば
数学者である俺から見れば

666 :負け猫 ◆ghclfYsc82 :2010/03/05(金) 18:10:36
失業者であるワシから見れば
失業者であるワシから見れば
失業者であるワシから見れば




667 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/05(金) 18:32:28

G を小さい群とする。
>>454より Func(G^o, Set) は小さい (G^o)-集合全体の圏と見なされる。

h: G → Fumc(G^o, Set) を米田関手(>>647)とする。

h_G(G) = Hom(G, G) = G であり、
s ∈ Hom(G, G)
x : G → G
のとき h_G(x)(s) = sx
よって、G は集合 G に右から作用する。
即ち、h_G は G の右正則表現である。

この場合、米田の埋め込み定理(>>650)は G の右正則表現の自己同型群と
G は標準的に同型であることを示している。

668 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/05(金) 18:52:11
>>667が示唆するように C が圏のとき Fumc(C^o, Set) の対象、
即ち C から Set への反変関手は C の Set における表現と考えられる。
米田関手(>>647)は C のいわば「正則表現」に当たる。
Fumc(C^o, Set) の対象は集合という具体的な対象を扱っているので抽象的な C より
扱いやすい場合が多い。
そこで Fumc(C^o, Set) で得られた結果を米田の埋め込み定理(>>650)により
C に戻すことにより C に関する有益な結果が得られる場合が多い。

669 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/05(金) 19:04:25
ここでやや脱線。
私見によれば圏論は20世紀の数学が発見した最も重要な概念の一つだと思う。
Cantorの集合論が数学に革命を起こしたとしたら
圏論はそれと同等かそれ以上の革命を起こしたと言える。
このような重要で基本的な概念が20世紀の半ばになって
ようやく発見されたというのには驚く。

670 :負け猫 ◆ghclfYsc82 :2010/03/05(金) 19:14:27
>>669
いや、でもソレを(例え整理の為だと過小評価したとしても)必要
とした数学概念が充分に出揃っていたかが問題ではないでしょうか
ね、と私は考えますが。何故ならば、別の事例でε‐δ論法であっ
ても、その重要性が認識されたのはニュートンやらオイラーの時代
よりはアト(ワイエルシュトラースでしたかね)ですよね、どれだ
けアトかは私は認識がアリマセンけど。だから抽象概念は必要にな
ってから出て来るというので良いのではないでしょうかね。

でも、だとすると、ガロアの「論文」というのは驚愕ですけど・・・




671 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/05(金) 19:14:51
圏論は一種の言語とみることも出来る。
人間は言語を介してものを考え、言語によりその思考が制限されるので
適切な言語の使用は非常に重要である。
これが数学において適切な記号の発明が重要な理由である。

672 :132人目の素数さん:2010/03/05(金) 19:19:25
確かにある側面は捉えることはできたかもしれんけど、
別の側面は捨て去られるんでな。

673 :132人目の素数さん:2010/03/05(金) 19:19:30
>>669

>>668みたいなことが詳しく書いてある本ありますか?

674 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/05(金) 20:09:43
>>673
圏論の威力は応用しないと分からないです。
私の乏しい知識ではGrothendioeckの代数幾何学での仕事で
その威力が発揮されていると思います。


675 :負け猫 ◆ghclfYsc82 :2010/03/05(金) 20:09:50
>>671
その事実が正に「ホモロジー代数の重要性」を雄弁に物語っていると思います。
数学が抽象的であればあるほど基本構造としての意味を持つ所以ですよね。




676 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/05(金) 20:15:15
>>670
確かに必要がないと思いつかないかもしれないですね。
圏論は位相幾何学の必要から生まれました。
あまりに基本的なことというのは人間は案外気がつかないかも知れないです。


677 :負け猫 ◆ghclfYsc82 :2010/03/05(金) 20:19:25
>>674
大Grothendieckは数学の問題が正しく定式化されるべき場所と言語とを
共に定めた天地創造の神の役割を果たしたと私は考えます。音楽で言え
ば、平均律12音階を自らの作品によって定めて近代西洋音楽の礎を置
いた大バッハに勝るとも劣らぬ不朽の大数学であり、数学の全ての歴史
と全ての研究成果にあって新約聖書の役割を担うモノである事が確信さ
れます。コレに匹敵する礎はユークリッドの旧約聖書とガウスの中約聖
書しか存在しないのではないでしょうか。




678 :負け猫 ◆ghclfYsc82 :2010/03/05(金) 20:35:41
>>676
確かマクレーンですよね。だからルレイとかセールとかよりは
前という了解で良いんですかね、細かい事は忘れましたが。
だから米田積とかの論文なんてえのはずっと後の筈ですよね。




679 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/05(金) 20:46:07
>>678
Eilenberg-Mac Lane: Group extensions and homology, Ann. Math. 1942 です。
Cech cohomology の普遍係数定理に関する論文らしいです。

680 :負け猫 ◆ghclfYsc82 :2010/03/05(金) 21:02:16
>>679
ああ、やっぱり「そんな話」でしたよね。つまりEilenberg-MacLane
spaceというかK(\pi ,n)-spaceの話の「事の起こり」ですよね。
どうも有難う御座いました。




681 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/05(金) 21:20:35
>>677
Grothendieckが偉大なことは勿論ですが、ユークリッドが旧約聖書だというのも賛成です。
公理から出発して個々の命題を証明するというのは、偉大な発明だと思います。
日本の和算には証明という概念はなかったんじゃないですか?

682 :負け猫 ◆ghclfYsc82 :2010/03/05(金) 21:47:49
>>681
私は和算の事は何も存じ上げません。但し昔に、今は亡き村田先生から
お伺いしたお話しでは、世界で最初の微積分法の発見はニュートンや
ライプニッツではなくて関孝和だそうです。(コレは年代という意味で。)
但し微積分は(ニュートンでさえ)理論ではなくて「計算の為の技」と
いう了解を私はしていまして、したがって解析学が数学の理論として
確立するのは厳密性という議論が完成するずっと後の事だと考えます。
だからソレがブルバキ以降でなければならないかどうかは別としても、
まあ関数解析まで待たなければならなかったかどうかは私には判りま
せん、不勉強なもので。でもディラックが数学ではなくて物理なのは
明らかで、従ってシュワルツと佐籐こそが数学だと私は考えます。つ
まり厳密な証明が無いモノは私は数学とは考えません。

なので、数学という学問というか数学という概念の起こりは正に
ユークリッドであるというのが私の立場であり、従ってユークリッド
こそが「数学というモノのファウンダー」であると私は認識して
います。

ついでに申し上げますと、現代に於いては私が考える数学というモノ
は「Grothendieck世界で記述されるモノ」という理解です。つまり
「Grothendieckこそが現代数学の定義」ですね、私見ですが。




683 :負け猫 ◆ghclfYsc82 :2010/03/05(金) 21:56:44
>>681
言い忘れましたが、私に取っては数学は学問ではなくて思想ですね。
つまり絶対に確かなモノ以外は一切何も信用しないという立場です。
そして全てのモノは相対的であって、従って絶対真理等というモノ
は存在し得ません。なので数学の基点は公理系であり、その公理系
は宗教であって、ソコから全てが展開される世界観が現実の宇宙と
いう了解です。

つまり私は原理主義者だと思います。




684 :数学自由人:2010/03/05(金) 21:56:53
クンマーさん質問してもいいですか?
圏の定義から結合則をはずすことを考えます。
わたしはこれを個人的に絶対圏と呼んでいます。
なぜこういうものを考えるかというと、結合的
でない代数系も議論に取り込みたいからです。
この絶対圏に対しても一般化された米田の補題
が成り立つように思いますがどうでしょうか?

685 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/05(金) 22:09:53
>>684
すみません、分からないです。


686 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/05(金) 23:58:57
>>668
>Fumc(C^o, Set)

Func(C^o, Set)


687 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 00:05:12
自演でない質問には答えられない低脳クンマーw

悔しいのおw

688 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 00:34:26
見たくなかったら見なけりゃいいという理屈は
自分でブログを書いている場合なら通るけど
ここじゃうんこの垂れ流しだから迷惑だよね

有害番組作ったテレビ局だって
有害と思えば見るな
なんて言わないよ


>>637

馬鹿猫が何をつぶすっての?うんこ?

689 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 00:36:59
>シュワルツと佐籐こそが数学だと私は考えます。つ
>まり厳密な証明が無いモノは私は数学とは考えません。

数学の厳密さにたえきれず痴漢して逃げ出したアホが
なにをほざくか

えらそうに言うんじゃないよ

690 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 00:38:53

>シュワルツと佐籐こそが数学だと私は考えます。つ
>まり厳密な証明が無いモノは私は数学とは考えません。

数学の厳密さにたえきれず痴漢して逃げ出したアホが
なにをほざくか



えらそうに言うんじゃないよ

691 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 00:40:16
>>687
くだらない質問に対する謙虚な答えが分からないのかw

692 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 00:44:29
>>688
はあ?
くだらないと思えば二度と見なければいい
お前みたいに何度も見に来るやつが迷惑とは気は確かかw


693 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 00:46:39
>はあ?

あほ?

おまえ日本語読めないの

694 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 00:48:10
>>693
アホはお前だ


695 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 00:51:26
>>687
悔しいのうw


696 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 00:51:47
>体裁や出来はともかく、これを見て誰かが何かを学べばそれは一種の教科書だろ

好き勝手な定義をするもんだな
そんなこといったらまじめに教科書書いてる人たちに失礼だろ

697 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 00:54:20
>>696
ほう、どこが失礼なのか納得のいく説明をじっくり聞かしてもらいましょうか


698 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 01:01:10
あれ、もう終り?
種切れかよw
つまんね
もっとかかってこいよ


699 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 01:07:10
>どこが失礼なのか

そういう質問すること自体が失礼だな
入院していて世間と隔絶しているとわからないだろうけど

700 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 01:09:04
>698

なに妄想してんだよ?


701 :負け猫 ◆ghclfYsc82 :2010/03/06(土) 01:09:35
>>696
エエかァ、ワシはアンタを常に見てるさかいナ。




702 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 01:10:13
こら猫

おまえの盟友がピンチだぞ

703 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 01:11:45
>>699
要するに答えられないw
お前らの相手するのは楽しいよ
たまにはな


704 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 01:12:39
>>701

痴漢で節穴の目をもつ猫になにが見える?

