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分からない問題はここに書いてね330

1 :132人目の素数さん:2010/03/21(日) 00:30:55
さあ、今日も1日頑張ろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね329
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1267096322/

488 :132人目の素数さん:2010/04/14(水) 14:27:28
>>486
無力で馬鹿で何の立場にも居ない
おまえが「うざい」と思ったとして
それがどうかしたのか?

489 :132人目の素数さん:2010/04/14(水) 14:35:30
>>485
明らかではない
繰り返すが>>483は存在の証明であって一意性の証明ではない

490 :132人目の素数さん:2010/04/14(水) 14:39:02
>>488って恥ずかしい人間だね

491 :132人目の素数さん:2010/04/14(水) 14:40:49
ユトリユトリ吠えてる暇あったら、
自分も証明を考えればいいのに。

492 :132人目の素数さん:2010/04/14(水) 14:43:04
ゆとりゆとり言ってんのは40代のオッサンだよ

493 :132人目の素数さん:2010/04/14(水) 14:44:37
>>492
ほんと
恥ずかしい人間だよね

494 :132人目の素数さん:2010/04/14(水) 14:45:07
バブリーがユトリ―と煽ってるわけか

495 :132人目の素数さん:2010/04/14(水) 14:46:48
ところで>>450には対称性の仮定はないのか?

496 :132人目の素数さん:2010/04/14(水) 14:52:18
>>493
頭の中に何も入らずに巣立っていくゆとり世代に生まれて
サルにしかなれなかった人々よりはマシじゃね?

497 :132人目の素数さん:2010/04/14(水) 14:53:42
ゆとり世代の場合、周りも馬鹿だらけなのだから
馬鹿であることを恥じることは無いと思う。
パッパラパーなのが普通な世代。

498 :132人目の素数さん:2010/04/14(水) 14:54:20
40にもなってこんな煽りしかできないとしたら
確かに死ぬほど恥ずかしいな

499 :132人目の素数さん:2010/04/14(水) 14:55:35
VIPでやれ

500 :132人目の素数さん:2010/04/14(水) 14:56:50
どの世代に生まれてもサルはサルだよ
ゆとりにも秀才はいるし
割合の問題かな

501 :132人目の素数さん:2010/04/14(水) 15:02:41
年取ったら基礎学力が身についてくるわけでもないし
30になったら30才の猿人
40になったら40才の猿人
50になったら50才の猿人

という一生をおくることになる
不幸な世代としか言いようがない

502 :132人目の素数さん:2010/04/14(水) 16:10:00
本人が不幸と感じていないならば不幸ではない

503 :132人目の素数さん:2010/04/14(水) 16:19:02
>>489
すまん正定値という条件がないと
>>483のBは一意にはならなかったから一意は簡単に示せなかった

X^2=Aとする
(A,Xは正定値)

P^(-1)AP=S
Q^(-1)XQ=T
(S,Tは対角行列)
とかける。
T^2=Q^(-1)X^2Q=Q^(-1)AQ

T^2は対角行列よりQはAを対角化する行列でありT^2は対角化された行列。
T^2=(λ_1,...)とするとTは対角行列よりT=(√λ_1,...)
TとQ(スカラー倍を除いて)が一意に決まるからXも一意に決まる

504 :132人目の素数さん:2010/04/14(水) 16:42:34
>>503
> TとQ(スカラー倍を除いて)が一意に決まる

これがよくわからん。
Tは(成分の並べ替えを除いて)一意だが、
Qはスカラー倍を除いて一意とは言えない気がするが。

505 :450:2010/04/14(水) 16:47:12
>>503 ありがとうございます、納得しました。

A:given, P.D.

Assume X:P.D., A=X^2

\exists Q:orthogonal matrix, Q^T X Q = T: diagonal
then Q^T X^2 Q = Q^T A Q = T^2: diagonal
QはAの固有ベクトルより一意に求まる。
また、TはAの固有値より一意に求まる。

あってそうですね

506 :450:2010/04/14(水) 16:49:49
>>504
QはAの固有ベクトルを正規化して並べたものだから、一意。
AQ=\lambda Qを満たすような行列QはAの固有ベクトルを並べたものしかないから。


507 :132人目の素数さん:2010/04/14(水) 16:59:37
>>506
正規化してなければ一意じゃない。
正規化せずに並べてもQ^(-1)XQ=Tは満たす。

正規化せずに作ったXが正規化して作ったXと同じものだと示さないとだめ。

508 :132人目の素数さん:2010/04/14(水) 17:06:13
>>506
わかりやすく書くと、

Q^(-1)AQ=S
R^(-1)AR=S

となるQとRがあったとき、T=√Sとして

X = QTQ^(-1)
Y = RTR^(-1)

とおけばX^2 = Y^2 = Aだが、X=Yということはなぜ言える?

