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微分形式

1 :♀д♀:2010/01/17(日) 16:04:50 ID:0YawUmvE
外微分、スター作用素、ストークスの定理、リー微分
他に物理でつかうトピックある?

2 :1:2010/01/17(日) 16:19:46 ID:???
糞スレ立てて申し訳ありませんでした。


ーーーーーーー糞スレ終了ーーーーーーー

3 :ご冗談でしょう?名無しさん:2010/01/17(日) 19:34:09 ID:Inc+eOM9
調和積分論って何に使うの?
ドラムコホモロジーの代表元に調和形式がユニークに選べるってことだけど
何か役立つことってある?

4 :ご冗談でしょう?名無しさん:2010/01/17(日) 21:20:37 ID:Oi4bKpgn
ゲージ理論にでてこんかったっけ

5 :ご冗談でしょう?名無しさん:2010/01/17(日) 21:20:45 ID:???
メコスジン形式

6 :ご冗談でしょう?名無しさん:2010/01/18(月) 02:16:15 ID:???
微分のことは微分でせいよ、積分に頼るなかれ。

7 :ご冗談でしょう?名無しさん:2010/01/18(月) 19:24:56 ID:amgYYx3G
ドルボーコホモロジーとかはどうなんだろう?

8 :ご冗談でしょう?名無しさん:2010/01/20(水) 22:40:41 ID:WN67dBL0
内部積とか何に使うんだろうね。
数学的にも物理的にも意味不明。

9 :♀д♀:2010/01/21(木) 00:30:07 ID:???
内部積って単に縮約のことじゃないの?

10 :ばいおねす ◆jT9IWcEl2Wzi :2010/01/27(水) 10:04:07 ID:brQk6GOA
>♀д♀さん

お久しぶりです。
この辺の言葉で書けば保存則とかスッキリ書けると思うんですけどね。
例えば電場のスカラー場のLie微分がエネルギー密度だったり。

(ホ)コホモロジーの応用は内積を定義しない場の理論ってのがあるという事くらいしか知らないですけど、
あっちは完璧に数学ですな。

11 :♀д♀:2010/01/27(水) 14:49:11 ID:3eLW21Wz
こんちわ
因子スレの人だっけ?

12 :♀д♀:2010/01/27(水) 16:33:59 ID:3eLW21Wz
dp1∧dp2∧dp3がdp1∧dp2∧dp3/p0って変換することを証明したいんだけど
どうすればいいすかね?
dp1∧dp2∧dp3=A1iA2jA3kεijk dp1∧dp2∧dp3をなんとかして

13 :ばいおねす ◆jT9IWcEl2Wzi :2010/01/27(水) 21:44:14 ID:brQk6GOA
>因子スレの人だっけ?
Yes.

dP^3/Eのδ関数を使ったゴチャゴチャした証明が普通ですけど(柏さんの演習書で苦戦した過去が・・・)、
何か好きじゃないです。

P0とそれ以外を関連付けるために運動量の条件式(てきとー)

g_ab P_a P_b = -m^2

から、運動量を座標にとった空間を考えて何かできないかな〜?とかゴチャゴチャやってたけど無理でしたw
ちなみに何の本ですか?

ヒマなんでネタ投下してください><

14 :ご冗談でしょう?名無しさん:2010/01/27(水) 23:56:01 ID:???
本質的には>.13と同じだが、見た目簡単な方法。
dp1dp2dp3dEがローレンツ不変なのは明らか(ヤコビアン
が1になるから)なので微分形式で考えるとE^2-p^2=m^2において
mを新しい変数にとればEdE=p1dp1+p2dp2+p3dp3+mdm、よって
dp1dp2dp3dE=dp1dp2dp3(m/E)dm、すなわちm=const.に話を制限
(格好良く言えばpull back)すればdp1dp2dp3/Eが既にローレンツ不変。
(mがローレンツ不変だから)

15 :♀д♀:2010/01/28(木) 14:27:26 ID:y4PIzziq
>dp1dp2dp3(m/E)dm、すなわちm=const.に話を制限
これは、
∫dp1∧dp2∧dp3∧(m/E)dm=∫_[m=const]dp1∧dp2∧dp3(m/E)
と考えてよろしい?
できれば数式で説明おねがいします