俺たちとはちがったものが見えているんだろうな

705 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 01:14:14
>要するに答えられないw

こたえてないのはお前だけど

706 :負け猫 ◆ghclfYsc82 :2010/03/06(土) 01:14:20
>>687
エエのんかァ、そんな事を言うてや その気になったらワシかて出来る事が
アルのや そんな事はアンタは当然判ってるわなァー




707 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 01:15:42
うんこと教科書のちがいを教えてくれよ
くまー

708 :負け猫 ◆ghclfYsc82 :2010/03/06(土) 01:17:37
>>688
ワシは何も潰さへんデ。アンタを見下げるだけや
まあアンタは精々苦しむこっちゃナ。




709 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 01:18:55
>>706

誰が相手のつもりか知らんけど
なにをするつもりか知らんけど

置換論の講義だけはやめてくれよ

710 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 01:20:52
>>708

口だけか

711 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 01:22:28
猫とくまは失業者同士
メンヘル同士なので
意見があうのではないでつか?

712 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 01:24:01
>だから論理的に正論を以て戦えば簡単にクラッシュ
>する事例を私は幾つも見て来ました。(尚、私のストラテジー
>は非公開ですが、判る人には判ると思います。)

何かをやったつもりになっている妄想癖は
くまーと同類

713 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 01:25:18
くまはイギリス人で貴族、企業のオーナーで
入院していて、パソコンをつかっているそうだ

714 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 01:27:22
>>706

きゃーお助けください
こわくて夜も眠れません
くまーの無内容な圏論も読めません

715 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 01:29:22
本人以外で読んでおるものはおらんだろ?
ちちっと斜め読みして質問したら
クンマーは答えられない体たらくだしw

716 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 01:30:43
本家のクンマーの名誉を毀損しておるな、このスレ主=引きこもりは

717 :負け猫 ◆ghclfYsc82 :2010/03/06(土) 01:43:36
>>715
ワシは読んでる。しかもちゃんと質問に答えて戴いてるんや。アンタはアホか!




718 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 06:04:47
>>682
ユークリッド幾何にはパッシュの公理が欠けているのであんなものは
「証明」でもなんでもなく、「論理ごっこ」だった。

719 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/06(土) 07:40:49
>>649
>>>614より、σ(X)(1_X) = F(1_X)(c) = c

α(X)(c) = σ とおくと、>>648より、σ(X)(1_X) = F(1_X)(c) = c

720 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/06(土) 07:42:08
>>684
米田の補題(>>649)の証明では射の結合律を使っていないので
圏の定義から結合律を除いても米田の補題は成り立ちますね。
ただし単位射の存在は必要です。


721 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/06(土) 08:03:35
定義
Set を小さい集合(>>321)全体の圏とする。
C を局所的に小さい圏(>>343)とする。
X, Y ∈ Ob(C) に対して h^X(Y) = Hom(X, Y) と書く。
h^X: C → Set は共変関手である。
h^X を Hom(X, -) とも書く。


722 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/06(土) 08:11:57
>>647の双対定義

定義
Set を小さい集合(>>321)全体の圏とする。
C を局所的に小さい圏(>>343)とする。

f:X → Y
u:U → V
を C における射とする。

次の図式は可換である。

Hom(f, U): Hom(Y, U) → Hom(X, U)
       ↓      ↓
Hom(f, V): Hom(Y, V) → Hom(X, V)

よって、
Hom(f, -): Hom(Y, -) → Hom(X, -) は自然変換である。

よって、X → Hom(X, -) は C^o から Fumc(C, Set) への関手である。
この関手を h’: C^o → Fumc(C, Set) と書き、米田関手と呼ぶ。

723 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/06(土) 08:21:58
>>648の双対

Set を小さい集合(>>321)全体の圏とする。
C を局所的に小さい圏(>>343)とする。
C^o を C の双対圏(>>352)とする。

X ∈ Ob(C) とする。
h^X: C → Set を>>721で定義した関手とする。
F: C → Set を関手する。

c ∈ F(X) とする。
f: X → Y のとき F(f): F(X) → F(Y) である。
σ(Y): h^X(Y) → F(Y) を σ(Y)(f) = F(f)(c) により定義する。

g: Y → Z のとき、F(g)F(f)(c) = F(gf)(c)
よって次の図式は可換である。

σ(Y):h^X(Y) → F(Y)
    ↓   ↓
σ(Z):h^X(Z) → F(Z)

よって、σ: h_X → F は自然変換である。
c ∈ F(X) に σ を対応させる写像を α(X): F(X) → Hom(h^X, F) とする。

逆に τ: h^X → F を自然変換とする。
τ(X): h^X(X) → F(X) である。
τ に τ(X)(1_X) ∈ F(X) を対応させる写像を
β(X): Hom(h^X, F) → F(X) とおく。

724 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/06(土) 08:29:16
>>649の双対

命題(米田の補題)
Set を小さい集合(>>321)全体の圏とする。
C を局所的に小さい圏(>>343)とする。
X ∈ Ob(C) とする。
h^X: C → Set を>>721で定義した関手とする。
F: C → Set を関手する。

このとき、>>723の α(X): F(X) → Hom(h^X, F) と
β(X): Hom(h^X, F) → F(X) は互いに逆写像である。

証明
c ∈ F(X) とする。
α(X)(c) = σ とおくと、>>723より、σ(X)(1_X) = F(1_X)(c) = c
よって、β(X)α(X) = 1_F(X)

逆に τ: h_X → F を自然変換とする。
τ(X)(1_X) = c とおく。
β(X)(τ) = c である。

τ は自然変換であるから f: X → Y のとき次の図式は可換である。

τ(X):h^X(X) → F(X)
    ↓   ↓
τ(Y):h^X(Y) → F(Y)

よって、F(f)(c) = τ(Y)(f)
よって、τ = α(X)(c)
よって、τ = α(X)β(X)(τ)
よって、α(X)β(X) = 1_Hom(h^X, F)
証明終

725 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/06(土) 08:34:03
>>650の双対

命題(米田の埋め込み定理)
Set を小さい集合(>>321)全体の圏とする。
C を局所的に小さい圏(>>343)とする。
C^o を C の双対圏(>>352)とする。

米田関手(>>722) h’: C^o → Fumc(C, Set) は充満忠実(>>403)である。

証明
X と Y を C の対象とする。
米田の補題(>>724)を h_X と F = h_Y に適用すると
α(X): h^Y(X) → Hom(h_X, h_Y) は全単射である。

h^Y(X) = Hom(Y, X) であり、f: Y → X のとき、
α(X)(f) は h’(f): h^X → h^Y に等しい。
よって、h’は充満忠実である。
証明終

726 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 08:35:36
平日、土日を問わず、朝から晩まで
本を書き写すくんまーw

727 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/06(土) 08:36:07
>>652の双対

命題(>>725の系)
任意の射 σ: h^X → h^Y は σ により一意に定まる射 f: Y → X により
引き起こされる。
σ: h_X → h_Y が同型であるためには対応する f: Y → X が同型であることが
必要十分である。

証明
>>725より明らかである。

728 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 08:38:00
失業者w くんま




729 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/06(土) 08:41:30
>>653の双対

定義
Set を小さい集合(>>321)全体の圏とする。
C を局所的に小さい圏(>>343)とする。

F: C → Set を関手とする。
h^X (>>721) が F と同型となるような X ∈ Ob(C) が存在するとき
F を表現可能という。

σ: h^X → F を同型とする。
米田の補題(>>724)より σ(X)(1_X) = e ∈ F(X) が定まる。
このとき、任意の Y ∈ Ob(C) に対して f ∈ Hom(X, Y) に F(f)(e) ∈ F(X) を
対応させる写像は全単射である。
即ち (X, e) は F の普遍元(>>579)である。
このとき、(X, e) は F を表現すると言う。
または用語の乱用で X は F を表現すると言う。

>>727より F を表現する X は同型を除いて一意に定まる。

730 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/06(土) 08:49:57
>>654の双対


Set を小さい集合(>>321)全体の圏とする。
C と D を局所的に小さい圏(>>343)とする。

F: C → D を関手とする。
S ∈ Ob(D) (>>341)とする。
(X, u) を S から F への普遍射(>>572)とする。
ここで、X ∈ Ob(C) で u: S → F(X) は D における射である。

Y ∈ Ob(C) に対して G(Y) = Hom(S, F(Y)) とおく。
G: C → Set は共反関手である。

(X, u) は普遍射であるから、任意の射 S → F(Y) に対して
次の図式を可換にする射 X → Y が一意に存在する。

S  →  S
↓    ↓
F(X) → F(Y)

よって、(X, u) は共反関手 G の普遍元(>>579)である。
よって、>>729より (X, u) は G を表現する。

731 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/06(土) 08:53:43
>>667の双対


G を小さい群とする。
>>454より Func(G, Set) は小さい G-集合全体の圏と見なされる。

h’: G^o → Fumc(G, Set) を米田関手(>>722)とする。

h^G(G) = Hom(G, G) = G であり、
s ∈ Hom(G, G)
x : G → G
のとき h_G(x)(s) = xs
よって、G は集合 G に左から作用する。
即ち、h^G は G の左正則表現である。

この場合、米田の埋め込み定理(>>725)は G の左正則表現の自己同型群と
G^o は標準的に同型であることを示している。

732 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 08:54:02
どんな仕事をしているの?
年がら年中、2ちゃんザンマイって

733 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/06(土) 08:56:14
>>668の双対

>>731が示唆するように C が圏のとき Fumc(C, Set) の対象、
即ち C から Set への共変関手は C の Set における表現と考えられる。
米田関手(>>722)は C のいわば「正則表現」に当たる。
Fumc(C, Set) の対象は集合という具体的な対象を扱っているので抽象的な C より
扱いやすい場合が多い。
そこで Fumc(C, Set) で得られた結果を米田の埋め込み定理(>>725)により
C^o に戻すことにより C^o に関する有益な結果が得られる場合が多い。

734 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/06(土) 09:43:18
定義
I を小さいグラフ(>>325)とし、C を圏とする。
X を C の対象とする。
k_X:I → |C| を各 i ∈ I に X を対応させ、任意の射 i → j に X の単位射 1_X を
対応させる射(>>326)とする。
ここで |C| は C をグラフとみたものである(>>344)。

k_X を X に値をとる定数射と言う。
k_X は Diag(I, C) (>>369)の対象でもあり、Diag(I^o, C) の対象でもある。

X → k_X は C から Diag(I, C) への共変関手でもあり、
C から Diag(I^o, C) への共変関手でもある。
これを対角関手と呼び、Δ と書く。

735 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 10:02:15
中年ニートに何をねたむのか。


736 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 10:10:26
くんまーが同性愛者だと聞いてとんで来ました(^^)