509 :132人目の素数さん:2010/04/14(水) 17:06:17
>>504
あいまいな記憶で書いてしまっていろいろ申し訳ない。
固有ベクトルごとのスカラー倍だ。

たぶんAx_i=λ_ix_iを使えば
すぐできると思うけど先にできたら代わりに書いてくれ

510 :452:2010/04/14(水) 17:19:07
まさかこんなに荒れると思ってなかった

>>509
スカラー倍だけじゃなくて、固有空間の基底の取り替えにも言及しておかないとまずいぞ

511 :450:2010/04/14(水) 17:20:13
Q_1: 正規化された直交行列
Q_2: 固有ベクトルをC1,C2,C3倍して並べた行列

このとき、
R=[
C1 & 0 & 0 \\
0 & C2 & 0 \\
0 & 0 & C3\\
]
を用いて
Q_2 = Q_1 R
で表されるから、

Q_2^-1 X Q_2 =R^-1 Q_1^-1 X Q_1 R
で成分を計算すれば、同じ行列となる。


512 :132人目の素数さん:2010/04/14(水) 17:25:00
>>511
Aは3×3の対称行列という仮定があるならなぜ最初に書かない?
「平方根」という言葉の誤用がスレの荒れを招いたことについて一言もなし?

質問者としてのマナーを無視しすぎ。

513 :132人目の素数さん:2010/04/14(水) 17:26:34
別にスレは荒れてないとおもわれ
荒れていると思われる部分は質問者は関係ないかと

514 :452:2010/04/14(水) 17:29:52
>>512
誤用じゃないと何度言えば
いや、まだ2回目だが

515 :450:2010/04/14(水) 17:30:49
>>512
多次元行列に関しても同様の証明が成り立ちます。

対称行列について、私の理解では
正定値行列の定義について二次形式での定義と固有値を用いた定義の同値性を示すには、
行列の対称性を仮定しなければならないことから、
正定値行列は対称行列であると理解しております。
間違っていたらすみません。

>>487も読んであげてください。


516 :132人目の素数さん:2010/04/14(水) 17:36:28
>>515
>多次元行列に関しても同様の証明が成り立ちます。
ではn次元での証明を書いてみてください。
とくに「成分を計算すれば」のところを詳しくお願いします。

>正定値行列は対称行列であると理解しております。
>間違っていたらすみません。
間違っています。
固有値が全て正なら正定値です。

517 :450:2010/04/14(水) 17:50:06
>>516
Q_1^{-1} X Q_1 = T: diagonal
T_{ij}= 0 if i \ne j;

R^{-1}= 0 if i \ne j;
1/Ci if i=j;

R^{-1}Q_1^{-1} X Q_1 R
= R^{-1} T R
=[
T_{11}/C1 & 0 & \cdots & 0
0 & T_{22}/C2 & \cdots & 0
\cdots
0 & 0 & T_{nn}/Cn
]R
= T

それと正定値については二次形式での定義か固有値での定義か明らかにする必要がありました。

518 :132人目の素数さん:2010/04/14(水) 17:56:46
>>517
二次形式での定義って?

519 :450:2010/04/14(水) 18:01:09
>>518
内積が定義されたベクトル空間で、
対称行列Aが正定値であるとは、
ベクトルuについて
\forall u \ne 0
u \cdot (Au) > 0


520 :132人目の素数さん:2010/04/14(水) 18:05:14
>>519
だから対称行列に限らないってば。
しかも二次形式でつってんのに行列での定義書いてるし。


二次形式だろうと行列だろうと正定値性と対称性は関係ないよ。

521 :450:2010/04/14(水) 18:13:04
>>520 勘違いしてたっぽいです
\sum a_{ij} x_i x_j >0 が正定値の定義
これを行列で表すとき、その行列は対称行列となる(二次形式だから)
でした。
ということは、二次形式での定義から固有値での定義は導けるが、
逆は必ずしも成り立たなく、対称行列のときに限り同値であるのですね

522 :132人目の素数さん:2010/04/14(水) 18:22:01
>>521
>これを行列で表すとき、その行列は対称行列となる(二次形式だから)
>でした。
ああ、それで大体わかった。
二次形式の行列表現は対称行列に限れば一意だが一般には一意でない。