16 :ばいおねす ◆jT9IWcEl2Wzi :2010/01/28(木) 15:32:57 ID:QmDAMgAr
>>14
なるほど、MとPの直積空間を考えれば良かったのですね。

>すなわちm=const.に話を制限(格好良く言えばpull back)すれば

この議論、色々チャレンジしてみましたけど、give upしました(pull backについては双対空間あたりの議論と、
多様体の間の写像について少し知識がある程度です)。

dp1dp2dp3(m/E)dm
をpull backすると、どうしてもローレンツ変換の空間成分のみのヤコビアンが出てしまいます。

(引き戻し)dm=dm'

が間違ってるような・・・。
dmがdp0と同じに扱えれば万事解決なんですが。

17 :ご冗談でしょう?名無しさん:2010/01/28(木) 20:42:46 ID:???
酔っててpull backなんて関係ないところでそんな用語だしてしもうた。
ごめん。ポイントはローレンツ不変な測度をつくりたい、で(E,p)空間において
m^2=E^2-p^2がローレンツ不変ってこと。よって(E,p)空間の独立変数として
(m,p)をとって見るとdEdp=mdmdp/Eとなって、左辺がローレンツ不変、
mがローレンツ不変、dmもそう、ってことは必然的にdp/Eもローレンツ不変に
なる。
>>15
∫f(p,E(m,p))dp1∧dp2∧dp3∧(m/E)dm=∫f(p,E)dp1∧dp2∧dp3∧dE
よって∫g(p,E(m_0,p))dp1∧dp2∧dp3∧(m_0/E)=∫g(p,E(m,p))δ(m-m_0)dp1∧dp2∧dp3∧(m/E)dm
=∫g(p,E)δ(m-m_0)dp1∧dp2∧dp3∧dE
δ(m-m_0)の項の関係でgはいわゆるon shellでのみ定義されていても
問題なく、δ(m-m_0)、dp1∧dp2∧dp3∧dEのローレンツ不変性から
最右辺がローレンツ不変、よって最左辺もローレンツ不変。

18 :ご冗談でしょう?名無しさん:2010/01/28(木) 21:23:24 ID:???
あまり「微分形式」の話ではない気がするけど

19 :♀д♀:2010/01/28(木) 21:41:32 ID:y4PIzziq
よくわからんf^_^;

>よって∫g(p,E(m_0,p))dp1∧dp2∧dp3∧(m_0/E)=∫g(p,E(m,p))δ(m-m_0)dp1∧dp2∧dp3∧(m/E)dm
ストークスの定理でm=constの3次元部分多様体に落とすって話じゃないの?
(p1,p2,p3,E)→(p1,p2,p3,m)→(p1,p2,p3)?

20 :ばいおねす ◆jT9IWcEl2Wzi :2010/01/30(土) 00:01:33 ID:???
>>17
それで納得なんですけど、引き戻しで不変じゃないのが何か納得いかなかったので。
もう少し基礎勉強してみます。

21 :ご冗談でしょう?名無しさん:2010/01/30(土) 07:43:44 ID:???
普通は、
δ(g(x))=Σ_a δ(x-a)/|g'(a)| (g(a)=0)
使って、f(p)をローレンツ不変な関数として、
∫_{p0>0} d^4p δ(p^2-m^2) f(p)
=∫d^3p∫dp0 δ(p0-E)/(2E) f(p)
=∫d^3p/2E f(p)|_{p0=E} (E=√(p1^2+…+p3^2 + m^2))
で、左辺がローレンツ不変だから…ってやるよね。

22 :♀д♀:2010/02/01(月) 22:02:20 ID:7GyJzP9h
dp1∧dp2∧dp3=Aμ1Aν2Aλ3 dpμ∧dpν∧dpλ
を0含むか含まないかで場合わけして p0dp0=pidpiつかったら
(p0/p0')dp1'∧dp2'∧dp3'だせた