737 :負け猫 ◆ghclfYsc82 :2010/03/06(土) 10:12:12
ワシは中年の失業者やがな。




738 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 10:17:37
で、海外逃亡はどうなったの?
解雇されてから、論文、パブリッシュされてないでしょ?
一年経つごとに研究が枯渇した数学者と見なされてしまい、
公募でも不利になるよ

739 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 10:19:46
数ヶ月前に、出張の際友人と呑んだ時、その友人が言うには
「猫も数学者として終わったと、皆思っているから、
彼を採用するところは海外でもないんじゃないか」
と言っていた

740 :負け猫 ◆ghclfYsc82 :2010/03/06(土) 10:23:41
>>738
>>739
なるほど、了解です。




741 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/06(土) 10:40:17
定義
I を小さいグラフ(>>325)とし、C を圏とする。
F を Diag(I, C) (>>369)の対象とする。
即ち F:I → |C| は射(>>326)である。
ここで |C| は C をグラフとみたものである(>>344)。

Δ: C → Diag(I, C) を対角関手(>>734)とする。

Δ から F への普遍射(>>573) (X, u) を F の極限(limit)と呼び
(X, u) = lim F または略して X = lim F と書く。
ここで、X ∈ Ob(C) であり、u: Δ(X) → F は Diag(I, C) における射である。

F の極限は F の逆極限(inverse limit)と呼ばれる場合がある。
この場合 lim F は lim[←] F と書く。
さらにまた F の極限は F の射影的極限(projective limit)とも
呼ばれる場合がある。
この場合 lim F は proj.lim F と書く。

lim F において添字グラフ I を明記したい場合は lim (F(i)), i ∈ I と書く。
また I の一般元 i だけを使って lim (F(i)) と略記する場合もある。
lim[←] F および proj.lim F も同様である。

742 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/06(土) 11:03:36
定義
I を小さいグラフ(>>325)とし、C を圏とする。
F を Diag(I, C) (>>369)の対象とする。
即ち F:I → |C| は射(>>326)である。
ここで |C| は C をグラフとみたものである(>>344)。
Δ: C → Diag(I, C) を対角関手(>>734)とする。

X ∈ Ob(C) に対して射 α: Δ(X) → F を
頂点 X から基底 F への錐(cone)とも呼び、α: X → F と略記する。

743 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/06(土) 11:27:35
錐(>>742) α: X → F とは
射 f_i: X → F(i) の族 (f_i), i ∈ I で
I における任意の射 i → j に対して次の図式を可換にするものである。

X  →  X
↓    ↓
F(i) → F(j)

F の極限(>>741)とは錐 α: X → F であり、次の条件 (UC) を満たすもののことである。

条件 (UC):任意の錐 β: Y → F に対して
射 Y → X で次の図式を可換にするようなものが一意に存在する。

Y  →  X
↓    ↓
F(i) → F(i)

ここで i は I の任意の対象であり、F(i) → F(i) は恒等射である。

744 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/06(土) 11:48:29
Set を小さい集合(>>321)全体の圏とする。
I を小さいグラフ(>>325)とし、C を局所的に小さい圏(>>343)とする。
F を Diag(I, C) (>>369)の対象とする。
Δ: C → Diag(I, C) を対角関手(>>734)とする。

Y ∈ Ob(C) に対して G(Y) = Hom(Δ(Y), F) とおく。
即ち、G(Y) は Y から F への錐(>>742)全体の集合である。
G:C → Set は反変関手である。

錐(>>742) α: X → F が F の極限(>>741)であるとは
(X, α) が G の普遍元(>>580)であるということに他ならない。
よって、G は表現可能関手(>>653)であり、(X, α) により表現される。

745 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/06(土) 11:59:26
定義
G をグラフ(>>325)とする。
Hom(G) が空集合のとき G を離散グラフ(discrete graph)と呼ぶ。


746 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/06(土) 12:18:22
定義
I を小さい離散グラフ(>>745)とし、C を圏とする。
F を Diag(I, C) (>>369)の対象とする。
F は I を添字集合とする C の対象の族 (X_i), i ∈ I に他ならない。
lim F (>>741)を F の積(product)または直積(direct product)と呼び、
ΠF、ΠX_i, i ∈ I または略して ΠX_i と書く。

I が有限集合 {1, ..., n} のときは
ΠX_i を (X_1)×...×(X_n) とも書く。

特に C の対象 X, Y に対して順序対 (X, Y) は
離散グラフ {1, 2} から |C| への射 F と見なせる。
このとき、lim F を X×Y と書く。

747 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/06(土) 12:52:17
>>746の修正

定義
C を圏とする。
I を小さい集合とする。
I は小さい離散グラフ(>>745)と見なせる。
F を Diag(I, C) (>>369)の対象とする。
F は I を添字集合とする C の対象の族 (X_i), i ∈ I に他ならない。
lim F (>>741)を F の積(product)と呼び、
ΠF、ΠX_i, i ∈ I または略して ΠX_i と書く。

積 ΠX_i は C の対象 X と射 p_i: X → X_i の族 (p_i), i ∈ I の組である。
しかし記法の濫用だが X を ΠX_i で表す。
各 p_i を X から X_i への射影と呼ぶ。

I が有限集合 {1, ..., n} のときは
ΠX_i を (X_1)×...×(X_n) とも書く。

特に C の対象 X, Y に対して順序対 (X, Y) は
離散グラフ {1, 2} から |C| への射 F と見なせる。
このとき、lim F を X×Y と書く。

748 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/06(土) 13:22:30
定義
C を圏とする。
I を小さい離散グラフ(>>745)とする。
X を C の対象とする。
各 i に X を対応させる射 k_X: I → |C| に対して
Πk_X (>>741)を X^I とも書く。


749 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/06(土) 13:29:06
定義
C を圏とする。
I を小さい集合とする。
(X_i), i ∈ I を C の対象の族 (X_i), i ∈ I とする。
X = ΠX_i とし、p_i: X → X_i を射影(>>747)とする。

Y を C の対象として f_i: Y → X_i を射の族 (f_i), i ∈ I とする。
このとき、射 f: Y → X で次の図式を可換にするようなものが一意に存在する。

Y  → X
↓   ↓
X_i → X_i

ここで i は I の任意の元であり、X_i → X_i は恒等射である。

このとき、各 f_i を f の i 成分または略して成分と呼ぶ。
(f_i), i ∈ I を f の成分の族と言う。
f を (f_i), i ∈ I を成分の族としてもつ射と言う。

750 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/06(土) 13:37:11
定義
C を圏とする。
I を小さい集合とする。
射 f: X → X^I で (1_X), i ∈ I を成分の族(>>749)にもつものが一意に存在する。
f を対角射と呼び Δ(X)、Δ_X または単に Δ と書く。

751 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 13:46:53
自分の無意味さを実感せよ>くま

752 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 13:47:58
738 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 10:17:37
で、海外逃亡はどうなったの?
解雇されてから、論文、パブリッシュされてないでしょ?
一年経つごとに研究が枯渇した数学者と見なされてしまい、
公募でも不利になるよ


739 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 10:19:46
数ヶ月前に、出張の際友人と呑んだ時、その友人が言うには
「猫も数学者として終わったと、皆思っているから、
彼を採用するところは海外でもないんじゃないか」
と言っていた


753 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/06(土) 13:52:32
定義
C を圏とする。
I を小さい集合とする。
(X_i), i ∈ I と (Y_i), i ∈ I を C の対象の族とする。
X = ΠX_i とし、p_i: X → X_i を射影(>>747)とする。
Y = ΠY_i とし、q_i: Y → Y_i を射影とする。

各 i に対して射 f_i: X_i → Y_i が与えられているとする。

このとき射 f: X → Y で (f_ip_i), i ∈ I を成分の族にもつものが一意に存在する。
このとき次の図式は可換である。

X  → Y
↓   ↓
X_i → Y_i

ここで i は I の任意の元であり、X_i → X_i は恒等射である。

f を (f_i), i ∈ I の積と呼び Πf_i, i ∈ I または Πf_i と書く。

I が有限集合 {1, ..., n} のときは
Πf_i を (f_1)×...×(f_n) とも書く。

754 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 14:17:58
           ...-ー、,-─ 
          .‐=*ニ,>/.i <,ニ*=‐   
         ..   / ー-' ヽ   . .  
            .. -=ニ=-      無意味なことして、仕事もなく毎日辛ぇーだろ?>クマ
             .`ニニ´     
    ____/⌒``ヽ ,,ー‐,,   "⌒ヽ____
   |____し'⌒/ .    .   /"⌒し′__|::|
   |____(        /_______|::|
    |____/⌒ ヽ、     /______|::|
    |____しイ"i  ゛`   ,,/._______|::|
l二二二二二二 l |二二二二二二二二l__:|
 | |::|   | |::|  し′        | |::|  | |::|
 |_|;;|   |_|;;|            |_|;;|  |_|;;|

755 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 14:19:52
才能と情熱があるひとへの妬みってすごいんだなぁ

756 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/06(土) 14:23:38

C を圏とする。
空集合を添字集合とする C の対象の族の積は C の終対象(>>288)である。


757 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 14:37:41
>>755
慈円乙w

758 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/06(土) 14:47:43

C を圏とする。
C においては任意の対象 X, Y に対して X×Y が存在するとする。
C×C を積(>>586)とする。
このとき各 (X, Y) ∈ Ob(C×C) に対して X×Y ∈ Ob(C) を対応させ、
射 (f, g):(X, Y) → (X’, Y’) には射 f×g (>>753)を対応させることにより、
関手 ×:C×C → C が得られる。

ただし、各 (X, Y) に対して X×Y を Ob(C) の元として確定させる標準的な方法が
あるとは限らない。
一般には X×Y は同型を除いて一意に決まるだけである。
従って、(X, Y) → X×Y を関手として定めるには一般には選択公理が必要である。

759 :負け猫 ◆ghclfYsc82 :2010/03/06(土) 15:06:23
>>757
才能と情熱があるひとへの妬みってすごいんだなぁ




760 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 15:18:43
>>757
m9

761 :負け猫 ◆ghclfYsc82 :2010/03/06(土) 15:27:46
>>757
才能と情熱と豊富な知識と立派な頭脳と、全て持っている人に対して
慈円の嫌疑を掛けて貶めようとスルなんて、アンタはよっぽど馬鹿で
頭が悪くて知識もなくて理解力も無く、まあどうしようもない人間な
んですね。

オー、可哀そうやナーーー




762 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/06(土) 15:41:08

P を前順序集合(過去スレ008の139)とする。
P は>>281より圏と見なせる。
x と y を P の元とする。
z が x と y の積(>>747)であるとは
z が集合 {w ∈ P; w ≦ x かつ w ≦ y} の最大元であることと同値である。
即ち z = inf(x, y) である。