(例)
二次形式x^2 +xy + y^2 に対応する対称行列は
( 1 1/2 ; 1/2 1 )
だが、他にも
( 1 0 ; 1 1 )
などで表せる。

x^2 + xy + y^2 = (x+1/2y)^2 + (1/4)y^2 >0
だからこれは二次形式として正定値。
この正定値性が上に挙げた対応する行列の正定値性と同値になる。

523 :450:2010/04/14(水) 18:35:30
>>522
その同値性には対称行列であることが必要条件となりますよね。
その例で言うと
(1 -1; 2 1)
も二次形式を表現しているが、その固有値は{すべて正}でないから、
固有値の意味では正定値とならない。

これを勝手に一般のものと思ってました

524 :132人目の素数さん:2010/04/14(水) 18:44:55
>>523
>その同値性には対称行列であることが必要条件となりますよね。
確かにそうだ。
同値というには対称性に限る必要があるな。
俺も勘違いしてた。すまんかった。

525 :132人目の素数さん:2010/04/14(水) 19:11:08
死ねよゴミ

526 :132人目の素数さん:2010/04/14(水) 19:19:24
結局一意性の証明はわかったのかよw

527 :450:2010/04/14(水) 19:32:49
>>526
一意性の証明は、
対角化する行列が固有値の定数倍により構成される場合も許される点を含めて解決しました。
ありがとうございました。


528 :452:2010/04/14(水) 21:27:52
>>527
>>510で書いたけど、まだ不完全だぞ

529 :132人目の素数さん:2010/04/14(水) 22:28:35
dy/dx = (y-x)/(y+x)

上でy の解析解を求めたいんですがどうにもうまくいきません
大学1,2年の微分方程式の知識はあるんで、
ここを調べろとかいうのでも構いません
教えてください

530 :529:2010/04/14(水) 22:34:31
あ、一応
x = 1 での値がわかればいいです

531 :132人目の素数さん:2010/04/14(水) 22:36:59
>>529
ほもげなので
z = y/x とでもおいて
y' = z + xz' = (z-1)/(z+1)

xz' = -(z^2 +1)/(z+1)
{(z+1)/(z^2 +1)} z' = -1/x
で変数分離できてるからあとは両辺積分するだけ。

532 :132人目の素数さん:2010/04/14(水) 22:38:38
>>530
おまえが書いた部分だけから
んなの分かりようがない
大学1,2年の微分方程式の知識はあるっつーのはデマにも程がある

533 :132人目の素数さん:2010/04/14(水) 23:08:13
いきなり「おまえ」とかいっちゃてこいつは一体何様のつもり?

534 :132人目の素数さん:2010/04/14(水) 23:23:07
いや、一般解って時点で一意に決まるわけがないだろ

535 :529:2010/04/14(水) 23:25:31
>>531 様、
ありがとうございました

この式を積分して出てきた式と
x=1を解いて y = 0
ということではいけないんですかね?

536 :529:2010/04/14(水) 23:41:37
すいません境界条件は
y(0) = 1 でした

537 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 00:17:05
>>535-536
日本語で文章が書けるようになった方がいいと思うけど
y(0) = 1から積分定数を求めるという方法でいいよ。

538 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 00:28:33
今年中学生になっていまごろ気づいたんですが
1÷3=0.3333…
両辺に3をかけると
1=0.9999…

となり等式が成り立たないのは何でですか?

539 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 00:31:54
マジレスするとぐぐってみたほうが早くていい

540 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 00:32:04
>>538
成り立っているし何の問題も無い。

541 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 00:39:34
1と0.999…は表記の仕方が違うだけで実は一緒と言う事ですか?

542 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 00:45:50
>>531
>{(z+1)/(z^2 +1)} z' = -1/x
>で変数分離できてるからあとは両辺積分するだけ。

>y(0) = 1

解けるのか?これ

543 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 00:50:31
なかなか賢いな。
だが本当のところどうなんだろうな?

544 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 01:35:39
>>538
> 1÷3=0.3333…
> 両辺に3をかけると

と、無邪気に書いているが、無限に続く0.333・・・に3をかけることができるのか?



545 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 01:57:34
出来ないですか?
前から掛け算して、
0×3=0
3×3=9
3×3=9
3×3=9


と計算をやり並べたらいいんじゃないですか?