23 :♀д♀:2010/02/06(土) 12:23:34 ID:???
微分形式で球座標のラプラシアンだしてみた

fをスカラーとします
df=∂r(f)dr + ∂θ(f)dθ + ∂φ(f)dφ
*df=(r^2sinθ)∂r(f)∂θ∧∂φ + (r^2sinθ)∂θ(f)∂r∧∂φ
+ (r^2sinθ)∂φ(f)∂r∧∂θ
d*df={∂r(r^2sinθ)∂r(f) + (1/r^2)∂θ(r^2sinθ)∂θ(f)
+ (1/rsinθ)^2∂φ(r^2sinθ)∂φ(f)}∂r∧∂θ∧∂φ
*d*df=(1/(r^2sinθ)){∂r(r^2sinθ)∂r(f) + (1/r^2)∂θ(r^2sinθ)∂θ(f)
+ (1/rsinθ)^2∂φ(r^2sinθ)∂φ(f)}
=(1/r^2)∂r(r^2)∂r(f) + (1/(r^2sinθ))∂θ(sinθ)∂θ(f)
+ (1/rsinθ)^2∂φ∂φ(f)}

24 :♀д♀:2010/02/06(土) 12:27:33 ID:???
体積形式をω=r^2sinθ∂r∧∂θ∧∂φ としました

疑問なのは、接続の情報を全く使わなかったこと
微分だから接続の情報がどこかで必要になるはずなのに
しかも計量もデカルトじゃないのに、一応それらしいのが出てきた

25 :ばいおねす ◆jT9IWcEl2Wzi :2010/02/06(土) 16:17:51 ID:???
>>23
ラプラシアンは接続を入れなくても定義できますよ。
内積が定義されてれば自然に?ホッジ変換も定義できます。

たまに相対論の本で共変微分の2乗で定義してるのもありますけど(佐々木節って人のだったか)、
なんか上付きの共変微分ってのがよーわからんかったのと、公式を導出するのにレヴィ・チヴィタ接続まで
要請しないとダメだった気がします。

26 :♀д♀:2010/02/06(土) 16:54:27 ID:m66YB4+j
でも微分っていうからには、異なる2点間の情報が必要なわけで
それには接続が必要だと思うんだけど。
なぜだろう。

>共変微分の2乗で定義してるのもありますけど
∇_μ∇^μでしょ?
ようは∇_μ(g^μν∂_μ)だよね。
こっちの場合は計算する途中で接続が必要になるんだよねえ。
(つまり、異なる2点間での球座標基底の変化)
だからこっちのが直感的には納得できる。

27 :ばいおねす ◆jT9IWcEl2Wzi :2010/02/06(土) 18:00:03 ID:vj5SF/n2
いえ、接続ってのは名前のとおり、ベクトル場に関する情報を与えるためのものです。

例えば(x1,x,2)→(r,θ)って変換で、何かしらの演算子を考える時でも
関数(ベクトル)は無関係で、あくまで考えてる空間でどう演算子が変化するかです。

共変微分の2乗のほうは、接続Γを計量gで書き換える時に,僕が知ってる限りではLC接続まで仮定
してますね。Wald相対論の3章でもそうでした。
アフィン接続だけでΓをgで表す方法は知りませんwww

>∇_μ∇^μでしょ?

あれ、
∇_μ∇^μ = ∇_μ(g^μν∂_μ)

って

∇_μ g_ab =0

を仮定しなくてもできましたっけ?

28 :ご冗談でしょう?名無しさん:2010/02/06(土) 20:44:01 ID:???
ちょっとお邪魔します。
ちょうど先生(数学には詳しくない)とこの辺の話題を話し合ったところだけど結局わからんかったわ。
向こうは微分なんだから当然接続は必要だろうと言ってて、僕は外微分とホッジ作用素でいけるから・・・みたいな話をした。
計量も接続も入ってない多様体ってコーヒーカップとドーナッツに同値関係が入るけど、
図形にそんな任意性があってもきちんと外微分が定義できて、それをもとにトポロジーなんかもできちゃう、
よく考えたら不思議だなぁ。

29 :ご冗談でしょう?名無しさん:2010/02/06(土) 20:49:42 ID:???
ホッジ作用素が入ってるなら計量は入れてあるのでは。

30 :ご冗談でしょう?名無しさん:2010/02/06(土) 20:55:20 ID:???
あ、そうだ。ごめんなさい。
でもd*dに接続が入る余地が無さそうだ。
あと、ホッジ作用素は計量が必要だけど
∇_μ∇^μは接続だけでいけるわ。