P が順序集合のときは inf(x, y) はそれが存在すれば一意に決まる。

P が順序集合でないときは inf(x, y) は同型を除いて一意に決まるだけである。
ここで、P の元 z と w が同型であるとは z ≦ w かつ w ≦ z となることである。

P の終対象とは P の最大元のことである。
e を P の最大元とするとき、任意の x ∈ P に対して x = inf(x, e) である。
即ち e = x×e である。

763 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/06(土) 15:52:41

C を圏とする。
e を C の終対象とする。
X を C の任意の対象とする。

このとき、X×e および e×X は X と同型である。


764 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/06(土) 16:11:08

C を圏とする。

X_1、...、X_n (n ≧ 2)を C の対象とする。
Y = (X_1)×...×(X_(n-1)) と Y×(X_n) が存在するとき、
Y×(X_n) は (X_1)×...×(X_n) に同型である。

よって、C が終対象をもち C の任意の対象の対 (X, Y) に対して
X×Y が存在すれば C の任意の有限個の対象の積が存在する。

765 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/06(土) 16:40:00
定義
I を小さいグラフ(>>325)とし、C を圏とする。
F を Diag(I, C) (>>369)の対象とする。
即ち F:I → |C| は射(>>326)である。
ここで |C| は C をグラフとみたものである(>>344)。

X ∈ Ob(C) に対して X から F への錐(>>742)全体の集合を Cone(X, F) と書く。
即ち Cone(X, F) とは Hom(Δ(X), F) のことである。

錐 α: X → F から錐 β: Y → F への射 u: α → β とは
射 u: X → Y で次の図式を可換にするもののことである。

X  →  Y
↓    ↓
F(i) → F(i)

ここで i は I の任意の対象であり、F(i) → F(i) は恒等射である。

F を基底とする錐の全体を Cone(F) と書く。
Cone(F) は錐間の射を射とすることにより圏となる。

Δ: C → Diag(I, C) を対角関手(>>734)とすると、
Cone(F) は (Δ↓F) (>>478) に他ならない。

766 :負け猫 ◆ghclfYsc82 :2010/03/06(土) 16:43:28
>>757
コラァ、可哀そうな奴やァ、ココへ出て来て何か申し開きでもしてみろやナ。
ワシがちゃんと読んだるさかいナ。




767 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/06(土) 16:50:55
I を小さいグラフ(>>325)とし、C を圏とする。
F を Diag(I, C) (>>369)の対象とする。
即ち F:I → |C| は射(>>326)である。
ここで |C| は C をグラフとみたものである(>>344)。

lim F (>>741) は Cone(F) (>>765) の終対象に他ならない。
lim F は関手 Cone(-, F): C^o → Set の普遍元(>>580)でもある。

768 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 17:35:40
子供とかとあぞばないの>熊

769 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 17:39:12

           ...-ー、,-─ 
          .‐=*ニ,>/.i <,ニ*=‐   
         ..   / ー-' ヽ   . .  
            .. -=ニ=-      定職が無くて2ちゃんで時間潰しの毎日は辛ぇーだろ?
             .`ニニ´     
    ____/⌒``ヽ ,,ー‐,,   "⌒ヽ____
   |____し'⌒/ .    .   /"⌒し′__|::|
   |____(        /_______|::|
    |____/⌒ ヽ、     /______|::|
    |____しイ"i  ゛`   ,,/._______|::|
l二二二二二二 l |二二二二二二二二l__:|
 | |::|   | |::|  し′        | |::|  | |::|
 |_|;;|   |_|;;|            |_|;;|  |_|;;|


770 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 17:44:27
冷静と情熱の間ですなw

クマーのは情熱というよりも、うんこ垂れ流す変質者のそれですなあ

771 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 17:46:14
クマをばかにするな
クマはイギリスの貴族で、企業のオーナで
同性愛者だから子供もおらないので
暇をもてあまして
嫌がらせをしているだけなんだからね

772 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/06(土) 18:07:13
定義
C を圏とする。
X と Y を C の対象とする。
f:X → Y
g:X → Y
を射とする。

I を2個の対象 a, b と2個の射 u:a → b, v:a → b からなるグラフ(>>325)とする。
F(a) = X
F(b) = Y
F(u) = f
F(v) = g
と定義することにより射 F:I → |C| が得られる。

lim F (>>741)を平行射 f と g の差核(difference kernel)
またはイコライザー(equalizer)と呼び、Ker(f, g) と書く。

即ち Ker(f, g) は C の対象 K と射 u:K → X の組で次の条件を満たすものである。

(@) fu = gu
(A) h:Z → X で fh = gh となるものがあるとき
w:Z → K で h = uw となるものが一意に存在する。

このとき、用語の濫用で K を f と g の差核とも呼ぶ。

773 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/06(土) 18:18:16
定義
C を圏とする。
X と Y を C の対象とする。
f:X → Y
g:X → Y
を射とする。

下の図式において Z → X が Ker(f, g) (>>772)のとき、この図式は完全であると言う。

Z → X → Y
    →

ここで、上段の X → Y は f を表し下段の → は g を表す。

774 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/06(土) 18:52:18
>>773の修正

定義
C を圏とする。
X と Y を C の対象とする。
f:X → Y
g:X → Y
を射とする。

下の図式において Z → X が Ker(f, g) (>>772)のとき、この図式は完全であると言う。

Z → X ⇒ Y

ここで ⇒ は2本の射 f, g を表す。

775 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/06(土) 18:53:51
命題
C を圏とする。
X と Y を C の対象とする。
f:X → Y
g:X → Y
を射とする。

次の図式が完全(>>774)であるとする。

Z → X ⇒ Y

ここで ⇒ は2本の射 f, g を表す。

任意の M ∈ Ob(C) に対して、次の図式が得られる。
Hom(M, Z) → Hom(M, X) ⇒ Hom(M, Y)

このとき、Hom(M, Z) → Hom(M, X) は単射であり、
その像は {h ∈ Hom(M, X);fh = gh} である。

よって、 Z → X は単射(>>345)である。

証明
h ∈ Hom(M, X) が fh = gh を満たせば、
w ∈ Hom(M, Z) で h = uw となるものが一意に存在する。

よって、Hom(M, Z) → Hom(M, X) は単射であり、
その像は {h ∈ Hom(M, X);fh = gh} である。
証明終

776 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 19:20:53
Kummerも大概だが、それを荒らしてる奴はKummer以下だな

777 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 19:25:21

鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱     鬱鬱鬱鬱                    鬱鬱鬱     鬱鬱鬱
鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱    鬱鬱鬱鬱鬱鬱          鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱
鬱鬱  鬱鬱鬱   鬱鬱鬱   鬱鬱鬱鬱        鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱
鬱鬱  鬱鬱  鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱           鬱鬱鬱     鬱鬱鬱
鬱鬱 鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱      鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱
鬱鬱 鬱鬱鬱鬱鬱               鬱鬱       鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱
鬱鬱鬱鬱鬱    鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱                 鬱鬱鬱    鬱鬱鬱鬱鬱
鬱鬱 鬱鬱    鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱                 鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱
鬱鬱  鬱鬱鬱            鬱鬱                    鬱鬱鬱鬱鬱鬱
鬱鬱  鬱鬱鬱  鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱            鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱
鬱鬱   鬱鬱   鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱      鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱     鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱
鬱鬱   鬱鬱                        鬱鬱鬱鬱鬱鬱    鬱鬱鬱      鬱鬱鬱鬱鬱
鬱鬱   鬱鬱 鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱       鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱
鬱鬱鬱鬱鬱鬱 鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱        鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱
鬱鬱鬱鬱鬱鬱     鬱鬱鬱    鬱鬱             鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱
鬱鬱 鬱鬱鬱     鬱鬱      鬱鬱鬱                   鬱鬱鬱
鬱鬱      鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱    鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱
鬱鬱       鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱    鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱
鬱鬱       鬱鬱鬱鬱           鬱鬱    鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱鬱



778 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 19:54:24
>>776
> Kummerも大概だが、それを荒らしてる奴はKummer以下だな

と言うか、ホモの嫉妬じゃねぇか?


779 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/06(土) 19:56:14

Set を小さい集合(>>321)全体の圏とする。
X と Y を Set の対象とする。
f:X → Y
g:X → Y
を射とする。

K = {x ∈ X;f(x) = g(x)} とおく。

このとき包含写像 K → X は Ker(f, g) (>>772)である。

780 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/06(土) 20:05:33
命題
C を圏とする。
X と Y を C の対象とする。
f:X → Y
g:X → Y
を射とする。

次の図式を考える。

Z → X ⇒ Y

ここで ⇒ は2本の射 f, g を表す。

この図式が完全(>>774)であるためには
任意の M ∈ Ob(C) に対して、次の図式が完全であることが必要十分である。

Hom(M, Z) → Hom(M, X) ⇒ Hom(M, Y)

証明
>>779と Ker(f, g) の定義(>>772)から明らかである。
証明終

781 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/06(土) 20:12:38

Ab を小さいアーベル群全体の圏とする。
A と B を Ab の対象とする。
f:A → B
g:A → B
を射とする。

このとき、Ker(f, g) (>>772) は包含写像 Ker(f - g) → A である。

これが差核という名前の由来である。

782 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 20:21:19
               (^L_   r-,   __  r--──-、 f^゙l,,_f^゙l__
             _,l ┌‐┘/ /   ( t  ゙'''´ ̄フ j .| |゙ー┐┌’
           f'',,-ッ ゙t、 | .|    \ ゙l  r─‐'" ム, | |,r''ニ 't、
            t、_三ノ`t) 弋ミーッ  `''  ` ̄~) 厂  | Kミー''ノー'
         __    __        ̄       _ ゙ー'   ゙-'  ̄     __
,,,,,,---─-、r-┘ ゙ー、 ,f ,l    ┌゙~''─x-、  ,/ )  ,,_、 (二二ニー,  r-┘゙ー-、
t_,,-‐''''''ッ | ゙^'''ン'' ,r'  | |   7 「二f^l`-'',f .l   ゙l t     /´rrヘ ゙ー''''フ ,r'
  r-v'' /'' ,/, Kミ┐| t_,r┐ (,/´rッ `ヽ |. i _  t_j   f' ,f ー゙'' ,,,/´ Kー┐
   ー、_)  ''ー'1__|`ー'  t_,,,ノ  丶ニノ゙`-' ヽニ_)       t_コ  'ー''1__| `