546 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 02:09:34
任天堂の入社試験の問題らしいのですが高校数学しか理解してなくても解けるようなものですか?
ttp://file.marukomu9.blog.shinobi.jp/a510b55e.jpeg

5問目とかさっぱりです。
関数fが自由ならいくらでも作れそうに思えてしまいます。

547 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 05:56:25
f(1) = 1
∀a , f(f(a)) = a
までしかまだわからねえorz

548 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 06:05:36
a=0
f(b)=re^ib=h
f(b-f(a)-1)=re^i(b-r-1)=k
h<>ck



549 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 06:07:46
f=|f|

550 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 07:57:07
exp(x^2)のマクローリン展開を教えてください

551 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 08:15:21
y=sin(x^3)の逆関数を求めよ
がわかりません

552 :450:2010/04/15(木) 08:28:34
>>528
おっしゃる通りです。
スカラー倍も含めてまとめてみました。
これでどうでしょう・・・

A: symmetric, postive definite
B_1,B_2: symmetric, positive definite
assume A=B_1^2=B_2^2
\exists Q_1:regular matrix, T_1:diagonal matrix
s.t. Q_1^{-1} B_1 Q_1 = T_1

B_2についても同様にQ_2,T_2が存在する。

Q_1^{-1} B_1^2 Q_1 = T_1^2: diagonal
より、Q_1はAの正規化された固有ベクトルをスカラ倍し、
ある順番に並べた行列であることがわかる。
Q_2についても同様。
スカラ倍については、ある対角行列C_1,C_2で表現することができ、
また列に入れ替えについてはある基本行列の積で直交行列となるE_Pが存在し、
次の関係が成り立つ。
Q_1=E_P C_1 C_2^{-1} Q_2
一方でT_1とT_2についても同様の入れ替えが考えられ、
T_1=E_P T_2 E_P^T
が成り立つ。これらの式を用いると、
B_1
= Q_1 T_1 Q_1^{-1}
= E_P C_1 C_2^{-1} Q_2 E_P T_2 E_P^T (E_P C_1 C_2^{-1} Q_2)^{-1}
= E_P C_1 C_2^{-1} Q_2 E_P T_2 E_P^T Q_2^{-1} C_2 C_1^{-1} E_P^{-1}
= E_P C_1 C_2^{-1} Q_2 T_2 Q_2^{-1} C_2 C_1^{-1} E_P^{-1}
= E_P C_1 C_2^{-1} B_2 C_2 C_1^{-1} E_P^{-1}
= B_21^2=

553 :450:2010/04/15(木) 08:31:09
すいませんキレました
最後の行
= B_2
よってB_1=B_2が示された。

554 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 09:56:05
2chでこんなのが使えたら良いのだが。。。
http://www.codecogs.com/components/equationeditor/equationeditor.php

555 :450:2010/04/15(木) 10:36:18
連レス失礼。
列の基本変形でなく行の基本変形になってました。
適当に読み替えてください。

556 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 11:26:02
>546,547

いい証明法は思いつかないけど:

f(n)=n ∀n

証明:f(1) = 1, ∀a , f(f(a)) = a を用いる。
Step1. f(2)=m>2 と仮定すると f(2m-1)=3 より f(3)=2m-1>3, 以下同様に f(4)=3m-2>4, f(5)=4m-3>5, ... となり f(m)>m が従い矛盾。
よって、n=1,2 まで f(n)=n
Step2. f(3)=m>3 と仮定すると f(4)=m+1, f(5)=m+2, ... となり、f(m)=2m-3>3 が従い矛盾。
よって、n=1,2,3 まで f(n)=n
Step3. n=1,2,...,k-1 まで f(n)=n で f(k)=m>k とすると、同様に f(k+1)=m+1, ... が従い f(m) で矛盾がでる。
証明終わり


557 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 11:58:56
a = 1として
1,f(b), f(f(b))に対して三角不等式が成り立つので
f(b) + 1 > f(f(b)) > f(b) - 1
左辺と右辺の間には整数が一つしかなく f(b) = f(f(b))
これが∀bに対して成り立つので

∀a , f(f(a)) = a ⇒ ∀a, f(a) = a

558 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 12:00:07
すまん、問題を見間違えていた

559 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 12:32:44
x^2/(x^2+1)をxで積分した場合の答えはxーarcTAN(x)なんですが解答方法がわかりません。部分積分でやるのでしょうか?
よろしくお願いします

560 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 12:42:28
arctanが何なのか知った上で聞いてるの、それ?

