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分からない問題はここに書いてね330

147 :132人目の素数さん:2010/03/28(日) 16:06:55
>>145
ベクトルで計算したら一致することになった。

以下の問題に置き換えられる。
重心G, 外心Pとして、 GP, √(a^2+b^2+c^2)/3 , 外接円の半径を3辺の長さとする三角形は、外接円の半径を斜辺の長さとする直角三角形となるか。

三角形の頂点をO,A,Bとし、
OA=a, OA↑=a↑, OB=b, OB↑=b↑, OP=p, OP↑=p↑, OG↑=g↑ とする。

PとCAの中点を結ぶと、CAと垂直になるので、
a↑・(p↑-(1/2)a↑) = 0
同様にb↑・ (p↑-(1/2)b↑) = 0
変形すれば、a↑・p↑ = (1/2)a^2, b↑・p↑ = (1/2)b^2

g↑=(1/3)(a↑+b↑)なので、
GP^2 = |p↑ - (1/3)(a↑+b↑)|^2 = |p↑|^2 - (2/3)p↑・(a↑+b↑) + |(1/3)(a↑+b↑)|^2
= p^2 - (2/3)(a↑・p↑+b↑・p↑) + (1/9)(a^2 + 2a↑・b↑ + b^2)
= p^2 - (2/3)((1/2)a^2+(1/2)a^2) + (1/9)(a^2 + 2a↑・b↑ + b^2)
= p^2 - (2/9)(a^2 - a↑・b↑ + b^2)

(√(a^2+b^2+c^2)/3)^2 = (a^2+b^2+c^2)/9
= (a^2+b^2+|a↑-b↑|^2)/9 = (a^2+b^2+a^2-2a↑・b↑+b^2)/9
= (2/9)(a^2-a↑・b↑+b^2)

以上より、GP^2 + (√(a^2+b^2+c^2)/3)^2 = p^2 (証明終わり)

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