783 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/06(土) 20:45:15
定義
C を圏とする。
任意の小さいグラフ(>>325) I と任意の射 F:I → |C| に対して
lim F (>>741) が存在するとき C を完全という。

784 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/06(土) 20:53:29

Set を小さい集合(>>321)全体の圏とする。
I を小さいグラフ(>>325)とし、F:I → |Set| を射とする。

このとき、lim F (>>741)は直積 ΠF(i) の部分集合:
X = {(x_i) ∈ ΠF(i); 任意の射 u:i → j に対して F(u)(x_i) = x_j}
と射 f_i:X → F(i) の族である。
ここで、f_i は射影 ΠF(i) → F(i) の X への制限である。
よって、Set は完全(>>783)である。

* を1点からなる集合とするとき lim F は Cone(*, F) (>>765) と同一視される。

785 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 21:27:49
おまえのブログでやれよ

こんなとこで暇つぶししとらんで

ハローワークで仕事さがせよ>くんまー

786 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 21:30:41
( ^ω^) アホな性犯罪者の書き込みを禁じるお

( ^ω^) これは命令だお

( ^ω^) アホな性犯罪者の書き込みを禁じるお

( ^ω^) これは命令だお

( ^ω^) アホな性犯罪者の書き込みを禁じるお

( ^ω^) これは命令だお



787 :132人目の素数さん:2010/03/07(日) 00:13:38
オレはアホな性犯罪者じゃないから余裕で書き込みOKだな。

Kummer さん、アホな荒らしにめげずに頑張ってください。

    非猫

788 :132人目の素数さん:2010/03/07(日) 08:34:48
              _______
           : ./ /  #  ;,;  ヽ
           /⌒  ;;#  ,;.;::⌒ : ::::\ :
        :  / -==、   '  ( ●) ..:::::|    自民だったら大怪我してるところだったが…
              | ::::::⌒(__人__)⌒  :::::.::::| :  …民主のおかげで致命傷で済んだ
        :  ! #;;:..  l/ニニ|    .::::::/     底辺は更なる負担増で地獄に落ちるけど
           ヽ.;;;//;;.;`ー‐'ォ  ..;;#:::/       自民よりマシ 自民よりマシ
            >;;;;::..    ..;,.;-\
          : /   民主信者   \   ハァハァ....

789 :132人目の素数さん:2010/03/07(日) 08:38:07
ほんと、ブログでやれよ
しかもLaTexを使ってな
人に読んでもらいたいならLaTexくらい使えよ

それからクンマーって、ど素人の数学かぶれの年寄りニートなんだから
下らんスレを立てるんじゃねえよ
仕事しろよ 四六時中 2ちゃんをやってるんじゃねえよ

790 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/07(日) 11:05:30

C を圏とする。
I を小さいグラフ(>>325)とし、F:I → |C| (>>344)を射(>>326)とする。
Set を小さい集合(>>321)全体の圏とする。

Y を C の対象とする。
i ∈ I に G_Y(i) = Hom(Y, F(i)) を対応させ、
射 u:i → j に 射 G_Y(u): Hom(Y, F(i)) → Hom(Y, F(j)) を対応させることにより
射 G_Y:I → |Set| が得られる。

>>784より、
lim G_Y = { (f_i) ∈ ΠHom(Y, F(i)); 任意の射 u:i → j に対して F(u)(f_i) = f_j}

即ち lim G_Y = Cone(Y, F) (>>765)である。
lim G_Y を lim Hom(Y, F(i)) と書くことにすれば、
lim Hom(Y, F(i)) = Cone(Y, F) となる。

一方、>>743より、標準的に Hom(Y, lim F) ⇔ Cone(Y, F) である。
ここで ⇔ は全単射を表す。

よって、標準的に Hom(Y, lim F) ⇔ lim Hom(Y, F(i)) である。
即ち、反変関手 Y → lim Hom(Y, F(i)) は lim F により表現(>>653)される。

791 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/07(日) 11:26:28
定義
C を圏とする。
C の始対象であり終対象である対象を零対象とよび 0 と書く。
X と Y を C の任意の対象とする。
合成射:X → 0 → Y を零射とよびやはり 0 と書く。


792 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/07(日) 11:29:22

Ab を小さいアーベル群全体の圏とする。
単位元 0 だけからなる群 {0} は Ab の零対象(>>791)である。


793 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/07(日) 11:31:03

Grp を小さい群全体の圏とする。
単位元 e だけからなる群 {e} は Grp の零対象(>>791)である。


794 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/07(日) 11:44:46
定義
C を零対象(>>791)をもつ圏とする。

f:X → Y を C における射とする。
0:X → Y を零射(>>791)とする。

このとき、Ker(f, 0) (>>772)を f の核と呼び Ker(f) と書く。
即ち Ker(f) は C の対象 K と射 u:K → X の組で次の条件を満たすものである。

(@) fu = 0
(A) h:Z → X で fh = 0 となるものがあるとき
v:Z → K で h = uv となるものが一意に存在する。

このとき、用語の濫用で K を f の核とも呼ぶ。

795 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/07(日) 11:47:51

Ab を小さいアーベル群全体の圏とする。
f:A → B を Ab における射とする。

Ker(f) (>>794) は f の通常の意味の核である。
即ち、Ker(f) = f^(-1)(0)


796 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/07(日) 11:49:45

Grp を小さい群全体の圏とする。
f:G → G’を Grp における射とする。

このとき、Ker(f) (>>794) は f の通常の意味の核である。
即ち、Ker(f) = f^(-1)(e)

797 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/07(日) 12:33:25

Set を小さい集合(>>321)全体の圏とする。
* を1点からなる Set の対象とする。
C = (*↓Set) (>>470) を Set における * の下にある対象の圏とする。
即ち、C は基点をもつ集合の圏である。
このとき * は C の零対象(>>791)である。

f:X → Y を C における射とする。
Ker(f) (>>794) は f^(-1)(*) である。

798 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/07(日) 12:43:08
定義
I を3点 a, b, c と2本の射 a → c、b → c からなるグラフ(>>325)とする。

   b
   ↓
a → c

C を圏とする。
射 F:I → |C| とは C における次の図式のことである。

図式 (1)

   Y
   ↓
X → Z

P = lim F (>>741) が存在すれば、次の図式が可換になる。

図式 (2)

P → Y
↓  ↓
X → Z

このとき P を図式 (1)の引き込み(pullback)または
ファイバー積(fibered product)と言い、P = (X×Y)/Z と書く。
P はまた X と Y の Z 上のファイバー積とも言う。

f:X → Z
g:Y → Z
のとき P を (f, g) の引き込みまたはファイバー積と言う。
図式 (2)を引き込み正方形(pullback square)と言う。

799 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/07(日) 12:48:21
>>798の修正

定義
I を3点 a, b, c と2本の射 a → c、b → c からなるグラフ(>>325)とする。
   b
   ↓
a → c
C を圏とする。
射 F:I → |C| とは C における次の図式のことである。

図式 (1)

   Y
   ↓
X → Z

P = lim F (>>741) が存在すれば、次の図式が可換になる。

図式 (2)

P → Y
↓  ↓
X → Z

このとき P を図式 (1)の引き戻し(pullback)または
ファイバー積(fibered product)と言い、P = (X×Y)/Z と書く。
P はまた X と Y の Z 上のファイバー積とも言う。

f:X → Z
g:Y → Z
のとき P を (f, g) の引き戻しまたはファイバー積と言う。
図式 (2)を引き戻し正方形(pullback square)と言う。

800 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/07(日) 12:58:50
>>799の修正

定義
I を3点 a, b, c と2本の射 a → c、b → c からなるグラフ(>>325)とする。
   b
   ↓
a → c
C を圏とする。
射 F:I → |C| とは C における次の図式のことである。

図式 (1)

   Y
   ↓
X → Z

P = lim F (>>741) が存在すれば、次の図式が可換になる。

図式 (2)

P → Y
↓  ↓
X → Z

このとき P を図式 (1)の引き戻し(pullback)または
ファイバー積(fibered product)と言い、P = (X×Y)/Z と書く。
P はまた X と Y の Z 上のファイバー積とも言う。

f:X → Z
g:Y → Z
のとき P を (f, g) の引き戻しまたはファイバー積と言う。
図式 (2)を引き戻し四角形(pullback square)と言う。

801 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/07(日) 14:08:52

Set を小さい集合(>>321)全体の圏とする。
f:X → Z
g:Y → Z
を Set における射とする。

p_1:X×Y → X
p_2:X×Y → Y
を射影とする。

(X×Y)/Z (>>800) = {(x, y) ∈ X×Y;f(x) = g(x)} である。
よって、(X×Y)/Z = Ker(fp_1, gp_2) (>>772)である。

802 :132人目の素数さん:2010/03/07(日) 14:22:34
まだやっているのかw
おまえはほんとに低脳だなw

803 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/07(日) 14:41:03
C を圏とする。
f:X → Z
g:Y → Z
を C における射とする:

F を次の図式とする。

   Y
   ↓
X → Z

u:T → X、v:T → Y を射とし、次の図式が可換であるとする。

T → Y
↓  ↓
X → Z

即ち、fu = gv である。
よって、u:T → X、v:T → Y は T から F への錐(>>742)である。
即ち、
Cone(T, F) (>>765) = {(u, v) ∈ Hom(T, X)×Hom(T, Y); fu = gv}
= (Hom(T, X)×Hom(T, Y))/Hom(T, Z)
である。
ここで、(Hom(T, X)×Hom(T, Y))/Hom(T, Z) は
Set におけるファイバー積(>>801)である。

ファイバー積(>>800) (X×Y)/Z が存在するとする。
標準的に Hom(T, (X×Y)/Z) ⇔ (Hom(T, X)×Hom(T, Y))/Hom(T, Z) である。
ここで ⇔ は全単射を表す。
即ち、反変関手 t → (Hom(T, X)×Hom(T, Y))/Hom(T, Z) は
(X×Y)/Z により表現(>>653)される。

804 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/07(日) 15:00:44
C を圏とする。
f:X → Z
g:Y → Z
を C における射とする:

積(>>747) X×Y が存在するとする。

p:X×Y → X
q:X×Y → Y
をそれぞれ射影とする。

このとき、2本の射
fp:X×Y → X → Z
gq:X×Y → Y → Z
が得られる。

このとき、Ker(fp, gq) (>>772)が存在すれば
(X×Y)/Z (>>800) = Ker(fp, gq) である。

805 :132人目の素数さん:2010/03/07(日) 15:06:34
研究課題番号:11440052
非コンパクト型量子群SUq(1,1)の既約ユニタリー表現論とその量子対称空間