561 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 12:44:30
わかってますよ。
よろしくお願いします。

562 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 12:48:30
>>559
(x^2)/(x^2 +1) = 1 - {1/(x^2 +1)}
を積分しただけ。

563 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 12:55:25
>>562なるほどこんな解法があるのか…
ありがとうございました!

564 :419:2010/04/15(木) 13:56:36
結局わからないままだったので、もう一度質問させてください。
問題は、

FをΩ上の体とした時、
A_1,A_2,...∈F⇒∪^∞ A_i ∈F

A_1,A_2,...∈F⇒∩^∞ A_i ∈F
が成り立つとは限らない。
例えば、Ωを無限集合とし、F={A⊂Ω;AまたはA^cが有限か空}のとき。
これを確認せよ

です。

565 :419:2010/04/15(木) 14:01:05
自分では例として、(Rは実数集合、Nは自然数集合)
Ω=R、F={A⊂Ω;AまたはA^cが有限か空}を考えて、
1,2,3,...∈Fだけど、∪_{n=1}^∞ n = N はFに含まれない、
このようなものを考えましたが、これで合っているでしょうか?

また、このように、Ωを可算無限より大きな無限に取る例しかない、と考えていいでしょうか?

566 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 16:43:22
>>565
有限集合の部分集合族は高々有限個。
よって、有限加法的ならば完全加法的。

567 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 16:45:06
ちなみに、テキストの通り、
Ωは可算無限でも、F={A⊂Ω;AまたはA^cが有限か空}が例になっている。
ちゃんとチェックしろ。

568 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 16:46:52
>>565
>Ωを可算無限より大きな無限に取る例しかない、と考えていいでしょうか?

Ω が有限だったら、F も有限ぐらいのことは気づかないと。

569 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 16:47:45
>>547
>f(1) = 1
どうやって出すのか教えてくれ。

570 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 16:54:13
http://beebee2see.appspot.com.nyud.net/d/agpiZWViZWUyc2VlchQLEgxJbWFnZUFuZFRleHQY7KVkDA.jpg
これ答えてくれ。

571 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 17:01:37
>>569
俺の方法 もちろん各々の段階で三角不等式を使う
1. a=b=1をぶちこんでf(1) = f( f(1) )
2. a=1 b=f(1)をぶちこんでf(1) = f( 2f(1)-1)
3. a=1 b=f( 2f(1)-1 )をぶちこんでf(1) = f( 3f(1) - 2)
4. a=3f(1)-2 b=1をぶちこんでf(1) < 2

572 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 17:24:28
>>571
なるほど。ありがとう。

結局identityしか無いんだね。

573 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 17:25:12
>>570
赤い三角形と青い三角形は相似ではないから
全体の形は三角形でなく四角形になっている

574 :571:2010/04/15(木) 18:03:55
誤 3. a=1 b=f( 2f(1)-1 )をぶちこんでf(1) = f( 3f(1) - 2)
正 3. a=1 b=2f(1)-1をぶちこんでf(1) = f( 3f(1) - 2)
すまん

575 :419:2010/04/15(木) 18:21:42
Ωが非可算の場合の例は>>565であってますか?

Ωが可算の場合の例は、
Ω=N、F={A⊂Ω;AまたはA^cが有限か空}
1,3,5,...∈Fだけど、∪_{n=1}^∞ 2n-1 =奇数全体の集合 はFに含まれない
これであってますでしょうか?



576 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 18:25:26
lim[n→∞]((n+1)(n+2)/(2+3)(n+4))^n

これ教えて

577 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 18:27:15
訂正
lim[n→∞]((n+1)(n+2)/(n+3)(n+4))^n

578 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 18:28:11
>>576


579 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 18:33:28
>>577
exp(-4)

580 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 20:26:10
お願いします

2進の循環小数 0.{00011} {}:循環部分 を10進の分数で表せ

581 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 20:34:35
わかりません。お願いします。

三角形ABCにおいて、BCに平行な直線がAB,ACと交わる点をE,Fとする。
BF、CEの交わる点をGとするとき、AGはBCの中点を通ることを示せ。


582 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 20:37:13
>>580
ヒント:1/99999

583 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 20:43:20
>>580
3/31

>>581
チェバ

584 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 20:54:22
>>582-583
できました!
ありがとうございます

585 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 20:57:15
輸入盤のケース上部についているシールを綺麗にはがす方法を教えてください

586 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 20:58:48
お湯につけてはがす

587 :sage:2010/04/15(木) 23:52:06
集合について

PνQ の読み方がわかりません

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