もうわかんね\(^o^)/

31 :ご冗談でしょう?名無しさん:2010/02/06(土) 20:56:42 ID:???
ごめん30も嘘。
∇_μの添字上げるのに計量が

32 :♀д♀:2010/02/06(土) 20:58:01 ID:m66YB4+j
>>27
上の部分について
よくわかんないです

下の部分について
∇を∂に変えてるところで等価原理を仮定してる→LC接続を暗に使ってます

>>29
教科書によっては、ホッジと計量をほとんど同じに扱ってるものが多いけど
ホッジ自体は計量がなくても、n次多様体でn次形式が定義されてれば
使用できますよ

33 :♀д♀:2010/02/06(土) 21:04:20 ID:m66YB4+j
>>28
オレもその先生と同じ考え。
多様体でのベクトルは、各点での接ベクトル空間で定義されてるから
異なる点での差である、微分を計算するには、異なる点のあいだの関係が必要←接続の導入
ってのが一般相対論とかの考え方だとおもう。
ラプラシアンも微分だから、当然そういう情報が必要になると思ったんだけど
オレが外微分を理解できてないだけかしら。

34 :♀д♀:2010/02/06(土) 21:14:56 ID:m66YB4+j
連投ごめんね

いま、気付いたんだけど
接続を計算であらわに使ってないだけで、接続の情報は入ってるかもしれない。

(1/r^2)∂r(r^2)∂r(f)
の∂r(r^2)部分は計量の微分なんだけど
計量の一階微分ってよく考えたら接続のことだよね。

35 :ご冗談でしょう?名無しさん:2010/02/06(土) 21:18:28 ID:???
リー微分なんて接続も計量もいらないけど

36 :ご冗談でしょう?名無しさん:2010/02/06(土) 21:20:12 ID:???
リーマン多様体上の点pでdu_1,...,du_mは正規直交であるとし、(U,u)はpにおける測地座標系になっているとする。
すると、*d*df=∇_μ∇^μf on Uが容易に確かめられる。
これはスカラーの等式だから任意の座標系で同じものが成り立っている。

これでいいのかな?計量は必要(計量入れた時点で接続使ったか使っていないかの議論は無意味に思える)

37 :ご冗談でしょう?名無しさん:2010/02/06(土) 21:21:41 ID:???
接続って計量とは独立に入れられるんじゃなかったっけ?

38 :ご冗談でしょう?名無しさん:2010/02/06(土) 21:26:50 ID:???
計量なしで考えると>>31になる
計量はいってんのにレビチビタ以外の接続を入れるっていうのは見たことないし
物理では必要なかろう

39 :♀д♀:2010/02/06(土) 21:34:32 ID:m66YB4+j
計量いれたら接続もはいっちゃうでしょ

40 :ご冗談でしょう?名無しさん:2010/02/06(土) 21:46:35 ID:???
wikipediaソースですまないけど、
http://en.wikipedia.org/wiki/Weitzenb%C3%B6ck_identity
にそれっぽいことが書いてあった。

身近にLevi-Civita接続ではない接続を扱っている人(非物理系)がいるので、
個人的には異なる接続の話も興味ある。
物理のアナロジーで考えてると、たまに話が噛みあわなくなるので。
(大抵はローレンツ幾何とリーマン幾何の違いだけど)

41 :ご冗談でしょう?名無しさん:2010/02/06(土) 22:02:48 ID:???
>>36
おおありがとう
これがリーマン多様体ではFAっぽい

42 :ばいおねす ◆jT9IWcEl2Wzi :2010/02/06(土) 23:11:42 ID:vj5SF/n2
>>32
何か書き方まずかったっぽ、すまそ。

ベクトル場自体は接続も計量もあろうがなかろーが存在してて、平行移動・共変微分を定義するために
接続係数が必要。

43 :♀д♀:2010/02/06(土) 23:45:21 ID:m66YB4+j
レビチビタじゃない接続、っての
オレは知らないから解らないけど。
とりあえず、ラプラシアンは計量と接続が必要ってことでおけ?

これで球座標のラプラシアン暗記しなくて済むね((o(^-^)o))
導出は3分くらいで出来るし、ほかの計量でも同じ計算。

44 :♀д♀:2010/02/07(日) 00:02:43 ID:79MJJMGh
そういえば、外微分ってリー微分で書き換えできるんだっけ?
*d*dをリー微分でかけたら、計量もいらないのかな

45 :ばいおねす ◆jT9IWcEl2Wzi :2010/02/07(日) 00:27:39 ID:???
>>43
いぁ、接続はいらんです。

>>40
The usual form Laplacian is then given by

Δ = dδ + δd.