研究課題基本情報(最新年度)
*研究期間 1999年度〜2002年度
*研究分野 大域解析学
*審査区分 一般
*研究種目 基盤研究(B)
*研究機関 筑波大学
*配分額
o 総額:14400千円
o 2002年度:3300千円 (直接経費:3300千円)
o 2001年度:1300千円 (直接経費:1300千円)
o 2000年度:2700千円 (直接経費:2700千円)
o 1999年度:7100千円 (直接経費:7100千円)


806 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/07(日) 15:07:40
命題
圏 C においては任意の2個の対象(同じ対象でもよい)の積(>>747)と
任意の差核(>>772)が存在するとする。

このとき、C においては任意のファイバー積(>>800)が存在する。

証明
>>804より明らかである。

807 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/07(日) 15:13:42

Ab を小さいアーベル群全体の圏とする。
Ab においては任意の2個の対象(同じ対象でもよい)の積(>>747)と
任意の差核(>>772)が存在する(>>781)。
よって、>>806より、Ab においては任意のファイバー積(>>800)が存在する。


808 :132人目の素数さん:2010/03/07(日) 15:16:05

偏執狂だなw

809 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/07(日) 15:18:43

Grp を小さい群全体の圏とする。

f:G → H
g:G → H
を Grp における射とする。

K = {x ∈ G; f(x) = g(x)} は G の部分群であり、
K = Ker(f, g) である。

よって、>>806より Grp においては任意のファイバー積(>>800)が存在する。

810 :132人目の素数さん:2010/03/07(日) 15:23:10
Kummer ◆g2BU0D6YN2 の日常

(1)秀丸(エディター)を使って本からテキストを作成
その際、行間を埋める努力をするが、しばしば分からず
前に戻ったりして悪戦苦闘 結局分からずに
内容を変更したりするw
引用の番号を仔細に調べて、引用をいれる

(2)6つくらいに分割して、2ちゃんに貼り付ける

(3)(1)に戻る

〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜


811 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/07(日) 15:32:35
定義
C を圏とする。
X と Y を C の対象とし、X×Y が存在するとする。
p:X×Y → X
q:X×Y → Y
をそれぞれ射影とする。

f:T → X
g:T → Y
を C における射とする。

このとき、射 h:T → X×Y で ph = f、qh = g となるものが一意に存在する。
h を (f, g) で表す。

812 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/07(日) 15:39:48
>>811の修正

定義
C を圏とする。
X と Y を C の対象とし、積 X×Y (>>747)が存在するとする。
p:X×Y → X
q:X×Y → Y
をそれぞれ射影(>>747)とする。

f:T → X
g:T → Y
を C における射とする。

このとき、射 h:T → X×Y で ph = f、qh = g となるものが一意に存在する。
h を (f, g) で表す。

813 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/07(日) 15:49:01

Rng を必ずしも可換とは限らない小さい環全体の圏とする。
Rng の全ての射は単位元を単位元に移すものとする。

A と B を Rng の対象とする。
環の直積 A×B は Rng における積(>>747)である。

f:A → B
g:A → B
を Rng における射とする。

K = {x ∈ A; f(x) = g(x)} は A の単位元を共有する部分環であり、
K = Ker(f, g) である。

よって、>>806より Rng においては任意のファイバー積(>>800)が存在する。

814 :132人目の素数さん:2010/03/07(日) 16:00:55
平日は昼間も夕方も夜も書き込んでいるので
くまーの仕事は、土日なのかなと思っていたけど
土日も朝からずっと書き込んでいるので
ほんとに、くまーって無職なんだね
家族もいないんだろうね

815 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/07(日) 16:53:02
>>804の主張はファイバー積と差積の定義に戻って考えれば明らかであるが
形式的に証明しよう。

C を圏とする。

f:X → Z
g:Y → Z
を C における射とする。

積(>>747) X×Y とファイバー積(>>800) (X×Y)/Z が存在するとする。
T を C の任意の対象とする。

>>803より、Hom(T, (X×Y)/Z) ⇔ (Hom(T, X)×Hom(T, Y))/Hom(T, Z) である。

p:X×Y → X
q:X×Y → Y
をそれぞれ射影とする。

>>801より、
(Hom(T, X)×Hom(T, Y))/Hom(T, Z) → Hom(T, X)×Hom(T, Y) ⇒ Hom(T, Z)
は完全(>>774)である。
ここで ⇒ は f と g からそれぞれ引き起こされる2本の射である。

標準的に Hom(T, X)×Hom(T, Y) ⇔ Hom(T, X×Y) であるから

Hom(T, (X×Y)/Z) → Hom(T, X×Y) ⇒ Hom(T, Z) は完全である。
よって、>780より、
(X×Y)/Z → X×Y ⇒ Z は完全である。

即ち (X×Y)/Z = Ker(fp, gq) である。

816 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/07(日) 16:58:43
>>815で用いた手法は>>668で述べたことの一例である。


817 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/07(日) 17:04:18
>>815
>差積

差核


818 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/07(日) 17:15:19

Set を小さい集合(>>321)全体の圏とする。
f:X → Y
g:X → Y
を Set における射とする。

(1_X, f):X → X×Y
(1_X, g):X → X×Y
>>812で定義した射とする。

(1_X, f) と (1_X, g) のファイバー積(>>800)は
{(x, y) ∈ X×X; (x, f(x)) = (y, g(y)) } = {x ∈ X; f(x) = g(x)}
= Ker(f, g)
である。

819 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/07(日) 17:27:45
C を圏とする。
f:X → Y
g:X → Y
を C における射とする。

積(>>747) X×Y が存在するとする。

(1_X, f):X → X×Y
(1_X, g):X → X×Y
>>812で定義した射とする。

(1_X, f) と (1_X, g) のファイバー積(>>800)を P とする。

T を C の任意の対象とする。
>>803>>818より、
Hom(T, P) → Hom(T, X) ⇒ Hom(T, Y) は完全(>>774)である。

よって、>>780より、
P → X ⇒ Y は完全(>>774)である。
即ち P = Ker(f, g) である。

820 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/07(日) 17:41:10
命題
C を圏とする。
C において終対象(>>288)と任意のファイバー積(>>800)が存在すれば
C において任意の有限個の対象の積(>>747)と任意の差核(>>772)が存在する。

証明
e を C の終対象とする。
X と Y を C の対象とする。
ファイバー積 (X×Y)/e は X×Y と同型である。
よって、>>764より、C の任意の有限個の対象の積が存在する。
>>819より、任意の差核が存在する。
証明終

821 :132人目の素数さん:2010/03/07(日) 17:54:23

いま、病院なの?



822 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/07(日) 18:25:05

C を圏とする。
S を C の対象とする。
C/S を C における S 上の対象の圏(>>463)とする。

C/S の対象 X → S と Y → S の積(>>747)とは
ファイバー積 (X×Y)/S (>>800)に他ならない。

823 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/07(日) 18:35:43
>>741の双対

定義
I を小さいグラフ(>>325)とし、C を圏とする。
F を Diag(I, C) (>>369)の対象とする。
即ち F:I → |C| は射(>>326)である。
ここで |C| は C をグラフとみたものである(>>344)。

Δ: C → Diag(I, C) を対角関手(>>734)とする。

F から Δ への普遍射(>>572) (X, u) を F の余極限(colimit)と呼び
(X, u) = colim F または略して X = colim F と書く。
ここで、X ∈ Ob(C) であり、u: F → Δ(X) は Diag(I, C) における射である。

F の余極限は F の順極限(direct limit)と呼ばれる場合がある。
この場合 colim F は lim[→] F と書く。
さらにまた F の順極限は F の帰納的極限(inductive limit)とも
呼ばれる場合がある。
この場合 colim F は ind.lim F と書く。

colim F において添字グラフ I を明記したい場合は colim (F(i)), i ∈ I と書く。
また I の一般元 i だけを使って colim (F(i)) と略記する場合もある。
lim[→] F および ind.lim F も同様である。

824 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/07(日) 18:44:22
>>742の双対

定義
I を小さいグラフ(>>325)とし、C を圏とする。
F を Diag(I, C) (>>369)の対象とする。
即ち F:I → |C| は射(>>326)である。
ここで |C| は C をグラフとみたものである(>>344)。
Δ: C → Diag(I, C) を対角関手(>>734)とする。

X ∈ Ob(C) に対して射 α: F → Δ(X) を
基底 F から頂点 X への錐(cone)とも呼び、α: F → X と略記する。

825 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/07(日) 18:48:32
>>743の双対

錐(>>824) α: F → X とは
射 f_i: F(i) → X の族 (f_i), i ∈ I で
I における任意の射 i → j に対して次の図式を可換にするものである。

F(i) → F(j)
↓    ↓
X  →  X

F の余極限(>>823)とは錐 α: F → X であり、次の条件 (UC) を満たすもののことである。

条件 (UC):任意の錐 β: F → Y に対して
射 X → Y で次の図式を可換にするようなものが一意に存在する。

F(i) → F(i)
↓    ↓
X  →  Y

ここで i は I の任意の対象であり、F(i) → F(i) は恒等射である。

826 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/07(日) 18:57:25
>>765の双対

定義
I を小さいグラフ(>>325)とし、C を圏とする。
F を Diag(I, C) (>>369)の対象とする。
即ち F:I → |C| は射(>>326)である。
ここで |C| は C をグラフとみたものである(>>344)。

X ∈ Ob(C) に対して F から X への錐(>>824)全体の集合を Cone(F, X) と書く。
即ち Cone(F, X) とは Hom(F, Δ(X)) のことである。

錐 α: F → X から錐 β: F → Y への射 u: α → β とは
射 u: X → Y で次の図式を可換にするもののことである。

F(i) → F(i)
↓    ↓
X  →  Y

ここで i は I の任意の対象であり、F(i) → F(i) は恒等射である。

F を基底とする錐の全体を Cone’(F) と書く。
Cone’(F) は錐間の射を射とすることにより圏となる。

Δ: C → Diag(I, C) を対角関手(>>734)とすると、
Cone’(F) は (F↓Δ) (>>477) に他ならない。

827 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/07(日) 19:00:25
>>767の双対

I を小さいグラフ(>>325)とし、C を圏とする。
F を Diag(I, C) (>>369)の対象とする。
即ち F:I → |C| は射(>>326)である。
ここで |C| は C をグラフとみたものである(>>344)。

colim F (>>823) は Cone’(F) (>>826) の始対象に他ならない。
colim F は関手 Cone(F, -): C → Set の普遍元(>>579)でもある。

828 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/07(日) 19:32:42
>>783の修正