δ=*d*

が知ってる限り一般的なやつかと(多分別の定義もある)。
で、僕も誤解してたけど、ホッジ作用素自体は微分形式じゃなくても線型代数あたりで出てきます。

46 :♀д♀:2010/02/07(日) 00:32:51 ID:03Fbo+IK
レビチビタ接続かは謎だけど
計量いれてる時点で接続いれてるのと同じだとおもうよ
計量の微分が接続なんだから
さっきの球座標ラプラシアンでいうと、計量の行列式の微分が
接続に相当するんだとおもう

47 :ばいおねす ◆jT9IWcEl2Wzi :2010/02/07(日) 00:50:38 ID:???
>>46

>計量の微分が接続なんだから

とは限らないんですよ。接続はまた他に理論があるみたいです(たとえば中原幹夫、理論物理学のための
幾何学とトポロジーU)。僕は挫折しましたけど。
まぁ、物理だったら上にも書いてあるけどあんまり気にしないほうがいいかと。

48 :♀д♀:2010/02/07(日) 01:02:40 ID:03Fbo+IK
うん

49 :ご冗談でしょう?名無しさん:2010/02/07(日) 01:59:11 ID:???
横はいり。で、すぐ寝ますが、そもそも外微分は微分構造があれば定義可能
で、δはリーマン構造が有れば接続無しに定義可能、但し作用する範囲が
微分形式=完全反対称共変テンソル場に限られてしまう。うろ覚えだけれど
∇_μ∇^μとdδ+δdを比較する時完全反対称ってところで接続の捩れテンソル
が消えることを本質的に用いるはず。(∇gμν=0を満たす奴じゃなきゃ
∇_μ∇^μ=dδ+δdとならないのは当然として)

50 :ご冗談でしょう?名無しさん:2010/02/07(日) 19:29:59 ID:jAxiVucc
接続全体の集合を考えることには意味がある

51 :ばいおねす ◆jT9IWcEl2Wzi :2010/02/07(日) 20:32:36 ID:WKKOgQN1
>∇_μ∇^μ=dδ+δd

右辺が定義されてるのは >微分形式=完全反対称共変テンソル場
左辺は(この定義を見た限りでは)接でも余接でもどっちでもOKですよね。

左辺を関数に作用させて、同じ結果を出す途中で、接続を置き換える公式

http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_formulas_in_Riemannian_geometry

g^{k\ell}\Gamma^i {}_{k\ell}=\frac{-1}{\sqrt{|g|}} \;\frac{\partial\left(\sqrt{|g|}\,g^{ik}\right)} {\partial x^k}

を導くときのそもそも一番上にある

\Gamma^m {}_{ij}=\frac12 g^{km} \left( \frac{\partial}{\partial x^i} g_{kj} +\frac{\partial}{\partial x^j} g_{ik} -\frac{\partial}{\partial x^k} g_{ij} \right)

の時点で、クリストッフェル記号そのものの部分と、トーションだけからなる部分をわけて、トーション0としたのが
レヴィ・チヴィタ接続。で、そのLC接続を使ってガシガシ計算したら同じ。
・・・でいいのかな?

52 :ご冗談でしょう?名無しさん:2010/02/08(月) 22:44:40 ID:???
>>35
リー微分はベクトル場を使って他のベクトル場の微分を定義するもの。

53 :ご冗談でしょう?名無しさん:2010/02/08(月) 23:09:40 ID:???
で何

54 :ご冗談でしょう?名無しさん:2010/02/08(月) 23:11:22 ID:???
>>52
だから何?

55 :ご冗談でしょう?名無しさん:2010/02/09(火) 11:53:45 ID:???
ベクトル場全体を考えよ

56 :ご冗談でしょう?名無しさん:2010/02/09(火) 12:15:58 ID:???
完全に議論が終了してるのにそれさえわからない人がいるのが笑える

57 :ご冗談でしょう?名無しさん:2010/02/10(水) 00:11:55 ID:???

そう煽るな。

58 :数学者より:2010/02/10(水) 21:57:45 ID:???
微分全体を考えよ。

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