定義
C を圏とする。
任意の小さいグラフ(>>325) I と任意の射 F:I → |C| に対して
lim F (>>741) が存在するとき C を完備(complete)という。

829 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/07(日) 19:34:52
>>828の双対

定義
C を圏とする。
任意の小さいグラフ(>>325) I と任意の射 F:I → |C| に対して
colim F (>>823) が存在するとき C を余完備(cocomplete)という。

830 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/07(日) 19:55:47
定義
X を集合とする。
R を X 上のある関係とする。
即ち R は X×X の部分集合である。

X 上の関係 S を
xSy ⇔ x = y または xRy または yRx で定義する。

x, y を X の元とする。
X の有限個の元の列
x = x_0, x_1, ...x_n = y
があり、(x_(i-1))S(x_i) (i = 1, 2, ...n) のとき xTy と定義する。

このとき関係 T は R を含む最小の同値関係である。
T を R から生成された同値関係と言う。

831 :132人目の素数さん:2010/03/07(日) 20:00:36
モデレータの保守作業

832 :132人目の素数さん:2010/03/07(日) 21:48:18
このスレ主の書き込みの曜日と時間帯をエクセルで表にしてみました

833 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/07(日) 22:04:58
>>368の修正

定義
G をグラフ(>>325)とし、C を圏とする。
グラフの射 T:G → |C| (>>344) を
C における G 型の図式(diagram of type G in C)と言う。

このとき記法の濫用で T:G → C を図式と呼ぶ。

834 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/07(日) 22:09:27
定義
G を小さいグラフ(>>325)とし、C を圏とする。
このとき図式(>>833) T:G → C を小さい図式と呼ぶ。


835 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/07(日) 22:20:14

Set を小さい集合(>>321)全体の圏とする。
I を小さいグラフ(>>325)とし、F:I → Set を図式(>>833)とする。

S = ΣF(i) を集合族 (F(i)), i ∈ I の直和集合とする。

x ∈ F(i) と y ∈ F(j) は射 u:i → j で F(u)(x) = y となるものがあるとき
x 〜 y と書く。
S における関係 〜 で生成される同値関係を R とする。
p:S → S/R を標準写像とする。
i ∈ I に対して u_i:F(i) → S を標準単射とする。
f_i = p(u_i) とおく。
X と射 f_i:F(i) → S/R の族 (f_i), i ∈ I は colim F (>>823) である。

よって、Set は余完備(>>829)である。

836 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/07(日) 22:21:43
>>835
>S における関係 〜 で生成される同値関係を R とする。

S における関係 〜 で生成される同値関係(>>830)を R とする。


837 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/07(日) 22:42:26
>>747の双対

定義
C を圏とする。
I を小さい集合とする。
I は小さい離散グラフ(>>745)と見なせる。
F:I → C を図式(>>833)とする。
F は I を添字集合とする C の対象の族 (X_i), i ∈ I に他ならない。
colim F (>>823)を F の余積(coproduct)または和(sum)と呼び、
ΣF、ΣX_i, i ∈ I または略して ΣX_i と書く。

和 ΣX_i は C の対象 X と射 u_i: X_i → X の族 (u_i), i ∈ I の組である。
しかし記法の濫用だが X を ΣX_i で表す。
各 u_i を X_i から X への標準射と呼ぶ。

I が有限集合 {1, ..., n} のときは
ΣX_i を (X_1)+...+(X_n) とも書く。

特に C の対象 X, Y に対して順序対 (X, Y) は
離散グラフ {1, 2} から |C| への射 F と見なせる。
このとき、ΣF を X+Y と書く。

838 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/07(日) 22:47:25
>>749の双対

定義
C を圏とする。
I を小さい集合とする。
(X_i), i ∈ I を C の対象の族 (X_i), i ∈ I とする。
X = ΣX_i (>>837)とし、u_i: X_i → X を標準射(>>837)とする。

Y を C の対象として f_i: X_i → Y を射の族 (f_i), i ∈ I とする。
このとき、射 f: X → Y で次の図式を可換にするようなものが一意に存在する。

X_i → X_i
↓   ↓
X  → Y

ここで i は I の任意の元であり、X_i → X_i は恒等射である。

このとき、各 f_i を f の i 成分または略して成分と呼ぶ。
(f_i), i ∈ I を f の成分の族と言う。
f を (f_i), i ∈ I を成分の族としてもつ射と言う。

839 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/07(日) 22:55:00
>>753の双対

定義
C を圏とする。
I を小さい集合とする。
(X_i), i ∈ I と (Y_i), i ∈ I を C の対象の族とする。
X = ΣX_i (>>837)とし、u_i: X_i → X を標準射(>>837)とする。
Y = ΣY_i とし、v_i: Y_i → Y を標準射とする。

各 i に対して射 f_i: X_i → Y_i が与えられているとする。

このとき射 f: X → Y で (v_if_i), i ∈ I を成分の族(>>838)にもつものが
一意に存在する。
このとき次の図式は可換である。

X_i → Y_i
↓   ↓
X  → Y

ここで i は I の任意の元である。

f を (f_i), i ∈ I の余積または和と呼び Σf_i, i ∈ I または Σf_i と書く。

I が有限集合 {1, ..., n} のときは
Σf_i を (f_1)+...+(f_n) とも書く。

840 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/07(日) 22:56:59
>>753の修正

定義
C を圏とする。
I を小さい集合とする。
(X_i), i ∈ I と (Y_i), i ∈ I を C の対象の族とする。
X = ΠX_i とし、p_i: X → X_i を射影(>>747)とする。
Y = ΠY_i とし、q_i: Y → Y_i を射影とする。

各 i に対して射 f_i: X_i → Y_i が与えられているとする。

このとき射 f: X → Y で (f_ip_i), i ∈ I を成分の族(>>749)にもつものが
一意に存在する。
このとき次の図式は可換である。

X  → Y
↓   ↓
X_i → Y_i

ここで i は I の任意の元である。

f を (f_i), i ∈ I の積と呼び Πf_i, i ∈ I または Πf_i と書く。

I が有限集合 {1, ..., n} のときは
Πf_i を (f_1)×...×(f_n) とも書く。

841 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/07(日) 23:00:05
>>758の双対


C を圏とする。
C においては任意の対象 X, Y に対して X+Y (>>837)が存在するとする。
C×C を積(>>586)とする。
このとき各 (X, Y) ∈ Ob(C×C) に対して X+Y ∈ Ob(C) を対応させ、
射 (f, g):(X, Y) → (X’, Y’) には射 f+g (>>839)を対応させることにより、
関手 +:C×C → C が得られる。

ただし、各 (X, Y) に対して X+Y を Ob(C) の元として確定させる標準的な方法が
あるとは限らない。
一般には X+Y は同型を除いて一意に決まるだけである。
従って、(X, Y) → X+Y を関手として定めるには一般には選択公理が必要である。

842 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/07(日) 23:03:41

Set を小さい集合(>>321)全体の圏とする。
I を小さい集合とする。
(X_i), i ∈ I を C の対象の族とする。
(X_i), i ∈ I の直和集合は余積 ΣX_i (>>837) である。

843 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/07(日) 23:05:48
>>842の修正


Set を小さい集合(>>321)全体の圏とする。
I を小さい集合とする。
(X_i), i ∈ I を Set の対象の族とする。
(X_i), i ∈ I の直和集合は余積 ΣX_i (>>837) である。

844 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/07(日) 23:07:59

Ab を小さいアーベル群全体の圏とする。
(A_i), i ∈ I を Ab の対象の族とする。

(A_i), i ∈ I の直和アーベル群 ΣA_i は (A_i), i ∈ I の余積(>>837) である。


845 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/07(日) 23:14:48
>>762の双対


P を前順序集合(過去スレ008の139)とする。
P は>>281より圏と見なせる。
x と y を P の元とする。
z が x と y の余積(>>837)であるとは
z が集合 {u ∈ P; x ≦ u かつ y ≦ u} の最小元であることと同値である。
即ち z = sup(x, y) である。

P が順序集合のときは sup(x, y) はそれが存在すれば一意に決まる。

P が順序集合でないときは一般に sup(x, y) は同型を除いて一意に決まるだけである。
ここで、P の元 z と w が同型であるとは z ≦ w かつ w ≦ z となることである。

P の始対象とは P の最小元のことである。
s を P の最小元とするとき、任意の x ∈ P に対して x = sup(x, s) である。
即ち x = x+s である。

846 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/07(日) 23:16:48
>>763の双対


C を圏とする。
s を C の始対象(>>288)とする。
X を C の任意の対象とする。

このとき、X+s および s+X は X と同型である。

847 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/07(日) 23:19:22
>>756の双対


C を圏とする。
空集合を添字集合とする C の対象の族の余積(>>837)は C の始対象(>>288)である。


848 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/07(日) 23:21:10
>>764の双対


C を圏とする。

X_1、...、X_n (n ≧ 2)を C の対象とする。
Y = (X_1)+...+(X_(n-1)) と Y+(X_n) が存在するとき、
Y+(X_n) は (X_1)+...+(X_n) に同型である。

よって、C が始対象をもち C の任意の対象の対 (X, Y) に対して
X+Y が存在すれば C の任意の有限個の対象の余積(>>837)が存在する。

849 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/07(日) 23:33:50
>>772の双対

定義
C を圏とする。
I を2点 a, b と2個の射 u:a → b, v:a → b からなるグラフ(>>325)とする。
C を圏とする。
図式 F:I → C (>>833)とは C における2個の射
f:X → Y
g:X → Y
のことである。

colim F (>>823)を射 f と g の差余核(difference cokernel)
またはコイコライザー(coequalizer)と呼び、Coker(f, g) と書く。

850 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/07(日) 23:38:59
>>849の修正

>>772の双対

定義
C を圏とする。
I を2点 a, b と2個の射 u:a → b, v:a → b からなるグラフ(>>325)とする。
C を圏とする。
図式 F:I → C (>>833)とは C における2個の射
f:X → Y
g:X → Y
のことである。

colim F (>>823)を射 f と g の差余核(difference cokernel)
またはコイコライザー(coequalizer)と呼び、Coker(f, g) と書く。

即ち CokerKer(f, g) は C の対象 K と射 u:Y → K の組で次の条件を満たすものである。

(@) uf = ug
(A) h:Y → Z で hf = hg となるものがあるとき
w:K → Z で h = wu となるものが一意に存在する。

このとき、用語の濫用で K を f と g の差余核またはコイコライザーとも呼ぶ。

851 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/07(日) 23:41:30
>>774の双対

定義
C を圏とする。
X と Y を C の対象とする。
f:X → Y
g:X → Y
を射とする。

下の図式において X → Z が Coker(f, g) (>>850)のとき、この図式は完全であると言う。

X ⇒ Y → Z

ここで ⇒ は2本の射 f, g を表す。

852 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/08(月) 00:21:47
>>779の双対


Set を小さい集合(>>321)全体の圏とする。
X と Y を Set の対象とする。
f:X → Y
g:X → Y
を射とする。

Y の元 u と v は u = f(x) かつ v = g(x) となる x ∈ X があるとき u 〜 v と書く。
Y における関係 〜 で生成される同値関係を R とする。
p:Y → Y/R を標準写像とすれば、これが Coker(f, g) (>>850)である。

853 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/08(月) 00:36:34
>>780の双対

命題
C を圏とする。
X と Y を C の対象とする。
f:X → Y
g:X → Y
を射とする。

次の図式を考える。

X ⇒ Y → Z

ここで ⇒ は2本の射 f, g を表す。

この図式が完全(>>851)であるためには
任意の T ∈ Ob(C) に対して、次の図式が完全(>>774)であることが必要十分である。

Hom(Z, T) → Hom(Y, T) ⇒ Hom(X, T)

証明
>>779と Coker(f, g) の定義(>>850)から明らかである。
証明終

854 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/08(月) 00:38:51
>>852の修正

>>779の双対


Set を小さい集合(>>321)全体の圏とする。
X と Y を Set の対象とする。
f:X → Y
g:X → Y
を射とする。

Y の元 u と v は u = f(x) かつ v = g(x) となる x ∈ X があるとき u 〜 v と書く。
Y における関係 〜 で生成される同値関係(>>830)を R とする。
p:Y → Y/R を標準写像とすれば、これが Coker(f, g) (>>850)である。

855 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/08(月) 00:42:43
>>781の双対


Ab を小さいアーベル群全体の圏とする。
A と B を Ab の対象とする。
f:A → B
g:A → B
を射とする。

このとき、Coker(f, g) (>>850) は標準写像 B → Coker(f - g) である。

これが差余核という名前の由来である。

856 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/08(月) 00:46:59
>>794の双対

定義
C を零対象(>>791)をもつ圏とする。

f:X → Y を C における射とする。
0:X → Y を零射(>>791)とする。

このとき、Coker(f, 0) (>>850)を f の余核(cokernel)と呼び Coker(f) と書く。
即ち Coker(f) は C の対象 K と射 u:Y → K の組で次の条件を満たすものである。

(@) uf = 0
(A) h:Y → Z で hf = 0 となるものがあるとき
v:K → Z で h = vu となるものが一意に存在する。

このとき、用語の濫用で K を f の余核とも呼ぶ。

857 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/08(月) 00:48:38
>>795の双対


Ab を小さいアーベル群全体の圏とする。
f:A → B を Ab における射とする。

Coker(f) (>>856) は f の通常の意味の余核である。
即ち、Coer(f) = B/f(A)


858 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/08(月) 00:54:04
>>796の双対


Grp を小さい群全体の圏とする。
f:G → H を Grp における射とする。

このとき、Coker(f) (>>856) は標準射 H → H/N である。
ここで N は f(G) で生成される H の正規部分群である。

859 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/08(月) 01:01:55
命題
C を圏とする。
X と Y を C の対象とする。
f:X → Y
g:X → Y
を射とする。

K = Coker(f, g) とする。

このとき標準射 Y → K は全射(>>345)である。

証明
>>853より、任意の T ∈ Ob(C) に対して、
Hom(K, T) → Hom(Y, T) は単射である。
よって、Y → K は全射(>>345)である。
証明終

860 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/08(月) 01:17:51
>>800の双対

定義
I を3点 a, b, c と2本の射 c → a、c → b からなるグラフ(>>325)とする。
c → b

a

C を圏とする。
図式 F:I → C (>>833)とは C における次の図式のことである。
図式 (1)

Z→ Y

X

P = colim F (>>823) が存在すれば、次の図式が可換になる。
図式 (2)

Z → Y
↓  ↓
X → P

このとき P を図式 (1)の押し出し(pushout)または
ファイバー余積(fibered coproduct)またはファイバー和(fibered sum)
と言い、P = (X+Y)/Z と書く。
P はまた X と Y の Z 上のファイバー余積またはファイバー和とも言う。

f:Z → X
g:Z → Y
のとき P を (f, g) の押し出しまたはファイバー余積またはファイバー和と言う。
図式 (2)を押し出し四角形(pushout square)と言う。

861 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/08(月) 08:29:20
>>803の双対

C を圏とする。
f:Z → X
g:Z → Y
を C における射とする:

F を次の図式とする。

Z→ Y

X

u:X → T、v:Y → T を射とし、次の図式が可換であるとする。

Z → Y
↓  ↓
X → T

即ち、uf = vg である。
よって、u:X → T、v:Y → T は F から T への錐(>>824)である。
即ち、
Cone’(F, T) (>>826) = {(u, v) ∈ Hom(X, T)×Hom(Y, T); uf = vg}
= (Hom(X, T)×Hom(Y, T))/Hom(Z, T) である。
ここで、(Hom(X, T)×Hom(Y, T))/Hom(Z, T) は
Set におけるファイバー積(>>801)である。

ファイバー余積(>>860) (X+Y)/Z が存在するとする。
標準的に Hom((X+Y)/Z, T) ⇔ (Hom(X, T)×Hom(Y, T))/Hom(Z, T) である。
ここで ⇔ は全単射を表す。
即ち、共変関手 T → (Hom(X, T)×Hom(Y, T))/Hom(Z, T) は
(X+Y)/Z により表現(>>729)される。

862 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/08(月) 08:34:41
>>804の双対

C を圏とする。
f:Z → X
g:Z → Y
を C における射とする:

余積(>>837) X+Y が存在するとする。

p:X → X+Y
q:Y → X+Y
をそれぞれ標準射とする。

このとき、2本の射
pf:Z → X → X×Y
qg:Z → Y → X×Y
が得られる。

このとき、Coker(pf, qg) (>>850)が存在すれば
(X+Y)/Z (>>860) = Coker(pf, qg) である。

863 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/08(月) 08:37:57
>>806の双対

命題
圏 C においては任意の2個の対象(同じ対象も含む)の余積(>>837)と
任意の差余核(>>850)が存在するとする。

このとき、C においては任意のファイバー余積(>>860)が存在する。

証明
>>862より明らかである。

864 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/08(月) 08:41:17
>>807の双対


Ab を小さいアーベル群全体の圏とする。
Ab においては任意の2個の対象(同じ対象も含む)の余積(>>837)と
任意の差余核(>>850)が存在する(>>855)。
よって、>>863より、Ab においては任意のファイバー余積(>>860)が存在する。

865 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/08(月) 09:00:35
>>815の双対

>>862の主張はファイバー余積(>>860)と差余核(>>850)の定義に戻って考えれば
明らかであるが形式的に証明しよう。

C を圏とする。

f:Z → X
g:Z → Y
を C における射とする。

余積(>>837) X+Y とファイバー余積(>>860) (X+Y)/Z が存在するとする。
T を C の任意の対象とする。

>>861より、Hom((X+Y)/Z, T) ⇔ (Hom(X, T)×Hom(Y, T))/Hom(Z, T) である。

p:X → X+Y
q:Y → X+Y
をそれぞれ標準射とする。

>>801より、
(Hom(X, T)×Hom(Y, T))/Hom(Z, T) → Hom(X, T)×Hom(Y, T) ⇒ Hom(Z, T)
は完全(>>774)である。
ここで ⇒ は f と g からそれぞれ引き起こされる2本の射である。

標準的に Hom(X, T)×Hom(Y, T) ⇔ Hom(X+Y, T) であるから

Hom((X+Y)/Z, T) → Hom(X+Y, T) ⇒ Hom(Z, T) は完全である。
よって、>>853より、
Z ⇒ X+Y → (X+Y)/Z は完全(>>851)である。

即ち (X+Y)/Z = Coker(pf, qg) である。

866 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/08(月) 09:05:58
>>800の修正

定義
I を3点 a, b, c と2本の射 a → c、b → c からなるグラフ(>>325)とする。
   b
   ↓
a → c
C を圏とする。
図式(>>833) F:I → C とは C における次の図式のことである。

図式 (1)

   Y
   ↓
X → Z

P = lim F (>>741) が存在すれば、次の図式が可換になる。

図式 (2)

P → Y
↓  ↓
X → Z

このとき P を図式 (1)の引き戻し(pullback)または
ファイバー積(fibered product)と言い、P = (X×Y)_Z と書く。
P はまた X と Y の Z 上のファイバー積とも言う。

f:X → Z
g:Y → Z
のとき P を (f, g) の引き戻しまたはファイバー積と言う。
図式 (2)を引き戻し四角形(pullback square)と言う。

867 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/08(月) 09:08:25
>>860の修正

定義(>>866の双対)
I を3点 a, b, c と2本の射 c → a、c → b からなるグラフ(>>325)とする。
c → b

a

C を圏とする。
図式 F:I → C (>>833)とは C における次の図式のことである。
図式 (1)

Z→ Y

X

P = colim F (>>823) が存在すれば、次の図式が可換になる。
図式 (2)

Z → Y
↓  ↓
X → P

このとき P を図式 (1)の押し出し(pushout)または
ファイバー余積(fibered coproduct)またはファイバー和(fibered sum)
と言い、P = (X+Y)_Z と書く。
P はまた X と Y の Z 上のファイバー余積またはファイバー和とも言う。

f:Z → X
g:Z → Y
のとき P を (f, g) の押し出しまたはファイバー余積またはファイバー和と言う。
図式 (2)を押し出し四角形(pushout square)と言う。

868 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/08(月) 09:15:50
>>812の双対

定義
C を圏とする。
X と Y を C の対象とし、余積 X+Y (>>837)が存在するとする。
p:X → X+Y
q:Y → X+Y
をそれぞれ標準射(>>837)とする。

f:X → T
g:Y → T
を C における射とする。

このとき、射 h:X+Y → T で hp = f、hq = g となるものが一意に存在する。
この h を (f, g) で表す。

869 :132人目の素数さん:2010/03/08(月) 09:27:49
おはよう

クマーは月曜日も朝から晩まで2ちゃんですな?

870 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/08(月) 10:35:47
>>851の修正

>>774の双対

定義
C を圏とする。
X と Y を C の対象とする。
f:X → Y
g:X → Y
を射とする。

下の図式において Y → Z が Coker(f, g) (>>850)のとき、この図式は完全であると言う。

X ⇒ Y → Z

ここで ⇒ は2本の射 f, g を表す。

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